el blog de mate de aida. CSII. Funciones elementales.

Transcripción

1 el blog de mte de id. CSII. Funciones elementles. pág.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: DEFINICIÓN. Dds dos mgnitudes, un función es un relción entre mbs, de tl mner que cd vlor de l primer le corresponde un único vlor de l segund. A l primer mgnitud se l llm vrible independiente, l segund (que depende de l primer), vrible dependiente. Si se represent por l letr l vrible independiente por l letr l vrible dependiente, l relción funcionl es función de, o depende de, se escribe sí: =f() El dominio de un función es le conjunto de vlores que puede tomr l vrible independiente. El rngo de un función es el conjunto de vlores que puede tomr l vrible dependiente. A l Ejemplo: El áre de un cudrdo es igul ldo por ldo:. Ést es un relción entre dos mgnitudes: áre ldo. El áre depende del ldo, luego est se le llm vrible dependiente l ldo vrible independiente. El dominio de est función está formdo por los números potivos, que l vrible independiente es un longitud. El rngo de dich función está formdo tmbién por números potivos. DETERMINACIÓN DE UNA FUNCIÓN. - Medinte un gráfic. - Medinte un tbl o conjunto de pres. - Medinte fórmuls o epreón nlític. - Medinte un descripción verbl. Medinte su representción gráfic: Sobre unos ejes crtenos representmos ls dos vribles: - l (vrible independiente) sobre el eje horizontl (eje de bsciss). - l (vrible dependiente) sobre el eje verticl (eje de ordends). Cd punto de l gráfic tiene dos coordends, su bscis su ordend. Al representr los puntos (,f()), l función se identific con un líne que es l gráfic de l función. Pr relizr l gráfic de un función h que elegir ls escls decuds en cd eje; o lo que es lo mismo, utilizr ls uniddes más idónes. Los ejes deben estr grdudos en escls, de modo que se puedn cuntificr los vlores de ls dos vribles. En ls gráfics conviene destcr quellos vlores pr los cuáles se verificn hechos importntes. Medinte un tbl de vlores: Se presentn dos columns: en l primer prece l vrible independiente () en l segund l vrible dependiente (). Ejemplo: El áre de un cudrdo, en función de su ldo, es A=l. Est función puede venir dd medinte l guiente tbl de vlores: Ldo, (cm.) áre, (cm ) 0 0 0,5 0, ,5,5 4,5 6, ,5 1,5 Medinte su epreón nlític o fórmul: L epreón nlític es l form más precis opertiv de dr un función. Permite clculr los vlores de l vrible dependiente pr todos los vlores que demos l vrible independiente.

2 el blog de mte de id. CSII. Funciones elementles. pág. Ejemplo: El volumen de un esfer es función de su rdio viene ddo por l epreón: V 4 r 3 3 CUÁNDO UNA GRÁFICA NO CORRESPONDE A UNA FUNCIÓN Cundo cd vlor de le corresponde uno o ninguno de, l gráfic corresponde un función. Cundo h vlores de los que les corresponde más de un vlor de, l gráfic no corresponde un función. ASPECTOS A ESTUDIAR SOBRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. Vmos conderr continución, de mner intuitiv, lgunos spectos tener en cuent pr estudir representr un función =f(). Dominio de definición Se llm dominio de definición de un función f, se degn por Dom(f), l conjunto de vlores de pr los cules eiste función, es decir, puede clculrse f(). El conjunto de vlores de pr los cules eiste l función puede quedr restringido por lguno de los guientes motivos: - impobilidd de relizr lgun operción: - denomindores: los vlores que hcen cero el denomindor no están en el dominio. - ríces cudrds: los vlores que hcen negtivo el rdicndo no están en el dominio. - conteto rel del cul se h etrído l función: por ejemplo, se trt de l función que nos d el áre de un cudrdo en función de l longitud de su ldo, el dominio serán solo los números potivos, pues l longitud del ldo es un distnci es potiv empre. - por voluntd de quien propone l función: cundo quien present l función l define en un intervlo determindo. Tendremos en cuent ls guientes condiciones: - Ls funciones polinómics están definids pr todo número rel. - Ls funciones rcionles, de l form P( ) f ( ) donde P() Q() son polinomios, están Q( ) definids pr todo vlor de, menos quellos que hcen cero el denomindor (l divión por cero no tiene sentido). Por tnto, los vlores que h que ecluir son ls soluciones de l ecución Q()=0. - L función ríz cudrd, f ( ) P( ), no tiene sentido cundo el rdicndo es negtivo. Por conguiente hbrá que ecluir todos los vlores de tles que P() < 0. Ejemplos: Indic rzon cuál es el dominio de ls funciones: 1) f ( ) 3 ) f ( ) 3) ( ) 1 4 f 3) f ( ) 3 5

3 el blog de mte de id. CSII. Funciones elementles. pág.3 Recorrido o imgen El recorrido o imgen de un función es el conjunto de vlores que tom l vrible dependiente, es decir, l. Lo representremos por Im(f). Puntos de corte Los puntos de corte de un función con los ejes de coordends se clculn de l guiente form: Con el eje X: se hce =0 se despej l, pudiendo hber cero, uno o vrios puntos de corte. Con el eje Y: l hcer =0 se obtiene =c el punto es (0,c). Discontinuiddes L ide de función continu es l de que puede ser representd con un solo trzo (pr dibujrl no hce flt levntr el bolígrfo del ppel). Un función que no es continu present lgun discontinuidd. Tmbién se puede decir de un función que es continu en un trmo, unque teng discontinuiddes en otros lugres. Un función es continu en un intervlo sólo present discontinuiddes fuer de él. Ls funciones dds por epreones nlítics elementles son continus en todos los puntos en los que están definids. H diferentes rzones por ls que un función puede no ser continu: - Si l vrible independiente ps dndo sltos de cd vlor l guiente, no es continu (pr dibujrl h que levntr el bolígrfo del ppel). En este cso, l vrible se llm discret. L gráfic de l función es un serie de puntos. - Otrs veces, unque l vrible independiente se continu, l función present sltos bruscos. Esos sltos se llmn discontinuiddes l función que los tiene se dice que es discontinu. (Pr dibujrl h que levntr el bolígrfo del ppel). Simetrís Un función es métric respecto del eje OY cundo f(-) = f(), pr todo de su dominio. En este cso decimos que f es un función pr. Un función es métric respecto del origen cundo f(-) = -f(), pr todo de su dominio. En este cso decimos que f es un función impr. L gráfic de un función impr no vrí, con centro en el origen de coordends, l girmos 180º. Asíntots H funciones en ls que, unque solo conozcmos un trozo de ells, podemos predecir cómo se comportrán lejos del intervlo en que hn do estudids, porque tienen rms con un tendenci mu clr. Ls síntots son rects hci ls cuáles tiende pegrse l gráfic de l función. Pueden ser verticles, horizontles oblicus. Un función tiende hci un vlor constnte k cundo l umentr o disminuir los vlores de l vrible independiente, los correspondientes vlores de l vrible dependiente se vn proimndo l vlor constnte k.

4 el blog de mte de id. CSII. Funciones elementles. pág.4 Este comportmiento se epres de ls guientes forms: - Cundo tiende más infinito, =f() tiende k: + f() k - Cundo tiende menos infinito, =f() tiende k: - f() k Gráficmente, mbs tuciones se representn: L rect = k es un síntot horizontl. En l tendenci de un función ms o menos infinito cundo tiende un vlor constnte pueden drse los guientes csos: L rect = es un síntot verticl. Crecimiento decrecimiento; máimos mínimos Un función f es creciente cundo el vlor de f() ument l hcerlo. En cso contrrio es decreciente. El punto que mrc el pso del crecimiento l decrecimiento se llm máimo reltivo, mientrs que en un mínimo reltivo se d el pso de decrecimiento crecimiento. Si f() es mor que culquier f(), entonces el punto (,f()) es el máimo bsoluto de f. De mner nálog se define el mínimo bsoluto. Periodicidd Un función es periódic de periodo k cundo f() = f(+k). Esto gnific que l función se repite en intervlos o ciclos consecutivos de longitud k.

5 pág.5 FUNCIÓN LINEAL: LA RECTA. Ls funciones polinómics de grdo cero o uno tienen por gráfic un rect: = m + n. El coeficiente m, se llm pendiente. Al número n se le denomin ordend en el origen. L rect de ecución =m+n cort l eje Y en el punto (0,n). L pendiente (coeficiente de l ) es l vrición (umento o disminución) que eperiment l cundo l ument un unidd. Nos d l inclinción de l rect: - Si m > 0, l rect, l función, es creciente. - Si m < 0, l rect, l función, es decreciente. - Si m = 0, se trt de l función constnte. Su gráfic es un rect horizontl. Dds ls coordends de dos puntos de l rect, P P m 1, donde , 1,, l pendiente será: es l vrición de l 1 es l vrición de l. Función de proporcionlidd =m (función linel): Ls funciones lineles o de proporcionlidd direct son funciones cu gráfic es un líne rect que ps por el origen de coordends (0,0). ECUACIÓN DE LA RECTA EN FORMA DE PUNTO-PENDIENTE Si de un rect se conoce un punto ( 0, 0 ) l pendiente, m, su ecución, llmd ecución en l form punto-pendiente, es: Funciones relcionds con ls rects: Vlor bsoluto: 0. 0 m 0 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA: LA PARÁBOLA: Ls funciones cu epreón es un polinomio de grdo, funciones cudrátics. Ls gráfics de ests funciones son prábols con eje verticl. El vértice de un prábol se clcul encontrndo su coordend medinte l epreón: b v, su coordend sustituendo el vlor obtenido en l ecución de l prábol, es decir: b V, f b Eje de metrí de l prábol: es l rect de ecución: b. Cumple que l gráfic es métric respecto dicho eje (que es un rect verticl, es decir, prlel l eje Y). b c, con 0, se llmn

6 pág.6 Los puntos de corte de l prábol con los ejes de coordends se clculn de l guiente form: - Con el eje X (eje de bsciss): son ls ríces de l ecución: b c 0. Se hce =0 se despej l, pudiendo hber cero, uno o dos puntos de corte. - Con el eje Y: l hcer =0 se obtiene =c el punto es (0,c). Pr clculr los puntos de corte con el eje X resolvemos l ecución b c 0, que tendrá dos, b 4c un o ningun solución, dependiendo del vlor de discriminnte (rdicndo). Dos soluciones implic dos puntos de corte, un solución quiere decir que l prábol es tngente l eje OX ningun solución implic que l prábol no toc l eje: está enter por encim o por debjo del eje OX. Orientción de l prábol: Si > 0, l prábol present un mínimo en su vértice ls rms de l prábol vn hci rrib,, < 0, l prábol present un máimo en su vértice ls rms de l prábol vn hci bjo. FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO TRES O MAYOR QUE TRES. Un función polinómic de tercer grdo, llmd tmbién cúbic, tiene por fórmul: 3 f ( ) b c d, con, b, c, d reles 0. Ls gráfics de ls funciones cúbics son de uno de los cutro tipos guientes: El dominio es l rect rel. L función es continu en su dominio. Puntos de corte con los ejes: - L gráfic puede cortr l eje de bsciss en 1, o 3 puntos (que son ls ríces de l 3 ecución b c d 0). - L gráfic cort l eje de ordends en el punto (0,d).

7 pág.7 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Ls funciones cu ecución es de l form k se llmn funciones de proporcionlidd invers. Se representn medinte hipérbols, cus síntots son los ejes coordendos. Su dominio de definición es:, 0 0,. Su recorrido es: 0 0,,. Es creciente en todo su dominio k < 0 decreciente k > 0. No tiene etremos reltivos. Es discontinu en =0. No cort los ejes de coordends. Asíntots: - Horizontles: =0. - Verticles: =0. Es métric respecto l origen de coordends. FUNCIONES RACIONALES Ls funciones cu ecución es de l form P( ) f ( ), con P Q polinomios, se llmn funciones Q( ) rcionles. Su dominio de definición son todos los números reles ecepto los que nuln el denomindor. Es discontinu en los puntos que no pertenecen l dominio. Los puntos de corte con el eje X son los ceros de P() que pertenezcn l dominio. Asíntots: - Verticles: se encuentrn en los puntos que nuln el denomindor. - Horizontles: comprmos grdos: - grdo[p()] > grdo[q()] no h síntot horizontl. - grdo[p()] < grdo[q()] =0 es síntot horizontl. Ejemplos: - grdo[p()] = grdo[q()] =k es síntot horizontl, donde k, endo b b los coeficientes de los términos de mor grdo de P() Q() respectivmente. - Oblícus: precen cundo el grdo del numerdor es un unidd mor que el del denomindor.

8 pág.8 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS: Ls epreones nlítics de ests funciones requieren de vris fórmuls, cd un de ls cuáles rige el comportmiento de l función en un determindo trmo. Por ejemplo: Su representción gráfic es fácil sbemos representr cd uno de sus trmos se prest tención su comportmiento en los puntos de emplme. Ejemplo: Un bnco ofrece cuents corrientes con un 5% de interés el sldo es inferior 1500, 5% de interés pr sldos entre , 7 5% pr sldos superiores Represent gráficmente l función que nos d el interés en función del sldo. Pr definir est función hcen flt tres fórmuls: ' f ( ) 100 7' vlores dentro de cd intervlo plicr l fórmul decud en cd cso: Pr completr l tbl de vlores tendrás que dr X intervlo f() 500 < , < > > 6000

9 pág.9 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL L epreón generl de l función eponencil es: f ( ), endo > 0, 1. FUNCIONES EXPONENCIALES CON BASE MAYOR QUE 1 PROPIEDADES f ( ), 1 FORMA DE LA GRÁFICA FUNCIONES EXPONENCIALES CON BASE MENOR QUE 1 f ( ), 1 DOMINIO Dom f = R Dom f = R RECORRIDO Im f = R Im f = R CORTES CON (0,1) (0,1) LOS EJES MONOTONÍA Estrictmente creciente en todo su dominio. Estrictmente decreciente en todo su dominio. ACOTACIÓN Acotd inferiormente por 0. Acotd inferiormente por 0. ASÍNTOTAS Asíntot horizontl: = 0. Asíntot horizontl: = 0. CONTINUIDAD Continu en todo R. Continu en todo R. Ejemplo: L divión de bcteris se reliz por divión de l célul mdre en dos céluls hijs. Esto ocurre con l bcteri Slmonell tphimurium, cusnte de intoicciones limentris, que necet un hor, proimdmente, pr dividirse en dos. L tbl nos muestr el número de bcteris que vn preciendo con el pso del tiempo, en hors: Tiempo (hors) Número de bcteris L epreón mtemátic que se just l tbl l gráfic de est función es: f ( ) Ejemplo: El elemento químico denomindo rdio tiene un periodo de semidentegrción de, proimdmente, 1600 ños. Esto quiere decir que cd 1600 ños l cntidd rdictiv de rdio se reduce l mitd. Por tnto, prtimos de 1 gr de rdio, l cbo de 1600 ños o un periodo de semidentegrción hbrá 1/ gr de rdio, l cbo de dos periodos (300 ños) hbrá 1/4 sí sucevmente. Hce 1600 ños (menos un periodo de semidentegrción) hbí dos grmos de rdio, hce dos periodos hbí 4 grmos, etc. L guiente tbl nos d el número de períodos de semidentegrción en función de l cntidd de rdio:

10 pág.10 Tiempo (períodos de semidentegrción) Cntidd (grmos) ½ ¼ L epreón mtemátic que se just l tbl l gráfic de est función es: 1 f ( ) LOGARITMOS El logritmo de un número rel potivo en bse es el eponente l que h que elevr l bse pr obtener : log gnific que, endo > 0, 1. Los logritmos en bse 10 se llmn logritmos decimles se indicn omitiendo l bse, sí: log N. El logritmo neperino es el logritmo en bse e (e=,71 ) se escribe Ln. Ejemplo: Hll los logritmos guientes: 3 log log log 5 1/ 5 En qué bse el logritmo de 100 es? log Propieddes de los logritmos: I. M logb M N logb M logb N II. logb logb M logb N N III. n log M logb M n logb M IV. logb M log b

11 pág.11 LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA Se llm función logrítmic l que tiene por ecución log, endo > 0, 0. FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE MAYOR QUE 1 FUNCIONES LOGARÍTMICAS CON BASE COMPRENDIDA ENTRE 0 Y 1 PROPIEDADES f ( ) log ; 1 ( ) log ;0 1 FORMA DE LA GRÁFICA f DOMINIO Dom f = R Dom f = RECORRIDO Im f = R Im f = R CORTES CON (1,0) (1,0) LOS EJES MONOTONÍA Estrictmente creciente en todo su dominio. R Estrictmente decreciente en todo su dominio. ACOTACIÓN No cotd. No cotd. ASÍNTOTAS Asíntot verticl: = 0. Asíntot verticl: = 0. CONTINUIDAD Continu en R. Continu en Ejemplo: L divión de bcteris se reliz por divión de l célul mdre en dos céluls hijs. Esto ocurre con l bcteri Slmonell tphimurium, cusnte de intoicciones limentris, que necet un hor, proimdmente, pr dividirse en dos. Vmos estudir hor el tiempo trnscurrido en función del número de bcteris. L tbl nos muestr ls hors que psn en función del número de bcteris que tenemos: R. Número de bcteris Tiempo (hors) Tenemos:. L epreón mtemátic que se just l tbl l gráfic de est función es: log Ejemplo: El rdio tiene un periodo de semidentegrción de, proimdmente, 1600 ños. Un fíco de un prestigioso lbortorio depotó en un urn 1 gr de rdio con el fin de que rvier de reloj pr l posteridd. L guiente tbl nos d el número de períodos de semidentegrción en función de l cntidd de rdio:

12 pág.1 Cntidd de rdio (gr) Tiempo (período de semidentegrción) / 1 1/4 Tenemos: 1. L epreón mtemátic que se just l tbl l gráfic de est función es: log 1/ Ls gráfics de l función eponencil logrítmic con l mism bse, es decir, log son métrics respecto l rect =, bisectriz del primer tercer cudrnte. Ls funciones con est interesnte propiedd gráfic reciben el nombre de funciones inverss.