MATERIALES: Cuaderno de 100h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde

Transcripción

1 MATERIALES: Cuaderno de 00h cuadriculado, block de hojas milimetradas, calculadora, lápiz, borrador, lapicero de color verde

2 FACTORIZACION - Casos de Factorización - Factor común - Factor común por agrupación de términos - Diferencia de cuadrados - Trinomio cuadrado perfecto por adicción y sustracción - Trinomio de la forma z +bx+c - Trinomio de la forma az +bx+c - Cubo de binomio - Suma o diferencia d cubos - Teorema del factor Factor Común Cuando todos los términos del polinomio dado tienen un factor común o varios en virtud de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma se puede sacar factor común. Conmutando dicha igualdad se tiene la distributividad aplicada en sentido inverso: ab + ac + ad = a ( b + c + d ) Para sacar el factor común a un polinomio se dividen todos los términos del polinomio por el factor común escribiendo los cocientes parciales entre paréntesis, indicando el producto del polinomio cociente por el factor común. Ejemplo: Factorizar 3x 3 y - 4 x y + 6xy = 3xy ( x - 8x + ) Ejemplo: Factor Común por agrupación de términos Para factorizar un polinomio por este criterio se agrupa aquellos términos que tengan un factor común y se aplica la regla anterior. El polinomio necesita tener como mínimo cuatro términos para formar grupos de dos elementos. Ejemplo: Factorizar a x - - a y + y + x 3 - x y Solución = ( a x - a y ) - ( - y ) + ( x 3 - x y ) = a ( x - y ) - ( x - y ) + x ( x - y ) = (x - y ) ( a - + x ) Con los seis términos del polinomio anterior se pueden formar tres grupos de dos términos o dos grupos de tres resultando el mismo producto. ejemplo 4( x + ) 7 - ( x + ) 6 La expresión cuenta con términos, identificamos que ambos tienen un factor común que es (x + ) 6 4(x + ) 7 / (x + ) 6 = (x + ) - (x + ) 6 / (x + ) 6 = -

3 Para el proceso de obtener el factor común debemos dividir cada término entre el factor común que hemos detectado. (x + ) 6 ([x + ] - ) Para presentar el resultado colocamos el factor común multiplicando a un paréntesis con la suma de los dos resultados de las divisiones anteriores. (x + ) 6 (x + - ) Efectuamos la multiplicación indicada en el segundo paréntesis. (x + ) 6 (x + ) Reduciendo términos semejantes dentro del paréntesis. Y así obtenemos el resultado. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Este método solo puede utilizarse en trinomios que cumplan con ciertas condiciones: Los signos de los términos son iguales o alternos. El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos. El segundo término es el doble producto de las raíces de los términos primero y tercero. Al trinomio que cumpla las condiciones anteriores se denomina trinomio cuadrado perfecto. Ejemplos: Factorizar a) / 5 x 4 + x y + 5 y / 5 x 5 y ( / 5 x ) ( 5 y ) = x y Después de verificar si el polinomio en cuestión es trinomio cuadrado perfecto se escriben las raíces cuadradas del primer y tercer término separadas por el signo del segundo término dentro de un paréntesis que deberá elevarse al cuadrado. / 5 x 4 + x y + 5 y = ( /5 x + 5y) Factorizar: m + 3m + 56 b) 5 x + 0 x - c) a - ab + b Primero identificamos que el trinomio es un cuadrado perfecto. La raíz cuadrada del primero y del tercer término multiplicadas por nos dan como resultado el segundo término, por tanto es un trinomio cuadrado perfecto. ( m + 6 ) La raíz cuadrada del primer término es "m" y la del tercero es "6", por tanto para factorizar colocamos a "m" dentro del paréntesis, tomamos el signo del segundo término y colocamos a "6"

4 cerramos el paréntesis y todo lo elevamos al cuadrado. conocimientos adquiridos sobre cocientes notables, es decir: donde n pertenece a z; Diferencia de cuadrados: para esto debemos tener en cuenta que un binomio es una diferencia de cuadrados siempre y cuando los términos que la componen tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta, se factoriza asi: si n es par y si n es impar Factorizar: 4x n - 9y n La expresión cuenta con términos, por tanto puede ser factorizada como diferencia de cuadrados o de cubos, como ambos términos tienen raíz cuadrada exacta, decidimos factorizarla como diferencia de cuadrados. (x n - 3y n ) (x n + 3y n ) La raíz cuadrada de 4 es y la de 9 es 3, mientras que la de x n es x n, debido a que el exponente debe ser multiplicado por / de igual manera que la raíz de y n es y n. Por tanto formamos los binomios conjugados con las raíces de las expresiones. Suma o diferencia de potencias iguales: Para solucionar este caso debes tener en cuenta los se factoriza asi: si n pertenece a z si n es par si n es impar Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo: resolviéndolo nos queda:

5 Como ejemplo vamos a utilizar el ejercicio. Aplicamos diferencia de cuadrados: Completando el cuadrado El proceso es el siguiente:. Primero mueves el tercer término con signo opuesto al lado contrario de la igualdad.. Luego, vas a calcular el término que te permite crear tu cuadrado de la siguiente forma: selecciona el coeficiente de la variable que está elevada a la, se divide entre dos y elevarlo al cuadrado. 3. Este resultado lo sumarás a ambos lados de la expresión. 4. Después, la raíz cuadrada del primer término, el operador (signo) del medio y la raíz cuadrada del último termino, todo elevado al cuadrado es igual a la suma de la derecha. 5. Luego, sacas raíz cuadrada a ambos lados, observando que hay dos posibles soluciones, el caso positivo y el caso negativo. 6. Por último despejas por la variable y esas son las raíces o ceros del polinomio. Trinomio cuadrado de la forma: n bx n c Este trinomio debe cumplir con las siguientes características: Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula). El primer término debe ser positivo y tener raíz cuadrada exacta. La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raiz cuadrada del término número uno. Existen dos números que :

6 n es decir: Trinomio cuadrado de la forma: bx n c Debe cumplir con las siguientes características: Debe estar organizado de forma correspondiente(es decir, debe coincidir con la formula). El primer término debe ser positivo, tener un coeficiente a diferente de y la parte literal debe tener raíz cuadrada exacta. La variable que esta acompañando el segundo término debe ser la raíz cuadrada del término número uno. Cumpliendo con todas las características anteriores se procede a factorizar transformando el trinomio dado en uno de la forma n n bx c de la siguiente forma: n bx n c Luego se procede a multiplicar y dividir por la variable que acompaña al primer término (esto con el fin de no alterar el ejercicio) de la siguiente forma: a( n como resultado: n bx c) a n n ( ) b( ) ac a y se opera, dando Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo bx c, siendo a, b y c números Se iguala el trinomio a cero resuelve la ecuación x, b si tiene dos soluciones distintas, la siguiente fórmula: bx c a bx c, se x x x x x b 4ac a y x, y se aplica Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio x 5x 3 Igualamos a cero x 5x 3 0 Resolvemos la ecuación x, 4 4 y separando las dos soluciones x 4 3 x, 4, y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=, esto implica que x 5x 3 x x 3 y de esta forma nos queda como un trinomio de la forma anterior. Cubo perfecto de Binomios Teniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

7 y y Factorizar: 8x 3-5 es decir que debe cumplir con las siguientes características: Debe tener cuatro términos. Que tanto el primero como el último término sean cubos perfectos Que el segundo término sea aproximadamente el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. Que el tercer término sea más que el triplo de la raíz cúbica del último. Raíz cúbica de un monomio:esta se obtiene tomando la raíz cúbica de su coeficiente y dividiendo el exponente de cada letra entre 3. Factorar un expresión que es el cubo de un binomio: Para poder factorizar el binomio como una diferencia de cubos debemos de obtener la raíz cúbica de cada uno de los términos por separado. Así tenemos que para el primero es x y para el segundo es 5. (x - 5) (4x + 0x + 5) La factorización se forma como el producto de un binomio por un trinomio, de esta manera el binomio se forma por la diferencia de las dos raíces cúbicas obtenidas en el paso anterior. El trinomio se forma elevando al cuadrado el primer término del binomio, mas el producto del primer y segundo término del binomio, mas el segundo al cuadrado. Suma o Diferencia de Cubos perfectos Para esto debemos recordar que: Tenemos que tener en cuenta las siguientes reglas para desarrollarlo: La de sus cubos perfectos se descompone en dos factores:. La suma de sus raíces cúbicas. El cuadrado de la primera raíz,

8 menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:. La diferencia de sus raíces cúbicas.. El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Suma o Diferencia de dos potencias iguales Debemos tener en cuenta una pequeña recapitulación de: es divisible por siendo n un número par o impar es divisible por siendo n impar es divisible por siendo n par Ejemplo: se divide por y tenemos: nunca es divisible por y obtenemos como respuesta: SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS. La suma o diferencia de cubos se descompone en dos factores donde el primero está compuesto por la suma o diferencia de las raíces cúbicas del binomio a factorizar y el segundo por un trinomio cuyo primer término es el producto de la primera raíz elevada al cuadrado por la segunda raíz elevada a la cero, el segundo termino se obtiene restando uno y sumando uno a los exponentes de los factores del término anterior respectivamente y multiplicando las dos potencias, y el tercer término, al igual que el segundo se resta uno y se suma uno a los exponentes de los factores del término anterior respectivamente multiplicando dichas potencias. En caso de que el primer factor sea una suma, los signos de los términos en el segundo factor estarán alternados; en caso de que en el primer factor sea una diferencia, los signos de los términos en el segundo factor serán positivos. alternados positivo Signos a 3 + b 3 = ( a + b) (a b 0 - a b + a 0 b ) a 3 b

9 Ejemplos: Factorizar a) a + b Solución: a + b = (a 4 + b 4 ) a 3 + b 3 = ( a + b )( a ab + b ) negativo positivos a 3 b 3 = ( a b )( a + ab + b ) a b a b a b = (a 4 + b 4 ) (a 8 a 4 b 4 + b 8 ) Solución : a) 8 8 x 3 8y 3 x 3 8y 3 = ( x y) 0 0 x y x y x y = ( x y ) ( 4 x + x y + 4y ) SUMA O DIFERENCIA DE BASES CON EX- PONENTES IMPARES IGUALES. Cuando el binomio no es una suma o diferencia de cubos se procede a factorizar exactamente de la misma forma; se le saca la raíz enésima a cada término colocándolas en el primer factor separadas del signo del segundo término del polinomio a factorizar. En el segundo factor se escribe la primera raíz elevada al exponente menos uno del binomio a factorizar seguida de la segunda raíz elevada a la cero, el segundo término se obtiene sumando uno y restando uno a los exponentes del primer término respectivamente; de la misma manera se encuentran todos los términos del segundo factor hasta que los exponentes queden invertidos al primer término. Ejemplos: a) a 7 b 7 Solución: a 7 b 7 = (a b )( a 6 b 0 + a 5 b + a 4 b + a 3 b 3 + a b 4 + a b 5 +a 0 b 6 ) = (a b )( a 6 + a 5 b + a 4 b + a 3 b 3 + a b 4 + ab 5 + b 6 ) b) 3 x 5 + y 0 Solución: 3x 5 + y 0 = ( x) 5 + ( y ) 5 = x y x y x y x y x y x y = ( x + y ) ( 6x 4 8x 3 y + 4x y 4 x y 6 + y 8 ) FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO POR EL MÉTODO DE EVALUACIÓN. Este método de factorización es aplicado para polinomios que tienen cuatro o más términos. El método utilizado es por le regla de Ruffini con el objetivo de encontrar un cociente (factor ) que al multiplicarse por el divisor (factor) dé, cómo producto, el dividendo (polinomio a factorizar).

10 Para cumplir con lo anterior es necesario observar que el residuo debe ser cero, o sea: Teorema del factor.- Un polinomio P(x) tiene como factor a (x-a) si y solo si para x = a, P(a) = 0 Condición necesaria de divisibilidad.- Para que un polinomio P(x) sea divisible por (xa) es condición necesaria pero no suficiente que el término independiente del dividendo sea divisible entre a. Método de evaluación.- Este esquema está diseñado para factorizar completamente un polinomio entero en x, para él utilizamos, el teorema del factor y la división sintética o regla de Ruffini. Ejemplos: ) Factorizar por evaluación x 4 + 3x 3 3x 75x 50 Solución: Se buscan los divisores de 50: (Descomponiéndolos en factores primos) a =,, 5, 0, 5, 50 Hay que verificar con cada uno de los divisores hasta encontrar P(a) = P() = = P(-)= éste es un factor Por Ruffini: Quedando los factores: (x 3 + x 5x 50) (x + ) Para factorizar completamente hay que factorizar cada uno de los factores si es posible. El primero de los factores anteriores no está completamente factorizado por lo que hay que hacerlo nuevamente por Ruffini o por cualquier otro método, en este caso trataremos nuevamente por Ruffini. Siguiendo los pasos anteriores Se separan en factores quedando: x 3 + x 5x 50 = (x 5)(x + ), juntando todos los factores del polinomio inicial: (x + )(x 5)(x + )

11 observando el factor de en medio puede verse que aún falta por factorizar por lo que el resultado de la factorización completa es: (x + ) (x + 5) (x 5) (x + )..- Factor común por agrupación del mismo número de términos 3.- Factor común por agrupación de diferente número de términos 4.- Método de evaluación RESUMIENDO: Para factorizar una expresión algebraica es necesario reconocerla en alguna de las siguientes: Expresión algebraica de dos términos Expresión algebraica de tres términos Expresión algebraica de cuatro o mas términos Después de identificarla factorizar siguiendo el orden correspondiente. Expresión de dos términos:.- Factor común.- Diferencia de cuadrados perfectos 3.- Suma o diferencia de cubos 4.- Suma o diferencia de bases con exponentes impares iguales. Expresión de tres términos:.- Factor común.- Trinomio cuadrado perfecto 3- Trinomios de la forma x + bx + c y + bx + c 4.- agrupación de términos Expresión de 4 o más términos:.- Factor común