Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).

Transcripción

1 Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales con renglones. En el siguiente ejemplo se reduce A a I usando las siguientes operaciones: A -1 se obtuvo comenzando con I y aplicando estas operaciones elementales. Así, A -1 es el producto de nueve matrices elementales: Entonces A = (A -1 ) -1 = producto de las inversas de las nueves matrices elementales en orden opuesto: Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan). Sea A = a ij una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A -1, seguiremos los siguientes pasos: Paso 1. Se escribe la matriz aumentada, esto es: Paso 2. Se utiliza la reducción por renglones para poner la matriz A en su forma escalonada reducida por renglones. Paso 3. Se decide si A es invertible de acuerdo con lo siguiente: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 14

2 a) Si la forma escalonada reducida por renglones de A es la matriz identidad I, entonces A -1 es la matriz que está a la derecha de la barra vertical en (*). b) Si la reducción por renglones de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la barra vertical mencionada, entonces A no es invertible. Teorema 4: Sean A y B dos matrices invertibles de n x n. Entonces AB es invertible y (AB) -1 = B -1 A -1 si y solo si: B -1 A -1 (AB) = (AB)B -1 A -1 = I y (AB) (B -1 A -1 ) = (A(BB -1 ) A -1 =A I A -1 = AA -1 = I Ejemplo 20: Sea, calcule A -1 si existe. Solución: Primero se pone A seguido de I en la forma de matriz aumentada. y después se lleva a cabo la reducción por renglones. Como A se redujo a I, se tiene: Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA -1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I. Comprobación: AA -1 = I Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 15

3 Ejemplo 21: Sea Solución:. Calcule A -1 si existe. Hasta aquí se puede llegar. La matriz a no puede reducirse a la matriz identidad, por lo que A no es invertible; debido al renglón con ceros Método de la Matriz adjunta. Definición: Si A es una matriz de n x n y B es la matriz de sus cofactores, entonces la Adjunta de A, denotada por es la transpuesta de la matriz B de n x n, esto es: Ejemplo 22: Encuentra la adjunta de la matriz Solución: Encontrando primeramente la matriz B de cofactores: y entonces Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 16

4 Teorema: Si A es una matriz invertible, entonces Demostración: Dada la matriz A de n x n, entonces: donde el elemento en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de es: En el caso de que, la suma anterior es la expansión del determinante de A sobre el renglón de A y si la suma es 0. Por lo tanto: Luego, dado que A es invertible, entonces entonces: y multiplicando en ambos miembros de la igualdad por : Ejemplo 23: Encuentra la inversa de la matriz Solución: Encontrando primeramente la adjunta de A: Enseguida, calculando el determinante de A: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 17

5 Finalmente: 3.5 Métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Si A es la matriz de m x n y es el vector columna de n x 1: entonces el producto de es la matriz de m x 1. Luego, si es el vector columna de m x 1:. Y hacemos Vemos que esta expresión coincide con el sistema de ecuaciones lineales por lo cual concluimos que la forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales está dada por Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 18

6 Ejemplo 24: Escribe la forma matricial del sistema de ecuaciones lineales Solución: Si A es la matriz de coeficientes, el vector columna y el vector columna. entonces la forma matricial de este sistema es: Sistema homogéneo asociado. Definición: Dado un sistema lineal no homogéneo se define su sistema homogéneo asociado como, donde con m ceros si A tiene m renglones. Si es la solución general del sistema no homogéneo, una solución particular y la solución de su sistema homogéneo asociado, entonces: y Ejemplo 25: Encuentra las soluciones del sistema homogéneo asociado al sistema Solución: Reduciendo por renglones: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 19

7 Luego con independiente, por lo tanto la solución general está dada por: y como, entonces: Por lo tanto la solución del sistema homogéneo asociado es: solución particular: y la siendo la Solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante la matriz inversa. Dado el sistema este puede ser escrito en la forma matricial. Si es una matriz invertible de n x n, y el vector columna de n x 1, entonces el sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución, siendo esta:. Lo cual se puede demostrar fácilmente haciendo, luego, como entonces y como, resulta finalmente. Ejemplo 26: Resuelve el siguiente sistema lineal en forma matricial, usando la matriz inversa. Solución: El sistema escrito en forma matricial es: Donde es la matriz de coeficientes del sistema y cuya matriz inversa es: esto es:, por lo cual Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 20

8 ecuación se tiene: y finalmente multiplicando las matrices del lado derecho de la que es la solución del sistema propuesto Factorización LU. Sea A una matriz cuadrada y suponga que A se puede reducir por renglones a una matriz triangular U sin hacer algunas permutaciones entre sus renglones. Entonces existe una matriz triangular inferior L invertible con unos en la diagonal tal que A = LU. Si, además, U tiene n pivotes (es decir, A es invertible), entonces esta factorización es única. Para encontrar L y U se reduce A a U mediante una serie de operaciones elementales por renglones, cada una de las cuales se puede obtener multiplicando por una matriz elemental. Así, (E n E n-1 E 2 E 1 ) A = U y A = (E -1 1E -1 2 E -1 n-1e -1 n )U donde L = E -1 1E -1 2 E -1 n-1e -1 n. Ejemplo 27: Encuentre la factorización LU Calaculando E1, E2 y E3 Note que los negativos de cada multiplicador en las operaciones por renglones son los elementos de L. Comprobando el resultado**. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 21

9 Una forma más sencilla de encontrar la factorización LU. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 22

10 Solución de un sistema de ecuaciones lineales mediante factorización LU. Suponga que se quiere resolver el sistema A x = b, donde A es invertible. Si A es cuadrada, se puede escribir: LU x = b Como L es invertible, existe un vector único y tal que L y = b. Como U es invertible, existe un vector único x tal que U x = y. Entonces A x = L(U x) = L y = b y nuestro sistema esta resuelto. Observe que L y = b se puede resolver directamente por sustitución hacia delante y U x = y se puede resolver directamente por sustitución hacia atrás. Ejemplo 28: Resuelva el sistema A x = b Solucion: Del resultado ** se puede escribir A = LU El sistema L y = b conduce a la matriz aumentada: y Aplicando la sustitución hacia adelante tenemos: y 1 = 0 y sustituyendo y1 en la segunda ecuación, tenemos: y 2 = 3 al sustitur y1 e y2 en la ecuacion tres, tenemos: o y 3 = ½ Para U x = y tenemos el siguiente sistema Y esta representado por la matriz aumentada: Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 23

11 Aplicando la sustitución hacia atrás tenemos: x 3 = 1 y sustituyendo x 3 en la segunda ecuación, tenemos: o x 2 = -1 al sustitur x3 e x2 en la ecuacion uno, tenemos: o x 1 = 1 Obteniendo: Regla de Cramer Definición: Consideremos el sistema S de n ecuaciones lineales con n incógnitas o bien, en forma matricial, o, brevemente, Ax t = B, donde x = (x 1, x 2,..., x n ). 1. La matriz A recibe el nombre de matriz de los coeficientes del sistema y la matriz B matriz columna de los términos independientes. 2. Llamamos matriz de la incógnita x j (j = 1,..., n) y la notaremos por A j, a la matriz obtenida sustituyendo la columna j de la matriz A por la columna formada con los términos independientes de S. Es decir, 3. Diremos que el sistema S es de Cramer si det(a) 0. Regla de Cramer: Dado el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas S : Ax t = B, se verifica que si S es de Cramer tiene solución única y esta viene dada por: Demostración: Como S es de Cramer, por definición se verifica que det(a) 0, luego A es invertible y, por tanto, x t = A -1 B Es decir, Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 24

12 de donde: Es decir, Utilizando la notación clásica: Ejemplo 29: Resolver el siguiente sistema usando la Regla de Cramer. Solución: Definamos en primer lugar la matriz de coeficientes: Si calculamos su determinante: Resulta que tenemos un sistema compatible determinado con 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Según el método tendremos que ir generando tres submatrices, cuyas determinantes son: A partir de ellas, ya es fácil determinar las incógnitas pues Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 25

13 X 1 se obtiene efectuando: X 2 se obtiene efectuando: X 3 resulta de: Luego la solución es: (x 1,x 2,x 3 ) = (-1, 0, 2) Bibliografía Grossman, S. Algebra Lineal.Editorial McGraw Hill. 6a. Edición. Anton, H. Introducción al Álgebra Lineal. Editorial Limusa Hill, R. Algebra Lineal Elemental con Aplicaciones. Ed. Prentice Hall, 3a. edición. Spiegel, M. Algebra Superior. Edit. MacGraw Hill. Ricardo Mora Lizarán 2004 / Instituto Tecnológico de Chihuahua - DEPI 26