Problemes de Geometria Computacional

Transcripción

1 Problemes de Geometria Computacional Curs Mercè Mora Vera Sacristán Joan Trias Departament de Matemàtica Aplicada II Facultat d Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya

2 Índex Geometria afí i mètrica 3. Punts, plans i rectes Angles Distàncies Canvis de sistemes de coordenades Algorismes geomètrics 5 3 Corbes i superfícies 6 3. Parametrització de corbes Parametrització de superfícies Superfícies de revolució Intersecció de superfícies Tangències entre superfícies Transformacions afins Afinitats D Afinitats 3D Solucions 4 Geometria afí i mètrica Algorismes geomètrics Corbes i superfícies Transformacions afins

3 Geometria afí i mètrica. Punts, plans i rectes Trobeu l equació del pla que passa pels punts (,, 0), (,, 3) i (0, 0, ). Obteniu l equació del pla que passa pel punt A i conté la recta r: a) A = (, 3, 0) r : { x + y + z = x 3y + 4z = ; b) A = (3, 3, 3) r : x = y = z. 3 Obteniu l equació del pla que passa per A i és paral. lel a les rectes r i s: x 3 a) A = (, 0, 0) r : = y = z x 4 s : 3 = y+ 0 = z 4 { x + y z = b) A = (, 7, ) r : s : x = y = z. x 3y + 4z = ; 4 Determineu la recta que passa pel punt Q = (,, 0), està continguda dins x = t el pla π : x y + z = 0 i talla la recta s : y = + t z = t. 5 Calculeu l equació de la recta que talla les rectes r i s i és paral. lela a la recta t: { { x + y = x + 3y z = x r : s : t : = y x + z = 0 y + z = = z 3. 6 Trobeu l equació de la recta que passa pel punt P i que talla les rectes r i s: a) P = (,, 0) r : { x y 3z = 4 x y + z = s : x 3 = y + = z ; b) P = ( 3,, ) r : { x y = x + z = 0 s : { x + 3y z = y + z =. 7 Considereu les rectes següents: r : { x + 3y 3z = 5 y + z = s : { x + y z = 3 x + 4y z = 9. 3

4 Demostreu que es tallen en un punt i trobeu l equació del pla que les conté. 8 Considereu la recta r i el pla π següents: r : { x y z = x + 5y z = 0 π : x + y + mz = n. Determineu m i n perquè la recta r i el pla π compleixin el següent: a) que es tallin; b) que siguin paral. lels; c) que la recta estigui continguda dins el pla. 9 Proveu que les diagonals d un paral. lelogram s intersequen mútuament en llurs punts mitjos. Anàlogament, demostreu que les quatre diagonals d un paral. lepíped es tallen en un punt i es bisequen mútuament. 0 Demostreu que les rectes que uneixen un vèrtex d un paral. lelògram als punts mitjos dels costats oposats trisecten la diagonal que no conté aquest vèrtex. Donats quatre punts a l espai que es connecten per segments formant un quadrilàter, es consideren els punts mitjos d aquests costats. Proveu que són coplanaris. Demostreu que, a més, són vèrtexs d un paral. lelògram. Demostreu que les tres medianes d un triangle es tallen en un punt. Aquest punt s anomena baricentre del triangle: trobeu-ne les coordenades, en funció de les dels tres vèrtexs. Si els vèrtexs del triangle són A = (,, 3), B = (5, 0, ) i C = (3, 4, ), trobeu les equacions de les medianes i les coordenades del baricentre. 3 Expresseu, en funció de les coordenades dels vèrtexs ABCD d un tetràedre, les coordenades del punt mig, M, de la mediana corresponent al vèrtex A de la cara ABC. 4 Els segments que uneixen els vèrtexs d un tetràedre amb els baricentres de les cares oposades concorren en un punt que divideix cada segment en la raó :3. Aquest punt és el baricentre del tetràedre. Proveu l afirmació anterior. 4

5 . Angles 5 Donat el triangle A = (,, 3), B = (0, 0, ), C = (,, 6), calculeu l equació de la bisectriu corresponent al vèrtex B. 6 Les equacions dels costats d un triangle pla són 5x 7y + 7 = 0, 9x y 5 = 0 i 4x + 5y + = 0. Trobeu els seus angles. 7 Demostreu el teorema de Pitàgores: u v u + v = u + v. 8 Demostreu el teorema del cosinus: donat un triangle qualsevol de costats a, b, c, c = a + b ab cos α, on α és l angle que formen els costats a i b. 9 Calculeu la intersecció de dues bisectrius interiors d un triangle. Noteu que el resultat demostra que les tres bisectrius interiors d un triangle es tallen en un punt (anomenat incentre del triangle). 0 Calculeu la intersecció d una bisectriu interior d un triangle amb el costat oposat. Utilitzeu que l angle inscrit a una semicircumferència és π/ per obtenir una equació de l esfera donats dos punts diametralment oposats. Trobeu l angle entre les diagonals d un paral. lelògram construït sobre els vectors a = (,, 0) i b = (0,, ). 3 Demostreu que les diagonals d un paral. lelògram són perpendiculars si, i només si, els costats són iguals (rombe). 4 És sabut que els angles interiors d un triangle regular són de 60. Així mateix, els d un quadrilàter regular són de 90. Com són els angles interiors dels pentàgons regulars? I els dels hexàgons regulars? Com es poden calcular, en generals, els angles interiors d un n-gon regular? 5 Demostreu que en un tetràedre regular dues arestes oposades qualssevol són perpendiculars. 5

6 6 Donat el triangle A = (, 3, ), B = (0,, ), C = (, 3, ), calculeu la direcció de l altura corresponent al vèrtex A. Quina és l equació de la recta corresponent? Utilitzeu la projecció ortogonal. Proposeu altres mètodes de resolució. 7 Trobeu l equació de la bisectriu de l angle (agut) format per les rectes x y 4 = 0 i 4x y 4 = 0. 8 Trobeu l angle que formen les rectes: a) x = y = z 3 5 i x = y = z b) { x y = 0 x z = i { x z = y z = Trobeu l angle format pels plans x + y + 3z + 4 = 0 i x y + z + 3 = Trobeu l angle format per la recta r i el pla π: r : x = y = z 3 π : x + y z = 4. 3 Demostreu que les rectes 5x y 6 = 0, x + 5y = 0, 5x y 3 = 0 i x + 5y + 4 = 0 formen un quadrat. 3 Escriviu l equació de les rectes del pla que passen pel punt (3, 4) i formen un angle de 45 amb la recta y = x En una piràmide de base triangular MABC, els costats MA, MB i MC són mútuament perpendiculars; se suposen conegudes a = MA, b = MB i c = MC. Sigui D el punt mig de AM. Calculeu l angle format per CA i DB. 34 Dibuixeu des del vèrtex d un quadrat dues rectes que bisequen els costats oposats. Calculeu l angle que formen aquestes rectes. 35 Considereu un cub com el de la figura i calculeu l angle que formen la diagonal AG i el costat AB. 36 Donats els punts A, B, C i D de l espai: 6

7 H G E F D C A B a) demostreu que AB CD + AC DB + AD BC = 0; b) deduïu de la relació anterior que si dues parelles d arestes oposades d un tetràedre són perpendiculars, aleshores les arestes del tercer parell també ho són. 37 Considereu el cub de la figura. Demostreu que la diagonal P Q és ortogonal al pla determinat pels punts A, B i C. Q A C P B 38 Trobeu la projecció ortogonal: a) del punt (,, 0) sobre el pla x y + z = 0; { x + y = 0, b) del punt (,, ) sobre la recta z = 3; { x y = 0, c) de la recta y + 3z =, sobre el pla z = 0; d) de la recta { x + y + z =, x 3y + 4z =, sobre el pla x + y z + 6 = S anomenen cosinus directors de x R 3, x 0 els cosinus dels angles que forma x amb els vectors e, e, e 3 de la referència cartesiana usual; denotarem per θ i l angle format per x, e i, i =,, 3. 7

8 a) Expresseu x en termes dels cosinus directors. b) Proveu que per a tot x 0 es compleix: 3 i= cos θ i =. 40 Donades dues rectes r : X = A + λ u s : X = B + µ v, proposeu tests senzills, en termes del producte vectorial, per detectar les situacions següents: a) r s o r = s; b) r s i r s; c) r = s. 4.3 Distàncies a) Donat un punt C = (a, b, c) i un nombre real positiu r, l esfera de centre C i radi r és el lloc geomètric dels punts de l espai que disten r de C. Obteniu l equació de l esfera. b) Donat un punt C = (a, b) del pla i un nombre real positiu r, la circumferència de centre C i radi r és el lloc gromètric dels punts del pla que disten r de C. Obteniu l equació de la circumferència. Donat un punt C = (a, b, c) i un nombre real positiu, quina és l equació de la circumferència de centre C i radi r al pla z = c? c) Donat un nombre real positiu r, el cilindre circular recte d eix Oz i radi r és el lloc geomètric dels punts de l espai que disten r de l eix Oz. Obteniu l equació del cilindre esmentat. Quina és l equació del cilindre de radi r i d eix paral. lel a Oz que passa pel punt (a, b, c)? 4 Calculeu les longituds de les medianes del triangle de vèrtexs A = (, 5), B = (5, ), C = (0, 3). 43 Demostreu la llei del parallelògram: la suma dels quadrats de les diagonals és igual al doble de la suma dels quadrats dels costats. 8

9 44 Calculeu la distància del punt (,, ) a la recta x = + t y = t z = + t. 45 Trobeu la distància del punt (, 0, ) al pla x = s + t y = + s t z = + s + 3t. 46 Trobeu la distància del punt (5, 3, 8) al pla d equació x y + z 3 = Trobeu la distància entre les rectes x = y = z i x = y 3 = z. 48 El pla π de vector normal (7, 5, 3) intercepta l eix Oz en un punt Q tal que OQ = 6. Escriviu l equació d aquest pla. 49 Considereu un triangle rectangle ABC i un punt M que dista 6 del pla que conté el triangle. Suposem que M és equidistant a cada un dels vèrtexs del triangle. Calculeu la distància de M a qualsevol d aquests vèrtexs. 50 Trobeu l equació dels plans que són paral. lels a l eix z, tallen l eix x a una distància de unitats de l origen, i tallen l eix y a una distància de 3 unitats de l origen. 5 Trobeu les equacions dels plans que contenen la recta r : una unitat del punt (3,, ). { z = 0 x = y i disten 5 Trobeu l equació del pla que passa per (,, 0) i és perpendicular als plans x + y + z = 0 i x + 5y z + 3 = Trobeu l equació de la recta que és perpendicular al pla x y z = 3 i passa pel punt (0, 0, 0). 54 Trobeu la perpendicular comuna a les dues rectes i calculeu la distància entre elles: 9

10 a) x = y 3 = z i x 5 = y 4 = z 3 b) { x + y + 3z = x y + z = 4 i ; { x + y 3z = 0 x + y + z =. 55 Quina condició han de complir els punts que equidisten dels punts (,, ) i (,, )? Quin és el lloc geomètric d aquests punts? 56 Donats els punts A = (,, ), B = (, 0, 0), C = (,, ), D = (,, ), E = (,, 0) i F = (0,, 3), es demana: a) l equació del pla determinat per A, B i C i l equació de la recta determinada per D i E; b) la posició relativa d aquest pla i aquesta recta; c) el punt simètric de F respecte la recta; d) la projecció ortogonal de la recta sobre el pla. 57 En determinats programes de disseny D s ofereixen com a funcions incorporades al software, diverses possibilitats de construccions. Per exemple, donats 3 punts del pla, a) dibuixar la circumferència que passa pels tres punts, o bé que és circumscrita al triangle que determinen; b) dibuixar la circumferència inscrita al triangle que determinen els punts, és a dir, la circumferència tangent als tres costats del triangle. Estudieu el problema analíticament; detecteu els possibles casos degenerats i formuleu les equacions finals que fan falta per a la programació d aquestes opcions gràfiques en un programa..4 Canvis de sistemes de coordenades 58 Donat un punt O del conjunt de punts d un espai afí, que prendrem com a origen de coordenades, considerem S = (O; { e, e, e 3 }) on e 3 = e e. Podem afirmar que S és un sistema de coordenades? 59 Considereu els punts coplanaris A, B, C, D, amb la propietat que no n hi ha tres d alineats. Podem prendre S = (A; { AB, AC, AD}) com a sistema de coordenades? 0

11 60 Siguin els punts A, B, C no alineats, i sigui D un punt no situat en el pla determinat per A, B, C. Podem prendre S = (D; { DA, DB, DC}) com a sistema de coordenades? 6 Considereu el sistema de referència següent: O e e Dibuixeu en el pla els punts següents: P = (0, 0), P = (, 0), P 3 = (0, ), P 4 = (, ), P 5 = (, ), P 6 = ( 3, ). 6 Considerem els sistemes de referència a R 3 : S = (O; { e, e, e 3 }), S = (O ; { e, e, e 3 }); on OO = (, 8, 3) en la referència S, i Obteniu: e = e + e e 3, e = 3 e, e 3 = e + 5 e 7 e 3. a) les equacions del canvi de sistemes de coordenades; b) les coordenades en S del punt P, que té coordenades (,, ) en el sistema de referència S ; c) les coordenades en S del punt Q, que en el sistema de coordenades S té les coordenades (, 0, 3). 63 Considerem els sistemes de referència a R 3 : S = (O; { e, e, e 3 }), S = (O ; { e, e, e 3 }); on OO = (, 3, 9) en la referència S, i e = e + 3 e + e 3, e = e, e 3 = e + 5 e + 7 e 3.

12 Considereu el pla d equació x 3y + z = 0 en el sistema de referència S. Obteniu l equació del pla en el sistema de referència S. 64 Donat el tetràedre ABCD, considerem el sistema de referència donat per S = (A; { AB, AC, AD}). a) Escriviu en la referència S les equacions dels plans de les cares. b) Si ara suposem que en la referència S 0 = (O; { e, e, e 3 }) els vèrtexs donats són A = (3, 3, 4), B = (, 7, 0), C = (4, 5, 0), D = (,, 0), utilitzeu el resultat anterior per obtenir les equacions dels plans de les cares en la referència S Donat el tetràedre ABCD, on A = (3, 3, 4), B = (, 7, 0), C = (4, 5, 0), D = (,, 0), calculeu les coordenades dels baricentres de les cares en la referència en la qual tenim les coordenades dels vèrtexs. 66 Donat el paral. lelògram ABCD on A = (, 3), B = (5, 4), C = (3, 6) en una referència S, utilitzeu canvis de coordenades per a) calcular les coordenades de D en S; b) calcular les coordenades del punt d intersecció de les diagonals. 67 Suposem donat un tetràedre ABCD en un sistema de referència. Calculeu les coordenades del punt mig del segment determinat pels baricentres de dues cares. 68 Donat el triangle ABC, amb A = (, 3, 5), B = (, 5, ), C = (0,, ) en una referència donada S = (O; { e, e, e 3 }), a) calculeu les coordenades del baricentre T en la referència S; b) considereu la nova referència S = (T ; { e, e, e 3 }), d eixos respectivament paral. lels als originals de S, i calculeu les coordenades dels vèrtexs en aquest nou sistema de coordenades; c) si fos e = e, e = 3 e, e 3 = e 3, calculeu les coordenades dels vèrtexs del triangle en els sistema S.

13 69 Considerem el sistema de coordenades cartesianes S = (O; { e, e }) i el quadrat unitari de vèrtexs ABCD (recorrent el contorn en sentit antihorari), on A = (, 3) i on AB forma un angle de 60 amb el semieix positiu d abscisses. Utilitzeu les fórmules del canvi de coordenades per obtenir les coordenades en S dels vèrtexs del quadrat donat. D C A B 60 o 70 A partir d un sistema de coordenades cartesianes S = (O; { e, e }), es construeix un nou sistema amb el mateix origen de coordenades, tot girant un angle α, respecte de l origen, els eixos de coordenades preexistents. Obteniu les equacions d aquest canvi de coordenades. 7 Sigui S = (O; { e, e, e 3 }) un sistema de coordenades d orientació positiva. Classifiqueu els sistemes de coordenades següents, segons la seva orientació: a) S = (O; { e, e, e 3 }), b) S = (O; { e, e 3, e }), c) S = (O; { e, e, e 3 }), d) S = (O; { e, e 3, e }), e) S = (O; { e 3, e, e }), f) S = (O; { e 3, e, e }). 7 Sigui S = (O; { e, e, e 3 }) un sistema de coordenades d orientació positiva. Completeu els sistemes de coordenades següents, per tal que tinguin orientació positiva: 3

14 a) S = (O; { e, e,...}), b) S = (O; { e, e 3,...}), c) S = (O; { e,..., e 3 }), d) S = (O; {..., e 3, e }), e) S = (O; { e 3,..., e }), f) S = (O; {..., e, e }). 73 Considereu un cilindre el. líptic truncat, d eix Oz, semieixos a i b i altura h, situat sobre el pla z = 0 (aquests objecte es pot definir fàcilment per deformació i translació del cilindre circular recte de Mathematica). Com se n pot situar una còpia idèntica sobre el pla x + y + z = 4, centrada en el punt (,, )? 74 Obteniu el cilindre circular recte de radi R i altura h dipositat per una de les bases sobre el pla x + y + z 3 = 0, contingut en el semiespai que no conté l origen, d entre els dos determinats pel pla, i d eix perpendicular al pla, passant pel punt (,, ). 4

15 Algorismes geomètrics 75 Proposeu un mètode per decidir en temps lineal O(n) si una recta donada, r, és recta de suport d un polígon P convex de n vèrtex. 76 Amplieu el mètode de Jordan per detectar si un punt del pla és interior o no a un polígon simple amb forats (també simples). Se suposa que els forats són de primer nivell, és a dir, que no hi ha forats dins els forats. 77 Proveu que es pot trobar un punt interior a un n-gon simple sense forats en temps O(n). 78 Donat un n-gon simple P, sense forats, i una diagonal d = ab, on a i b són vèrtexs no consecutius de P, proposeu un procediment per decidir en temps lineal si d és una diagonal interna de P o no. 79 Donat un n-polígon P simple i convex, i tenint en compte l estructura de dades que el descriu, trobeu algorísmicament: a) els vèrtexs d abscissa extrema; b) les interseccions amb una recta donada; c) les tangents des d un punt donat; d) el punt més proper a una recta donada. 80 Demostreu que el valor x y x y x 3 y 3 és cops l àrea del triangle de vèrtexs P = (x, y ), P = (x, y ), P 3 = (x 3, y 3 ) afectada pel signe que tingui el recorregut P P P 3. Utilitzeu aquest resultat per dissenyar un algorisme que calculi l àrea d un polígon simple P de n costats. 8 Trobeu un algorisme O(n) per triangular un n-polígon estrellat (és a dir, un polígon totalment visible des d algun punt del seu interior) donat un punt del nucli (el conjunt de punts del polígon que el veuen totalment). 5

16 3 Corbes i superfícies 3. Parametrització de corbes 8 Trobeu una representació paramètrica de les corbes següents: a) x 5 + y 8 = 4; b) x + y 4x y = Trobeu una representació paramètrica de les corbes donades en coordenades polars per a) r = e aθ ; b) r = a( + cos θ); c) r = cos θ. 84 Considereu l espiral d Arquímedes d equació polar r = θ que fa sis voltes a l entorn de l origen O (en aquesta situació direm que O és l origen de la corba). Volem situar una còpia de l espiral a l espai, en el pla que passa pel punt (,, 0) i és perpendicular a la recta que passa per aquest punt i té vector director (,, ). L espiral ha d estar col. locada de tal manera que el seu origen estigui sobre la recta i sigui tangent en aquest origen a la direcció donada per (,, 0). Doneu alguna parametrització d una de les possibles solucions al problema. 85 Considereu la recta r : y = x, el punt P = (, ) i l espiral d Arquímedes E 0 donada per r = aθ, amb θ [0, θ 0 ]. Es vol construir una còpia E de l espiral anterior de manera que sigui tangent a la recta r en el punt P pel punt de la corba homòleg del punt de paràmetre θ = θ 0 a la parametrització de la corba original E 0. Obteniu una parametrització de E. Quantes solucions hi ha? 86 Determineu les equacions paramètriques i cartesianes de l hèlix circular directa d eix Oy i pas de rosca 4π que passa pel punt (, 0, 0). 87 Escriviu parametritzacions d hèlixs circulars de radi a i pas de rosca b i d eix el que s indica a continuació, respectivament: a) eix paral. lel a l eix Oz passant pel punt (,, 0); 6

17 b) eix paral. lel a l eix Ox que passa pel punt (0,, ); c) eix donat per la recta que passa pel punt P 0 = (, 0, 0) i direcció donada per u = (,, ). 88 Proposeu una parametrització de l hèlix circular dextrògira d eix Oz, de radi a i pas de rosca b, amb el domini de paràmetres t [0, π], l inici de la qual sigui el punt ( a, 0, 0) per a t = Obteniu una parametrització de l hèlix circular que fa sis voltes, d eix perpendicular al pla x + y + z 3 = 0, tal que l eix de l hèlix passa pel punt A = (,, ) del pla, i l inici de l hèlix està en un punt del segment AB, on B = (,, 0). Suposeu que el radi de l hèlix és a = 0.3 i que el pas de rosca és b = Donada la recta en forma paramètrica x = + λ, r : y = + λ, z = + λ, es tracta de dibuixar una circumferència perpendicular a r, de radi R, amb el centre C situat sobre r en el punt corresponent a un determinat valor λ 0 del paràmetre. Obteniu una parametrització de la circumferència que pugui utilitzar-se per a la representació demanada. 9 Es denomina cicloide la corba que descriu un punt P d una circumferència C en fer-la rodar sobre una recta r. C y P R θ P x a) Considereu com a r l eix d abscisses, y = 0, i com a C una circumferència de radi R. Preneu, com a posició inicial (que correspondrà al 7

18 valor 0 del paràmetre) la circumferència C centrada sobre l eix d ordenades, x = 0, amb el punt P situat a l origen. Demostreu que, en fer rodar C sobre r, el punt P descriu una corba que es pot parametritzar així: x(θ) = R(θ sin θ) y(θ) = R( cos θ) }, amb θ R. b) Parametritzeu la cicloide generada per una circumferència de radi que rodi sobre una recta de pendent, prenent com a posició inicial de la circumferència el punt P = (, ). 9 L epicicloide. Considerem C R una circumferència fixa de centre l origen i radi R i una circumferència mòbil C r de radi r que està situada en el mateix pla que C R i que hi és tangent exterior, i suposem que C r gira sense lliscar al voltant de la circumferència fixa en sentit antihorari a partir d una posició inicial, que suposarem que és aquella en la qual el centre de C r està situat sobre el semieix positiu Ox; un punt fix P de C r genera d aquesta manera una corba plana anomenada epicicloide (vegeu l esquema adjunt). Suposem que el punt fix escollit en la posició inicial és P = (R, 0). C R C r α β P a) Obteniu una parametrització de l epicicloide en termes de l angle polar α de l esquema. b) Parametritzeu l epicicloide, suposant que les circumferències anteriors estan situades sobre el pla x + y + z = 3, amb el centre de la circumferència fixa en el punt P 0 = (,, ), i amb origen d angles polars la semirecta orientada P 0 P, on P = (0, 0, 3). 8

19 93 Donada una circumferència C de radi r i una recta s tangent a C, considereu el lloc geomètric, L, dels centres de totes les circumferències tangents alhora a C i a s, i situades a la porció del pla compresa entre C i s. a) Situant adequadament el sistema de coordenades, demostreu que L és una paràbola, tot donant-ne la seva equació explícita. b) Parametritzeu la paràbola anterior, quan s és la recta y = x, i la circumferència C té el seu centre al punt (5, 5). 94 Considereu el pla π 0 : x+y+z 3 = 0, els punts del pla π 0 : A = (0, 3/, 3/) i B = (,, 0), i sigui π el pla perpendicular a π 0 que passa per A i B. Sigui C el punt mig del segment AB. Considereu la circumferència Γ de radi R, situada sobre el pla π i tangent en C al pla π 0. Obteniu una parametrització de Γ de manera que el recorregut sobre la corba comenci en el punt C. 95 Parametritzeu l el. lipse de focus donats pels punts F = (, 3), F = (3, 4) tals que la suma de distàncies d un punt genèric de la corba als focus és Parametritzeu l el. lipse de centre C = (,, ), amb semieixos a =, b = 3, situada en un pla perpendicular a la recta (,, ) + t(3, 4, ) i tal que l eix principal corresponent al semieix a = passi per Q = ( 4 3,, 3). 97 Considereu l el. lipse d equació x + y =, amb a > b. Demostreu que el a b producte de les distàncies dels dos focus de l el. lipse a qualsevol recta tangent a l el. lipse és constant i igual a b. 98 És sabut que la hipèrbola d equació x y = té per asímptotes les rectes a b y = ± b ax. Obteniu la família de totes les hipèrboles amb asímptotes y = ±x. Mitjançant un canvi de coordenades adequat, obteniu una parametrització de la hipèrbola que passa pel punt (, ) i té per asímptotes els eixos de coordenades. Demostreu que l equació implícita de la hipèrbola anterior és xy =. 99 La Lemniscata de Bernouilli és una corba plana determinada per dos focus F i F. Concretament, és el lloc geomètric dels punts X del pla que satisfan la propietat d(x, F )d(x, F ) = c, on c = d(f, F ). a) Demostreu que la lemniscata està totalment continguda dins la reunió de discs de radi c centrats als dos focus (per reducció a l absurd: què passaria si un punt de la lemniscata es trobés fora dels dos discs?). 9

20 b) Deduiu l equació implícita de la lemniscata (es tracta d una equació de grau 4). c) Si c =, comproveu que en coordenades polars la lemniscata anterior té equació r = cos θ. Quin és el conjunt de valors que pot prendre el paràmetre θ? d) Parametritzeu la lemniscata anterior. e) Parametritzeu una lemniscata de paràmetre c = situada de tal manera que la recta determinada pels seus focus sigui paral. lela a la recta x + y =, i el seu centre es trobi en el punt (3, 0). 00 L astroide és una corba plana d equació implícita x /3 + y /3 = a /3, on a és una constant positiva. a) Obteniu una parametrització d aquesta corba. Indicació: feu servir la parametrització de la circumferència d equació x + y = R. b) Amb la parametrització obtinguda a l apartat anterior, considereu el punt P de l astroide corresponent al valor π/4 del paràmetre. Obteniu una parametrització de totes les circumferències tangents a l astroide en el punt P, totalment contingudes dins la regió interior a l astroide. Quins radis poden tenir? 0 Donades les còniques següents en el sistema habitual de coordenades cartesianes, trobeu un sistema de coordenades cartesianes en el qual l equació sigui reduïda, classifiqueu-les i escriviu una parametrització de la corba corresponent en el sistema de coordenades original: a) 3x 4xy + y + 4x + 6y 5 = 0; b) 4x + y + 4xy + 0x + 60y + 4 = 0; c) 9x + y + 6xy + 0x 60y = 0; d) 9x + y + 6xy + 60x + 0y = 0; e) x + y 6xy + 6x + 6y + 9 = 0; f) 5x + 4xy + 8y 3x 56y + 80 = 0. 0 Obteniu les equacions de la tangent i la normal a la corba γ(t) = (t, t 3 ) en els punts (, ), (, ) i (0, 0). 0

21 03 Donada la corba γ(t) = (t, t, t 3 ), calculeu els vectors tangent i normal unitaris en el punt (,, ). 04 Considereu la corba del pla donada en forma polar: r(t) = π t, t [π, 4π]. a) Trobeu la circumferència de centre l origen i radi mínim que conté la corba, i la circumferència de centre l origen i radi màxim que no conté cap punt de la corba. b) Calculeu el vector tangent a la corba en un punt qualsevol. Quin és el vector tangent a la corba en els punts corresponents als valors del paràmetre t = π, 3π, π, 5π? c) Utilitzant la corba anterior, doneu una parametrització de la corba de la figura: Considereu la cardioide d equació polar r(θ) = a( + cos θ), on θ [ π, π]. a) Demostreu, a partir de l equació anterior, que es tracta d una corba simètrica respecte de l eix d abscisses. b) Doneu-ne una parametrització. c) Raoneu i calculeu per a quins valors de θ s obtenen els dos punts de la corba d abscissa mínima, i proveu que el valor d aquesta és a/4. d) Considereu la recta r determinada pels punts P = (, 0) i Q = (0, 3). Situeu una còpia de la cardioide anterior de tal manera que: (a) sigui tangent a la recta r en els dos punts de la corba esmentats a l apartat anterior; (b) es trobi en el semiplà determinat per r que no conté l origen; (c) el vèrtex de la cardioide es projecti perpendicularment sobre r en el punt mig de P i Q.

22 Obteniu una parametrització de la corba resultant. 06 Considereu la corba donada en forma paramètrica per la funció γ : [0, π] R, definida com segueix: γ(t) = (x(t), y(t)) = (5 cos(3t) cos t, 5 cos(3t) sin t). a) Calculeu la distància a l origen d un punt qualsevol de la corba. Quin és el valor màxim d aquestes distàncies? Trobeu els punts del corba per als quals s assoleix aquest valor màxim. b) Calculeu el vector tangent a la corba en un punt qualsevol. Comproveu que en el punt corresponent a t = 0 és proporcional al vector tangent a la circumferència de centre l origen i radi 5 en el punt (5, 0). c) Trobeu una parametrització d una còpia de la corba donada, situada dins d una circumferència de centre (, 3) i radi 5, de forma que la corba sigui tangent a la circumferència en el punt (, ). 07 Considereu la corba Γ d equació polar r = (3 + cos θ), on θ [0, π]. a) Obteniu una parametrització de la corba Γ. b) Obteniu una parametrització de la corba Γ : es tracta d una còpia de la corba anterior, que està situada al semiplà y 0, passa per l origen i és tangent a l eix de les abscisses pel punt P que correspon al valor del paràmetre θ = π/4. c) Obteniu una parametrització de la corba Γ 3, còpia de les corbes Γ i Γ que està situada de manera que el punt P es troba sobre la semirrecta x = y, x 0, la corba és tangent a la recta de pendent que dista unitats de l origen i tota la corba es troba dins el semiplà superior definit per la recta esmentada. 08 Per canvi de coordenades, parametritzeu una cardioide idèntica a la d equació polar r = + cos t, situada al pla z = x + y, amb centre o vèrtex al punt (5, 5, 0) i tal que el punt corresponent al valor del paràmetre t = 0 sigui P = (5, 5, 0) + ( /, /, 0). 09 Considereu la corba d equació polar r(t) = sin( t 4 ), t [0, 4π]. a) Doneu una parametrització de la corba.

23 b) Trobeu els punts de la corba a distància mínima i a distància màxima de l origen. c) Comproveu que per a qualsevol t [0, 4π] es compleix r(t) = r(4π t). Verifiqueu que per als valors del paràmetre t 0 i 4π t 0 s obtenen punts de la corba simètrics respecte de l eix Ox. d) Calculeu el vector tangent a la corba en un punt qualsevol. e) Trobeu una parametrització d una còpia C de la corba anterior situada de forma que el punt corresponent al valor del paràmetre t = π estigui situat a l origen de coordenades i a més C sigui tangent a l eix Ox en aquest mateix punt. 0 Sigui C la circumferència fixa de centre (0, a), tangent a l eix Ox per l origen, O. Per cada recta s que passa per O, siguin Q el punt d intersecció de s i C, i A el punt d intersecció de s i la recta paral. lela a Ox tangent a C. Finalment, sigui P el punt d intersecció de la recta vertical per A i la recta horitzontal per Q. El lloc geomètric dels punts P que s obtenen d aquesta manera a partir de totes les rectes s es coneix amb el nom de versiera d Agnesi. a) Fent servir l angle polar θ de la recta s, comproveu que una parametrització de la corba és x = a cos θ sin θ y = a sin, θ [0, π]. θ b) Obteniu l equació implícita de la corba. c) Demostreu que el punt P = (a, a) pertany a la corba. Quin valor del paràmetre θ li correspon? Comproveu que, en aquest punt P, el vector tangent a la corba no és perpendicular al vector posició del punt. d) Calculeu on s ha de situar el centre d una circumferència de radi 3, que sigui tangent a la corba, per sobre d aquesta, en l esmentat punt P. e) Doneu una parametrització de la versiera d Agnesi generada a partir d una circumferència de radi, tangent a la recta x + 3y = en el punt (4, ), i situada per sobre de la recta. Considereu la circumferència fixa de centre (a/, 0), tangent a l eix Oy per l origen, O. Per cada recta s que passa per O, siguin C el punt d intersecció 3

24 de s i la recta paral. lela a Oy tangent a la circumferència, i B el punt d intersecció de s i la circumferència. Finalment, sigui P el punt de la recta s tal que d(o, P ) = d(o, C) d(o, B). El lloc geomètric dels punts P que s obtenen d aquesta manera a partir de totes les rectes s es coneix amb el nom de cissoide de Diocles. a) Fent servir l angle polar θ de la recta s, comproveu que una parametrització de la corba és x = a sin θ y = a sin3 θ, θ [ π/, π/]. cos θ b) Obteniu l equació implícita de la corba. c) Demostreu que el punt P = (a/, a/) pertany a la corba. Quin valor del paràmetre θ li correspon? Comproveu que, en aquest punt P, el vector tangent a la corba no és perpendicular al vector posició del punt. d) Calculeu on s ha de situar el centre d una circumferència de radi 5, que sigui tangent a la corba, per sobre d aquesta, en l esmentat punt P. e) Doneu una parametrització de la cissoide de Diocles generada a partir d una circumferència de radi 4, tangent a la recta 3x + y = 3 en el punt (, 3), i situada per sobre de la recta. 3. Parametrització de superfícies Considereu les superfícies a) x + y + z = 5; b) x + y z = 9; c) y x z = 9; d) x y z = 0; e) x + y z = 0; f) y 4z = 0; g) x + y = 6. Estudieu el següent: 4

25 interseccions amb els eixos de coordenades; traces amb els plans de coordenades; simetries: respecte dels plans de coordenades, respecte dels eixos de coordenades, respecte de l origen; seccions per plans paral. lels als plans de coordenades; delimitació de l extensió al llarg dels eixos de coordenades. 3 Determineu l equació de la superfície generada per { una recta que passa pel x = 0 punt (3, 0, 0) i es repenja en la circumferència y + z. De quina = superfície es tracta? 4 Obteniu una parametrització de la superfície generada per les rectes que són paral. leles al pla z = 0 i tallen l eix Oz i la recta r : X = (,, 0) + λ(,, ), λ R. 5 Determineu les equacions cartesianes de la corba paramètrica x = 4 sin t y = cos t z = sin t. 6 Obteniu una parametrització del cilindre circular de radi R i eix la recta que passa per l origen i té vector director (,, ). 7 Sigui C un con circular recte, d altura h, angle de semiobertura α, amb el vèrtex a l origen, tombat sobre el pla z = 0, és a dir, tangent a z = 0 per una generatriu, contingut al primer octant, situat de tal manera que el segment que uneix el vèrtex amb el centre de la base es projecta ortogonalment sobre z = 0 en la recta x = y, z = 0. Obteniu una parametrització del con en el sistema de coordenades habitual. 8 Obteniu una parametrització del con circular d altura h, d angle de semiobertura α, de vèrtex l origen, situat al primer octant en posició tangent a 5

26 l eix de coordenades Oz al llarg d una generatriu, de manera que l eix del con es projecta ortogonalment sobre z = 0 en la recta x = y, z = 0. 9 Considereu el pla π : x+y+z 3 = 0, i siguin A, B i C els punts d intersecció del pla amb els eixos de coordenades Ox, Oy i Oz, respectivament. Sigui P el punt mitjà del segment AC i Q el punt mitjà del segment AB. Considereu el cilindre de radi R dipositat sobre el pla, de manera que la generatriu de contacte coincideixi amb la recta P Q, situat en el semiespai que no conté l origen, d entre els dos determinats per π. Obteniu una parametrització de la part del cilindre limitada per bases que contenen, respectivament, els punts P i Q. 0 Considereu el con de vèrtex O, eix Oz i angle de semiobertura α = π/6. a) Deduïu la seva equació cartesiana. b) Parametritzeu la corba intersecció del con amb el pla d equació z = y + 3. Si es projecta aquesta corba sobre le pla xy, quina corba en resulta? c) Parametritzeu la porció del con delimitada pels plans z = 0 i z = 3. Anomenarem C l objecte resultant. Direm que el seu vèrtex és el punt (0, 0, 0), que el seu eix és Oz i que la seva base és la circumferència intersecció amb el pla z = 3. d) Mitjançant canvis de coordenades, trobeu una parametrització d una còpia C de l objecte C situada a l espai de la manera següent: (a) la base de C es troba situada sobre el pla x + y z = 0; (b) l eix de C passa pel punt (0, 0, 0); (c) el vèrtex de C té la tercera coordenada positiva. A partir de l espiral d Arquímedes r = aθ en el pla xy, es construeix el cilindre recte generalitzat de directriu l espiral. Donada H, es considerarà tan sols la part corresponent a l interval 0 z H. Es tracta de situar una còpia del cilindre a l espai de manera que el paper que complia l eix Oz a l objecte original ara el compleixi la recta que passa per l origen i té vector director (,, ). Suposeu que el pla que conté la directriu dista 3 de l origen. La resta d elements que fan falta per una col. locació precisa resten de lliure elecció. Doneu una parametrització d aquesta superfície. Considereu la corba representada paramètricament per r(t) = (e t cos t, e t sin t, e t ), t [0, π]. 6

27 Determineu una superfície que la contingui i dibuixeu la corba. 3 Helicoide de pla director. S anomena helicoide de pla director la superfície generada per una recta que es desplaça, repentjant-se en una hèlix circular i el seu eix, tot mantenint-se paral. lela al pla de la base del cilindre al qual pertany l hèlix. Podem suposar per a l exercici que l eix de l hèlix és l eix Oz i que l hèlix és directa. a) Obteniu una parametrització de l helicoide. b) Obteniu l equació cartesiana de l helicoide. c) Obteniu les equacions de l helicoide de pla director generat per una recta que es repenja en una hèlix circular directa i en l eix de l hèlix, que coincideix amb Ox, essent R = 3 el radi del cilindre corresponent a l hèlix i b = 3π el seu pas. 4 Determineu l equació de la superfície generada per la familia de corbes { x y kz = 0 on k és un paràmetre variable. y = kx, 5 Superfície cilíndrica generalitzada. S anomena superfície cilíndrica de directriu una corba donada i de direcció una recta o direcció donada la superfície generada per la recta (generatriu) que es mou repenjant-se sobre la corba i mantenint-se paral. lela a la direcció donada. Tenim com a casos particulars els cilindres de segon ordre i els plans, cas en el qual la directriu és una recta i la direcció no coincideix amb la directriu. a) Indiqueu alguna directriu i direcció de la superfície cilíndrica d equació y = z + 3. b) Donada una parametrització de la directriu, escriviu una parametrització de la superfície cilíndrica. c) Obteniu l equació de la superfície cilíndrica de directriu la corba x = t + y = t z = t i generatrius paral. leles a la recta x = z, y = z. 7

28 6 Superfície cònica generalitzada. És la superfície generada per una recta mòbil (generatriu) que passa per un punt fix (vèrtex) i que passa pels punts d una corba fixa (directriu); en certs casos particulars s obtenen cons de segon ordre. a) Suposant la directriu parametritzada, descriviu un mètode per obtenir una parametrització del con d aquesta directriu i vèrtex donat. b) Obteniu l equació del con de vèrtex (, 0, 3) i directriu la corba x = + t, y = t, z = 0. c) Determineu l equació de la superfície cònica de vèrtex l origen i de directriu la corba x = y, x + z = 0. 7 La superfície conoide o, simplement, el conoide, és la superfície generada per una recta que es mou recolzant-se en una corba i una recta fixes, mantenintse paral. lela a un pla fix; la corba és la directriu del conoide, la recta n és l eix i el pla n és el pla director. a) Suposant parametritzada la corba directriu, descriviu un mètode per obtenir una parametrització del conoide corresponent, suposant que només es considera la part de la superfície generada pels segments determinats per l eix i la directriu. b) Podem considerar l helicoide com a cas particular del conoide? c) Estudieu el cas particular del conoide de pla director xy, eix Oz i directriu la recta x = y + = z. Quina és en general la superfície generada per les rectes paral. leles a un pla fix que tallen dues rectes fixes que es creuen? d) Determineu les equacions paramètrica { i cartesiana del conoide d eix x Oz, pla director xy i directriu la corba + z = 4. y = 3 e) Determineu { l equació paramètrica del { conoide de pla director yz, eix x + z = y i directriu la paràbola = x. y = 0 z = 0 f) Obteniu les equacions del conoide generat per la recta que es mou paral. lelament al pla xz, i recolza en la recta x = 3, z = 0 i en l el. lipse y + 4z = 4, x = 0. 8

29 8 Cilindroide. És la superfície generada pel moviment d una recta (generatriu) que talla dues corbes donades fixes (directrius) i es manté paral. lela a un pla donat fix (director). Suposant les corbes directrius parametritzades, obteniu una parametrització d un cilindroide. Feu-ho concretament per a les corbes x = sin z, y = 0 i (t, t, t 3 ), amb pla z = 0. 9 Quin és el lloc geomètric dels punts de l espai la distància dels quals a l origen és el doble de l abscissa? 30 Determineu el centre i el radi de l esfera x + y + z 6x + 8y z + 5 = 0. 3 Determineu l equació de l esfera de centre ( 3,, 0) que és tangent al pla x 4y + 8z = 6. 3 Considereu l equació següent: z = xy. Quina superfície representa? 33 Considereu la superfície formada per totes les rectes, paral. leles al pla xz, que es recolzen en (tallen) les dues rectes següents: { { x = 0 x = y r : s : z = z = 0 a) Obteniu una parametrització de la superfície. b) Obteniu la seva equació implícita. c) De quina superfície es tracta? 3.3 Superfícies de revolució 34 Determineu l equació de la superfície de revolució generada per la recta { x + y z + 4 = 0, en girar al voltant de l eix Oz. x y = 0, 35 Determineu l equació de la superfície de revolució generada per la recta x = t, y = t, z = t +, 9

30 en girar a l entorn de l eix Oy. 36 Determineu l equació de la superfície de revolució generada per la hipèrbola del pla yz z y = en girar a l entorn de l eix Oy. 37 Determineu l equació del tor generat per la revolució de la circumferència { x 4x + y + 3 = 0, al voltant de l eix Oy. z = 0, 38 Parametritzeu la superfície de revolució obtinguda en girar al voltant de l eix Oy la corba del pla xy donada de forma polar: r(t) = π/ t, on π/ < t < π/. 39 Obteniu una parametrització de la superfície de revolució generada per la corba intersecció del paraboloide z = x + y i el pla z = y +, en girar al voltant de l eix Oy. 40 Parametritzeu la superfície de revolució obtinguda en girar a l entorn de la recta x = y + 9, z = 0 la corba espiral del pla xy que té equació polar r = θ i fa una volta entorn a l origen. 4 Parametritzeu la superfície de revolució generada per la recta d equació x + y z = 3 x + 3y z = 4 en girar al voltant de l eix Ox. De quina superfície es tracta? 4 Parametritzeu la superfície de revolució obtinguda en girar a l entorn de la recta x = y = z la corba x(t) = cos t + sin t y(t) = cos t + sin t, t [0, π/]. z(t) = cos t + sin t 30

31 43 Parametritzeu la superfície de revolució generada en girar a l entorn de l eiz Oz la corba donada per x = y z = sin x per a 0 x π. 44 Considereu les corbes planes del pla xy: { x(t) = t + t Γ : + 4 y(t) = t + t, t [ 3, 3] { + 4 x(s) = s s Γ : + y(s) = s s, s [ 3, 3] + a) Demostreu que són arcs de còniques. Trobeu els punts d intersecció de Γ i Γ. b) Siguin S i S les superfícies de revolució obtingudes en fer girar Γ i Γ, respectivament, al voltant de l eix Ox. Demostreu que la intersecció de S i S són dues circumferències. Parametritzeu-les. c) Doneu l equació del con d eix Ox que conté les dues circumferències trobades a l apartat anterior. 3.4 Intersecció de superfícies 45 Considereu un punt (a, b, c) del paraboloide d equació z = x + y. a) Demostreu que l equació del pla tangent al paraboloide en el punt donat és z = ax + by a b. b) Comproveu que, en desplaçar verticalment el pla anterior una certa quantitat positiva r, la intersecció del paraboloide amb el nou pla es projecta sobre el pla z = 0 en una circumferència. Quin centre i quin radi té? 46 Demostreu que la corba intersecció de dues superfícies diferents, d equacions f(x, y, z) + a x + b y + c z + d = 0 f(x, y, z) + a x + b y + c z + d = 0 és una corba plana. Apliqueu això per calcular l equació del pla que conté al cercle intersecció de dues esferes diferents, d equacions x + y + z + ax + by + cz + d = 0, x + y + z + a x + b y + c z + d = 0. 3

32 47 Considerem l esfera x + y + z x y 4z 4 = 0. La tallem pel pla x + y z =, i després projectem la intersecció sobre el pla z = 0, paral. lelament a l eix Oz. a) Trobeu i estudieu aquesta projecció. b) Parametritzeu la corba intersecció. 48 Considereu la corba Γ obtinguda com a intersecció de les superfícies: S : y 4y 4z = 0, S : x + z 3 = 0. Trobeu els cilindres projectants C x, C y i C z de Γ. Doneu una parametritzacíó de la corba resultant de projectar Γ sobre el pla z = 0. Parametritzeu la corba Γ. 49 Proveu que la corba x = 4 cos t y = 4 sin t z = 4 cos t t [0, π] és una el. lipse i trobeu l equació del pla que la conté. Trobeu-ne el centre i els semieixos. 50 Donada la corba representada per la intersecció de les superfícies { 4x + y + z 7 = 0 x + y z + = 0, expresseu-la de diverses maneres com a intersecció de dos cilindres de segon ordre. Quines són les projeccions sobre els plans de coordenades? 5 Trobeu l equació dels cilindres projectants sobre els plans de coordenades de les corbes d equacions (expressades com a intersecció de superfícies): a) x + y + 3z = 9, x y + z = 6; b) x + y z = 0, x y + z = 6; c) 4x + y 8z = 0, 4y z 6x = 0; 3

33 d) xz = y, yz = x. 5 Parametritzeu la circumferència intersecció de l esfera x + y + z = i el pla x + y + z =. 53 Parametritzeu la circumferència Γ intersecció de l esfera x + y + z = i el pla x + y =. Calculeu la recta tangent a Γ en un punt genèric de la corba, en funció del paràmetre escollit a la parametrització anterior. Parametritzeu la circumferència de radi R, amb el centre en un punt genèric de la corba, i situada en un pla perpendicular a la corba en el centre (és a dir, perpendicular a la tangent en el punt). 54 Podem expressar l hèlix circular com a intersecció de dues superfícies? Quines? 55 Donada l hèlix circular d eix Oz, radi a i pas de rosca b, amb la parametrització habitual, considereu-ne la part corresponent a la variació del paràmetre θ [0, π]. a) Obteniu una parametrització de la circumferència de radi R, centre un punt de l hèlix corresponent al valor θ 0 del paràmetre i continguda en un pla perpendicular a la tangent en el punt. b) Obteniu una parametrització de la superfície tubular produïda per la variació de θ 0. c) Feu volar la imaginació i considereu variants de l últim apartat. Idea: considereu el cas de radis creixents, depenents del paràmetre R = R(θ), linealment o segons altres formes de creixement. Podeu considerar altres formes de dependència, com per exemple la sinusoidal, que produirà curiosos bonys a la superfície tubular, la qual, mentre tant, no deixarà d enrotllar-se helicoidalment. 56 Parametritzeu la corba intersecció del paraboloide el. líptic z = x + y amb el pla x + y + z = 0. Què és aquesta corba? Raoneu la resposta. 57 Parametritzeu l el. lipse intersecció d un cilindre circular recte d eix Oz amb un pla no paral. lel a l eix Oz. 33

34 58 Expresseu la corba x = sin t y = t z = cos t t [0, π] com a intersecció de dues superfícies i doneu una idea de la seva representació. 59 Dibuixeu les dues superfícies i estudieu-ne la corba intersecció. z = x + y x = y 60 Demostreu que la corba x = t cos t, y = t sin t, z = bt, està sobre un con i trobeu-ne l equació. 6 Trobeu una representació paramètrica de la corba intersecció del cilindre x + y 4x y = amb el pla x + y + z =. 6 Estudieu i representeu la forma de la intersecció de les superfícies { x + y + 3z 7 = 0, x y z + 9 = 0. Podríeu trobar-ne una parametrització? 63 Considereu el cilindre recte de directriu l espiral d Arquímedes r = aθ, a > 0. Parametritzeu la corba intersecció del cilindre amb el pla x + y + z = Obteniu les equacions cartesianes de la corba x = t, y = + t, z = t Parametritzeu la corba intersecció de les dues superfícies x y + = 0, 4z y 36 = 0. 34

35 66 Considereu l esfera de centre l origen i radi, i el cilindre circular de radi i d eix que passa pel punt (, 0, 0) i que és paral. lel a l eix z. a) Suposeu que us demanen de representar la corba intersecció d ambdues superfícies al semiespai z 0. Obteniu-ne una parametrització. b) Indiqueu quin ha de ser el domini de variació del paràmetre si només cal representar la corba a l octant definit pels tres semieixos de coordenades positives. c) Considereu la corba Γ intersecció de la semiesfera x +y +z =, z 0 i el cilindre (x /) + y = (/). Quines són les projeccions de Γ sobre els diversos plans coordenats, en les direccions donades pels eixos de coordenades? d) Considereu ara la corba inicial sencera (sense restriccions sobre z). Proveu que r(t) = ( ( + cos t), sin t, sin t), t [ π, π], n és una representació paramètrica. e) Obteniu l equació de la tangent a la corba { x + y + z = x + y = x en els punts (0, 0, ) i (, 0, 0). 67 Sigui E l esfera de centre l origen i radi 5, i E l esfera de centre (0, 4, 4) i radi 3. a) Parametritzeu la circumferència intersecció de E i E. b) Calculeu el seu centre i el seu radi. 68 Considereu l esfera de centre l origen O i radi R, i dos punts P, Q, tals que el segment P Q és exterior a l esfera. Obteniu una parametrització de la corba intersecció de l esfera i el triangle OP Q. 69 Les còniques com a seccions planes del con. Considereu un con circular recte d equació x + y = a z, amb a > 0. a) Comproveu que, en tallar el con amb qualsevol pla horitzontal, d equació z = k, la corba intersecció és una circumferència (si k = 0, és un punt). 35

36 b) Comproveu que, en tallar el con amb qualsevol pla d equació y = k, la corba intersecció és una hipèrbola (si k = 0, és un parell de rectes). Raoneu perquè el resultat de tallar el con amb qualsevol altre pla vertical és el mateix. c) Comproveu que, en tallar el con amb qualsevol pla d equació y = az+k, la corba intersecció és una paràbola (si k = 0, és una recta). Raoneu perquè el resultat de tallar el con amb qualsevol altre pla paral. lel a una de les seves generatrius és el mateix. d) Comproveu que, en tallar el con amb qualsevol pla d equació y = bz+k, on b a, la corba intersecció és una el. lipse, si b > a, o una hipèrbola, si 0 < b < a (si k = 0, és un punt). Raoneu perquè el resultat de tallar el con amb qualsevol altre pla no paral. lel a una generatriu del con ni vertical és el mateix. 3.5 Tangències entre superfícies 70 Des del punt P = (,, 5) s emet un raig en la direcció i sentit del vector u = (0, 0, ), i es reflecteix a la superfície S d equació z = x 6 + y 3. Calculeu un vector que determini la direcció i sentit del raig reflectit. 36

37 4 Transformacions afins 4. Afinitats D 7 Trobeu l equació de la rotació en el pla de centre A i angle α: a) A = (0, 0), α = π/3; b) A = (, ), α = π/3; c) A = (, ), α = π/; d) A = (, ), α = π/3. 7 Calculeu les equacions resultants d efectuar, amb l ordre indicat, les transformacions D següents: rotació de 30 a l entorn del punt (, 4) i de sentit antihorari; translació de vector (5, ). 73 Trobeu el producte dels tres girs antihoraris d angle 60 i centres respectius els vèrtexs consecutius d un triangle equilàter. 74 Trobeu el producte de les 4 simetries d eixos els costats d un quadrat. 75 Proveu les afirmacions següents: a) el producte de dues simetries axials del pla d eixos paral. lels és una translació (determineu-ne els detalls); b) el producte de dues simetries axials del pla d eixos que es tallen formant un angle α és un gir (descriviu-lo). Analitzeu si els resultats anteriors poden ser pràctics per a un paquet de software de transformacions D. 76 Donat un pentàgon regular de centre (0, 0), radi i amb un vèrtex al punt (, 0), com obtindrieu a partir d aquest un pentàgon regular amb un costat determinat pels punts (, 0) i (0, )? 77 Siguin r i s dues rectes del pla que es tallen en el punt P 0 = (x 0, y 0 ). Suposem-les donades per les parelles de punts r : P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y ); s : P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y ). 37