Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

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María Sofia Núñez Zúñiga
hace 7 años
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1 UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I 01 Lic. Manuel de Jesús Campos Boc DECIMA UNIDAD GEOMETRIA ANALITICA Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano. Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores. Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas. Por lo expresado anteriormente, podemos aventurar una definición más sencilla para la geometría analítica: 1

2 Ordenadas Rama de la geometría en que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. -Plano Cartesiano En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias desde dicho punto a cada uno de los ejes. Y.-X Cuadrante II (-, +) Cuadrante III (-, -) Y Cuadrante I (+, +) Abscisas Cuadrante IV (+, -) X La línea X,-X se llama eje de las x o eje de las abscisas y la línea Y, -Y se llama eje de las y o eje de las ordenadas. En geometría los ejes dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. X ó Y es el primer cuadrante, Y ó -X el segundo, -X ó -Y' el tercero y Y ó X el cuarto cuadrante. Podemos decir que el origen O, donde se encuentra el cero común de ambas rectas numéricas, divide a cada eje en dos semiejes, uno positivo y el otro negativo. Cualquier distancia o posición medida sobre el eje de las x de O hacia la derecha es positiva y de O hacia la izquierda es negativa. En geometría, si trazamos dos rectas numéricas perpendiculares entre sí haciendo coincidir el punto de corte con el cero común, obtenemos un sistema de ejes coordenados rectangular.

3 -Ubicación de un Punto por sus Coordenadas Conociendo las coordenadas de un punto se puede ubicar el punto en el plano. Por ejemplo, ubicar el punto cuyas coordenadas son -3 y 1. Por convención el número que se menciona primero es la abscisa (x) y el segundo la ordenada (y). La notación empleada para indicar que la abscisa es -3 y la ordenada 1 es (-3, 1). Los puntos: (3, 6); (-, -7); (4, -) Y.-X P (-3, 1) P(4, -) - P(-, -7) Y P(3, 6) X -Distancia entre dos puntos Por haberlo estudiado, sabemos que el Plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar puntos en un plano. Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es posible calcular la distancia entre ellos. d = (x x 1 ) + (y y 1 ) 3

4 Por ejemplo: la distancia entre los puntos (4, -1) y (7, 3) es: Y.-X P(7, 3) P(4, -1) X.-Y d = ( 7-4 ) + ( 3 - ( -1 ) ) d = ( 3 ) + ( 4 ) d = 9 + d = d = unidades 16 4

5 Trazo de una ecuación lineal El sistema de coordenadas es usada además de localización de puntos en el plano, para graficar el conjunto de soluciones de ecuaciones de dos variables como: y = 3x + 7 4x + y = 1 Digamos que queremos hacer la gráfica la ecuación lineal y = 3x + 7. Hay que asignar valores a la x y resolverlo para encontrar el valor de y. Con los resultados se formaran los puntos de la gráfica de la siguiente manera: Ejemplo: Encontrar los puntos de la ecuación y = 3x + 7. Vamos a utilizar la siguiente tabla para organizar el trabajo. Le daremos a la x, los valores de -, -1, 0, 1 y Resolviendo: y = 3 x + 7 SUSTITUIR VALORES x y y = 3 ( - ) + 7 y = 3 ( -1 ) + 7 y = y = y = 1 y = 4 y = 3 ( 0 ) + 7 y = 3 ( 1 ) + 7 y = y = y = 7 y = 10 y = 3 ( ) + 7 y = y = 13

6 GRAFICAR LOS PUNTOS Y.-X (0, 7) 7 6 (-1, 4) 4 3 (-, 1) Y (, 13) (1, 10) X Si tenemos la ecuación 4x + y = 1 4 x + y = 1 y = 1-4 x y = 1-4 x y = 6 - x 6

7 x y SUSTITUIR VALORES y = 6 - ( 0 ) y = 6 - ( 1 ) y = 6-0 y = 6 - y = 6 y = 4 y = 6 - ( ) y = 6 - ( 3 ) y = 6-4 y = 6-6 y = y = 0 y = 6 - ( 4 ) y = 6-8 y = - Y.-X X 7

8 Problemas de aplicación punto de equilibrio de mercado y de empresa Una forma de determinar las posibilidades de comprar un bien, dados distintos precios, se representa con una curva de demanda (pendiente de un línea), suele ser de izquierda a derecha. Esta función se expresa en una ecuación denominada ecuación de la demanda. p - p 1 = m (q - q 1 ) Dónde: p= Precio al que los consumidores están dispuestos a comprar el producto. m= La pendiente de la curva. q = Es la cantidad demandada. La pendiente de la curva: las curvas de demanda son usualmente decrecientes. Una curva o línea que decrece tiene una pendiente negativa. La fórmula para una curva de demanda está basada en la cantidad demandada y los precios. m = p - p 1 q - q 1 Dónde: p 1 = Precio p = Nuevo precio q 1 = Cantidad q = Nueva cantidad 8

9 Ejemplo: en una tienda de videos vende 0 DVD, a un precio de Q.00 la unidad; Pero si fijan un precio de Q4.00 cada unidad, se venderán 30 DVD. Determine la ecuación de la demanda. Paso 1: Datos: q 1 = 0 unidades p 1 = q = 30 unidades p = 4 Paso : Determinar la pendiente. m = p - p 1 = 4 - = -10 = q - q Paso 3: Sustituir datos en la ecuación de la demanda. p - p 1 = m ( q - q 1 ) p - = -1 ( q - 0 ) p - = -1 q + 0 p = -1 q p = -1 q + 7 Paso 4: Si los precios en diferentes periodos son:, 1,, 3, 4,, 6, 7 quetzales; sobre la base de la ecuación de la demanda se obtiene las siguientes cantidades: PRECIO = p = -1 q + p = -1 ( ) + p = + p = 70 Unidades PRECIO = 1 p = -1 q + p = -1 ( 1 ) + p = + p = 60 Unidades PRECIO = p = -1 q + p = -1 ( ) + p = + p = 0 Unidades

10 DEMANDA DEMERCADO DE DVD PRECIO DEMANDA La relación entre el precio que puede tener un artículo y la cantidad de artículos que los proveedores o fabricantes están dispuestos a colocar en el mercado a ese precio. Normalmente si el precio es alto los proveedores colocaran muchos artículos en el mercado. Sin embargo si el precio es bajo disminuye los artículos ofrecidos por proveedor. Así, la curva de la demanda suele ser creciente de izquierda a derecha. Esta función se expresa en una ecuación, denominada Ecuación de la oferta. Paso 1: Datos: q1 = 0 unidades p1 = q = 10 unidades p = 1 Paso : Determinar la pendiente. m = p - p 1 = 1 - = -10 = q - q

11 Paso 3: Sustituir datos en la ecuación de la demanda. p - p 1 = m ( q - q 1 ) p - = 1 ( q -0 ) p - = 1 q -0 p = 1 q -0 + p = 1 q + Paso 4: Si los precios en diferentes periodos son: 7, 6,, 4, 3,, 1, quetzales; sobre la base de la ecuación de la demanda se obtiene las siguientes cantidades: PRECIO = 7 p = 1 q + p = 1 ( 7 ) + p = + p = 80 Unidades 7 PRECIO = 6 p = 1 q + p = 1 ( 6 ) + p = + p = 70 Unidades 6 PRECIO = p = 1 q + p = 1 ( ) + p = + p = 60 Unidades OFERTA DE MERCADO DE DVD PRECIO OFERTA

12 -Equilibrio del Mercado Para analizar cómo se ajusta la demanda y la oferta en el establecimiento del precio en un mercado de competencia perfecta se pone el ejemplo anterior, que se ha utilizado para la explicación de la demanda y oferta. En forma algebraico DEMANDA Y OFERTA DE MERCADO DE DVD PRECIO DEMANDA OFERTA Demanda Oferta p = -1 q + p = 1 q q + 7 = 1 q = 1 q + 1 q 70 = q 70 / = q 3 = q Cantidad p = 1 q + p = 1 ( 3 ) + p = 3 + p = 40 Precio 1

13 PRECIO "Y" En forma Geométrica 7 6 CURVA DE LA OFERTA 4 3 PUNTO DE EQUILIBRIO 1 CURVA DE LA DEMANDA CANTIDAD "X" 13

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