PROGRAMA GENERAL DE CÁLCULO PROGRAMA ASIGNATURA DIPLOMATURA: MÁQUINAS NAVALES. NAVEGACIÓN MARITIMA. ASIGNATURA: CALCULO.

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1 PROGRAMA ASIGNATURA DIPLOMATURA: MÁQUINAS NAVALES. NAVEGACIÓN MARITIMA. ASIGNATURA: CALCULO. CURSO: 1º. TEMPORALIDAD: ANUAL. CRÉDITOS: TOTAL: 9 (12) TEÓRICOS: 6 P. TABLERO: 1,5 P. LABORATORIO: 1,5+1,5+1,5 OBJETIVOS: Dar una base matemática para profundizar y seguir los procedimientos y métodos matemáticos usados en otras asignaturas de cursos posteriores. CONTENIDOS: Variable compleja. Funciones reales de variable real. Límites. Continuidad de funciones reales de variable real. Estudio de algunas funciones importantes. Derivabilidad de las funciones reales de variable real. Calculo de derivadas. Propiedades de las funciones derivables. Teorema de Rolle. Regla de L Hôpital. Fórmula de Taylor. Extremos. Aplicaciones. Estudio de curvas planas. Cálculo de primitivas. Integral definida. Propiedades y aplicaciones de la integral definida. Funciones reales de varias variables. Límites y continuidad. Derivadas parciales. Diferencial de una función real de varias variables. Derivación de funciones compuestas. Derivadas direccionales. Extremos de funciones. Extremos condicionados. Integrales múltiples. Nociones de Ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales en variables separadas. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales exactas. Ecuaciones diferenciales lineales y reducibles a lineales. Ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior. En los temas complementarios se completan la teoría de números repasando los números reales, las sucesiones y las series numéricas. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 1

2 También se estudian las sucesiones y series funcionales, así como las series de potencias. ORIENTACIÓN METODOLÓGICA: Clases de teoría y clases de problemas. Prácticas de laboratorio. Trabajos personales. EVALUACIÓN: Se realizarán tres exámenes parciales durante el curso. En cada una de las convocatorias ordinarias de Junio y Septiembre se realizará un examen final. También se realizarán exámenes personales sobre las prácticas y los trabajos personales. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: APOSTOL, T. M. Cálculus. Editorial Reverté. ROSS, S. L. Introducción a las ecuaciones diferenciales. Editorial interamericana. MARON, I. A. Problemas sobre cálculo de una variable. Editorial Paraninfo. TEBAR FLORES, E. Problemas de cálculo infinitesimal. Editorial Tebar Flores. MALAINA, J. L. Fundamentos matemáticos con MATHEMATICA. Servicio de Publicaciones de la Universidad del País Vasco. CASTILLO, E. y OTROS Domine MATHEMATICA al 99%. Editorial Paraninfo. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 2

3 PROGRAMA DESARROLLADO: CALCULO (navegación marítima) (máquinas navales) TEMARIO: TEORIA Y PROBLEMAS 1. NUMEROS COMPLEJOS VARIABLE COMPLEJA. Introducción. Números complejos en forma de par y binómico. Operaciones. Conjugado y módulo de un número complejo. Forma polar y trigonométrica de un número complejo. Operaciones. Potencia n ésima de un complejo. Fórmula de MOIVRE. Raíces n ésimas de de un complejo. Formas exponenciales en el campo complejo. Logaritmación en el campo complejo. Potencias complejas. Funciones de variable compleja. 2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. CONTINUIDAD. Funciones reales de una variable real. Limites funcionales. Limites laterales. Continuidad en un punto de una función real de una variable real. Continuidad en un dominio. Discontinuidades. Continuidad lateral. Álgebra de las funciones continuas. Teoremas fundamentales sobre continuidad. Continuidad uniforme. Continuidad a trozos. 3. DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Función derivable en un punto. Derivabilidad en un dominio. Derivadas laterales. Derivabilidad y continuidad. Cálculo de derivadas. Propiedades de las funciones derivables. Función derivada. Derivadas sucesivas. Fórmula de LEIBNITZ. Diferencial de una función. Teorema de ROLLE. Teoremas de Valor Medio del cálculo diferencial. Indeterminaciones. Regla de L HÔPITAL. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 3

4 4. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Introducción. Expresión de un polinomio mediante las derivadas en un punto. Polinomio de TAYLOR. Teorema de TAYLOR. Término complementario de LAGRANGE. Aplicaciones del Teorema de TAYLOR al estudio local de una función. Crecimiento y decrecimiento. Extremos. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión. 5. ESTUDIO DE CURVAS PLANAS. Estudio de curvas planas en forma explícita. Estudio de curvas planas en forma paramétrica. Estudio de curvas planas en forma polar. 6. INTEGRAL INDEFINIDA. Función primitiva e Integral indefinida. Propiedades. Integrales inmediatas. Integración por cambio de variables o sustitución. Integración por partes. Integrales de funciones racionales. Integración de funciones irracionales. Integrales de funciones binomias. Integrales de funciones trigonométricas. Integración de funciones recíprocas trigonométricas. Integración de funciones exponenciales y logarítmicas. 7. INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES. Funciones integrables en el sentido de RIEMANN. Condición de RIEMANN. Lema de DARBOUX. Tipos especiales de funciones integrables. Propiedades de la Integral de RIEMANN. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral (Teorema de la media). Teorema fundamental del Cálculo Integral. Regla de BARROW. Integrales impropias. Integración de funciones no acotadas. Integración aproximada: i) Integración por desarrollos en serie de potencias ii) Integración numérica: ISIDORO PONTE E.S.M.C. 4

5 I) Fórmula de los trapecios II) Fórmula de PONCELET. III)Fórmula de SIMPSON. Aplicaciones de la integral definida: Área de una figura plana. Curvas planas. Rectificación de curvas planas. Cálculo de la longitud de un arco de curva. Volumen de un cuerpo obtenido por revolución. Volumen por secciones. Área de una superficie obtenida por revolución. Aplicaciones físicas. 8. FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES. Funciones reales de varias variables reales. Límites y continuidad de funciones reales de varias variables reales. Derivadas parciales. Diferencial de una función real de varias variables. Derivación de funciones compuestas. Derivadas direccionales. Extremos de funciones. Extremos condicionados. Integrales múltiples. 9. ECUACIONES DIFERENCIALES. Introducción a las Ecuaciones diferenciales. Ecuaciones diferenciales en variables separadas. Ecuaciones diferenciales homogéneas. Ecuaciones diferenciales exactas. Ecuaciones diferenciales lineales y reducibles a lineales. Ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior. TEMAS COMPLEMENTARIOS 0. EL NÚMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL. Introducción como extensión del campo racional. Postulado de Cantor. Representación geométrica de los números reales. Operaciones fundamentales con los números reales. Cuerpo conmutativo de los números reales. Potenciación y logaritmación en el campo real. Introducción axiomática del número real: Axioma de cuerpo; Axioma de orden y axioma del supremo. Propiedades de los números reales: R es arquimediano. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 5

6 Propiedad de densidad. Principio de los intervalos encajados. Q es denso en R. Introducción a la topología: Familia de abiertos. Topología. Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos interiores, adherentes, aislados y de acumulación. Conjunto interior, adherente y acumulado. Métrica o distancia. Bola abierta y bola cerrada. Topología en R: Intervalos abiertos y cerrados. Propiedades de los abiertos en R. R es separado o Haussdorff y conexo. Teorema de Bolzano Weierstrass. Teorema de Borel Lebesgue. Teorema de Heine Borel. 10. SUCESIONES NUMÉRICAS. Sucesiones numéricas. Término general. Subsucesiones. Sucesiones acotadas. Límite de una sucesión. Sucesiones convergentes. Propiedades de los límites. Límites infinitos. Sucesiones divergentes y oscilantes. Sucesiones nulas. Propiedades. Sucesiones de Cauchy. R es completo. Sucesiones monótonas. Caracterización. Estudio del numero e. Sucesiones de números complejos. Operaciones con límites de sucesiones. Cálculo de límites: Expresiones racionales y con radicales. Límites calculados a través del numero e. Sucesiones deducidas linealmente de otras: Criterio de la media aritmética. Criterio de la media geométrica. Criterio de Stolz. Criterio de la raíz. Criterio del cociente raíz. 11. SERIES NUMÉRICAS. Series numéricas. Suma parcial n ésima. Series convergentes, divergentes y oscilantes. Serie geométrica, hipergeométrica y telescópica. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 6

7 Propiedades generales de las series y criterio general de convergencia. Series absolutamente convergentes. Caracterización. Series de términos positivos. Propiedades. Reordenación de series. Criterio de comparación de primera especie. Criterio de comparación de segunda especie. Criterio del cociente (D Alambert). Criterio de la raíz (Cauchy). Criterio de Raabe. Criterio de Prinsgheim. Criterio logarítmico. Series alternadas. Teorema de Leibnitz. Series de términos positivos y negativos. Teorema de Riemann. 12. SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES. SERIES DE POTENCIAS Sucesión funcional: Convergencia puntual. Convergencia uniforme. Propiedades. Series funcionales: Convergencia. Propiedades de la convergencia. Series mayorables: Criterio del mayorante de Weierstrass. Derivación e Integración de series. Series de potencias: Definición. Círculo y radio de convergencia. Desarrollo en serie de potencias: Series de Taylor y McLaurin. Ejemplos de desarrollos. Fórmula de Euler. Serie binomial. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 7

8 PRACTICAS DE LABORATORIO CALCULO Cada alumno recibirá 1,5 crédito (15 horas) de prácticas con el programa MATHEMATICA en el laboratorio de informática. PRÁCTICA 1,2,3: Elementos básicos de MATHEMATICA. Aritmética básica. Teoría de números. PRÁCTICA 4: Operaciones con números complejos. PRÁCTICA 5: Funciones reales de una variables real y graficas. Calculo de límites de funciones. Continuidad de funciones. Resolución aproximada de ecuaciones. PRÁCTICA 6: Calculo de derivadas. PRÁCTICA 7: Aproximación polinomial. Fórmula de TAYLOR. Crecimiento y decrec.concavidad y Convexidad. Máximos y mínimos locales. PRÁCTICA 8: Representación de curvas planas. PRÁCTICA 9: Cálculo de integrales. PRÁCTICA 10: Integral de RIEMANN. Integrales impropias. Aplicaciones de la Integral de RIEMANN. PRÁCTICA 11: Gráficas de funciones de varias variables. Límites de funciones reales de varias variables. Cálculo de límites y continuidad. PRÁCTICA 12: Cálculo de derivadas parciales. Derivadas direccionales. PRÁCTICA 13: Máximos y mínimos locales. Máximos y mínimos condicionados. Integrales dobles. Integrales triples. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 8

9 PRÁCTICA 14: Ecuaciones diferenciales ordinarias. PRÁCTICA1 15: Resumen y prácticas complementarias. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: MALAINA, J. L. Fundamentos matemáticos con MATHEMATICA. Servicio de Publicaciones de la Universidad del País Vasco. CASTILLO, E. y OTROS Domine MATHEMATICA al 99%. Editorial Paraninfo. BLACHMAN,N. MATEMÁTICA un enfoque práctico. Editorial Ariel Informática. ISIDORO PONTE E.S.M.C. 9