INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R

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1 P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III DURACIÓN: 4 Hrs LOGRO: Resuelve problemas de tipo matemático mediate la modelació de Sucesioes, Límite de sucesioes y de fucioes. INDICADORES DE LOGRO: Idetifico y grafico Sucesioes e R idetificado sus límites o cotas. Idetifico el límite de fucioes aplicado diversos métodos y propiedades. COMPETENCIA: Resuelvo y propogo situacioes matemáticas que tega solució a través de la modelació de límites de sucesioes y de fucioes matemáticas. Dadas las fucioes f y g, la fució compuesta, deotada por f g, está defiida por: ( f g)( x) f(g(x)) Y el domiio de f g es el cojuto de todos los úmeros x del domiio de g tales que g(x) está e el domiio de f. EJEMPLO: Sea f(x) = x y g(x) = x 3, hallemos ( f g)( x) : ( f g)( x) f ( g( x)) = f ( x 3) = x 3 Cuyo domiio es R y rago el itervalo [3/, ). Dadas las fucioes F (x) = x 3 5x + 6 y g (x) = x, ecuetra f + g, f g, f. g, f/g, g/f, f g y g f.. Dadas las fucioes f (x) = x + y g(x) = x, ecuetra f + g, f g, f. g, f/g, g/f, f g y g f.

2 P á g i a Ua sucesió de úmeros reales es ua fució de N e R, e la cual se asiga a cada úmero atural u úmero real S : S: N R = {(, S ) / N} = {(, S ), (, S ) } El valor fucioal S es llamado térmio -ésimo de la sucesió. El rago de la sucesió es el subcojuto de úmeros reales para los cuales existe u elemeto asociado del domiio N. Si e ua sucesió se repite elemetos, esto quiere decir simplemete que se trata de ua sucesió que o es iyectiva, es decir, cuado existe elemetos e el rago que o tiee u úico elemeto relacioado e el domiio. Ejemplos: Los primeros cico térmios de las sucesioes determiadas por los térmios geerales S y a so: S, S, S 3, S 4, S 5 S,,,, {,3,5,7,9 a...}. Ecuetra los 8 primeros térmios de cada sucesió dada y graficarlas e la recta real o e el plao: a. b. c. 3 S a S d. S e. f. a S g. S 3 3. Grafica e la recta real la sucesió {3/, /3, ¾, 3/5, 3/7 } y describe hacia dóde tiee dichos valores.

3 P á g i a 3 Clasificació de las Sucesioes. Las sucesioes se puede clasificar e recurretes, e moótoas crecietes o decrecietes, e acotadas superiormete o iferiormete: Ua sucesió recurrete es aquella que puede defiirse coociedo los primeros térmios y ua regla que permita calcular los demás a partir de los ya coocidos. A la regla se le cooce co el ombre de la fórmula de recurrecia. Por ejemplo, si a =, a = 3; a + = a + a +, para, etoces, remplazado = e la fórmula, obteemos el térmio a 3 : a 3 = a + a = + 3 = 4. De la misma forma si =, a 4 = a + a 3 = = 7. Repitiedo este proceso sucesivamete podemos hallar los demás térmios de la sucesió. Ua sucesió es moótoa creciete si cada térmio de la sucesió es mayor o igual que el térmio aterior. E símbolos, si N, a a. Ejemplo: Ilustració : Sucesió (, ^ + ) Ua sucesió es moótoa decreciete si cada térmio de la sucesió es meor o igual que el térmio aterior. E símbolos, si N a a., Ilustració : Sucesió (, /)

4 P á g i a 4 Ua sucesió es acotada superiormete si existe algú real K tal que cada térmio de la sucesió es meor o igual al real K. E símbolos, si N, a K. Ejemplo: La sucesió de la ilustració N sería acotada superiormete por, ya que todos los térmios sería meores o iguales que. K sería la cota iferior de a y esto N, a. e símbolos, se expresaría: Ua sucesió es acotada iferiormete si existe algú real M tal que cada térmio de la sucesió es mayor o igual al real M. E símbolos, si N, a M. Ejemplo: La sucesió de la ilustració N sería acotada iferiormete por, ya que todos los térmios sería mayores o iguales que. M = sería la cota superior y esto e símbolos se expresaría: N, a. Tarea: ) Realizació del test pre experimetal que se ecuetra al fial de la guía co u compañero de clase. ) Para el desarrollo del tema de límites, ecesitaremos utilizar cierto leguaje verbal co el cual debemos estar iicialmete familiarizados. Para ello, debes ivestigar o recordar el sigificado de las siguietes palabras: Aproximarse a Teder a Acercarse por la derecha a u puto Acercarse por la izquierda a u puto Itervalo Sucesió Térmio -ésimo de ua sucesió Regla de recurrecia Progresió aritmética Número Natural Número Real Propiedad de Completitud e IR Cuál es el límite de la sucesió / cuado tiee a? El límite de ua sucesió es el valor al cual se aproxima los valores de esa sucesió cuado los valores de crece idefiidamete. Para establecer el límite de ua sucesió se debe calcular varios térmios a fi de estudiar su comportamieto. Escribimos lim {a} = L O simplemete Lim a = L, cuado, y leemos: límite de la sucesió a es L, cuado tiede a ifiito. Se usa la otació para idicar que toma valores positivos ta grades como se quiera. Si ua sucesió {a} tiee límite, decimos que la sucesió es covergete y, si {a} coverge lo hace a u úico úmero.

5 P á g i a 5 Ejemplo: El límite de la sucesió S = 3 + (/) cuado es 3: S() = 4, S(0) = 3., S(00) = 3.0, s(000) = 3.00 y así sucesivamete.. Ecuetra el límite de las sucesioes del ejercicio 9 y clasifícalas e moótoas crecietes o decrecietes, acotadas superiormete o iferiormete; e covergetes o divergetes.. Co ua calculadora, forma térmios de las siguietes sucesioes y estudia a qué valores tiede: 3. Demuestra que la sucesió a es divergete A qué tiede? 4. Comprueba que la sucesió de térmio geeral S = - 7 tiede a meos ifiito Dada la sucesió a : 3 a. Halla su límite b. Calcula las distacias etre los térmios a 0, a 00, a 000 y el límite. Llamarlas ε (épsilo, y 3) c. A partir de qué térmio esta distacia es meor a ua cetésima? d. y meor que ua diezmilésima? 6. Ivestiga las propiedades fudametales para el límite de sucesioes. 7. Determia por simple ispecció el límite de las siguietes sucesioes reemplazado a por : a. + b. c. 3

6 P á g i a 6 8. Demuestra aplicado las propiedades fudametales que: 4 a. lim b. lim c. lim 5 9. Puede ua sucesió teer dos límites diferetes? 0. Probar que: lim e 3 evaluado distitos valores de la sucesió. Para itroducir la defiició de límite de ua fució, veamos el siguiete ejemplo: Sea y = f(x) = x. Tomemos para x valores cada vez más próximos a 3 por la izquierda y veamos el comportamieto de la fució: Si ecotramos la diferecia etre el puto tomado como X F(x) = x 9 x referecia que es 3 y cada uo de los valores tomados ateriores a él, etre más os acercamos a él, esa diferecia se hace más pequeña, tiede a cero. De la mima forma, cada vez que ecotremos la diferecia etre 9 (valor de la fució para el 3) y cada ua de las imágees de los valores tomados cercaos a 3, ecotramos que esa diferecia cada vez se hace más pequeña, es decir, tiede a cero al acercarse al 3 por la izquierda. Límite de ua fució: ua fució y = f(x) tiede a u límite b, cuado x tiede a a y se escribe: Lím f(x) = b, si para cada > 0, existe u > 0 tal que f(x ) b < cuado 0 < x a <. X a Es decir, siempre que al ecotrar la diferecia f(x) f(a) y la de x a, exista úmeros positivos y, muy pequeños mayores a los valores absolutos de esas diferecias. Evalúa los siguietes límites de fucioes para cada valor idicado de x.. Lím x 3 = X. Lím x 4 + = X 3. Lím /x = X 4

7 P á g i a 7 4. Lím cos x = X 0 5. Lím se x = X 0 6. Lím (5x + 4) = X 7. Lím (x + ) = X 8. Lím /x = X 9. Lím x + 5 = X 3 x 3 0. Lím x = X x FORMAS INDETERMINADAS: Las formas idetermiadas so aquellos resultados dode ecotramos expresioes como 0/0, /. Para elimiar esas expresioes idetermiadas, aplicamos casos de factorizació, hasta dode sea posible. Ejemplo: Al ecotrar el límite de los ejercicios 9 y 0, resulta expresioes idetermiadas. E el primer caso, los poliomios o se puede factorizar, por tato, el límite para esa fució e ese puto o existe. Pero, para el ejercicio 0, podemos aplicar el caso de factorizació de diferecia de cuadrados así: Lím x = Lím (x ) (x + ) = Lím ( x + ) = ( + ) = X x x (x ) x I. Idetifica cuáles de los siguietes límites o existe: II. a. Lím (x + ) b. Lím (x + )/ x c. Lím 5 X 0 X 0 X x d. Lím (x 9) e. Lím (x ) f. Lím (x + ) X 3 x 3 X x + X 5x + g. Lím x x x 3 x + (Recuerda dividir arriba y abajo por x y aplica la propiedad que lim /x ò /x cuado x es 0) Aplica casos de factorizació, cojugada u otros métodos para ecotrar el valor de los siguietes límites:. Lím (x 3 + 7) x x 3 +. Lím (x + x +) x 4x + x + 3. Lím x 6 X 4 ( x 4) 4. Lím x x + X x - 5. Lím x + 3x + X - x + 6. Lím x - 3x X 3 x - 3

8 P á g i a 8 7. Lím x + 9x + 8 X -6 x + 7X Lím x + 4x + 3 X -3 x Lím x + 7x + 0 X -5 x + 3X Lím x - 4x X - X + 3x + III. INVESTIGA EN QUÉ CONSISTEN LAS PROPIEDADES DE LOS LÍMITES:. LÍMITE DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN. LÍMITE DE LA SUMA DE DOS FUNCIONES 3. LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES 4. LÍMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES

9 P á g i a 9 Pre - Test Experimetal Itroducció a la oció de Límite Por: Lic. Ebli Martíez M. I.E. JAVIERA LONDOÑO SEVILLA AREA MATEMATICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. GRADO: ONCE ESTUDIANTE: PERÍODO: Situació. Cuado escuchas la expresió: el dólar tiede a la baja, la iterpretació que se puede deducir es. El médico le iforma que su ídice de masa corporal está aproximádose a 4,9. De acuerdo co la OMS, 4,9 es el límite para ecotrarse detro de lo ormal y o teer sobrepeso.a partir del aterior resultado cocluye que Situació Imagia que ecesitas recorrer metros camiado. Primero recorres u metro, luego recorres la mitad de lo que te falta para alcazar la meta. Después, recorres la mitad de la distacia que te falta y así sucesivamete. Describe co tus propias palabras si el recorrido se puede completar o o. E el siguiete espacio, realiza u diagrama o dibujo de la situació plateada.

10 P á g i a 0 Situació 3 Partiedo de u cuadrado de metro de lado, se costruye otros cuatro cuadrados iteriores, trazado paralelas a los lados por sus putos medios, como se muestra e el cuadrado de mitad, e la siguiete figura. El proceso se repite sucesivamete, co cada cuadrado del extremo superior derecho. E la siguiete figura se muestra el segudo paso del proceso. E el décimo paso la catidad de cuadrados que se ha formado es: Si se repite el proceso de maera ifiitas veces, la suma del área de los cuadrados que se geeratederia a: El límite de la catidad de cuadrados que se puede costruir siguiedo este proceso es: Situació 4 Cosidera la siguiete suma: + ½ + ¼ + /8 + /6 + + El resultado de dicha suma se aproxima a: Describe el procedimieto utilizado para calcularla: