(Apuntes sin revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA

Transcripción

1 (Aputes s revsó pr oretr el predzje) CÁLCULO INTEGRAL LA INTEGRAL DEFINIDA Y LA INTEGRAL INDEFINIDA Sumtor Pr represetr e form revd determdo tpo de sums, se utlz como símolo l letr greg sgm. Ejemplos A "" se le cooce como ídce de l sumtor. A est sum tmé se le detfc como () () + ( ) + ( 3) + f f f f f Propeddes de l sumtor α () α () ) f f () ± () () ± () ) f g f g j () () () ) f f + f : < j < j+

2 Es coveete presetr ls sguetes propeddes de l sumtor: ( + ) ( + )( + ) 6 Áre jo l curv f A Se fjrá dos codcoes: ) Que f( ) se cotu e el tervlo, ) Que f( ) se postv e el tervlo,

3 Sum feror 3 Se hce u prtcó del tervlo cosderdo e " " sutervlos gules cuos etremos se deot como: tles que 0,,,, < < < < 0 L logtud de cd sutervlo está dd por: Δ de dode 0 Δ como l fucó es cotu e todo el tervlo, etoces es cotu e los sutervlos, por lo que de cuerdo co el Teorem de Weerstrss, h u vlor del sutervlo pr el cul l fucó tom su mímo vlor. Estos vlores so c, c, c3,, c. Luego e cd sutervlo, f c es el meor vlor de l fucó. Cosdérese l sguete fgur: f c c 0 c c

4 Se costrue " " rectágulos cus áres so: ( )( 0) ( ) f c f c Δ f c f c Δ f c f c Δ f c f c Δ 4 de dode S f c Δ + f c Δ + + f c Δ + + f c Δ I SI Ejemplo. Clculr co l sum feror el vlor promdo del áre jo l curv de l fucó + 0 f 3 de 8, pr: ) 3 ) 6 A

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6 Defcó. El áre jo l curv f lmtd por ls rects es el límte, cudo el úmero de sutervlos de l prtcó tede fto, de l sum feror. Esto es, 6 lm S I A Sum superor Se cosder l msm áre l prtcó que pr l sum feror por el Teorem de Werstrss se grtz que h u " " e cd sutervlo dode l fucó tom su mámo vlor. Estos vlores so d, d,, d. Luego, f( d ) es el mor vlor e cd sutervlo,. f d d 0 d d

7 Se costrue " " rectágulos cus áres so: ( )( 0) ( ) f d f d Δ f d f d Δ f d f d Δ f d f d Δ 7 Aquí tmé se oserv que l sum de ests áres es u promcó del áre jo l curv metrs mor se l prtcó, más cerc estrá del vlor ecto del áre. Etoces est sum superor está dd por: S f d Δ + f d Δ + + f d Δ + + f d Δ s Ss Ejemplo. Clculr co l sum superor el vlor promdo del áre jo l curv de l fucó + 0 f 3 de 8, pr: ) 3 ) 6 A

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9 Defcó. El áre jo l curv f lmtd por ls rects es el límte, cudo el úmero de sutervlos de l prtcó tede fto, de l sum superor. Esto es, lm S S A 9 Flmete, co respecto ests dos sums por medo de l otcó de sumtors se puede escrr que: lm S lm f c Δ A lm f d Δ lm S I S Ejemplo. Cosdérese l msm áre requerd e los ejemplos terores otégse su vlor trvés del límte de l sum superor.

10 0 L tegrl defd Cosdérese l sguete sumtor: f ( α ) Δ E est sum llmd Sum de Rem, l fucó o es ecesrmete cotu e el tervlo, demás puede o o ser postv e dcho tervlo los sutervlos puede ser dferetes. 0 α α α α Δ L logtud del ésmo sutervlo es A l logtud del mor sutervlo se le cooce como Norm de l prtcó se deot co Δ.

11 E cd sutervlo se selecco u vlor α tl que α etoces se costrue l sguete Sum de Rem: f( α ) Δ f( α) Δ + f( α) Δ + + f( α ) Δ + + f( α ) Δ Defcó. Se dce que f es tegrle co respecto e su tervlo de defcó, s este u úmero rel I tl que pr u cert prtcó se tee que: ( α ) lm f Δ I s pr u ε > 0 t pequeño como se desee, este u δ > 0 (fucó de ε ) tles que: f( α) Δ I < ε sempre que 0 < Δ < δ E este cso, l úmero "" I sí determdo deotdo por I f d se le llm l tegrl defd de l fucó f( ) e el tervlo,. A l fucó f se le cooce como tegrdo l vrle como tegrdor. De cuerdo co est defcó, l tegrl defd es el áre lmtd por l gráfc de l fucó f, ls rects el eje de ls scss.

12 f A A f d Teorem. S se tee u fucó f tervlo cerrdo, es cotu e u, etoces l tegrl defd f d lm f( α ) Δ este. Se puede dr el cso Δ 0 de fucoes que o se cotus e u úmero fto de putos e el tervlo s emrgo pr ls cules l tegrl defd est. Ejemplo. Evlur l tegrl defd d 4 Cosderr sutervlos gules tomr el vlor medo de cd sutervlo pr evlur l fucó.

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14 Ejemplo. Evlur l tegrl defd d Cosderr sutervlos gules tomr el vlor medo de cd sutervlo pr evlur l fucó.

15 5 Propeddes de l tegrl defd Teorem. Se f g( ) dos fucoes cotus e el tervlo cerrdo,, " c " u vlor de perteecete este tervlo " k " u costte. Etoces: ) d A f( ) A ) k d k f k k A A k( ) ) k f d k f d

16 v) f d 0 f 6 A 0 v ) f d f d A + + v) f g d f d g d c v ) f d c f d + f d ; c, f A d d f f f d c + f d c c f d c

17 v ) f g ;, f d g d Teorem del vlor medo del cálculo tegrl Se l fucó f cotu e u tervlo cerrdo,. Etoces este l meos u vlor c, pr el cul se cumple que: dode Prue. ( ) f d f c f c se le cooce como l orded med. 7 f f f d f( c)( )

18 Ejemplo. Oteer l orded med de l tegrl defd 8 ; f f d + s 3 8 s 3 < 8 8 Itegrl defd Defcó. Se f u fucó defd e u tervlo cerrdo,, supógse que este otr fucó F cotu e dervle e (, ) df f (, ) d de mer que se cumple que:

19 9 Etoces F se le llm l tegrl defd o l tdferecl de f e, se puede escrr F f d S l fucó F este, etoces se dce que l fucó f es tegrle. Ejemplo. Algus tdferecles so: 3 t l es l tdferecl de es l tdferecl de es l tdferecl de 3 d sec d d De cuerdo co esto, u dferecl dd puede teer u úmero defdo de tdferecles. Cosdérese ls práols ; ; + 3 Ls tres tee como dferecl d d. Luego l tdferecl de d o correspode u solo vlor, por lo que es ecesro troducr u costte coocd como costte escecl rtrr, de tl form que se puede escrr etoces: Atdferecl de tmé como d + C que se puede escrr d + C. Luego f d F C + dode C es l costte esecl rtrr de tegrcó.

20 0 Ddo que l tegrl defd equvle l tdferecl, es etoces l opercó vers l dervd. Por lo que de quí se desprede l sguete epresó lgerc pr tegrr l fucó detdd elevd u epoete rel: + d + C ; + Prue. + ( ) d + C + 0 d Dos propeddes mporttes que vle destcr que se vero pr el cso de l tegrl defd so ls sguetes: kf d kf d ; k + + f g d f d g d Ejemplo. Resolver ls tegrles defds: ( ) 5 d ) 4 d ; ) ; ) 5 d

21 Ejemplo. L potec desrrolld por el motor de u vehículo e los prmeros tres segudos de mrch está dd por l epresó P 6 t, e dode t está e segudos P e 5 wtts. Clculr el trjo desrrolldo e ese tempo, sí como l potec promedo.

22 Itegrl defd co el límte superor vrle Se l tegrl defd f d S se hce u se cm el límte superor de l tegrl por " ", se tee que: f u du Como se oserv, el resultdo de est tegrl qued como fucó de " ". Teorem fudmetl del cálculo Se u fucó f cotu e u tervlo, vlor, F f u du, etoces se cumple que Prue. u certo. S F es otr fucó defd trvés de df d f

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24 4 Regl de Brrow Se ls fucoes f F cotus e el tervlo,, df tles que f. Etoces se cumple que: d f ( ) d F ( ) F ( ) Prue. De cuerdo co el teorem fudmetl del cálculo l defcó de l tegrl defd, se puede escrr lo sguete: S se hce dode C S se hce f u du F + C se lleg f ( u ) du 0 F ( ) + C F. se lleg f ( u ) du F ( ) + C Pero como C F se tee que f u du F F, l cmr u por, flmete se otee f d F F, de

25 3 Ejemplo. Resolver l tegrl ( X 5) d 5 Ejemplo. L tesdd de correte que ps por u cle está dd por t+ 3 dode es l tesdd de l correte e mperes t el tempo e segudos. Clculr l ctdd de crg eléctrc que ps por este cle e el tervlo de t s t 4 s, sí como l tesdd de correte promedo e dcho tervlo.