En su forma más simple, un sistema mecánico de traslación consiste de una masa, un resorte y un amortiguador, tal como lo ilustra la figura 1.

Transcripción

1 ANALOGÍA ENTRE UN SISTEMA MECÁNICO DE TRASLACIÓN Y UN SISTEMA ELÉCTRICO. Tomado del texto de Circuitos III del Profesor Norman Mercado. 1. INTRODUCCIÓN. Tradicionalmente, las analogías entre los sistemas mecánicos y eléctricos se han presentado usando circuitos pasivos RLC. En este trabajo presento una alternativa diferente que cobra bastante importancia cuando el sistema mecánico a simular es de orden igual o superior al cuarto; se trata de encontrar el equivalente eléctrico de un sistema con dos o más masas acopladas usando elementos activos, es decir, con fuentes dependientes. La ventaja de usar fuentes dependientes consiste en que todas las variables de estado del sistema mecánico estarán representadas en el sistema eléctrico equivalente. Según se verá posteriormente, en el modelo con fuentes controladas resultan las siguientes equivalencias: Masa-Inductancia Amortiguamiento-Resistencia Elasticidad-Inverso de capacitancia Desplazamiento-Carga en el capacitor Velocidad-Corriente en el inductor. 2. SISTEMA MECÁNICO DE SEGUNDO ORDEN. En su forma más simple, un sistema mecánico de traslación consiste de una masa, un resorte y un amortiguador, tal como lo ilustra la figura 1. Figura 1. Las variables a medir o variables de estado del sistema, son: la posición y la velocidad de la masa en todo instante, así: : Posición en todo instante y se mide en metros. : Velocidad en todo instante y se mide en metros/segundos. Los parámetros del sistema son: M : Masa del cuerpo, la cual se mide en Kilogramos. B : Constante de amortiguamiento, la cual se mide en Newtons x segundos/metros. K : Constante de elasticidad del resorte, la cual se mide en Newtons/metros.

2 La excitación del sistema es la fuerza aplicada: la cual se mide en Newtons. Las ecuaciones de estado del sistema se obtienen aplicando la segunda ley de Newton, así: En forma matricial, podemos escribir: La respuesta al escalón unitario del sistema mecánico se puede determinar de diferentes maneras. Aquí se presentará la herramienta Matlab para determinar la respuesta al escalón, ya sea a partir del sistema de estado o de la función de transferencia. Si tomamos como respuesta del sistema al desplazamiento, la ecuación diferencial del sistema es la siguiente: Si la fuerza aplicada es el escalón unitario, se encontrará la respuesta: de los parámetros, así: para diferentes valores a) Para movimiento sobreamortiguado: Los datos para Matlab son los siguientes: Para encontrar la función de transferencia, se procede de la siguiente manera: Para hallar la respuesta al escalón se tienen dos alternativas, así: 1) 2) La figura 2. Muestra la respuesta del sistema al escalón unitario. b) Movimiento subamortiguado: Repitiendo el procedimiento se encuentra la respuesta de la figura 3. c) Movimiento críticamente amortiguado: Repitiendo el procedimiento se encuentra la respuesta de la figura 4 d) Movimiento oscilatorio puro: Repitiendo el procedimiento se encuentra la respuesta de la figura 5

3 3. SISTEMA ELÉCTRICO DE SEGUNDO ORDEN. Un circuito eléctrico de tipo RLC serie es el que se muestra en la figura 6. Las variables de estado del sistema son: la corriente en el inductor y la carga en el capacitor. : Carga en el capacitor en todo instante y se mide en culombios. : Corriente en el inductor en todo instante y se mide en amperios.

4 Los parámetros del sistema son: L : Autoinducatancia del inductor y se mide en henrios. C : Capacitancia del capacitor y se mide en faradios R : Resistencia del resistor y se mide en ohmios. La excitación del circuito es la fuente de voltaje la cual se mide en voltios. Al aplicar la ley de Kirchhoff para voltajes, se encuentran las ecuaciones de estado del sistema, así: En forma matricial, se tiene: Claramente se puede observar la analogía entre el sistema mecánico y el sistema eléctrico de tal forma que puede analizarse el comportamiento del sistema mecánico efectuando la simulación del sistema eléctrico. La equivalencia de los sistemas se presenta en la siguiente tabla. Sistema mecánico Sistema eléctrico Masa: M Inductancia: L Amortiguamiento: B Resistencia: R Elasticidad: K Inversa de la capacitancia: (Elastancia): 1/C Posición: Velocidad: Carga en el capacitor: Corriente en el inductor: A continuación se presentan los resultados de la simulación en SPICE del circuito eléctrico para los diferentes casos analizados del sistema mecánico.

5