Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET DFPD Matemática II 2010 Sucesiones

Transcripción

1 Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes Sucesioes Tems: Límites de sucesioes. Sucesioes moótos y sus límites. Pres de sucesioes moótos covergetes. Número e. Opercioes co sucesioes y cálculo de sus límites. Sucesioes equivletes. Ordees de ifiitos e ifiitésimos. Sucesioes: defiició. U sucesió de úmeros reles es u fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros turles y cuyo recorrido está coteido e el cojuto de los úmeros reles. f : f( ) E form brevid f Profesores: Ptrici Echeique, Súl Teebum o tmbié g: g( ), o g E este cso l sucesió empiez e porque e,, y o eiste. Debemos distiguir : l sucesió ( ) es l fució : el térmio geerl que es simplemete u úmero rel, el térmio -simo. el recorrido de l sucesió { } Diferetes forms de defiir ls sucesioes. ) Eplicit: se d u fórmul pr el térmio geerl, tl cul y lo vimos más rrib. b) Recurreci: se d el primer térmio y u método geerl que permit clculr los demás prtir del terior o teriores Los primeros térmios so, etoces,, 7, 5,,... c) Ddo u list o u propiedd. A veces o es posible o o eiste u fórmul y i siquier u relció de recurreci. Por ejemplo, l sucesió de los úmeros primos:,, 5, 7,,, 7, 9,,... Otro ejemplo: l sucesió de resultdos l tirr u ddo por u perso e u mometo determido :,, 6,,, 6,, 6, 5,,,, 5,,... A veces ls sucesioes defiids por recurreci se le puede ecotrr l "fórmul" del térmio geerl. A veces! Lo veremos e el práctico. Sucesioes moótos U sucesió ( ) es creciete si prtir de u cierto, úmero turl, se cumple que cd térmio es myor o igul que el terior. E símbolos, ( ) es creciete si, >, + Será estrictmete creciete si es myor que el terior. ( ) es estríctmete creciete si, >, < + Alogmete, ( ) es decreciete si, >, +

2 Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes ( ) es estríctmete decreciete si, >, > +. U sucesió es moóto si es creciete o decreciete. Sucesioes periódics U sucesió es periódic de período * p, p si, + p co p el meor posible. (Si tiee período o diremos que tiee período 6). Cudo p diremos que l sucesió es costte. Ejemplo: l sucesió ( ) defiid por ( ) es periódic de período. Sucesioes cotds. U sucesió ( ) está cotd superiormete si eiste K, K. U sucesió ( ) está cotd iferiormete si eiste H /, H. U sucesió ( ) está cotd si está cotd superior e iferiormete. O se que ( ) está cotd si eiste H, K, H K. Pres de sucesioes moótos covergetes PSMC / / Ls sucesioes ( ) y (b ) se dice que form u PSMC si cumple: ( ) es creciete y (b ) es decreciete PSMC se tiee que b + ε eiste tl que b ε < Cudo sucesioes form u PSMC defie u úico úmero rel j, llmdo elemeto de seprció del PSMC, que es el supremo de { } y el ífimo de { b }. Se cumple etoces que b. j Ejercicios: ) Muestr que ls sucesioes siguietes, defiids por su térmio geerl, so periódics y determi el período de cd u. d π π ( ) π cos( ) b se( ) c cos( ) 5 6 d+ d ) Estudi l mootoí de ls sucesioes siguietes, defiids por su térmio geerl. h 7 7 i j f g 5 h+ i h + i + i j+ j + j Profesores: Ptrici Echeique, Súl Teebum

3 Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes ) U sucesió ritmétic tiee como seto térmio 7 y como decimosegudo térmio 7. Clcul el térmio úmero y l sum de los primeros térmios. U sucesió ritmétic es quell que verific + d + co d. ) Clcul ) Determi el segudo térmio de u progresió geométric si se sbe que el seto térmio es y el tercer térmio es. U sucesió geométic es l que verific r co r ) Clcul ) Se l sucesió ( ) defiid por + + i) Muestr que,, y + so del mismo sigo. Deduce que,, > ii) Estudi l mootoí de l sucesió ( ). 8) Estudi l cotció de ls siguietes sucesioes defiids por sus térmios geerles: b cos( ) c d + se( ) + ( ).cos( ) 9) Si, muestr que,, + ) Se l sucesió (q ) defiid por q+ 6+ q ) Prueb que l sucesió es estrictmete creciete y cotd superiomete por. q b) Prueb que,, q + q ) Prueb que b so u PSMC y hll y b b / b <,. ) Dds ls siguietes sucesioes por sus térmios geerles, demuestr que y + form u PSMC. Clcul el úmero rel que defie. i) ( ) + ii) ( ) i i i iii) + co iv) + + co Profesores: Ptrici Echeique, Súl Teebum

4 Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes Cojugd: Demostrr que b b + b Ivestigr: 5 5 b... Límite de u sucesió Defiició: U sucesió ( ) tiee límite b si, culquier se el úmero rel positivo ε, eiste u úmero turl tl que pr culquier úmero turl myor que ese, l difereci etre el térmio -simo de l sucesió y el vlor del límite es t chic como se quier. + E resume, lim b ε eiste tl que si >, etoces b < ε + Cudo u sucesió tiee límite, se dice que coverge dicho límite. Teorem : Si u sucesió tiee límite, éste es úico. Teorem : U sucesió covergete está cotd. (Cuiddo que el recíproco o se cumple) Teorem : El límite de u sum de sucesioes es l sum de los límites b Teorem : Si u sucesió tiee límite b, etoces / si > < < b Teorem 5: Si lím b, b, lím b Defiició: L sucesió ( ) diverge + si H, H + / > > H Teorem 6: Si lím +, lím Teorem 7: Límite de l sucesió compredid. Si b c,, > y lím lím c lím lím blím c Teorem 9: lím m lím m (Cuiddo que el recíproco o se cumple) Teorem : Si u sucesió es moóto etoces tiee límite. Teorem : Tod subsucesió de u sucesió covergete, coverge l mismo límite. Sucesioes equivletes Defiició: Se dice que dos sucesioes ( ) y (b ) so equivletes si lím b Notció: lo otremos ( ) ~ (b ). INFINITÉSIMOS Defiició: ( ) es u ifiitésimo si y sólo si lím Límites equivletes ) Si ) Si L(+ ) lím lím Etoces L(+ ) sólo cudo L(z ) lím z lím Etoces L(z ) ( z ) sólo cudo z z Profesores: Ptrici Echeique, Súl Teebum

5 Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes ) Si ) Si 5) Si e lím lím Etoces e sólo cudo p z lím z lím p Etoces z p( z ) sólo sí pz ( ) se( ) lím lím Etoces se( ) sólo cudo Ifiitos Defiició: ( ) es u ifiito si y sólo si lím Ordees de ifiitos: p k. < < < d orde L orde orde b orde p > b > k > logrítmico potecil epoecil potecil-epoecil Si ( ) y (b ) so dos ifiitos, se los puede comprr hciedo el cociete etre ellos: el orde de b es myor que el de el orde de es myor que el de b Si lím b k, k el orde de b es igul l de los ifiitos o so comprbles. ( Cuiddo que es diferete si fuer ifiitésimos!) EJERCICIOS ) Clcul los límites de ls siguietes sucesioes (se sobreetiede que + ): ) lím + π b) lím + π c) lím + π cos( π ) d) lím + e) lím cos( π ) f) lím + se ( +π ) ) Se ( ) l sucesió defiid por: Cuál es el meor térmio de dich sum? Deduce que pr todo > se tiee: Cuál es el limite de l sucesió ( )? + + 5) Se ( ) l sucesió defiid por : i) Probr que ( ) es creciete ii) Probr por recurreci que ( ) está cotd superiormete por. iii) Clculr el límite de ( ). Profesores: Ptrici Echeique, Súl Teebum

6 Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes ( + )(. )(. ) 6) Clculr los siguietes límites: ) + + lim c) lim + + d) lím ) Se ( ) l sucesió defiid por : + + i) Probr que ( ) es creciete si y decreciete si. ii) Deducir que ( ) es covergete. iii) Clculr el límite de ( ). b) lim e) lim ) (Primer prcil 9, ejercicio 5) Se l sucesió defiid por + i) Clculr los primeros térmios y deducir de ello e fució de. Probrlo por Iducció Complet. > se cumple que < < ii) Probr que,, iii) Ivestigr l mootoí de l sucesió y deducir si tiee o o límite. E cso firmtivo, clculrlo. 9) (Eme 8//9, ejercicio ) E este triágulo se h dispuesto úmeros turles: ) Cuáto es l sum de todos los úmeros que ocup l fil 5 de este triágulo? b) Implemetr u fució e Hskel que os devuelv, l igresrle el úmero de fil, u list co los elemetos de l fil. Por ejemplo, fil 5 [,,,,5] b') Idicr ls sucesioes P y U que devuelve el primer y el último térmio de l fil -sim. Por ejemplo P 5 U 5 5 Profesores: Ptrici Echeique, Súl Teebum