UNIDAD. integral. a integración y la derivación son las más potentes

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1 UNIDAD L integrl integrción y l derivción son ls más potentes L herrmients de ls que jmás hyn dispuesto ls ciencis, tnto nturles como sociles, y ls ingenierís, pr l resolución de infinidd de prolems Ams están englods en lo que se conoce como Cálculo Infinitesiml, Cálculo o Análisis mtemático Algunos utores sostienen que lo comienz Arquímedes de Sircus (c 87 C c C), con l intención de otener un método pr el cálculo de culquier áre Sin emrgo, como en el resto de l mteri del Análisis que hemos visto, huo que esperr l siglo XIX pr encontrrle un justificción riguros: l noción ctul de integrl de un función continu es or del mtemático lemán G F B Riemnn (8 8) Altermos el desrrollo histórico con fines didácticos En primer lugr introducimos el concepto de función primitiv y lo usmos pr hcer precer l integrl indefinid como operción invers l derivd Es muy importnte que prends los rudimentos de l integrción y que ses cpz Arquímedes de Sircus (Wikipediorg Dominio púlico) de resolver con soltur integrles inmedits, prtir de l tl de dichs integrles y csiinmedits, ien por juste directo de constntes, ien usndo el método de sustitución Aprecen después el método de integrción por prtes y l integrción de funciones rcionles Con todo ello se dquieren notles conocimientos del cálculo integrl, que permiten enfrentrse con éito su posile mplición Si el cálculo del áre hizo precer l integrl, tenemos que estudir de dónde surge l ide y cómo l relcionmos con el áre Aprecen l integrl definid, el teorem fundmentl del cálculo y l Regl de Brrow En este punto, hemos de mostrr que, unque l integrl se invente como herrmient pr el cálculo de áres, hy que distinguir entre dicho cálculo y l integrl definid Un vez clrd l diferenci, ordmos el cálculo del áre encerrd por un función y el eje OX, y tmién el cálculo del áre encerrd por dos o más funciones A prtir de lo señldo, est Unidd tiene como ojetivos los siguientes: Clculr l función primitiv de un función Clculr integrles inmedits y csi-inmedits Clculr integrles por los métodos de sustitución e integrción por prtes Clculr integrles de funciones rcionles sencills Clculr integrles definids Clculr áres encerrds por funciones

2 Función primitiv Integrl indefinid Integrles inmedits Integrles csi -inmedits Integrción por prtes Ajuste de constntes Método de sustitución Integrción de funciones rcionles Teorem Fundmentl del Cálculo Regl de Brrow Integrl definid Cálculo de áres encerrds por funciones Cálculo de l longitud de rco Cálculo de l superficie y del volumen de un cuerpo de revolución Aplicciones l Físic ÍNDICE DE CONTENIDOS INTEGRAL INDEFINIDA Función primitiv Integrl indefinid Cálculo de integrles indefinids inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 7 Integrción por sustitución o cmio de vrile 7 Integrción por prtes Integrles rcionles sencills INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES 8 Integrl definid 8 Teorem fundmentl del Cálculo Regl de Brrow Derivd de un integrl Cálculo de integrles definids 7 Cálculo de áres 7 Aplicciones de l integrl en l Físic 8

3 UNIDAD LA INTEGRAL Integrl indefinid Función primitiv Se dice que F es un función primitiv o primitiv de f si F'() f() Por lo tnto, intentmos reconstruir un función F prtir del conocimiento de su derivd f Por ejemplo, como F es un primitiv de f() Tmién (sen )' cos F() sen es un primitiv de f() cos Oserv que hy que retroceder usndo como guí ls regls de l derivción Un hecho importnte es que l primitiv no es únic, pues si summos un constnte culquier l primitiv, l nuev primitiv sigue siendo primitiv de l mism función: + ;( sen 7) cos Por ello hy que escriir siempre F() + k, k R, donde k design l constnte Est constnte tiene distints interpretciones y tom diferentes vlores, dependiendo del conteto en el que prezc l primitiv L siguiente tl muestr ls primitivs que se otienen directmente: Función Primitiv n, n R { } n+, n n + _ ln cos sen sen cos e e + tg tg cos + rc sen rc cos rc tg L primer primitiv es el resultdo de l regl : l derivd j el grdo en un unidd; l retroceder hy que sumr uno y, como el eponente multiplic l derivr, hy que dividir por él: ( ) Est fórmul sirve tmién pr eponentes negtivos y frccionrios, slvo pr n Si intents plicársel qued como primitiv, que no es válid En este cso f () _, que procede de derivr F() ln Es necesrio el vlor soluto porque ln < ln, si ln si, > ln, si n ( ) n Ls otrs primitivs son un plicción direct de l derivd de ls funciones conocids Hy que hcer notr l similitud entre ls primitivs de y de Podrímos escriir tmién rccos y rcsen, respectivmente, unque mntendremos los resultdos escritos en l tl nterior n

4 Integrl indefinid Usndo l ide de función primitiv, definimos l integrción como l invers de l derivción: l integrl deshce lo que l derivd hce y vicevers (ver gráfico) Al no ser l primitiv únic, se vuelve un fmili de funciones que difieren en un constnte, no l función de prtid Derivd Integrl Aunque en el gráfico hemos representdo l integrl indefinid con I, en l práctic se us el símolo, que semej un S lrgd Escriimos l integrl como f F+ k ó f d F + k El término d (que se lee diferencil de ) indic únicmente cuál es l vrile respecto de l que integrmos; procede de l notción de df Leiniz f ' Est segund notción, más ntigu, es l que usremos, pues tiene ventjs l hor de d enfrentrse integrles complicds Todo lo que prece jo el símolo, slvo el diferencil, se denomin integrndo No podemos quitr este símolo hst que no demos l primitiv del integrndo Hy un tl de integrles inmedits, que consiste en l tl de primitivs rescrit con l notción pr ls integrles Hy que prendérsel de memori: n+ n d + k, n R n + Integrles inmedits { } d ln + k ed e + k sen d cos + k d ( + tg ) d tg + k cos cos d sen + k d rc sen + k rc cos + k d + rc tg + k Ejemplo Clcul ls siguientes integrles: ) d + k + ) d + k + k c) d k + k + d d) d + k + k + k + e) + d d k k k f) 7 7 d d k 7 + k k 9 9 7

5 UNIDAD LA INTEGRAL Hy que escriir los rdicles como potencis frccionris y ls del denomindor como potencis negtivs Derivndo l primitiv compromos que l integrl está ien resuelt Cálculo de integrles indefinids inmedits Ls propieddes de linelidd sirven pr clculr integrles más complicds, hciendo ls veces del álger de derivds Sólo hy dos: ( f + g) f + g L integrl de un sum es igul l sum de ls integrles ( λf) λ f, λ R L integrl del producto de un constnte λ por un función es igul l constnte por l integrl de l función Ests propieddes suelen revirse escriiendo ( λf + μg) λf + μg Es decir, scmos ls constntes multiplictivs e integrmos ls funciones Oserv que son ls propieddes recíprocs ls derivds de un sum de funciones y del producto de un constnte por un función Sólo se escrie un constnte k en l primitiv Clcul ls siguientes integrles: ) ( + ) d d + d + + k ) cos d cos d sen + k d d c) ln + k d d d) + 7 k + k d 8 d 8 e) + k + k e d e d d e d d f) e ln + k + d + + d + d g) + d + + k rc tg + + k Se clcul l integrl directmente, sin escriir detlldmente l propiedd: h) i) Ejemplo 8e d + 7rc cos + 9tg + k cos d 8e ln + k j) sen + d cos + rcsen+ +k

6 Actividdes ( Clcul: ) + Hll: ) Averigu: ) ( 7 cos d ; ) 8 7 ( ) d + d ; ) 7 7 cos + 9e ( d ) d d ; ) 8e d + tg + d ; ) + sen d 7 9 Clcul: ) Hll: ) ) d ; ) + sen + ) Métodos de integrción Integrción por sustitución o cmio de vrile Se hl de integrles csi-inmedits cundo l función que deemos integrr puede convertirse de form sencill en un integrl inmedit Podemos distinguir dos tipos: Un primer tipo en el que efectundo ls operciones indicds (sums, rests, productos, divisiones ) psmos tener integrles inmedits Un segundo tipo en el que hitulmente se reconoce l derivción siguiendo l regl de l cden, es decir, prece un función y su derivd, slvo constntes que multiplicn Ejemplos Clcul ls siguientes integrles: + + k + d + d + + k + k )) ) ( ) ( + ) d ( + ) d k d + d Al efectur los productos y cocientes, see otienen integrles inmedits 7 Clcul: ) e 7 d ; ) cos d ; c) d ; d) ( 7 ) d ; e) tg d + c) + 7 7

7 UNIDAD LA INTEGRAL ) ( e 7 ) 7e 7 : hy que multiplicr por 7 pr que se inmedit Pr no cmir el vlor, si multiplicmos por 7 dividimos tmién por 7: e 7 d e 7 d e 7 k ) ( sen ) cos : flt multiplicr por Como ntes, multiplicmos y dividimos por un mismo número: cos d cos d sen + k ( ln( + ) ) 7 7 c) : flt multiplicr por Se multiplic y se divide por : + d + d + 7 ln( + )+ k No es necesrio el vlor soluto pr el rgumento del neperino, porque siempre es positivo d) ( 7) ( 7) : flt multiplicr por Se multiplic y se divide por : 7 7 ( ) d ( ) d ( 7) + k e) Este es un ejemplo de ide feliz: como tg + tg, flt un sumndo en el integrndo pr que se inme- dit Pues se lo summos y, pr no cmir el vlor, se lo restmos: tg d + tg d + + tg d d tg k Fíjte en que hemos de tener ciert ide sore l posile primitiv Además, conforme se complic el integrndo, el juste de constntes se vuelve más difícil Por est rzón se us el método de sustitución o de cmio de vrile, que consiste en cmirle el nomre l función cuy derivd prece, de modo que trs dicho cmio dz quede un integrl inmedit Tmién hy que cmir el diferencil: si hcemos z f entonces z' d dz dz z ' d d z ' El cmio de vr ile lo escriimos simólicmente como: f z dz Al hcerlo, dee d z ' desprecer l vrile, quedndo un integrl inmedit en z, que se integr tl y como hemos hecho con ls de Al finl, se deshce el cmio, volviendo l vrile originl Ejemplos Clcul: ) 8 d; ) 7e d ) ( ) z z' z 8 d dz d dz z zdz z + k + k 8

8 El símolo se us pr indicr l proporcionlidd Fíjte en que, l hcer el cmio, en z sólo v l función, no el eponente, que y pondremos después ) e e e z e 7 e d 7 7 z+ k e + k z e z' e dz dz d e z 7z dz 7 z dz Clcul: ) ) + ln d ; ) d ( + ) 9 z + + d + z + z' 9 dz d 9 dz z + z zdz k k ( ) z ln z' ln ) ln z ln d z dz d dz dz zdz + z ln k + k No puede escriirse el vlor soluto del rgumento, pues el integrndo sólo eiste pr los vlores de positivos Clcul: ) ; + d ) d Solución: ) ( + ) z + z' k; z + + d dz dz dz + + ln z k ln + k d z z ( + ) + z + 7 z' ) 7 7 z d dz dz dz d z z ln z+ k ln( + 7 )+ k No es necesrio el vlor soluto pr el rgumento del neperino, porque siempre es positivo Los ejemplos nteriores se pueden hcer justndo constntes y serí conveniente que sí fuer pr dquirir gilidd en el cálculo de primitivs Oserv que el ) responde e f ( ) f f ' f ' e y el 7 ( ln f ) f d El 7 se generliz como: k Este resultdo se us pr integrr + ln + + funciones rcionles A veces hy que operr en el integrndo, incluso después de her hecho el cmio 9

9 UNIDAD LA INTEGRAL Clcul: ) ; ) + d ln ln d ) Se prece un rco tngente Hy que llevr que el denomindor se + z : d + 7 d Ahor podemos hcer el cmio + z o justr constntes En mos csos qued 7 7 rc tg + k rc tg + k + z ln z' ln z d + z ) ln ln ln dz d dz z dz dz dz + z lnz+ z+ k ln( ln)+ ln+ k No puede escriirse el vlor soluto del rgumento, pues el integrndo sólo eiste pr los vlores de positivos Clcul: ) sen cos d; ) sen d; c) cos d z sen z ' cos ) dz dz z dz z zdz + d cos k sen k z ' cos cos + ) sen d sen send ( cos ) send send cos send cos + cos + k n n Oserv que tenemos l fórmul ( f ) n f f ' (l func ión elevd un potenci multipli- 7 8 cd por su derivd) Por ello, sen cosd sen + k, cos send + cos k 8 Cundo el eponente de l rzón trigonométric es impr (n + ), se descompone en el producto de l rzón elevd pr ( n) por l rzón Así, tods son inmedits, sin más que seguir l put del presente ejemplo c) cos d cos cosd ( sen ) cosd ( sen + sen ) cosd cosd sen cosd + sen cosd sen sen + sen + k Clcul: ) sen d; ) cos d

10 ) Aquí no sirve el método nterior Ahor hy que quitr el eponente recurriendo l ángulo dole: sen cos + cos ;cos En este cso: cos sen d d cos cos d sen co ( + ) + s d Volvemos plicr l fórmul, teniendo en cuent que cd vez que l usemos tenemos que duplicr el ángulo de prtid + cos cos d d + se n L integrl qued: 8 sen d sen + + sen + k sen + sen + k 8 8 Ddo que l integrl de prtid ni llev ángulos doles ni cuádruples, deemos operr pr que l primitiv quede en función de : sen sen cos, sen sencos, cos cos, sen cos Se otiene: sen d sen cos sen cos + k cos + cos ) cos d d + cos + cos cos d cos d 8 ( + ) ; d + sen; cos d cos cosd sen cosd cosd 8 sen cos d sen sen L integrl qued: cos d + sen + + sen + sen 8 sen + k 8 Igul que ntes, se otiene operndo: cos d + sen cos + sen cos + sen cos + k Clcul: d En este tipo de integrles se usn ls funciones trigonométrics seno o coseno: sent + cost sen t t dt tdt dt t + d costdt cos cos sent + k Deshcemos el cmio t rc sen d rc sen + sent cos t + k rc sen + + k Clcul: 7d Solución : 7 7 sent t rc sen 7 7d d 7 d costdt d costdt cos tdt ( t + sent t )+ k rc sen k cos +

11 UNIDAD LA INTEGRAL Integrción por prtes Cómo podremos integrr cundo hy un producto, pero un función no es l derivd de l otr? Recordemos que l derivd de un producto de funciones es ( u v) ' u' v+ u v' o, usndo los diferenciles y soreentendiendo que tnto u como v son funciones de l vrile, d (u v) v du + u dv, por lo que u dv d(u v) - v du e integrndo qued udv u v v du Ést es l fórmul hitul de lo que se conoce como integrción por prtes El quid está en que l integrl de l derech se más sencill que l de l izquierd o directmente inmedit Pr ello, hy que elegir ls funciones u y dv convenientemente Como du se otiene derivndo y v integrndo, l put hitul es elegir dv como un integrl inmedit Con u y dv tenemos que recoger todos los términos del integrndo Vemos los csos hitules: Ejemplos Clcul: ) e d; ) ln d; c) rc tgd ) Aquí se integrn ien tnto como e Sin emrgo, l primitiv de es, lo que nos complicrí l integrl de l derech Por lo tnto, procederemos sí: u du u d d ' e d e + ( ) + dv ed v ed e ed e e k e k ) En este cso sólo tenemos l posiilidd siguiente: d u ln du u' d ln d ln d ln + k ( ln )+ k dv d v d d u rc tg du c) Igul que en ) : rc tgd + rc tg d rc tg ln ( + )+ k dv d v d + Clcul: ) e d; ) cos d; c) rc sen d Solución : u du d ) e d dv e d v e e + e d L integrl de l derech tmién hy que resolverl por prtes, pero no podemos llmr u lo que ntes llmmos dv, pues llegrímos que l integrl es igul ell mism e e de u du d d dv e d v e + e e + k + + e k u du d ) cos d sen 9 send dv cos d v sen ; e + e d e e ;

12 u du d send cos + d dv send v cos cos ; u du d cos d sen + dv cos d v sen send sen cos Agrupndo decudmente los dtos otenidos se tiene que: cos d se n + 9 cos 8sen 8cos + k ( ) sen + 9( ) cos + k rc sen u ( rc sen ) du d rc sen c) ( rc sen ) d ( rc sen ) d; dv d v d rc sen u rc sen du rc sen + d d Qued: dv v ( rc sen ) d ( rc sen ) + rc sen + k Clcul: ) e send; ) e cos d; c) e cos 7d u sen du cos d ) e send e sen e d dv e d v e cos ; u cos du send e cos d e cos e send + dv e d v e Llegmos l mism integrl! No ostnte, se resuelve sin prolems Llmndo I e send, se tiene que I e sen e I I e e sen cos cos ( sen cos ) I + k Ests integrles son cíclics, pues ls dos funciones, e y sen, se repiten l derivr u e du e d e sen ) e cos d sen e sen dv d v cos d; u e du e d e cos e send cos + dv send v e cos d Llmmos e sen e cos ( sen + cos ) e I e cos d y se tiene I + I I ( sen + cos ) e I + k c) Como conocemos l estructur de l solución, podemos decir que e cos 7d ( Asen7 + B cos 7 ) e Si derivmos mos miemros tendremos: e cos 7 e ( 7Acos 77Bsen7Asen7Bcos 7) 7A B 7 ( 7sen7 cos 7 ) e Resolviendo el sistem se otiene A, B I + k A+ 7B Repite los prtdos ) y ) usndo este procedimiento

13 UNIDAD LA INTEGRAL Integrles rcionles sencills Se hl de integrles de funciones rcionles cundo el integrndo es un cociente de polinomios p() q() Tienen un ventj: hy un método que conduce l resultdo Tmién un inconveniente: el cálculo puede ser muy pesdo Dependiendo de los resultdos de l fctorizción del denomindor, hy posiiliddes: El denomindor tiene ríces reles sencills El denomindor tiene ríces reles simples y múltiples El denomindor tiene ríces complejs El denomindor tiene ríces reles simples y complejs El denomindor tiene ríces reles simples y múltiples, sí como complejs El grdo del numerdor siempre h de ser menor que el del denomindor Si no es sí, se divide quedndo p r c Vemos con ejemplos cd uno de los csos: q q ( )+ Ejemplos Clcul: ) ; ) ; c) Te of d d recemos este otro ejemplo pr profundizr: ( + ) ( ) + d ) En primer lugr resolvemos l ecución DEN, ± Después plntemos l A B C ecución Oserv que d A d B C d + d Aln + Bln + + Cln + k L ecución es A( + ) ( )+ B+ C( + ) Tenemos dos cminos: plnter y resolver un sistem de ecuciones con incógnits o dr vlores conve- nientes (ls ríces del denomindor) l pr hllr los coeficientes A A ; 8B B ; 8C C Por lo tnto, 8 8 d ln ln + + ln k Fíjte en que hy tnts frcciones como fctores teng el denomindor y que l primitiv es un sum de logritmos neperinos ) Como el denomindor está fctorizdo, este pso lo sltmos Ahor hy que plnter l ecución A B C A B + + Oserv que hor ( + ) ( ) + ( ) d + + ( + ) ( ) d + d C C + Aln + + Bln k A B C + ( ) L ecución es + ( + )( )+ ( + ) Sólo tenemos dos ríces, con ls que determinmos dos coeficientes Pr el tercero dmos otro vlor l : A A ; C C ; A B+ C B Luego 8 8 d ln + ln k ( ) + ( )

14 Ahor, pr cd fctor necesitmos tnts frcciones como se l multiplicidd de l ríz Si l ríz es dole, dos (ejemplo resuelto); si l ríz es triple, tres Oserv que si tods ls ríces son simples, necesitmos un frcción por ríz (cso )) c) tiene dos ríces complejs conjugds Recordndo los trinomios cudrdos perfectos podemos escriir: ( + ) + + Por lo tnto, en l primitiv v her un rco tngente Si el numerdor fuer sólo un número, l primitiv serí ese rco tngente, pero, l tener tmién, precerá un neperino, porque siempre podremos tener l derivd del denomindor en el numerdor Pr ello, como ( + + 7) ' ( + ), cmimos l del nume rdor por + y justmos el término indepen- + ( + ) ( + ) diente: ( + ) + + ( + ) d d d d ln( + + 7) d ln ( ) rc tg + k Clcul: ) d; ) d; c) 8 ( ) ) 7 d + + Usndo Ruffini se otiene que 8 Hcemos + 8 A + M + N El numerdor del polinomio irreducile de º grdo dee ser un i + + nomio de primer grdo M + N De est segund frcción otendremos un neperino y un rco tngente L ecución es hor: A( + + )+ ( M + N )( ) + ; A ; A N 9 N ; AM N M Como no es ríz, puede usrse pr clculr N 9 En cso de que lo fuer, tnto el segundo como el tercer vlor serín ritrrios Y tenemos que + + d ln d 8 9 Hy que operr l integrl de l derech: ( + + ) ( ) 7 ' El primer término d ln( + + ) Pr el segundo hy que operr el denomindor: Aprece como 7 derivd del rgumento, luego hrá que dividir por él: 7 + rc tg Resumiendo se tiene: d ln ln ( + + ) rc tg k + +

15 UNIDAD LA INTEGRAL ) Aunque es preferile prender el procedimiento pr convertir el polinomio irreducile en rco tngente, hy un d fórmul que reduce el trjo: r + + c Δ ctg +, con Δ c (discriminnte) Δ A l vist del presente ejercicio, puedes imginrte lo que supone l últim posiilidd: ríces reles simples y múltiples derezds con ríces complejs Como muestr te ponemos el ejemplo: + A B ( ) ( + ) + C M N + ( ) Oserv que el coeficiente de l ríz múltiple es un número C, mientrs que el del polinomio irreducile es un inomio M + N El procedimiento es el mismo, sólo cmi l cntidd de cálculos relizr + A B C + + A ( ) + B ( )+ C + A ( ), C ( ), + B ( ) d ln ln k ( ) ( ) + c) + +, ( + + ) ' + ( + ), Δ 7 Por lo tnto, 7 7 ( + ) 7 + ( + ) d d ln rc tg ( + + ) Clcul: ) d; ) + d; c) + + d ) ( + ) :( + ) + + ; + ( )( ) Así, + A B A B + + ( )+ ( ) A B + d + + ln + ln + k + ( + + ): ( + ) + d ) + ln ( + )+ k + c) + d t + d tdt ( t + t) : ( t+ ) t t+ + t Deshciendo el cmio se tiene que + t t dt Efectumos l división oteniendo + t t + t t dt t + t ln + t + k t d ln( + )+ k 9 Clcul: ) d ed ; ) e + e t ) Como el índice común de ls ríces es, hcemos el cmio Se otiene d t dt

16 d t dt t dt t t t t t, que es un integrl rcionl t + Como t t ( t + ) ( t ) escriiremos Efectumos l división t : ( t t ) t + t + + t t A B t t t t +, B + A dt + + t ln t + + ln t t t t t t + t Al deshcer el cm mio y multiplicr por, se tiene: I I ln + 8 ln + k ) Con el cmio e t, e d dt d dt dt psmos El denomindor fctorizdo es t ( t + ), t t +t A B C + + A, B, C Deshciendo el cmio tenemos: t +t t t t + e d e + e ln ( e + ) e + k luego Actividdes Clcul: ) 7 Hll: ) ( 9 Clcul: ) 7e Averigu: ) Clcul: ) Hll: ) + ) ( ) d ; ) 9 d ; ) 8 Averigu: ) Hll: ) e e 8e sen cos cos d ; ) d ; ) ) d ; ) rc tgd ; ) ) d ; c) d cos d c) d ; c) d ; c) + d ; ) + e ( Clcul: ) + 8 d ; d ; ) d ; ) ( 7 cos sen 8 d 7 d e d ; c) 7d ; c) 9 d + e sen cos d 9 d ln ln d ; c) d ; c) ( rc cos ) e d sen d + d ; ) + + d + + Hll: ) d ; ) d ; c) + + d d 7 Clcul: ) ; ) e d ; c) +9 + d 8 Averigu: + Averigu: ) d + e 7 con el cmio z e

17 UNIDAD LA INTEGRAL Integrl definid y sus plicciones Integrl definid Históricmente, l integrl surge como herrmient pr el cálculo de áres de figurs plns y es nterior l derivción El procedimiento es el siguiente: llmmos f l áre encerrd por l función continu f, el eje OX, y ls rects, (zon colored) Los puntos, que precen en l integrl son sus etremos o límites de integrción e indicn desde y hst donde queremos clculr el áre Por comodidd, suponemos f positiv en el intervlo [, ] Más delnte veremos qué hy que hcer cundo no se sí Pr clculr el áre de l figur, podemos descomponerl en n rectángulos y sumr el áre de todos ellos Este trocemiento del intervlo de integrción se llm nchur prtición P, que está crcterizd por su diámetro Otenemos n suintervlos [ i-, i ], con, n Si l función es continu, siempre tendrá un mínimo y un máimo nº detrozos n en culquier intervlo [ i-, i ] de l prtición P, los que llmremos mín (f, [ i-, i ]) y má (f, [ i-, i ]), respectivmente Los rectángulos tienen de se n y pueden tener de ltur: n mín (f, [ i-, i ]); l Sum inferior L( f, P) mín ( f,[ i, i] ) (L de Lower, inferior) es l sum del n i áre de todos estos rectángulos Es un áre por defecto n má (f, [ i-, i ]); l Sum superior U( f, P) má ( f,[ (U de Upper, superior) d un áre i, i] ) n i por eceso Clrmente L f, P f d U f, P función en cd trozo de l prtición f d, estndo cotd l diferenci entre el máimo y el mínimo de l El áre por defecto ument El áre por eceso disminuye Como con tod proimción, podemos mejorrl volviendo dividir el intervlo por l mitd El primer mínimo quedrá en uno de los dos nuevos trozos, por lo que en el otro el nuevo mínimo es myor o igul que el ntiguo Por ello, ument l sum inferior Si sudividimos, otr vez ocurrirá lo mismo, siendo el nuevo mínimo de lguno de los trozos myor que el ntiguo Se tiene un sucesión monóton creciente: L (f, P ) L (f, P ) L (f, P ) El primer máimo quedrá en uno de los trozos, por lo que en el otro el nuevo máimo es menor o igul que el ntiguo Así, disminuye l sum superior, sucediendo esto cd vez que sudividimos Se otiene un sucesión monóton decreciente: U (f, P ) U (f, P ) U (f, P ) Además, l diferenci entre ms sums se hce cd vez menor, pues, l disminuir el diámetro de l prtición (cundo n, n ), el mínimo y el máimo se cercn, proimándose mos f( i ) De este modo, si el áre por 8

18 defecto ument y disminuye el áre por eceso, y, prece clro que el áre eiste, tendrán que coincidir En ese momento tendremos clculd el áre de l figur, definid tmién como f d Este procedimiento que hemos descrito tn revemente es en relidd más complicdo, tnto en l teorí como en l práctic: A nivel teórico hcen flt vris comprociones pr demostrr que el límite de ls sums inferiores y superiores coincide; ésts eceden del nivel de nuestro liro A nivel práctico, se usc un epresión pr L y U como sucesiones; ls sums de ests sucesiones, que se denominn series, pueden ser tremendmente complicds, incluso pr funciones muy sencills Ejemplo Clcul el áre encerrd por l función f y ls rects y L figur es un triángulo rectángulo de áre 8 u Dividiendo en n trozos otenemos los intervlos,,, 8,, n,, cd uno n n n n con un diámetro de Al ser l rect creciente, el mínimo de un trozo coincide n mín f,, n 8 mín f,, f n n n n con el máimo del nterior Se tiene entonces que: má f,,, n f 8 n n 8 8 má f,, f n n n n n n n mín f, f n n, n Usndo l fórmul de l sum de un n má f,, n f ( ) progresión ritmétic (se pone como denomindor común n) se otiene: + n n L( ( ) f, P) n 8 n n n n 8( n ) n, U( f, P) ( n n n n n n n ) + n n 8( n + ) n Al tomr límites tenemos: lim L( f, P) lim U( f, P) 8 n n n n,, Como es un sum, es posile trocerl, de modo que se verific que tl que c Además, 9 f d, pues l se de nuestro rectángulo vle cero Estos resultdos permiten mplir l integrl definid ls funciones que no sen continus, siempre que ls discontinuiddes sen de slto finito y el número de discontinuiddes se finito Pr ello, se troce el intervlo de integrción, islndo los puntos en los que precen dichs discontinuiddes Del mismo modo, f d c +, f d f d f d c kf d k f d c pues l constnte se sc como fctor común en todo el proceso de sums

19 UNIDAD LA INTEGRAL Un cuestión de notción: si llmmos Δ i i i -, y suponemos que mín (f,[ i-, i ]) má (f,[ i-, i ]) f( i ) (lo que ocurre si l nchur del intervlo es suficientemente pequeñ), ls sums se escrien como n lim ( i ) i n i f Δ, por lo que f Δ f d, estleciéndose ls equivlencis, Δ d cundo Δ (que es lo que sucede cundo n ) n i i i Teorem fundmentl del Cálculo Regl de Brrow Derivd de un integrl Cálculo de integrles definids f(+h) +h Ddo lo tedioso del cálculo del áre medinte el procedimiento de ls sums superior e inferior, veriguremos el vlor de l derivd del áre A f( tdt ) Oserv que como A es función de se escrie otr vrile en l integrl En el gráfico vemos que: A ( + h) A A h A f( + h) h A( + h) A f h f( + h) f lim f( h) lim ( + ) + h h h h lim f f A' f A' f El áre encerrd por l función es su primitiv: clculr áres es clculr primitivs Alguns preciciones: L función diujd es decreciente en [, + h], pero el que fuese creciente en dicho intervlo no cmi el resultdo Pr poder tomr el límite, y otener el resultdo otenido, l función f h de ser continu y l función A derivle Grcis l resultdo nterior, conocido como el Teorem fundmentl del cálculo, podemos escriir que ftdt () F + k L Regl de Brrow permite que el áre no quede en función de un constnte ritrri k; h su demostrción es sencill: Semos que ftdt () F + k; demás ftdt () F + k, luego k F Como f( t) dt F F entonces f d F F F ( Regl de Brrow) El segundo igul no es más que otr form de escriir dich regl usndo l rr de ls prticulrizciones Hy que tener cuiddo l plicr el teorem fundmentl del cálculo pr hllr l derivd de un integrl 7

20 En generl, g g ( ) g f () t dt F( g ) F( g ); l derivr, usndo l regl de l cden, f () t dt g ( ( )) ( ) ( ) F g F g F' g g ' F' g g ' ' Como F f g F' ( g ) f ( g ), entonces f () t dt f g g f g g ' ( ) ' ( ) ' g Aunque empezmos definiendo l integrl definid como el áre encerrd por un función, el eje OX y ls rects y, no podemos usrl pr est tre sin más, pues l integrl definid es el áre si l función es positiv Por ejemplo, pr l función f(), el eje OX y ls rects,, no podemos decir que su áre se A d u pues un áre no puede ser nul Encontrmos l eplicción l representr gráficmente f() en el intervlo [, ]: l función tiene un prte negtiv, con su áre, y otr positiv, con l suy D l csulidd (nd csul, pues no lo hrímos puesto como ejemplo) de que ms son igules, pero tienen signos distintos, por lo que se nuln Es decir, l integrl por sí sol no es cpz de clculr correctmente el áre, de hí que se disting entre integrl definid, que puede tomr culquier vlor (positivo, negtivo o nulo), y el áre, que sólo puede ser positiv Cundo escriimos entendemos que es un integrl definid, por lo que, un vez clculd l primitiv, usremos directmente l Regl de Brrow, sin preocuprnos por el signo del resultdo En el siguiente prtdo veremos cómo se clculn ls áres Hy dos forms de plicr l Regl de Brrow si resolvemos l integrl medinte el método de sustitución: L usmos después de her deshecho el cmio Cmimos los límites de integrción, escriiendo z z(), z z(), con lo que tendrímos que f d F(z ) F(z ) f d Clcul ls siguientes integrles: ) ( + ) d + ) + e 9 + d c) d e ln lne ln d) e) Ejemplos π π + cos sen cos d d + d π π rc sen π π π 8 8 7

21 UNIDAD LA INTEGRAL Hll l primitiv de f que en vle 7 + Al conocer lgun condición que cumple l función, es posile clculr k: d k F + ln ( + ) + ( ) ln 7+ k 7 k L primitiv uscd es F ln + ) + ( Averigu l epresión de l velocidd y del espcio recorrido, en función del tiempo, por un móvil que se desplz con celerción constnte, si inicilmente llev un velocidd v y h recorrido un espcio s Solución : t t t v ' t v ' d d v t v t v t v t; s ' t v t s ' d () () () + t ( v + ) d s() t s vt+ t s t Clcul: ) ( ) d; ) π sen cos d π () + + s vt t () () ) Vmos hcerlo por los dos métodos que mencionmos: z z' dz z F i) ( ) d dz z d 9 F ( ) ( ) ( ) ( 9 9 d F F ) dz z z' d dz z ii) ( ) d z z( ) ( ) z zdz Fz z z F() 9 9 zdz F() F() F() Fíjte en que si cmimos los límites, lo escriimos en el cmio F ( π ) ln sen ) Ajustndo constntes: ( cos )' sen ln( cos ) π cos d F π sen d F π cos F π ln π 7

22 Clcul: ) ln d; ) e d ) e e ) ( ) e d e d F( e) e por prtes e 9 ln d ln d ( ln ) 9 ln d ( e + ) F () F e e () F9 e por prtes 9e e e d Hll l función f definid pr R{ } que verific f ' + y f Se clcul l primitiv y se sustituye l condición pr verigur el vlor de k: f ' f + + ( ) + + d k f k k f 7 Determin el vlor del prámetro de modo que e ( + e ) d sustitución juste de cons tntes e ln + e e ( e ) + d F ( ) + e F F F e e + e ( + e ) t e + 8 Clcul l derivd de l funciones: ) dt; ) t + t dt t e + e ) dt ( F ( ) F ) + F '( ) f ( ), pues F() es constnte ) ( t + t) dt F F ( ) F' ( ) f ( + ) 7

23 UNIDAD LA INTEGRAL Clcul l derivd de l funciones ) ln t + 9 dt; ) rc sen udu ) e e t + ln dt F e F F e e F ( ( )) ' '( ) e f ( e ) f sen cos e + e ln ln sen ) rc sen udu F sen F cos F ' cos sen F ' c + ( os ) cos f sen f cos sen cos rcsen cos sen + + sen ' ()+ + ) Si f es un función continu, otener F siendo F f t t t dt ) Si f y demás f t dt, hll l ecución de l rect tngente l gráfic de F en el punto, F Solución : () () ( ) F' f t t t dt ( G G( ))' G' g f + + No se puede usr F en mos miemros, por lo que llmmos G l primitiv que usmos en l Regl de Brrow ) ()+ + ) y F() f ()+ t t + t dt f t 9 7 r : y r : y t t () dt F () f ()+ 9 ; ' Se f un función derivle en (,) y continu en [,], tl que f y f integrción por prtes pr hllr f d u f du f ' d f d dv d v () Oserv que f f f () ' d f ( ) f ( ) d f ( ) d ' ' Utiliz l fórmul de 7

24 Cálculo de áres Hemos visto que l integrl definid d el vlor del áre encerrd por un función, el eje OX y ls rects y, sólo si l función es positiv Será el áre f d? Recordndo el ejemplo de f(), vemos que no resuelve el prolem: sigue sliendo cero Oserv el gráfico; en él suponemos que, y son los puntos de corte de l función con el eje OX que verificn < < < < (puede her más) Si clculmos directmente, ls prtes positivs (de y de ) le restmos ls negtivs (de y de ), y no otenemos el áre uscd Sin emrgo, si summos el áre de cd trozo clculd como A f d o signándole el signo correcto A f d, sí otendremos el áre totl Por lo tnto, pr clculr el áre seguiremos trozo los siguientes psos: f d trozo f clculmos los puntos de corte con el eje OX : f OX f() ; trocemos el intervlo de integrción, si dichos puntos de corte pertenecen l citdo intervlo: [,] [, ] [, ] [, ] [,]; clculmos el áre como Áre f d + f d f d + f d Áre f d + f d + f d + f d Si usmos el vlor soluto sólo clculmos un primitiv, pues en todos los integrndos está l mism función, que evlumos en diferentes puntos Sólo hy que efectur ls operciones con orden pr simplificrnos el trjo ó como Ejempl os Hll el áre encerrd por l curv y +, el eje OX y ls rects y Hllmos los puntos de corte de l función con el eje OX: y +, ; descomponemos el intervlo de integrción [,] en tntos trozos como ceros + teng l función en su interior: [, ] [, ] [, ] El áre es: Áre + d + d F F F F + Hllmos l primitiv, l evlumos y hcemos los cálculos: + F( ) F + F( ) A + u F() 7

25 UNIDAD LA INTEGRAL Hll el áre encerrd por l función y, el eje OX y ls rects, º) f ; º) [, ] [, ] [, ]; º) A d + d F() F( ) + F() F() ; + F( ) º) F F() A + + 8u F() Hll el áre encerrd por y, el eje OX y ls rects, + 7 º) f pues A d ; + 7 F() ln8 º) F ln( + 7) A F() F( ) ln 8u F( ) ln Clcul el áre del recinto limitdo por l gráfic de l función y + y el eje de ls Si no se dn los límites, éstos son los puntos de corte de l función con el eje OX º) f +, ; º) A ( ) d ; 9 F() º) F + 9 A F() F() + u F() Un fáric rroj dirimente mteril contminnte un ls según un ritmo ddo por l función mt (), t, t + t +, siendo m () t l cntidd de mteril en kg y t l hor del dí Cuánto mteril rroj cd dí? Pr clculr l cntidd de mteril, deemos clculr el vlor de m pr todo vlor de t entre y h, y después sumrlos Como l sum de un grn cntidd de vlores es un integrl, tendremos: C m() t dt, t, t + t+ dt F t, t, t t F 9, 8 t F () + + C F F 9, 8 kg 7

26 , si < 7 Hll el áre limitd por l función f +, si, el eje OX y ls rects y +, si > Al ser un función definid trozos, deemos integrr l función o funciones que estén en el intervlo de integrción En este cso, dicho intervlo es [,], con lo cul f + Ahor seguimos el procedimiento hitul: + A + d F f 9 F() 9 A F() F() u F() +, 8 ) Pr cd vlor de c >, clcul el áre de l región cotd comprendid entre l gráfic de l función f ( ) c +, el eje y l c + OX s rects, ) Hll el vlor de c pr el cul el áre otenid en el prtdo ) es mínim ) como c f Áre c c d c c >, > u c c ) A' ( c) A' ( c) c, A'' ( c) A '' c c > el áre es mínim pr c 9 Hll el áre del recinto cotdo por l gráfic de l función f, ls rects, y el eje OX 8, si > f ( ) ; f OX, Áre ( 8 ) + ( ) d 8 d 8, si F F ( ) F g Clcul lim g, siendo g F ; F Áre + u F dt t + e g g L' Hôpitl dt lim ind g t + e g' lim g' lim + e + e lim ' Usndo el teorem fundmentl del cálculo: 77

27 UNIDAD LA INTEGRAL Cómo podemos clculr el áre encerrd por dos funciones? Si ls dos funciones se cortn en más de un punto, determinn un o vris regiones que tienen un áre, sin necesidd de rects verticles que l delimiten Si no se cortn, necesitremos de rects verticles pr poder verigur el áre encerrd por ls dos funciones f f g g Lógicmente, el áre encerrd por f y g se clcul verigundo primero l de f y después restándole l de g Aplicndo ls propieddes de linelidd, podemos clculr l integrl de l diferenci de f y g, pues drá el mismo resultdo Por ello, se us un función uilir definid como h() f() g() o h() g() f(), con lo que psmos clculr el áre encerrd por un función h() y el eje OX, y que en los puntos en los que f()g() tenemos que h(), que son los puntos de corte de h con el eje OX Así, l usr h, no hy más que seguir los psos y vistos Es conveniente hcer un gráfico de l situción Pr ser más f p g Cómo se puede clculr el áre encerrd por tres funciones? Aquí sí hy que representr ls funciones pr poder verigur los etremos de integrción y l función que hy que integrr en cd trozo Oserv el gráfico djunto: hy que integrr p() g() desde el punto p() g() hst el punto p() f (); después se integr f() g() desde hst f() g() Ahor hy dos primitivs y dos intervlos de integrción distintos Ejemplo s Hll el áre encerrd por ls funciones y + e y + Al usr el vlor soluto, es indiferente cuál llmemos f y cuál g Si f + y g +, entonces h f g Por lo tnto: h ( ),, H 7 A hd + hd ; H H A HH H H u 8 H Hll el áre encerrd por ls funciones y e y + + f, g A d H h f g ; h, 8 H H ; ( ) 8 A H H u + 78

28 Ejemplo Clcul el áre determind por l curv y y l rect y h ; h, A h d h ± + d ; H ( ) H H H,, A H H + H H 8 u, si Determin el áre encerrd por ls tres rects y 8,, y l gráfic de f, si > ( ) 8, si, si h f y h OX h ( ) 8, si > 8, si > ± ; 8 ± Como ninguno de los puntos está en el intervlo [,] y lim h li m * + ( ) h h() 7, h es continu en, el áre es: A d 8 d ; H () 7 H H ; H 8 H H () A H() H + H H () u Clcul y pr que ls gráfics de ls funciones f + y g + sen tngentes en el punto de scis Pr esos vlores, diuj ls gráfics de ms y clcul el áre limitd por dichs gráfics y el eje verticl Que sen tngentes signific que se cortn y que sus derivds en el punto coinciden (pendientes de l rect tngente), luego f g + ; f ' g' Se otiene, g + Pr representrls, l ser práols, clculmos sus vértices y ls coordends de otros dos puntos: f V(, ),(, ),(, ); g V(, ),(, ),(, ) f A l vist del gráfico, A ( f g ) d + d + u g 79

29 UNIDAD LA INTEGRAL si Clcul el áre del recinto plno cotdo limitdo por l gráfic de l función f ( + +, ) y ls rects, si < y,, No hy dos funciones, pues l rect y es el eje OX Además, f es continu en [,] (no está el en dicho intervlo) El áre es A d F F 8+ F() 7 9 ln ; ln, A F F () +ln u 7 Clcul el áre limitd por ls gráfics de ls funciones f 9, g y ls rects, h f g h Hy que dividir el intervlo [, ] en trozos,,, + [ ] con lo que el áre qued: A d d F A F() F( ) + F() F ( 9 ) u F( ) 8 9 F() F() [ ] [ ] Pr ser más 8 Represent gráficmente l región cotd limitd por l gráfic de ls funciones f g ( + ) h,, ( + ) y otén su áre Se trt de un práol ( f V(, ),(, ),(, )) y de dos rects ( g (, ),(, )), ( h (, ),(, )) g Los puntos de corte de ls tres funciones entre sí son: f g, ; f h +, Sólo vlen y Del gráfico: A ( g f ) d + ( h ( ) f ( )) d + d + + d H ; + H H + H ; H A HH+ H H H u f h 8

30 Actividdes 9 Clcul ( + + ) d, donde indic el vlor soluto de Hll el áre de l región cotd por l gráfic de g ( ) y el eje OX Clcul: ) d ; ) Clcul: ) ( ) d ; ) + + ( + ) d + d, si Hll el áre de l región pln cotd limitd por l gráfic de l función f ( ), si <, el eje de, si > scisss y ls rects, Clcul el vlor de > en los siguientes csos: ) + d ; ) + d ; c) + d Clcul el áre del recinto plno cotdo limitdo por l gráfic de f ( ) e pr, el eje OX y l rect + )) Hll l ecución de l rect tngente en el punto de infleión de scis positiv de l gráfic de f Se consider l función rel de vrile rel definid por f ( ) ) Represent gráficmente y clcul el áre del recinto pllno cotdo limitdo por l gráfic de f, l rect nterior y el eje ( ), si 7 Represent gráficmente y hll el áre cotd por l gráfic de f ( ) y l rect y ln, si > 9 Determin el vlor de > pr que el áre de l región pln cotd limitd por ls gráfics de ls curvs 8 Clcul el áre del recinto limitdo por ls curvs y e y y e y se igul u Averigu el áre encerrd por l gráfic de f ( ) y el eje OX Hll un primitiv de l función f ( ) 7 + e tl que F (), 7 Clcul el vlor de I + d plicndo el cmio de vrile t + Hll el áre de l región limitd por ls gráfics f ( ) y g ( ) + Clcul: ( + ) e d Hll el áre del recinto plno delimitdo por y +, y 8

31 UNIDAD LA INTEGRAL Clcul ls siguientes integrles: ) e ( ) d ; ) e + e (e + ) d 7 Determin el vlor de pr que el áre comprendid entre l práol y + y l rect y + se u 8 Clcul el áre encerrd por l función f ( ) y ls rects y, y ) Hll los etremos reltivos y puntos de infleión de l función f ( ) 9 ) Clcul el áre del recinto plno cotdo limitdo por l gráfic de f ( ), el eje OX y ls rects verticles, Sen ls funciones y +, y + Represéntls y determin el áre encerrd por ms ) Clcul ls coordends de los máimos y mínimos reltivos de l función f ( ) ) Hll el áre de l región limitd por l gráfic de f y el semieje positivo OX ) Determin, y c siendo que ls gráfics de ls funciones f ( ) + +, g ( ) + c se cortn en los puntos (, ) y (,) ) Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de g ( ) en el punto (, ) c) Clcul el áre de l región limitd por ls gráfics de f ( ) y g ( ) Aplicciones de l integrl en l Físic L Z Y dm L El uso de l integrl en l Físic es muy hitul Aprece l intentr clculr el cmpo mgnético credo por un hilo conductor, el cmpo grvittorio credo por un rr o cundo se clcul un momento de inerci, que se define como I r dm Como ejemplo, vmos clculr el momento de inerci de un rr pln uniforme M dm d de ms M y longitud L (densidd linel constnte ρ ), que gir respecto L d de un eje perpendiculr que ps por el centro de dich rr Pr el plntemiento, y l her sólo un dimensión, pues l rr es pln, se descompone en trozos de longitud d y de ms dm, relcionds trvés de l densidd X Se tiene: L r, dm ρ d I L ρ d ρ L ρ 8 L M L L ρ ML

32 Aplicciones l cálculo de longitudes de rco de curvs, áres y volúmenes de cuerpos de revolución L longitud que recorre un función desde un punto (,f()) otro (,f()) se llm f longitud de rco Pr su cálculo, podemos hcer un prtición en n trozos y proimr l curv medinte un líne poligonl Por convención,, n Cd uno de los segmentos de l líne tiene un longitud (teorem de Pitágors): + ( ) + i i+ i i+ i l f f f ( i + ) f i L rco i+ n i l i + i Pr ser más n f i+ f i i+ i i+ i i i+ i ( ) Por el teorem del vlor medio, i+ f ' c l f ' c L longitud de rco es l sum de tods ests longitudes: + f '( ci ) Δi Cundo n,, Δi d y, se otiene que: Lrco + f ' d i i f ( i ) g f( i ) f f ( i + ) f ( i +) i i+ f g Un cuerpo de revolución es quel que se otiene l girr un curv respecto de un eje El eje que usremos será el eje OX, pues ls fórmuls quedn más directs Después mostrremos cómo qued si se us el eje OY Pr clculr el volumen podemos hcer rodjs el sólido Cd rodj es un tronco de cono, cuyo volumen está comprendido entre los volúmenes de dos cilindros de igul ltur y rdios f ( ), f ( ), luego π f ( ) ( ) i+ i i i+ i i+ TC π i + i + i i + i TC V f Cundo, V VCilindro π f i i + i Summos todos los troncos de cono, mejormos l proimción y otenemos que: V π f d + i i+ i El áre lterl del tronco de cono es π rg π f f ' c, pues g es l longitud de l líne poligonl que usmos pr l longitud de rco i Siguiendo el mismo proceso, se otiene: S π f f ' d + Si usmos como eje de giro el eje OY, e y cmin sus ppeles Pr ello, g(y) (usndo l invers f - ) y se integr en y, no en Como se ve en ls fórmuls, lo más sencillo de clculr es el volumen, convirtiéndose en rdu tre el cálculo de l longitud y de l superficie 8

33 UNIDAD LA INTEGRAL Ejemplos 9 Hll l longitud de rco de l práol de ecución y, desde hst Averigu tmién el volumen del proloide de revolución que se otiene l girr ese trozo de práol respecto l eje OX y' Lrco + Se hce el cmio: d d + 9 d + 9 sh t sht 9 d sh t + 9 sht chtdt cht sht cht dt sht 9sh t d 9 sht cht dt sh t t ( sht cht + t ) + ln F ch t dt ( ch t + ) dt 8 9 9π Luego Lrco ( F ( ) F ( ) ) + ln 7, 7 u, pues F ( ) V π 9d 7π,9 u En l evlución de ests epresiones es de grn yud l clculdor científiic, más si es del tipo S - VPAM, pues, usndo ls memoris, permite escriir l epresión en l clculdor csi com mo en el ppel Por ejemplo, si introducimos un número en l memori A, con l secuenci Shift RCL (tecl STO ) A, el cálculo de F (A) serí: ( 9 + X A ) / + / X ln ( ( X AX A+ (9+ X A) ) /) Hll l longitud de rco de l curv ch e + e (llmd ctenri), entre y X! Averigu tmién l super ficie y el volumen del sólido engendrdo l girr el trozo de curv lrededor del eje OX ( ch ) ' sh Lrco + sh d chd sh sh e e,7 u sh sh + S π + 8, 89 u ; S π ch + sh d π ch d π ( ch + ) d π π sh V π ch d +, 9 u Dd l elipse y +, hll el volumen engendrdo l girr l semielipse positiv lrededor del eje OX y π π π u V ) ( ; V - Actividdes Hll l longitud de l circunferenci + y r, sí como l superficie y el volumen de l esfer engendrd l girr l semicircunferenci positiv lrededor del eje OX e e Represent gráficmente y hll l longitud de rco de l curv sh comprendido entre y Averigu tmién l superficie y el volumen del sólido engendrdo l girr dicho trozo de curv lreddedor del eje OX Hll el volumen del hiperoloide de revolución que se otiene l hcer girr el trozo de l hipérol y comprendido entre y 8

34 Recuerd F es un función primitiv o primitiv de f si F' f Integrles inmedits Integrl indefinid: f F+ k ó f d F + k n+ n d + k, n R n + { } d ln + k ed e + k sen d cos + k d ( + tg ) d tg + k cos cos d sen + k d rc sen + k rc cos + k d + rc tg + k Integrción por prtes: udv u v v du Propieddes de linelidd : ( f + g) f + g L integrl de un sum es igul l sum de ls integrles λ λ ( f) f L integrl del producto de un constnte por un función es igul l constnte por l integrl de función Ls dos propieddes nteriores pueden resumirse como: ( λf + μg) λ f + μ g Teorem fundmentl del cálculo : ftdt () F + k Regl de Brrow : f ( d ) F F F Áre encerrd por un función y l prte positiv del eje OX : Áre f ( ) d + f ( ) d + f d+ f d Áre encerrd por dos funciones f y g: se define l función h f g y se clcul el áre encerrd por h y l prte positiv del eje OX Longitud de rco : Lrco f ' d + Volumen de un sólido de revolución : V π f d Superficie de un sólido de revolución : S π f f ' d + 8