Tema 2. Sucesiones de números reales

Transcripción

1 Tema 2. Sucesioes de úmeros reales Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales Cálculo de límites. Criterios de Stolz,, de la Raiz,, de la Media Aritmética y de la Media Geométrica. Maribel Ramírez Álvarez

2 Tema 2. Sucesioes de úmeros reales E el presete tema os propoemos estudiar u caso particular de aplicacioes de A (u cto o vacío de úmeros reales) e Ñ. Cocretamete, aquellas cuyo domiio de defiició es el cojuto de los úmeros aturales: las sucesioes. Su tratamieto detallado os permitirá u mejor coocimieto de uestro objeto de estudio durate el presete curso: el cojuto Ñ de los úmeros reales y el cojuto F(A, Ñ) de las fucioes reales de variable real. La piedra agular del tema será el Teorema de Complitud de Ñ : la proximidad etre sí de todos los elemetos de ua sucesió obliga su covergecia; o dicho de otro modo: toda sucesió de Cauchy de úmeros reales es covergete. Maribel Ramírez Álvarez

3 Defiicioes 2.1. Sucesioes de umeros reales. Covergecia de sucesioes de úmeros reales. Cocepto de sucesió y oció de covergecia. Álgebra de límites. Sucesioes parciales. Defiició Llamamos sucesió de úmeros reales a toda aplicació de Í e Ñ. Notaremos por S(Ñ) al cojuto de todas las sucesioes de úmeros reales. Si f fœ S(Ñ),covedremos la siguiete otacio, comumete aceptada, para referiros a ella. Será f: Í ôñ ôf() para todo e Í. Maribel Ramírez Álvarez Págia 3

4 Defiicioes y primeros ejemplos Pues bie, la sucesió f se otará por (x( ) y a x :=f() se le llamará térmio geeral de la sucesió (x( ). Haremos especial hicapie e distiguir etre (x( ) y { x ; e Ñ} }. Recordemos que la primera se refiere a u subcojuto de Í Ñ (es ua aplicació) mietras que la seguda se refiere a la image de tal aplicació, que es u subcojuto de Ñ. Como ejemplos destacaremos las progresioes aritméticas, las geométricas, las sucesioes costates, la sucesió ula por atoomasia (1/), o la muy relacioada co la aterior de térmio geeral x :=(-1 ) /. 1.-Progresioes aritméticas. Sea a e Ñ y k e Ñ-{0} {0}. Defiimos x 1 =a y x +1 :=k+x para todo atural. La sucesió ( x ) defiida, se llama progresió aritmética. Maribel Ramírez Álvarez Págia 4

5 Defiicioes y primeros ejemplos 2.-Progresioes geométricas. Sea a e Ñ-{0} y r e Ñ-{0} {0}. Defiimos x 1 =a y x +1 :=rx para todo atural. La sucesió ( x ) defiida, se llama progresió geométrica. 3.- Sucesioes costates. Sea c e Ñ-{0} {0}. Defiimos x :=c para todo atural. La sucesió ( x ) defiida, se llama sucesió costate c. 4.- La sucesió de elemetos 1,1/2,1/3,1/4,... Su térmio geeral, x, se escribe de la forma 1/. 5.- Muy relacioada co la aterior está la sucesió de térmio geeral x :=(-1) /. Es decir, - 1,1/2,-1/3,1/4, El cojuto Í de los úmeros aturales es la image de la sucesió idetidad de Í e Í. x := para todo e Í. Maribel Ramírez Álvarez Págia 5

6 Defiicioes y primeros ejemplos Las sucesioes cuyo térmio t geeral viee dado por u poliomio se llama sucesioes poliomicas y las que viee dadas por u cociete de poliomios se llama racioales. Como fucioes que so, las sucesioes so susceptibles de ser operadas etre ellas. Ç La sucesió suma (z( ) que se defie como: z :=x +y, para todo e Í. Ç La sucesió producto (v( ) que se defie como: v :=x y, para todo e Í. Ç La sucesió (u ) defiida como: v :=lx para todo e Í y l real. Es evidete que la tera (S(Ñ),+, ),+,.) o es u cuerpo: para cualquier sucesio (x ) que cotega algu térmio cero es imposible ecotrar algua otra sucesió (y( ) tal que x y =1, para todo atural. Maribel Ramírez Álvarez Págia 6

7 Noció de límite Noció de límite de ua sucesió A cotiuació procedemos a estudiar u cocepto fudametal del Aalisis Matematico: la covergecia de sucesioes de úmeros reales. Partiremos del estudio del ejemplo 4). La sucesió (1/) tiee ua primera propiedad que se desprede de que <+1, para todo atural: x +1 < x, para todo atural. Surge de maera atural la defiició de sucesió moótoa: Ç ua sucesió (x ) se dice creciete si x x +1, para todo atural. (Equivaletemete, sii para cada par de aturales, m co m, se verifica que x x m. Maribel Ramírez Álvarez Págia 7

8 Ç ua sucesió (x ) se dice decreciete si x x +1, para todo atural. (Equivaletemete, sii para cada par de aturales, m co m, se verifica que x x m. É Ua sucesió (x ) se dice moótoa sii es creciete o decreciete. Notaremos por S M (Ñ) al cojuto de todas las sucesioes moótoas de úmeros reales. Si las desigualdades ateriores so estrictas, es decir, o se da el igual, aparece el cocepto de mootoía estricta: É ua sucesió (x ) se dice estrictamete creciete si x <x +1, para todo atural. (Equivaletemete, sii para cada par de aturales, m co < m, se verifica que x <x m. É ua sucesió (x ) se dice estrictamaete decreciete si x >x +1, para todo atural. (Equivaletemete, sii para cada par de aturales, m co m, se verifica que x >x m. É Ua sucesió (x ) se dice estrictamete moótoa sii es estrictamete creciete o estrictamete decreciete. Maribel Ramírez Álvarez Págia 8

9 Sucesioes Parciales E cosecuecia, la sucesió (1/) es estrictamete decreciete. Defiició Dada ua sucesió de úmeros reales (x ), llamamos sucesió parcial o subsucesió de ella a toda otra sucesió (y ) tal que exista ua aplicació s estrictamete creciete de Í e Í, tal que y = x s() para todo atural. Notemos que ua aplicació s : Í ö Í se dice que es estrictamete creciete si s ()< s (+1) para todo e Í. Tambié se verifica el siguiete resultado : ''Toda sucesió admite ua parcial moótoa.'' Maribel Ramírez Álvarez Págia 9

10 2.- Acotació y covergecia. Sucesioes moótoas de úmeros reales. Teorema de Bolzao-Weierstrass Weierstrass. Otra propiedad q se observa e la sucesió del ejemplo x :=1/, es la siguiete: cosideremos el úmero real positivo 10-3 ; es claro que 0 x 10-3 "ŒÍ tal que 1000 Si embargo si el úmero real positivo es 10-8 etoces 0 x 10-8 "ŒÍ tal que Podríamos razoar co u úmero real positivo arbitrario e la misma líea de argumetació? E efecto, dado E >0, existe por el Pricipio de Arquímedes, u atural tal que m 1/E "mœô. Es decir, si m, etoces 0 1/m=x m E Maribel Ramírez Álvarez

11 Noció de límite Saquemos alguas coclusioes de ésto: i) dado u úmero real positivo E siempre podemos ecotrar u ''mometo'' e la sucesió (x ) a partir del cual todos los térmios de la sucesió esté por debajo de tal E (y siempre por ecima de 0. ii) el ''mometo'' a partir del cual todos los térmios de la sucesió esta por debajo de E,depede del tal E iii) el úmero real 0 parece estar asociado a la sucesió (x ) idepedietemete del úmero E dado: cualquiera que sea el tal E e el itervalo [0,E] siempre ecotraremos a todos, salvo a u úmero fiito, los térmios de la sucesió (x ). iv) los térmios de la sucesió parece ''viajar'' Hacia u puto determiado (el 0) de modo que sea cual sea el úmero real positivo que fijemos, éste será mayorate de todos salvo, a lo más, u úmero fiito de térmios de la sucesió. Maribel Ramírez Álvarez Págia 11

12 Defiició de límite Si abstraemos la situació aterior a u ambiete dode 0 sea u úmero real x 0 cualquiera, y el itervalo [0, E ] sea [x 0 - E,x 0 + E ] podremos dar la siguiete defiició de límite de ua sucesió. Defiició Sea la sucesió (x ) y el úmero real x 0. Se dice que la sucesió (x ) coverge a x 0 o que tiee por límite al úmero real x 0, y otaremos x ôx 0, sii " E >0, $ 0 ŒÍ tal que 0 fi x -x 0 < E Equivaletemete, x ôx 0 " E >0, $ 0 ŒÍ tal que 0 fix 0 - E <x < x 0 +E Acostumbraremos a escribir, x 0 :=lim x y al tal x 0 lo llamaremos límite de la sucesió (x ). Maribel Ramírez Álvarez Págia 12

13 Sucesioes Acotadas Notaremos por S C (Ñ) al cojuto de todas las sucesioes covergetes de úmeros reales. es úico el límite, caso de existir? Proposició: Si x ôxe x ôy îx=y Sucesioes acotadas Destaquemos la siguiete propiedad de (1/): todos los térmios de la sucesió (1/) está compredidos etre 0 y 1. Es lo que se dice ua sucesió acotada É Se dice que la sucesió (x ) está mayorada si existe k e Ñ tal que x k para todo atural. É Se dice que la sucesió (x ) está miorada si existe k e Ñ tal que x k para todo atural. Maribel Ramírez Álvarez Págia 13

14 Sucesioes Acotadas É Se dice que la sucesió (x ) está acotada si está mayorada y miorada. Notaremos por S A (Ñ) al cojuto de todas las sucesioes acotadas de úmeros reales. Pues bie, lo destacado ates sobre la sucesió (1/) e cuato a acotació, es ua propiedad de todas las sucesioes covergetes: Proposició: Toda sucesió de úmeros reales covergete está acotada. E simbolos: S C (Ñ) Õ S A (Ñ) El hecho de que ua sucesió este acotada NO IMPLICA que sea covergete Para acostumbrarse al leguaje de la lógica: para que ua sucesió esté acotada es suficiete que sea covergete; o bie, para que ua sucesió sea covergete es ecesario que esté acotada. Maribel Ramírez Álvarez Págia 14

15 Sucesioes Acotadas Tambie es evidete que, de etrada, etre mootoía y covergecia o hay igua relació. Por ejemplo, la sucesió () es creciete pero o coverge, y la sucesió ((-1) /) es covergete pero o moótoa Pues bie, ua codició suficiete para que ua sucesió sea covergete va a ser que sea moótoa y está acotada. Teorema Toda sucesió moótoa y acotada de \úmeros reales es covergete. E símbolos: S M (Ñ) ' S A (Ñ) Õ S C (Ñ) El siguiete teorema resume la relació de compatibilidad existete etre la covergecia de sucesioes y la estructura de cuerpo totalmete ordeado de Ñ. Maribel Ramírez Álvarez Págia 15

16 Propiedades de las Suc. covergetes Teorema Sea las sucesioes (x ), (y ) y (z ) y los reales a, b, x e y. Supogamos que x ôx y que y ôy. Etoces, i) La sucesió suma w := a x + by " e Í, es covergete y su límite vale a x+ by ii) Si x π0 para todo ŒÍ y x π0, etoces la sucesió 1/x ô 1/x. iii) Supogamos que $ 0 ŒÍ tal que 0 y x y m. Etoces x y. iv) Regla de Sadwich: Supogamos que x=y, y que $ 0 ŒÍ tal que 0 x z y. Etoces la sucesió (z ) es covergete y su límite es precisamete x. Maribel Ramírez Álvarez Págia 16

17 Propiedades de las Suc. covergetes Toda sucesió parcial de ua sucesió covergete es covergete y tiee el mismo límite. Cosecuetemete, si ua sucesió de úmeros reales admite dos parciales covergetes a distitos límites, dicha sucesió o es covergete. Eumeramos a cotiuació las propiedades que depede de la estructura de Ñ: i) Si las sucesioes (x ), (y ) so covergetes, etoces (x +y ) es covergete y se tiee que lim (x +y )= lim (x )+ lim (y ) ii) Si la sucesió (x ) es ua sucesió ula, (ótese que ua sucesió se llama ula si es covergete y tiee como límite el cero), e (y ) es ua sucesió acotada, etoces, la Sucesió (x y ) es ula. iii) Si las sucesioes (x ), (y ) so covergetes, etoces (x y ) es covergete y se tiee que lim (x y )= lim (x ) lim (y ) Maribel Ramírez Álvarez Págia 17

18 Propiedades de las Suc. covergetes iv) Si las sucesioes (x ), (y ) so covergetes, y etoces es covergete y se tiee que ( ) x y lim( x ) = lim( x lim( ) v) Sea (x ) ua sucesió covergete ( de úmeros reales, y sea aœñ + -{1}. Etoces a x ) es covergete lim( a ) = vi) Sea (x ) ua sucesió covergete de úmeros reales positivos, y sea aœñ +. Etoces (log ( x a )) es covergete a x lim x y ) lim(log a ( x )) = log a (lim( x )) vii) Si las sucesioes (x ), (y ) so covergetes, e y π0 para todo atural, y lim (y ) π0 etoces (x /y ) es covergete y se tiee que lim (x /y )= lim (x ) / lim (y ) Maribel Ramírez Álvarez Págia 18

19 Sucesioes divergetes É Se dice que ua sucesió (x ) de úmeros reales diverge positivamete si dado u úmero real arbitrario k, puede ecotrarse u úmero atural m tal que, si m, se verifica que x >k. E tal caso escribimos (x ) ô. Simbólicamete, (x ) ô ï"kœñ, $mœí: mî x >k. ÉSe dice que ua sucesió (x ) de úmeros reales diverge egativamete si dado u úmero real arbitrario k, puede ecotrarse u úmero atural m tal que, si m, se verifica que x <k. E tal caso escribimos (x ) ô. Simbólicamete, (x ) ô- ï"kœñ, $mœí: mî x <k. Si ua sucesió de úmeros reales es divergete etoces es obvio que o esta acotada. El recíproco, e geeral, o es cierto, si bie se verifica el siguiete resultado: Teorema. Toda sucesió de úmeros reales creciete y o mayorada diverge positivamete. Maribel Ramírez Álvarez Págia 19

20 Sucesioes divergetes Proposició.- Sea (x ) e (y ) dos sucesioes de úmeros reales. Se verifica i) Si (x ) ô e (y ) esta miorada (e particular si (y ) es covergete ó (y ) ô ), e particular (x +y ) ô ii) Si (x ) ô- e (y ) esta mayorada (e particular si (y ) es covergete ó (y ) ô- ), e particular (x +y ) ô-. Cabe cometar, que e la proposició aterior, queda si resolver el caso e el que ua de las sucesioes diverja positivamemete y la otra egativamete, apareciedo ua idetermiació ( - ). Maribel Ramírez Álvarez Págia 20

21 Cálculo de límites Proposició.- Sea (x ) e (y ) sucesioes de úmeros reales. i) Si (x ) ô e (y ) ô î (x y ) ô ii) Si (x ) ô- e (y ) ô- î(x y ) ô iii) Si (x ) ô e (y ) ô- î(x y ) ô- iv) Si (x ) ô e (y ) ôl ŒÑ + î (x y ) ô v) Si (x ) ô e (y ) ôl ŒÑ - î (x y ) ô- vi) Si (x ) ô- e (y ) ôl ŒÑ + î (x y ) ô- vii) Si (x ) ô- e (y ) ôl ŒÑ - î (x y ) ô Observemos que e los apartados ateriores, si L=0 teemos uevos casos de idetermiació. Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales. Si x π0 para todo atural, etoces (x ) ô0ï(1/ x ) ô Este último resultado os coduce a otro tipo de idetermiació cuado teemos u cociete de sucesioes divergetes. Maribel Ramírez Álvarez Págia 21

22 Cálculo de límites Hay alguos casos e los que al aplicar la proposició de cálculo o podemos determiar el límite de la sucesió dado lugar a las llamadas idetermiacioes. TIPOS DE INDETERMINACIONES - 0 / 0/ Maribel Ramírez Álvarez Págia 22

23 Criterios de Covergecia Primer Criterio de Stolz Sea (a ) e (b ) dos sucesioes de úmeros reales covergetes a cero tal que (b ) es estrictamete moótoa e b π0 para todo ŒÍ. 1. Si la sucesió a b a b L a b L co L ŒÑ. 2. Si la sucesió a b a b a ± b ± Maribel Ramírez Álvarez Págia 23

24 Criterios de Covergecia Segudo Criterio de Stolz Sea (a ) cualquier sucesió de úmeros reales y (b ) ua sucesió de úmeros reales o cero estrictamete moótoa y o acotada. 1. Si la sucesió a b a b L a b L co L ŒÑ. 2. Si la sucesió a b a b a ± b ± Maribel Ramírez Álvarez Págia 24

25 Criterios de Covergecia Criterio de la Raiz Sea (a ) ua sucesió de úmeros reales positivos. 1. Si la sucesió co L ŒÑ. +1 a a L a L 2. Si la sucesió a + 1 a a Maribel Ramírez Álvarez Págia 25

26 Criterios de Covergecia Criterio de la media aritmética tica Sea (x ) ua sucesió arbitraria. Defiimos ua ueva sucesió (y ) dada por: "ŒÍ y = x 1 + x 2 + x Etoces si la sucesió (x( ) coverge, tb (y ) coverge, y ambos límites l coicide. Respectivamete, si (x ) diverge positiva, egativamete, etoces (y ) diverge positiva, egativamete). Criterio de la media geométrica Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales positivos. Defiimos ua ueva sucesió (y ) dada por: y Etoces si la sucesió (x( ) coverge, tb (y ) coverge, y ambos límites l coicide. Respectivamete, si (x ) diverge positivamete, etoces (y ) diverge positivamete). x = x x x x Maribel Ramírez Álvarez Págia 26

27 El úmero e Defiimos, x = k = 0 1 k! e y = x + 1 para todo atural. Teemos así dos sucesioes (x ) e (y ) que verifica las codicioes: i) (x ) es (estrictamete) creciete e (y ) es (estrictamete) decreciete. ii) x < y "ŒÍ iii) El límite, que otaremos por ''e'', es irracioal. iv) e=lim ô (1+1/) Señalemos que las propiedades de los límites de sucesioes permitirá defiir las potecias de base real positiva y expoete real. Maribel Ramírez Álvarez Págia 27

28 El úmero e El problema ( ) y x Si (x ) es ua sucesió de úmeros reales positivos e (y ) cualquier sucesió de úmeros reales, de modo que coocemos el carácter de covergecia de cada ua de ellas, y carácter cter de covergecia de? ( ) ) Casi siempre es posible dar respuesta a esta situació, lo que queda reflejado e los siguietes resultados: 1) Cosiderado que los casos e los que (y ) coverja a u úmero egativo o diverja egativamete puede deducirse de los otros casos. 2) Cosiderado El problema se reduce a estudiar la sucesió ( (y )L (x ) ) Sólo se preseta idetermiacioes e los siguietes casos: x ( ) ) y x = ( 1/ x ) ( y ) ( ylx x = e ) ( ) y Maribel Ramírez Álvarez Págia 28

29 El úmero e Si (x ) ô1 e (y ) diverge Si (x ) ô0 e (y ) ô0 Si (x ) ô e (y ) ô E los demás casos podemos afirmar coocer la respuesta a la cuestió e los siguietes térmios: Si (x ) ô0 e (y ) ôl (0 L< ) Si (x ) ôx e (y ) ôy (xœñ +,yœñ) Si (x ) ôx e (y ) ô (x>1) Si (x ) ôx e (y ) ô (0<x<1) Si (x ) ô e (y ) ôl (0<L ) ( x ) y ) L ( ) ) y y x x ( ) ) y x ( ) ) y 0 x ( ) ) y x Maribel Ramírez Álvarez Págia 29

30 El úmero e 4 E cuato a los casos de idetermiació descritos ates, para el que suele deomiarse tipo 1 cotamos co los siguietes resultados: Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales positivos covergete a 1 y sea (y ) cualquier sucesió de úmeros reales. Etoces (y (x -1)) ôl (L ŒÑ) ( ) ) y L x e (y (x -1)) ô (y (x -1)) ô- ( ) ) y x ( ) ) y 0 x Maribel Ramírez Álvarez Págia 30

31 Escala de ifiitos Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales positivos divergete positivamete. Etoces se tiee ( L( )) x ( ) k ) x (kœñ + ) ( ) x ) x ( ) e x Maribel Ramírez Álvarez Págia 31

32 Escala de ifiitos Pero o todas estas sucesioes diverge positivamete co la misma ``fuerza''. Se puede establecer ua escala de ifiitos segú el siguiete resultado: Proposició Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales positivos divergete positivamete. Etoces se verifica L x ( x ) k 0 x e e x k x x x 0 0 Págia 32

33 Ifiitésimos Sea (x ) ua sucesió de úmeros reales Se dice que (x ) es u ifiitésimo si lim (x ) =0 Ifiitésimos equivaletes: Vamos a ver las equivalecias etre ifiitésimos (tambié etre ifiitos) que usaremos sobre todo para simplificar el cálculo de límites. Defiició: Sea (x ) e (y ) sucesioes de úmeros reales o ulas, tal que lim(x ) =lim(y ). Se dice que So equivaletes ((x ) ~ (y )) si ( x ) ( y ) lim = 1 lim Las siguietes equivalecias etre ifiitésimos tiee ua aplicació práctica frecuete. Si (x _ ) es u ifiitésimo etoces las siguietes parejas de ifiitésimos equivaletes Maribel Ramírez Álvarez Págia 33

34 Ifiitésimos Equivaletes se( x ) ( x ) 1 ta cos L ( x ) ( ) x ( x ) ( x ) 2 2 ( 1+ ) ( ) x x Esta equivalecia última se puede expresar tambié de la siguiete maera, L ( x ) ( x 1 ) si lim( x ) = 1 Maribel Ramírez Álvarez Págia 34