ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
|
|
- Adrián Arroyo Sevilla
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS B. SUCESIONES B.1 Diversos conjuntos numéricos. En Matemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,... }. El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar. Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,... }. El conjunto de los números enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas). Q = {..., -7/2,..., -7/3,..., -5/4,... -5/1,...0,..., 2/133,... 4/7... }. El conjunto de los numeros racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2, pertenece a este conjunto, puesto que: 2, = 7/3. No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1, (raíz cuadrada de 2), o el 3, (el número ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales". R = Q U {"números irracionales"}. El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real, pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R. En ocasiones expresamos a uno de estos conjuntos con un asterisco, para indicar que se trata de todo él excepto el 0. Por ejemplo, por N * nos referimos a los números naturales excepto el 0: B.2 Sucesiones de número reales. N * = {1,2,3,4,5,...} Se llama sucesión de números reales, a una agrupación infinita de elementos del conjunto R (conjunto de los números reales), A cada uno de estos números se le llama término (primer término, segundo, etc.). De una manera matemática una sucesión se suele definir como una aplicación de N * en R, dada por: 1
2 es decir, para n=1 tenemos el primer término, para n=2 el segundo,... A las sucesiones se las suele representar por su término general, que es un término genérico dependiente de n, tal que al ir dando a n los sucesivas valores de N* vamos obteniendo todos los términos de ella. Por ejemplo, la sucesión: es la formada por: una sucesión que vamos a tomar para nuestros ejemplos. En concreto, en esta sucesión hay dos aspectos destacables, observémosla más detenidamente dibujándola sobre la recta real: Por una parte, podemos notar que todos sus infinitos términos se encuentran comprendidos entre 0 y 1. Esto es, cuando esto sucede se dice que la sucesión está acotada (superiormente por el 1, e inferiormente por el 0). En caso de que esto no fuera así, se hablaría de una sucesión noacotada (bien superiormente, bien inferiormente, o incluso puede ser no-acotada en ambos lados). El segundo aspecto destacable es que cada término es inferior al que le antecede (los términos se encuentran colocados sobre la recta real de derecha a izquierda) lo cual indica que la sucesión es decreciente. En caso opuesto como sucede con la sucesión (2, 4, 6, 8, 10,...) se dice que la sucesión es creciente. B.3 Límite de una sucesión. Si nos fijamos nuevamente en la sucesión (1/n) representada gráficamente, podemos comprobar que los términos son cada vez más pequeños, en otras palabras, los términos convergen hacia 0. Esta convergencia a 0 de una sucesión se define matemáticamente de una forma muy precisa: 2
3 * Sucesión convergente a 0: Dada una sucesión de números reales {xn} decimos que esta sucesión "converge al número 0" (también se dice que la sucesión "tiene por límite 0") si: En este caso se suele expresar en la forma: (esta rigurosa definición se debe a Cauchy) Por ejemplo, la sucesión: converge a 0, lo cual gráficamente significa que sus términos se aproximan paulatinamente hacia el 0, al que llegarían solamente para n=. Para nuestro ejemplo tenemos: Lo cual matemáticamente significa: que para cualquier valor real positivo (todo lo pequeño que queramos), siempre podemos hallar un valor entero p, tal que a partir de él en adelante todos los términos de la sucesión son menores que. Por ejemplo, tomemos un suficientemente pequeño, digamos =0.001, entonces existe una valor entero p, a partir del cual los siguientes términos son menores que ese pequeño. En nuestro caso este p es 1001, pues veamos: Etcétera, tal como lo hemos indicado en el diagrama siguiente: 3
4 y esto sucede para cualquier valor que tomemos, por ejemplo para =0, (algo más pequeño) podemos encontrar el p que ahora vale p= (algo más grande). En realidad este valor de p puede hallarse por la expresión: (por los corchetes nos referimos a la parte entera de un número, así por ejemplo [3,14]=3 ) una expresión que ha sido obtenida de considerar la condición: y hallar el n más pequeño que cumpla esta desigualdad, a cuyo valor se le llama p. Una vez obtenido este p tenemos: * Sucesión convergente a x: Dada una sucesión de números reales {xn} decimos que esta sucesión "converge al número x" (también se dice que la sucesión "tiene por límite x") si: Otra forma de decirlo es que la sucesión {xn-x}converge a 0: Por ejemplo la sucesión: converge hacia el número 2: 4
5 * Sucesión divergentes (convergente a infinito): Toda sucesión que es creciente y está acotada superiormente es convergente a un número x. De forma similar, toda sucesión que es decreciente y está acotada inferiormente es convergente a un número x. Ahora vamos a ocuparnos de aquellas sucesiones que siendo crecientes o decrecientes (llamadas "monótonas") no están acotadas. Para ello necesitamos aclarar lo que se llama "entorno del infinito": Un número x decimos que pertenece al "entorno del infinito", lo cual se expresa: si para cualquier número positivo, A, todo lo grande que uno desee, x es mayor que A: De forma análoga, un número x se dice que pertenece al "entorno del infinito negativo",, si para cualquier número positivo, A, todo lo grande que uno desee, tenemos que x es menor que (-A): Así definidos los entornos del infinito, el concepto de límite de una sucesión puede ser generalizado. * Sucesión convergente a infinito: Es decir, los términos de la sucesión (para valores de n altos) pertenecen al entorno de infinito. Como ejemplo considérese la sucesión de números pares: * Sucesión convergente a -infinito: (2 n) = 2, 4, 6, 8, 10,..., ,... Es decir, los términos de la sucesión (para valores de n altos) pertenecen al entorno de infinito negativo. Como ejemplo considérese la sucesión de números pares negativos: (-2 n) = -2, -4, -6, -8, -10,..., ,... 5
6 Existe un tercer caso, de sucesiones alternas, con términos positivos y negativos alternándose, como por ejemplo la sucesión de término general (-2) n, cuyos términos son: -2, 4, -8, 16, -32, 64,... En este caso decimos que la sucesión tiene por límite infinito,, (sin especificar el signo). Para hacer el estudio de este tipo de sucesiones alternas se suele considerar el valor absoluto de sus términos. B.4 El número e. Consideremos una sucesión muy útil y práctica en los trabajos científicos, se trata de la sucesión cuyo término general es: Esta sucesión está acotada superiormente (ningún termino puede ser superior a 3), por otra parte es creciente como puede apreciarse en la siguiente tabla. n (1+1/n) n ,25 3 2, , , , , , , es decir, se trata de una sucesión monótona creciente y acotada, por lo tanto es convergente hacia un cierto número. A este número que es su límite se le llama número e (en honor de Euler): El número e es un número irracional, una aproximación de su valor se obtiene introduciendo en la expresión de arriba un valor grande de n, entonces aparece: e = 2, Pero el número e además puede ser expresado en la forma: siendo (xn) una sucesión tal que positivo o negativo., o sea, tiene por límite infinito, ya sea 6
7 B.5 Propiedades de límites de sucesiones. Consideremos dos sucesiones convergentes a ciertos límites x e y: entonces es fácil demostrar que se cumplen las siguientes propiedades: a) Límite de una suma: b) Límite de una resta: -- Excepto para el caso + +(- ) -- c) Límite de un producto: -- Excepto para el caso - -- d) Límite de un cociente: - Excepto para los casos 0, 0 -- e) Límite de expresiones exponenciales: - Excepto para los casos 0/0, / -- f) Límite de exponenciales: Para cualquier número positivo a: -- Excepto para los casos -- 7
8 g) Límite de logaritmo: -- Sin excepciones siempre que x>0 -- B.6 Cálculo de límites de sucesiones En general para calcular el límite de una sucesión {xn} sustituiremos en n el valor +, pero si al hacer esto nos encontramos con alguna indeterminación del tipo, -, /, 0/0, entonces deberemos tratar de modificar la forma del término general antes de realizar esta sustitución. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Hallemos el límite de la sucesión Solución: Si sustituimos directamente n por, nos encontramos con la indeterminación /, y en estos casos lo que se suele hacer es dividir numerador y denominador por la mayor potencia del denominador: Ejemplo 2: Hallemos el límite de la sucesión Solución: Si sustituimos directamente n por, nos encontramos con la indeterminación -, en estos casos se procura dejar el término general en forma de un cociente, en concreto: o sea, 0. Ejemplo 3: Hallemos el límite de la sucesión 8
9 Solución: Si sustituimos directamente n por exponente, en principio tenemos:, tanto en el paréntesis como en el lo que nos lleva a una indeterminación en la forma transformar en una forma del número e:, la cual siempre se puede Ahora teniendo en cuenta lo anteriormente dicho, que para una sucesión {xn} tendiendo a infinito (positivo o negativo) se tiene: en nuestro caso tenemos: por lo tanto el límite será: 9
10 Ejemplo 4: Hallemos el límite de la sucesión Solución: Si sustituimos directamente n por º. Pero en este caso podemos realizarlo así:, nos queda la forma indeterminada En realidad, el resultado de este límite se puede generalizar para el caso de la raíz n- ésima de una suma de números elevados a n, de tal manera que en el ( ) se tiene la equivalencia: donde k es el mayor de estos números elevados a n. B.7 Criterios de convergencia para límites especiales. En algunas ocasiones deben tenerse en cuenta ciertos criterios para asegurar que una sucesión es o no convergente, y en el primer caso poder conocer su límite. El más utilizado de ellos es el llamado "criterio de Stolz" (debido a Otto Stolz):. * Criterio de Stolz. Sean dos sucesiones {a n } y {b n }, siendo {b n } monótona (creciente o decreciente), tales que se cumple una de estas dos cosas: 1) Las dos sucesiones convergen a 0. 2) La sucesión {b n } es divergente, es decir lim{b n }=. En este caso si: entonces también tendrá por límite L: Ejemplo 5: Hallemos el límite de la sucesión 10
11 Solución: La sucesión del denominador, al menos, es divergente (tiende a infinito) por tanto podemos utilizar el criterio de Stolz: Si llamamos, podemos expresar: Ejemplo 6: Hallemos el límite de la sucesión Solución: En este caso, tanto la sucesión {a n } como la {b n } convergen a 0, por lo que podemos aplicar el criterio de Stolz: por lo que el límite será: * Otros criterios de convergencia para sucesiones: - Criterio de la media aritmética: - Criterio de la media geométrica: 11
12 - Criterio de la raíz: Ejemplo 7: Hallemos el límite de la sucesión, Solución: En el numerador tenemos una suma de n términos, y en el denominador tenemos a "n", por lo tanto se trata de un "media aritmética", según este criterio su límite es simplemente: Ejemplo 8: Hallemos el límite de la sucesión, Solución: utilizamos el criterio de la raíz, entonces tenemos: B.8 Equivalencia "límites de sucesiones límites de funciones en ". En principio para las indeterminaciones 0/0 ó / no puede aplicarse la regla de L'Hôpital, que está definida sólo para límites de funciones (se estudia en el tema correspondiente), sin embargo hay que remarcar el siguiente concepto que en muchas ocasiones facilita obtener límites de sucesiones con estos tipos de indeterminaciones: <<Si existe, entonces también existe, y ambos límites coinciden >>. Esto significa que que nosotros sí podemos utilizar la la regla de L'Hôpital o el concepto de infinitos equivalentes utilizando las técnicas descritas en el tema de límites de funciones. 12
13 Es también necesario recordar algunas equivalencias para realizar sustituciones a la hora de hacer ciertos límites: El alumno puede practicar intentando resolver los siguientes ejercicios: Sección 1: Hallar cada uno de estos límites de sucesiones: 13
14 Sección 2: Hallar estos dos límites de sucesiones del tipo del número e:, pasándolos a la forma adecuada Sección 3: Hallar estos dos límites especiales por el criterio de Stolz: 14
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS A. 1 Conjuntos. A. TEORÍA DE CONJUNTOS. Un conjunto
Más detallesLímite de una sucesión
Límite de una sucesión Idea intuitiva del límite de una sucesión En la sucesión a n = 1/n, observamos que los términos se van acercando a cero. Consideremos que 0 es el límite de la sucesión porque: 1
Más detallesUNIDAD. Logaritmos ÍNDICE DE CONTENIDOS
UNIDAD 2 Sucesiones y número e. Logaritmos ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. Sucesiones de números reales............................... 35 1.1. Progresiones aritméticas y geométricas....................... 36 1.2.
Más detallesTEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
Más detallesT0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA MATEMATICAS T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon
Más detallesApuntes. Apuntes. fâvxá ÉÇxá wx aøåxüéá extäxáa. Sucesiones. cüéuäxåtá ÜxáâxÄàÉá. Universidad
fâvxá ÉÇxá wx aøåxüéá extäxá cüéuäxåtá ÜxáâxÄàÉá Universidad fâvxá ÉÇxá wx aøåxüéá extäxáa ctz Çt D PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Dada la sucesión de números reales con 1.1 Estudiar su monotonía 1.2 Probar que
Más detallesEJERCICIOS DE SUCESIONES. Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las
EJERCICIOS DE SUCESIONES Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones 1a n = 1, 2, 3, 4, 5,...n 2a n = -1, -2,-3, -4, -5,... -n 3a n = 2, 3/2, 4/3, 5/4,..., n+1 /n
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS C. NÚMEROS COMPLEJOS. C.1 Noción de número complejo.
Más detallesTEMA 4: SUCESIONES EN R.
TEMA 4: SUCESIONES EN R. 4.0. INTRODUCCIÓN. El concepto de límite desempeña un papel fundamental en todo el Cálculo Infinitesimal. En este tema introduciremos este concepto de la forma más sencilla posible:
Más detallesTema 2: Series numéricas
Tema 2: Series numéricas Una serie infinita (o simplemente serie) es una suma formal de infinitos términos a + a 2 + a 3 + + + Al número se le denomin-ésimo término de la serie Se llama sucesión de sumas
Más detallesPrimera Parte Nociones Fundamentales
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE * Parte I: Nociones Fundamentales.
Más detallesSucesiones. Convergencia
Sucesiones. Convergencia Sucesión: Es una aplicación de IN en IR: f : IN IR n = f (n) En vez de f (n) se escribe a n, que se denomina término general de la sucesión. A la sucesión se le representa por:
Más detallesLÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES
LÍMITES DE FUNCIONES Y DE SUCESIONES Índice: 1.Funciones reales de variable real-------------------------------------------------------------- 1 2. Límites de sucesiones----------------------------------------------------------------------------
Más detallesINTRO. LÍMITES DE SUCESIONES
INTRO. LÍMITES DE SUCESIONES Con el estudio de límites de sucesiones se inaugura el bloque temático dedicado al cálculo (o análisis) infinitesimal. Este nombre se debe a que se va a especular con cantidades
Más detallesTEMA 1. Números Reales. Teoría. Matemáticas
1 1.- Los números reales Cuáles son los números reales? Los números reales son todos los números racionales y todos los números irracionales. El conjunto de los números reales se designa con el símbolo
Más detallesSucesiones y series de números reales
Capítulo 2 Sucesiones y series de números reales 2.. Sucesiones de números reales 2... Introducción Definición 2... Llamamos sucesión de números reales a una función f : N R, n f(n) = x n. Habitualmente
Más detallesSucesiones. Límite de una sucesión.
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1 Sucesiones. Límite de una sucesión. 1. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Repasar las operaciones básicas
Más detallesTEMA 4. Series de potencias
TEMA 4 Series de potencias. Introducción En el tema anterior hemos estudiado la aproximación polinómica local de funciones mediante el polinomio de Taylor correspondiente. En particular, vimos para la
Más detallesNúmeros irracionales.
Números irracionales. Qué son números irracionales? Los números irracionales son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Números
Más detallesTema Contenido Contenidos Mínimos
1 Estadística unidimensional - Variable estadística. - Tipos de variables estadísticas: cualitativas, cuantitativas discretas y cuantitativas continuas. - Variable cualitativa. Distribución de frecuencias.
Más detallesLímite de una función
Idea intuitiva de límite Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS B.1 Operaciones (leyes de composición interna).
Más detallesCONJUTOS NÚMERICOS NÚMEROS NATURALES
CONJUTOS NÚMERICOS NÚMEROS NATURALES El conjunto de números naturales tiene gran importancia en la vida práctica ya que con sus elementos se pueden encontrar elementos u objetos de otros conjuntos. El
Más detallesUNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS.
UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS. Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números que son imagen de una función, cuyo dominio son, (normalmente), los enteros positivos, comenzando
Más detallesTEMA 1. Números Reales. Teoría. Matemáticas
1 1.- Los números reales Cuáles son los números reales? Los números reales son todos los números racionales y todos los números irracionales. El conjunto de los números reales se designa con el símbolo
Más detallesEnteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales.
Tema 1: Números Reales 1.1 Conjunto de los números Naturales (N): 0, 1, 2, 3. Números positivos sin decimales. Sirven para contar. Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos
Más detalles1. Conocimientos previos. 2. Sucesión Progresiones aritméticas. 1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. 1
CONOCIMIENTOS PREVIOS. Límites.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Repasar las operaciones básicas con expresiones algebraicas. Repasar
Más detallesFUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE CONCEPTOS FUNDAMENTALES
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE Índice Presentación... 3 Conjunto de los números reales... 4 Los intervalos... 6 Las potencias... 7 Los polinomios... 8 La factorización de polinomios (I)... 9 La factorización
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS E. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. E.1 Campo
Más detallesConjunto de Números Racionales.
Conjunto de Números Racionales. El conjunto de los números racionales está formado por: el conjunto de los números enteros (-2, -1, 0, 1, 2, ) y los números fraccionarios y se representan con una Q. Números
Más detallesCuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
LOS NÚMEROS REALES TEMA 1 IDEAS SOBRE CONJUNTOS Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto. Los conjuntos se pueden
Más detallesTEMA 1 LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL Los NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros:
Más detallesFunciones: Límites y continuidad.
Límites finitos de sucesiones. Funciones: límites y continuidad Matemáticas I Funciones: Límites y continuidad. + Decimos que una sucesión numérica ( ) n= tiene por límite r R y se escribe =r o de forma
Más detallesTema 1.- Los números reales
Tema 1.- Los números reales Los números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se puede expresar en forma de fracción. El número irracional
Más detallesSean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
Límite de funciones. Cálculo Propiedades. Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces: En general calcular el límite de una función "normal", cuando
Más detallesEjercicios de sucesiones.
Ejercicios de sucesiones. 1.- Cuando escribimos a n queremos decir: término n-ésimo o toda la sucesión? Qué diferencia hay entre a n y (a n )? a).-cuando escribimos a n nos referimos a término enésimo.
Más detallesSISTEMA DE NUMEROS REALES
SISTEMA DE NUMEROS REALES 1.1 Conjuntos Es una agrupación de objetos distintos (pero con algunas características en común), los que reciben el nombre de elementos. Generalmente se nombra a un conjunto
Más detallesTEMA 1 LOS NÚMEROS REALES
TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES 1.1 LOS NÚMEROS REALES.-LA RECTA REAL Los NÚMEROS RACIONALES: Se caracterizan porque pueden expresarse: En forma de fracción, es decir, como cociente b a de dos números enteros:
Más detallesPRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES
APUNTE TEORICO-PRACTICO PRACTICO: : LÍMITES DE FUNCIONES UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Matemática 1 Carreras: Lic. en Economía Profesor: Prof. Mabel Chrestia Semestre: 1ero Año: 16 Introducción
Más detallesTEMA 10 INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE LÍMITE
TEMA 10 INTRODUCCIÓN A CONCEPTO DE ÍMITE. Objetivos / Criterios de evaluación O.10.1 Cálculos de límites de unciones, propiedades de los límites O.10.2 Continuidad y discontinuidad de una unción 1 Concepto
Más detallesSucesiones y series numéricas
Sucesión Se llama sucesión a una función f : N R que a cada natural n asocia un número real a n. Se denota por {a n } o (a n), o {a 1,a 2,...,a n,...}. Ejemplos 1, 4 3, 9 7, 16 15,..., n 2 2 n 1,... {0.3,0.33,0.333,...}
Más detallesLlamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 =
1. NÚMEROS NATURALES POTENCIAS DE UN NÚMERO NATURAL Llamamos potencia a todo producto de factores iguales. Por ejemplo: 3 4 = 3 3 3 3 El factor que se repite es la base, y el número de veces que se repite
Más detallesCURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,
RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan
Más detallesTEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS
TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS. Objetivos / Criterios de evaluación O.1.1 Realizar correctamente operaciones con fracciones: Suma, resta, producto, cociente, potencia y radicación. O.1.2 Resolver operaciones
Más detallesConjunto de los Números Racionales
Conjuntos Numéricos Los conjuntos que revisten una gran importancia dentro de las matemáticas, son los conjuntos numéricos, y es primordial el estudio de las diferentes propiedades y operaciones que pueden
Más detallesDEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x : n x n -
DEFINICIÓN DE SUCESIÓN. Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los números naturales en los reales: x : n x n - Una sucesión asigna a cada número natural un número
Más detallesTEMA 5: SUCESIONES Y LIMITE
TEMA 5: SUCESIONES Y LIMITE DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Ejemplo histórico: la sucesión de Fibonacci: La solución que dio Fibonacci fue que cada mes habría las mismas parejas de conejos que ya había el mes anterior
Más detallesConjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.
NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida
Más detallesSeries numéricas y de potencias. 24 de Noviembre de 2014
Cálculo Series numéricas y de potencias 24 de Noviembre de 2014 Series numéricas y de potencias Series numéricas Sucesiones de números reales Concepto de serie de números reales. Propiedades Criterios
Más detallesUNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS
UNIDAD 1 NUMEROS COMPLEJOS El conjunto de los números complejos fue creado para poder resolver algunos problemas matemáticos que no tienen solución dentro del conjunto de los números reales. Por ejemplo
Más detallesAnálisis Matemático 1 para estudiantes de Ingeniería
Alejandro E. García Venturini - Mónica Scardigli Análisis Matemático 1 para estudiantes de Ingeniería EDICIONES COOPERATIVAS , INDICE 505 NOCIONES PREVIAS... 7 Los conjuntos numéricos... 9 Conjuntos de
Más detallesUn resumen de la asignatura. Junio, 2015
Un resumen de la asignatura Departamento de Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones ETSIT (UPM) Junio, 2015 1 Los Números Reales(R) Los números Irracionales Continuidad
Más detallesBORRADOR. Sucesiones y series numéricas Sucesiones. es un conjunto ordenado de números
Capítulo 4 Sucesiones y series numéricas 4.1. Sucesiones Una sucesión {s n } es un conjunto ordenado de números {s 1,s 2,s 3,...,s n,...}. Técnicamente, una sucesión puede considerarse como una aplicación
Más detallesESCUELA PREPARATORIA OFICIAL NO.16 MATERÍA: PENSAMIENTO NUMÉRICO Y ALGEBRAICO I
ARITMÉTICA 1. Números naturales 2. Divisibilidad 3. Números enteros 4. Números decimales 5. Fracciones y números racionales 6. Proporcionalidad 7. Sistema métrico decimal 8. Sistema sexagesimal 9. Números
Más detallesLímite de una función
Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es decir el valor al que tienden
Más detallesEn una recta numérica el punto que representa el cero recibe el nombre de origen.
1. Conjuntos numéricos Los conjuntos numéricos con los que has trabajado tanto en Enseñanza Básica como en Enseñanza Media, se van ampliando a medida que se necesita resolver ciertas problemáticas de la
Más detallesEje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)
Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En
Más detallesEl número áureo,, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
1.- LOS NÚMEROS REALES Los números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: Propiedades a a si a si a 0 a < 0 i a y b son números reales y n es un número entero, entonces:
Más detallesTema 4. Los números reales.
Tema 4. Los números reales. Números irracionales. En el tema anterior, has visto que los números racionales pueden escribirse en forma decimal, produciendo siempre un decimal exacto o periódico. También
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA.1 Definición de Aplicación Lineal. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 8. APLICACIONES LINEALES Sean
Más detallesSucesiones y series numéricas
Capítulo 4 Sucesiones y series numéricas 4.. Sucesiones Una sucesión {s n } es un conjunto ordenado de números {s,s 2,s 3,...,s n,...}. Técnicamente, una sucesión puede considerarse como una aplicación
Más detallesTema 1 Los números reales Índice
Tema 1 Los números reales Índice 1. Números reales. La recta real... 2 1.1. Números naturales... 2 1.1.1. Representación de los números naturales... 2 1.2. Números enteros... 2 1.2.1. Valor absoluto de
Más detalles1. NUMEROS REALES a. Los Números Reales
1. NUMEROS REALES a. Los Números Reales Los números reales comprenden todo el campo de números que utilizamos en las matemáticas, a excepción de los números complejos que veremos en capítulos superiores.
Más detallesTema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice
Tema 3 Algebra. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones: Inecuaciones Índice 1. ECUACIONES... 2 1.1. Ecuaciones de primer grado... 2 1.2. Ecuaciones de segundo grado... 3 1.2.1. Ecuación de segundo grado completa...
Más detallesEXAMEN DE PENDIENTES PRIMER PARCIAL MATEMÁTICAS DE 1º DE ESO
EXAMEN DE PENDIENTES PRIMER PARCIAL MATEMÁTICAS DE 1º DE ESO 1.- NÚMEROS NATURALES *Los números naturales. *El sistema de numeración decimal. Cifras y orden de las cifras. *Cardinal y ordinal. *Operación
Más detallesTEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 2.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES 2.1.1 Definición de sucesión de números reales Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto
Más detallesORIENTACIONES DE MATEMÁTICAS CONTENIDOS MÍNIMOS DE MATEMÁTICAS
IES SAN BENITO ORIENTACIONES DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 1º ESO MATERIALES Cuaderno de clase Actividades de Matemáticas (actividades realizadas durante el curso). Libro de texto. Otros materiales que sirvan
Más detalles10. LIMITES DE FUNCIONES
10. LIMITES DE FUNCIONES Definición de límite La función no está definida en el punto x = 1 ya que se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos Taller matemático 1/12 Definición de límite
Más detallesSeries numéricas (I) 1 Convergencia y divergencia. 2 Series importantes. 3 Propiedades generales. 4 Series de términos positivos
Convergencia y divergencia Series numéricas (I Definición Sea { } una sucesión de reales y sea la sucesión asociada {S n } de sumas parciales, S n = a + a 2 + a 3 + +. LLamaremos serie a la pareja formada
Más detallesRepresentación de números en la recta real. Intervalos
Representación de números en la recta real. Intervalos I. Los números reales En matemáticas los números reales se componen de dos grandes grupos: los números racionales (Q) y los irracionales (I). A su
Más detallesTEMA 2. Números racionales. Teoría. Matemáticas
1 1.- Números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por Las fracciones también pueden
Más detallesRESUMEN DE CONCEPTOS
RESUMEN DE CONCEPTOS 1º ESO MATEMÁTICAS NÚMEROS NATURALES (1) Múltiplo de un número: Un número es múltiplo de otro si el segundo está contenido en el primero un número exacto de veces. Ejemplo: 16 es múltiplo
Más detallesLOGRO: Reconoce distintas representaciones de los números reales y usa sus propiedades para resolver Problemas.
ESTANDARES Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos. Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones
Más detalles*Número natural, el que sirve para designar la cantidad de. *El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números
*Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. *Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos
Más detallesCRITERIOS DE CONVERGENCIA
CRITERIOS DE CONVERGENCIA 1.- CRITERIO DE COMPARACIÓN ( MEDIANTE ACOTACIÓN ) Sea una Serie de Términos positivos, y una Serie ( Auxiliar ) de términos positivos. P Si œ n 0 ù y CONVERGE CONVERGE P Si œ
Más detallesClasificación de los números.
Clasificación de los números. Alguna vez te has preguntado cómo sería la vida sin números? Trata de imaginar un día sin números. No importa el día, trata de imaginar pasar las primeras horas sin números.
Más detallestiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x
UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos
Más detallesSucesiones Introducción
Temas Límites de sucesiones. convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones Capacidades Conocer y manejar conceptos de sucesiones convergentes y divergentes. Conocer las principales propiedades de las
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
Más detallesSUCESIONES. Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,...
SUCESIONES DEFINICIÓN DE SUCESIÓN Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,... Los elementos de la sucesión se llaman términos
Más detallesINTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES.
INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este capítulo puede considerarse como una prolongación y extensión del anterior, límite de sucesiones, al campo de las funciones. Se inicia recordando el concepto de función
Más detallesCálculo diferencial e integral I. Eleonora Catsigeras
Cálculo diferencial e integral I Eleonora Catsigeras Universidad de la República Montevideo, Uruguay 01 de setiembre de 2011. CLASE 14 complementaria. Sobre sucesiones y conjuntos en la recta real. Sucesiones
Más detallesTEMA 3. NÚMEROS RACIONALES.
TEMA 3. NÚMEROS RACIONALES. Concepto de fracción Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente forma: b denominador, indica el número de partes en que se ha
Más detallesf) b/a g) a ² h) b³ Rpta: son enteros: a), b), c), d), g), h).
Contenido 1 Ejercicios de Números Reales: Números naturales, enteros, racionales e irracionales. 1) Dados los siguientes conjuntos: a) N = {0,1,2,...} b) N* = {1,2,3,...} c) Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Más detallesSISTEMAS NUMERICOS. Todas las fracciones equivalentes a una fracción dada determinan un mismo número, que se llama número racional.
. NÚMEROS RACIONALES SISTEMAS NUMERICOS Desde la aparición de las sociedades humanas los números desempeñan un papel fundamental para ordenar y contar los elementos de un conjunto. Así surgen, en primer
Más detallesOperatoria con Potencias y Raíces
PreUnAB Clase # 3 Junio 2014 Definición Se llama potencia a una expresiń de la forma, donde a es la base y n es el exponente. Potencia de Exponente Entero a n = a a a... a Cuando el exponente es un número
Más detallesÁlgebra y Trigonometría
Álgebra y Trigonometría Conceptos fundamentales del Álgebra Universidad de Antioquia Departamento de Matemáticas 1. Números Reales El conjunto de los números reales está constituido por diferentes clases
Más detallesLos números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales, que designaremos
Unidad Didáctica NÚMEROS REALES. NÚMEROS IRRACIONALES: CARACTERIZACIÓN. En el tema correspondiente a números racionales hemos visto que estos números tienen una característica esencial: su expresión decimal
Más detallesIntroducción histórica. Números irracionales
Introducción histórica A finales del siglo V a.c., la Escuela de Pitágoras descubrió que no existían dos números naturales m y n, cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado de un cuadrado y
Más detallesTEMA 3: NÚMEROS REALES
. Intervalos y semirrectas TEMA : NÚMEROS REALES Ejemplo Dados los siguientes intervalos y semirrectas, exprésalos en forma de conjunto y represéntalos sobre la recta real:. El intervalo abierto de extremos
Más detallesTema 5: Funciones. Límites de funciones
Tema 5: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos y es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto un único elemento del conjunto. Una función
Más detallesx f(x) ?
Idea intuitiva de ite: Sea c R y una función f definida cerca de c aunque no necesariamente en el mismo c. El número L es el ite de f cuando se aproima a c, y se escribe f() = L si y sólo si los valores
Más detallesResumen anual de Matemática 1ª Convocatoria: jueves 24 de noviembre, 2016 Octavo nivel 2ª Convocatoria: miércoles 1 de febrero, 2017 broyi.jimdo.
Resumen anual de Matemática 1ª Convocatoria: jueves 4 de noviembre, 016 Octavo nivel ª Convocatoria: miércoles 1 de febrero, 017 broyi.jimdo.com Contenidos Los números... Objetivo 1... El conjunto de los
Más detallesNúmeros. 1. Definir e identificar números primos y números compuestos.
MINIMOS DE MATEMÁTICAS DE 2º DE E.S.O. 1. Divisibilidad Números 1. Definir e identificar números primos y números compuestos. 2. Manejar con soltura el vocabulario propio de la divisibilidad: a es múltiplo/divisor
Más detallesRESUMEN DE CONCEPTOS TEÓRICOS MATEMÁTICAS 1º ESO. CURSO
RESUMEN DE CONCEPTOS TEÓRICOS MATEMÁTICAS 1º ESO. CURSO 2015-2016 UNIDAD 1: NÚMEROS NATURALES (1) Múltiplo de un número: Un número es múltiplo de otro si el segundo está contenido en el primero un número
Más detallesTema 1: Repaso de conocimientos previos. Funciones elementales y sus gráficas. Límites. Continuidad.
Tema 1: Repaso de conocimientos previos.... 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Outline Relaciones trigonométricas 1 Relaciones trigonométricas 2 3 4 5 6 Outline Relaciones
Más detallesINTERVALOS Y SEMIRRECTAS.
el blog de mate de aida CSI: Inecuaciones pág 1 INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una representación geométrica en la recta real
Más detallesDe los tres conceptos que se estudian es este tema, funciones, límites y continuidad, el primero y el último son muy sencillos de comprender.
INTRODUCCIÓN. FUNCIONES. LÍMITES. Este tema lo iniciamos recordando el concepto de función y dando algunas nociones básicas sobre funciones, para dar paso al estudio del límite de una función, cálculo
Más detallesMatemática Básica. Unidad 1: Preparación para el cálculo Clase 2. Luis González Alcaino Magister en Matemática
Matemática Básica Unidad : Preparación para el cálculo Clase Luis González Alcaino Magister en Matemática Universidad Santo Tomas Departamento Ciencias Básicas - Talca Marzo de 0 lgonzalez@santotomas.cl
Más detalles