Riesgos Proporcionales de Cox

Transcripción

1 Resgos Proporconales de Cox Resumen El procedmento Resgos Proporconales de Cox esta dseñado para ajustar un modelo estadístco sem-parámetrco a los tempos de falla de una o mas varables predctoras. Los predctoras pueden ser cuanttatvos o categórcos. Modelos de prmer o Segundo orden pueden ser ajustados, con o sn nteraccones. A dferenca del procedmento Regresón con Datos de Vda, nnguna suposcón es hecha acerca de la dstrbucón de los tempos de falla. La únca suposcón es que los predctoras actúan de manera multplcatva en la funcón de rego. Los tempos de fallas pueden ser censurados o no censurados. La salda del procedmento ncluye un estmador de la funcón de resgo y una prueba de sgnfcanca en cada una de las varables predctoras. Grafcas de las funcones estmadas de supervvenca de resgo pueden ser creadas, tan ben como varas grafcas de resduos. Ejemplo StatFolo: coxph.sgp Datos del Ejemplo: El archvo nephrectomy.sf6 contene datos de un estudo de n = 36 pacentes con tumores malgnos en su rñón, reportado por Collett (1994). Los pacentes son dvddos en 3 grupos de edades. Algunos pacentes en cada grupo tenen que someterse a una nefrectomía (removmento qurúrgco del rñón), mentras que otros no. Una porcón del archvo es mostrada abajo. Survval tme (Tempo de Supervvenca) Censores (Censurado) Nephrectomy (Nefrectomía) Age (Edad) 2006 por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 1

2 El Tempo de Supervvenca esta en meses. Censurado es gual a 1 s Tempo de Supervvenca es una observacón censurada y 0 en otro caso. Nefrectomía es 1 para aquellos pacentes para los cuales su rñón a sdo removdo y 0 para los que no. Edad es 1 para pacentes menores de 60 años, 2 para aquellos entre 60 y 70, y 3 para pacentes con más de 70 años. Entrada de Datos La caja de dalogo de entrada requere nformacón sobre los tempos de falla y las varables predctoras: Varable Dependente: Una varable numérca contenendo Y, los tempos de falla (para datos sn censura) o los tempos de censura (para datos censurados). (Censura): Una columna opconal ndcando s cada valor ha sdo censurado o no. Introduce 0 s el valor de la varable dependente representa un tempo de falla censurado. Introduce un 1 s el valor ha sdo censurado por la derecha (el tempo de falla verdadero es mas grande que el valor ntroducdo). Factores Cuanttatvos: Columnas numércas que contenen los valores de algunos factores cuanttatvos que son ncludos en el modelo. Factores Categórcos: Columnas numércas o no numércas que contenen los nveles de algunos factores categórcos que son ncludos en el modelo por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 2

3 Seleccón: Seleccón de un subconjunto de los datos. STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 En el ejemplo, hay dos factores categórcos. Modelo Estadístco Los modelos de rego proporconales de Cox suponen que el efecto de las varables predctoras sobre la funcón de resgo puede ser expresado como un producto de térmnos que envuelven las varables predoctora X y una funcón de base de resgo. STATGRAPHICS ajusta un modelo de la forma h x ( β k k 0 t t) = exp( β + β X + β X X ) h ( ) (1) donde h 0 (t) es una funcón base de resgo apropada cuando todas las varables predctoras son gual a 0. La funcón exp (Xβ) es la razón de la funcón de resgo para una observacón con varables predctoras X observadas y la funcón base de resgo. Resumen del Análss El Resumen del Análss desplega una tabla que muestra el modelo estmado y la prueba de razón de verosmltud para la sgnfcanca de los coefcentes del modelo. Modelos de Resgos Proporconales de Cox - Survval tme Varable dependente: Survval tme Censura: Censored Factores: Nephrectomy Age Número de valores no censurados: 32 Número de valores censurados por derecha: 4 Modelo de Regresón Estmado Error Inferor 95.0% Superor 95.0% Parámetro Estmado Estándar Límte de Conf. Límte de Conf. Nephrectomy= Age= Age= Log verosmltud = Pruebas de Razón de Verosmltud Factor Ch-Cuadrada Gl Valor-P Nephrectomy Age La tabla ncluye: Resumen de Datos: Un resumen de los datos de entrada, ncluyendo el número de observacones n usada para ajustar el modelo por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 3

4 Modelo de Regresón Estmado: Estmadores de máxma verosmltud de los coefcentes β en el modelo de regresón, con errores estándar e ntervalos de confanza aproxmados. Pruebas Razón de Verosmltud: Esta prueba se corre para determnar s los coefcentes son o no sgnfcatvamente dstntos de 0. P-valores de dos colas son mostrados. P-valores pequeños (menos que 0.05 s se opera en un nvel de confanza del 95%) corresponden a varables estadístcamente sgnfcantes. La tabla anteror muestra los resultados de ajustar un modelo de prmer orden a los datos del ejemplo. El modelo estmado es: h x (t)= exp[ (Nephrectomy=1) (Age=2) (Age=3)] h 0 (t) Los térmnos Nephrectomy=1, Age=2, y Age=3 son varables ndcadoras boleanas que toman el valor 0 s es falso y 1 s es verdadero. La prueba razón de verosmltud ndca un efecto sgnfcante de la nefrectomía, pero el efecto de la edad no es sgnfcante en el nvel 95%. Note que el efecto de Nefrectomía es negatvo, ndcando que esto extosamente reduce la funcón de resgo y mejora así la supervvenca. Opcones del Análss El modelo estadístco ajustado es especfcado usando Opcones del Análss: Tpo de Modelo: Seleccone Prmer Orden para ajustar un modelo que envuelva solamente los efectos prncpales de cada factor. Seleccona Segundo Orden para nclur efectos cuadrátcos para los factores cuanttatvos e nteraccones de 2 factores entre todas las varables. Nvel de Confanza: Porcentajes de confanza para los ntervalos estmados de los coefcentes del modelo. Exclur: Presonar este botón para exclur térmnos específcos del modelo. Una caja de dalogo será desplegada enseguda: 2006 por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 4

5 Haz doble clc sobre un efecto para cambarlo del campo Inclur a el campo Exclur o al contraro. Ejemplo: Ajustando un modelo con una nteraccón Para adherr una nteraccón al modelo, seleccona Segundo Orden en la caja de dalogo Opcones del Análss. Los resultados del ajuste son mostrados enseguda. Modelos de Resgos Proporconales de Cox - Survval tme Varable dependente: Survval tme Censura: Censored Factores: Nephrectomy Age Número de valores no censurados: 32 Número de valores censurados por derecha: 4 Modelo de Regresón Estmado Error Inferor 95.0% Superor 95.0% Parámetro Estmado Estándar Límte de Conf. Límte de Conf. Nephrectomy= Age= Age= Nephrectomy=1*Age= Nephrectomy=1*Age= Log verosmltud = Pruebas de Razón de Verosmltud Factor Ch-Cuadrada Gl Valor-P Nephrectomy Age Nephrectomy*Age Dos térmnos adconales han sdo adherdos al modelo, gual a los productos cruzados entre las varables ndcadoras para los efectos prncpales. La prueba razón de verosmltud ndca que las nteraccones estmadas no son sgnfcantes por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 5

6 Funcones de Base La funcón base de resgo es la funcón de resgo que corresponde a el caso en el que todas las varables predctoras son gual a 0. Para un factor categórco, esto se guala el prmer nvel del factor, cuando todas las varables ndcadoras asocadas son fjadas 0. La tabla de la Funcones de Base desplega la funcón base de resgo y las funcones relaconadas. Funcones de Base Funcón de Funcón de Resgo Survval tme Alfa Resgo Supervvenca Acumulado La funcón de resgo es una funcón de saltos que camba nmedatamente después de cada falla. Desplegado en la tabla están: Tempo de Supervvenca El tempo t correspondente a cada falla únca. Alfa j 1 αˆ j es la contrbucón a la funcón de resgo correspondente a el tempo de falla ndcado (ver la seccón de Cálculos). αˆ, donde ( ) Funcón de Resgo La funcón de base de resgo, calculada de h ( t ) = 1 αˆ (2) ˆ0 j j Funcón de Supervvenca Sˆ0 ( t), la probabldad de sobrevvr hasta el tempo t, se calcula de S ˆ α (3) 0 ( t) = ˆ j j t( j ) < t 2006 por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 6

7 Resgo Acumulado La funcón de resgo acumulatva, calculada de Hˆ ( t) = ln[ Sˆ ( )] (4) 0 0 t Funcón de Supervvenca El panel Funcón de Supervvenca muestra la funcón de supervvenca estmada para los nveles selecconados de una varable predctora, en los valores fjos de los otros predctoras. Funcón de Supervvenca Estmada Age=1 probabldad de supervvenca Nephrectomy 0 1 Survval tme S el factor selecconado es categórco, una curva separada será grafcada para cada nvel de este factor. S el factor selecconado es cuanttatvo, curvas serán grafcadas en los valores bajo y alto desplegados en la caja de dalogo Opcones del Panel. Por ejemplo, la grafca anteror muestra la funcón de supervvenca estmada para pacentes en el grupo que han tendo una nefrectomía y para aquellos que no, para Age = 1. Note el consderable mejoramento en la supervvenca para pacentes que han tendo crugía por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 7

8 Opcones del Panel STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Factor: Seleccone el factor que es desplegado en múltples nveles. Bajo y Alto: S el factor selecconado es cuanttatvo, los dos nveles en los cuales se grafcaran las funcones. Mantener: Para factores no selecconados, el valor en el que se fja la varable cuando se hace la estmacón de las funcones. Sguente y Atrás: Usada para desplegar otros factores cuando más de 16 están presentes por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 8

9 Tabla de la Funcón La Tabla de la Funcón muestra la funcón de resgo estmada, la funcón de supervvenca, y la funcón de resgo cumulatva en valores especfcados de las varables predctoras. Tabla de la Funcón Nephrectomy=1 Age=2 Funcón de Funcón de Resgo Survval tme Resgo Supervvenca Acumulado Los valores de las varables predctoras son fjados usando Opcones del Panel por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 9

10 Opcones del Panel STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Mantener En: Los valores de las varables predctoras en los cuales las funcones son estmadas. Sguente y Atrás: Usado para desplegar otros factores cuando más de 16 están presentes por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 10

11 Resduos La tabla de resduos muestra varos tpos de resduos. Resduos Resduo Resduo Resduo Resduo Fla Survval tme Cox-Snell C.S. Modfcado Martngale de Desvacón Resduos de Cox-Snell modfcados basados en delta = 1.0 Includos están: Resduos Cox-Snell Estos resduos deberían de comportarse como una muestra de una dstrbucón exponencal con meda gual a 1. Observacones censuradas tendrán resduos censurados. Resduos Cox-Snell Modfcados Estos resduos son creados adhrendo una cantdad postva Δ a todos los resduos censurados. Por defecto, Δ = 1 pero puede cambarse usando Opcones del Panel en el panel Gráfco de Resduos. Otro valor poblaconal es Δ = Nota: estos resduos no son desplegados s no hay observacones censuradas por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 11

12 Resduos de Martngala Estos resduos son dervados de los Resduos Cox-Snell multplcando por 1 y sumando 1.0 a cada observacón censurada para cambar al meda a 0. Estos resduos se comportan smlarmente a los resduos encontrados cuando se ajustan otros modelos lneales, aunque estos son smétrcamente dstrbudos alrededor del cero. Resduos de Desvanza Ellos están relaconados con los resduos de martngalas pero son transformados para tener una dstrbucón más smétrca. Gráfco de Resgo del Log de Resduos S el modelo ajusta los datos ben, los resduos Cox-Snell deberían comportarse como una dstrbucón exponencal con meda 1. Una grafca usual para probar esta hpótess es el Gráfco de Resgo del Log de Resduos. 1.6 Gráfca de Resduos de Resgo Log-Acumulado Log-resgo acumulado Log de resduo de Cox-Snell Los log-resduos Cox-Snell para cada una de las observacones censuradas son grafcados en el eje horzontal. El eje vertcal muestra los log de la funcón de resgo acumulada de los resduos Cox-Snell, estmados usando el procedmento de Kaplan-Meer. S los resduos actúan como una muestra de una dstrbucón exponencal untara, estos deberían estar sobre la línea de 45 línea dagonal. Excepto para el prmer punto todos los demás están razonable cerca de la línea por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 12

13 Grafca de Resduos Los resduos tambén pueden ser grafcados contra otras cantdades. Dagrama de Dspersón contra Tempo de Supervvenca Esta grafca ayuda en la vsualzacón de datos atípcos. STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Gráfca de Resduos para Survval tme Resduo Cox-Snell no censurados censurados Survval tme Para los resduos Cox-Snell y Cox-Snell modfcados, una línea de referenca es fjada en 1, ya que los resduos deberían de segur una dstrbucón exponencal untara. Dagrama de Dspersón contra Tempo de Supervvenca Rank Ya que el orden de rank de los tempos de supervvenca afecta la estmacón de los coefcentes del modelo, una grafca de resduos contra los ranks de los tempos de supervvenca puede ayudar a juzgar s el modelo es adecuado para los datos. Gráfca de Resduos para Survval tme Resduo Cox-Snell modfcado no censurados censurados Rango de Survval tme 2006 por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 13

14 Dagrama de Dspersón contra Numero de Renglones Esta ayuda a vsualzar cualquer dependenca en el orden dentro de la hoja de datos. Gráfca de Resduos para Survval tme Resduo Martngale no censurados censurados Fla Para resduos de Martngala y Desvanza, una línea de referenca es puesta en el 0. Dagrama de Dspersón contra Factor Esta grafca ayuda en la vsualzacón de falta de ajuste con respecto a una varable dada. Gráfca de Resduos para Survval tme Resduo de desvacón no censurados censurados por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 14

15 Opcones del Panel STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Grafca: Tpo de resduos a grafcar. Para los resduos modfcados de Cox-Snell, Delta es adherda a cada resduo correspondente a una observacón censurada. Grafcar contra: La varable grafcada en el eje horzontal por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 15

16 Grabar Resultados Los sguentes resultados pueden ser guardados en una hoja de datos: STATGRAPHICS Rev. 9/14/ Funcón de Supervvenca La funcón de supervvenca estmada correspondente a cada una de n observacones. 2. Funcón de Resgo La funcón de resgo estmada correspondente a cada una de las n observacones. 3. Funcón de Resgo Acumulada La funcón de resgo acumulada estmada correspondente a cada una de las n observacones. 4. Resduos Cox-Snell los n resduos Cox-Snell. 5. Resduos Cox-Snell Modfcados - Los n resduos modfcados Cox-Snell. 6. Resduos Martngale Los n resduos de Martngale. 7. Resduos de Devacón - Los n resduos de devanza. 8. Coefcentes Los coefcentes estmados del modelo por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 16

17 Cálculos Sea d j el número de fallas en cada uno de los r tempos de falla y (j). Sea R(y (j) ) el conjunto de objetos en resgo en el tempo y (j) y D(y (j) ) el conjunto de objetos que han fallado en el tempo y (j). Funcón de Verosmltud L = r j= 1 exp( s β ) j [ exp( xl β )] l R( y( j ) d j (5) donde s j es un vector que contene la suma de las varables predctoras para todas las fallas en el tempo y (j). Errores Estándar para los Coefcentes Determnados de las dervadas parcales evaluadas en los estmadores de máxma verosmltud. Los ntervalos de confanza son basados en la aproxmacón normal para grandes muestras. Funcón Base de resgo h ( y( j) ) 1 αˆ j 0 = (6) donde las α s son encontradas resolvendo l D ( x ˆ β ) exp l = exp( x ˆ) exp( ˆ ) l β xl β ( y ) 1 ˆ α l R( y ) ( j ) j ( j ) (7) Resduos Sea δ = 1 para un tempo de falla y 0 para una observacón censurada. Cox-Snell: r = exp( x β ) Hˆ ( y ) (8) o Cox-Snell Modfcados: r r = r + Δ s no censorados censorados (9) Martngala: m = δ r (10) Devanza: d = m ) 2{ m + δ log( δ m )} sgn( (11) 2006 por StatPont, Inc. Resgos Proporconales de Cox - 17