Las funciones. 1. Constantes y variables.- Constante es una letra o símbolo que representa un número fijo y determinado.

Transcripción

1 Las funciones 1. Constantes y variables.- Constante es una letra o símbolo que representa un número fijo y determinado. Variable es una letra o símbolo que representa cada uno de los números de un conjunto. Este conjunto se denomina campo de variabilidad de la variable. Si los valores que puede tomar una variable son todos los comprendidos entre dos números reales, se dice de la variable que es continua entre dichos números. Cuando los valores que puede tomar una variable son completamente arbitrarios, es decir, cuando su variabilidad no está sujeta a los valores de ninguna otra magnitud, entonces la variable se llama variable independiente Por el contrario, si los valores que toma una variable dependen de los de otras magnitudes, la variable se denomina variable dependiente.. Intervalo.- Intervalo es el conjunto de números reales comprendidos entre dos fijos que se llaman extremos. El intervalo puede ser abierto o cerrado. Es abierto si no comprende a sus extremos y cerrado si los comprende. EJEMPLO.- Suponiendo que 3 y 7 son los extremos de un intervalo, éste irá representado por (3, 7). La variable x cuyos valores son los comprendidos en dicho intervalo ha de ser tal que 3 < x < 7, cuando sea abierto, y 3 x 7 si es cerrado e irá representado por [3, 7]. Amplitud del intervalo es la diferencia entre sus extremos. La amplitud del intervalo (3, 7) es 4; la del intervalo (-, 11) es 13. Si alguno de los extremos es infinito, el intervalo se considera infinito. Así, (1, + ) y (-, + ) son intervalos infinitos. El primero expresa que la variable x es igual o mayor que 1, y el segundo, que la variable x puede ser cualquier número real. 3. Concepto de función.- DEFINICIÓN: Se dice que la variable y es función de la variable independiente x, en un intervalo (a, b) si a cada valor de x comprendido en ese intervalo corresponde un valor de y. Para representar que y es función de x se escribe y = f (x), expresión que se lee: y igual f de x La letra f se llama característica de la función, y representa, en forma simbólica, el conjunto de operaciones que es necesario efectuar con cada valor de x para obtener el correspondiente de y. Cuando se consideran distintas funciones de x, se emplean diferentes letras, como en u = f (x), v = g (x), w = h (x), o bien una misma letra con subíndices: f l (x), f (x)..., f n (x) Se dice de una función y = f (x) que está definida para un cierto valor x 1 de x, cuando al hacer x = x 1, la función toma un valor real determinado. Una función está definida en un intervalo (a, b) cuando lo está para todo valor de x comprendido en dicho intervalo. El intervalo de valores de x en que está definida la función se llama dominio de la función:d[f(x)]. El conjunto de valores de y que se obtiene para cada valor de x se denomina Recorrido de la función: Rec[f(x)] EJEMPLOS.- La función y = a o x m + a l x m-l a m-1 x + a m, en la que a o, a 1,...son constantes numéricas cualesquiera, está definida para todo valor de x. La función y = 1 x está definida solamente en el intervalo [- 1, + 1]. 1

2 3x + 4x 7 La función y =.está definida para todo valor de x, a excepción de los dos siguientes: x x x = 0 y x = 1, ya que para ellos se anula el denominador. 4. Representación gráfica de las funciones.- Como es sabido, el empleo de las coordenadas cartesianas permite obtener la imagen o representación gráfica de las funciones. Esta representación es muy conveniente para el estudio de las propiedades de las funciones. Sea la función y = f (x). Formemos una tabla de valores de dicha función y representemos en un sistema de ejes ortogonales Esto se logra tomando, para cada punto, como abscisa el valor de la variable independiente x, y como ordenada el correspondiente de la función y. Teóricamente, podríamos hacer la misma operación para todos los valores posibles de x, y el conjunto de puntos así obtenidos sería una línea que se denomina representación gráfica de la función y = f (x). En la práctica, se dibujan los puntos necesarios para que resulten bastante próximos, de manera que, al unirlos luego mediante un trazo continuo, se obtenga una curva sensiblemente parecida a la verdadera. EJEMPLO.- Representar gráficamente la función y = 4x -. Formaremos primeramente una tabla de valores, como la siguiente: x 0 1 y - Luego, sobre un sistema de ejes coordenados rectangulares determinaremos los puntos cuyas coordenadas sean los pares de valores (0, -), (1, ), que se corresponden en la tabla. Uniendo dichos puntos por una línea se tendrá la gráfica pedida. 5. Clasificación de las funciones.- Podemos considerar primeramente dos grandes grupos: funciones analíticas y funciones empíricas. Analíticas. Son aquellas en las que la correspondencia entre los valores de la variable independiente y los de la función está expresada por una fórmula matemática.

3 Empíricas. Se llaman así cuando la correspondencia entre los valores de la variable independiente y los de la función viene dada solamente por hechos experimentales, sin fórmula matemática que la exprese. EJEMPLOS FUNCIONES EMPÍRICAS.- 1. La temperatura registrada por un termómetro a lo largo del día, tomando el tiempo como variable independiente.. La demanda de una mercancía con relación a su precio. Las funciones analíticas se clasifican a su vez, en: Algebraicas y Trascendentes 1. Algebraicas, cuando las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son de álgebra elemental (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación).. Trascendentes, cuando la variable independiente figura como exponente o como índice, o se halla afectada del signo logarítmico o de cualquiera de las que emplea la trigonometría. He aquí las principales funciones trascendentes: Exponenciales: y = a x, y = e x Logarítmicas y = log a x, y = lnx Circulares o trigonométricas 1. Directas y = senx y = cosx y = tg x. Inversas y = arc sen x y = arc cos x y = arctgx Las funciones algebraicas pueden ser: explícitas o implícitas. Son explicitas, cuando por simple sustitución podemos obtener en la ecuación que las define los valores de y que corresponden a los dados a x. Es decir, una función es explícita cuando y aparece despejada. EJEMPLOS: y = 3x+; y = x -3x + l; En general, una función explícita se representa por y = f (x). Son implícitas, cuando los valores de y correspondientes a los dados a x no se pueden obtener por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones y despejar y. EJEMPLOS: x + 5y -3 = 0; 4x 7y + 1 = 0: y - x = 0 En general, una función implícita se representa por f (x, y) = 0. Las funciones implícitas se transforman en explícitas despejando y de la ecuación que las define, si es posible. Las funciones explícitas se dividen, a su vez, en racionales e irracionales. En las racionales, la variable x no figura debajo del signo radical ni lleva exponente fraccionario. En las irracionales, la variable x aparece debajo del signo radical o está afectada de exponente fraccionario. 3

4 Por último, las funciones racionales pueden ser enteras o fraccionarias, según que la expresión del segundo miembro sea entera o fraccionaria con relación a la variable independiente x. Podemos resumir la clasificación establecida en el siguiente cuadro: enteras racionales explícitas a lgebraicas fraccionarias irracionales analíticas implícitas Funciones exponenciales trascendentes logarítmicas circulares empíricas 6. Función compuesta (Función de función).- Es una función cuya variable depende de otra y ésta, a su vez, de otra, etc. Así, por ejemplo, si es y = u y u = 1 - x, se tiene, sustituyendo, y = (1- x) decimos entonces que y es función de x por intermedio de u, o bien, que y es función de función de x. En general, si: y = f(u) y u = g (x), escribiremos: y = f[g(x)] 7. Función de varias variables. -Se denomina así a la función que depende de dos o más variables. Su notación es: y = (x, z, u,...) EJEMPLOS.- El valor numérico del polinomio x - xy + y + 3 es función de las variables independientes x e y. El interés producido por un capital es función del rédito y del tiempo en que estuvo prestado. El espacio recorrido por un móvil es función de la velocidad y del tiempo que lleva recorriendo. El volumen de un ortoedro es función de sus tres dimensiones. 8. Noción de continuidad.- Si la operación de trazar la gráfica de una función puede hacerse sin levantar el lápiz o pluma del papel, la línea representativa no presenta interrupciones y nos da idea de la continuidad de la función considerada. Tal sucede con la gráfica de la función y = 4x -. obtenida anteriormente. Si por el contrario, al trazar la gráfica de una función es necesario levantar el lápiz o pluma para obtenerla en su totalidad, la línea que la representa tendrá interrupciones en su trazado, y diremos de la función que es discontinua. Para dar una definición más precisa de función continua hemos de apoyamos en la noción de límite. y así, decimos: Una función f (x) es continua en un punto x 1, si al tender x a x 1. la función tiene por límite f (x 1 ), es decir, cuando se verifica que: lim f (x) = f (x 1 ) x x 1 Para que una función f (x) sea continua en un punto x 1 es necesario, además, que esté definida en ese punto, y que el valor f (x 1 ) sea finito. Una función es continua en un intervalo (a, b), cuando es continua para todo valor de x comprendido entre a y b, o sea, cuando lo es para todos los puntos de dicho intervalo. Teniendo en cuenta la definición de límite, podemos deducir la condición de continuidad de una función de la siguiente forma: La función y = f (x) es continua para un valor x 1 de x, si la diferencia f (x) -f (x 1 ) puede hacerse tan pequeña como se quiera haciendo convenientemente pequeña la diferencia x x 1. 4

5 Es decir, observando que f (x) -f (x 1 ) = y = f(x + h) y x x 1 = x = h, podemos enunciar más brevemente: Una función y = f(x) es continua en un punto x 1, cuando al ser el x de la variable un infinitésimo, también lo es el y de la función. 9. Teoremas relativos a las funciones continuas.- 1. Una suma algebraica de funciones continuas es también una función continua.. Un producto de funciones continuas es también una función continua. 3. Un cociente de dos funciones continuas es también una función continua, excepto para los valores de la variable que anulan al denominador. 4. Como caso particular de la multiplicación, podemos añadir: la potencia de exponente natural de una función continua es también una función continua. 5. Si una función y = f (x) es continua, también lo son las funciones y = f(x) + C e y = C f(x). 6. La función y = x es continua, por ser iguales el incremento de la función y el de la variable. 7. Toda función entera es una función continua Una función entera no es sino una combinación de adiciones, multiplicaciones y potencias de la variable con números fijos; de ahí que toda función entera sea una función continua 10. Discontinuidad.- Una función es discontinua en un punto x 1, cuando no se verifica la igualdad lim f(x) = f(x 1 ) x x 1 ya sea porque no existe límite, o porque, si existe, tiene un valor distinto de f (x 1 ). Existen tres clases de discontinuidad, llamadas soluciones de continuidad, y son: 1. Discontinuidad evitable. Discontinuidades no evitables. Éstas a su vez pueden ser: De primera especie De segunda especie 11. Propiedades de las funciones continuas.- De la definición de continuidad se deducen las siguientes propiedades: 1. Si una función f (x) es continua en un intervalo (a, b) y en sus extremos toma valores de signos contrarios, existe por lo menos un punto c comprendido entre a y b en el cual se anula la función. Si una función f(x) es continua en un intervalo (a, b) y en sus extremos toma los valores A y B, existe por lo menos un punto c comprendido entre a y b en el que toma la función un valor cualquiera C comprendido entre A y B. 1. Funciones inversas.- Sea f(x) una función real de dominio D e inyectiva Si D = Rec[f(x)], se define una función llamada inversa de f(x) y se representa: f -1 (x), cuyo dominio es D de la siguiente manera: f -1 (x) = y si f(y) = x 5