UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL GUIA DE ACTIVIDADES. UNIDAD I Introducción a la Teoría de Probabilidad. Sistemas Determinísticos: Sistemas que interactúan de forma predecible, de modo que podemos describir con certeza su comportamiento. Ejemplo: Un software de computador. Sistemas Probabilísticas: Son sistemas con un comportamiento no predecible, sujetos a incertidumbre. Ejemplos: La Inflación, El Sistema Económico Mundial, las Organizaciones. Nota: La mayoría de los sistemas son de naturaleza probabilística, allí radica la importancia de la estadística. Experimento Estadístico (Aleatorio): Proceso del cual se derivan una serie de resultados de naturaleza aleatoria. Ejemplo: Observar el número de personas que hablan por el celular mientras manejan, en la Av. Lara, Lanzar un dado y observar el resultado que se presentan en la cara superior. Los estudiosos de la estadística frecuentemente manejan: Datos Numéricos o Experimentales (Variables): Producto de conteo o mediciones. Ejemplo: Los números 1,3,4,5 representan los accidentes laborales en los 4 primeros meses del año Datos Categóricos o de Atributos: Pueden de clasificarse de acuerdo a algún criterio o característica de calidad. Ejemplo: N,D,N,N,D representan los artículos defectuosos y no defectuosos cuando se inspecciona una muestra aleatoria de 5 de ellos. Donde: N: No defectuoso. D: Defectuoso Espacio Muestral: Conjunto de todos los resultados posible de un experimento estadístico. Se representa por el símbolo S A cada resultado del espacio muestra se le denomina punto muestral. En referencia al experimento que consiste en lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S de resultados posibles es: S = {1,2,3,4,5,6 }

2 Si S finito o infinito contable, se le denomina Espacio Muestral Discreto Si S constituye un intervalo real o unión de intervalos reales, se le denomina Espacio Muestral Continuo. Ejemplos: Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior, el espacio muestral S es discreto finito, pues: S = {1,2,3,4,5,6 } Lanzar una moneda hasta que salga cara, el espacio muestral S es discreto infinito, pues: S = {c,sc,ssc,sssc,ssssc, }. Si medimos el tiempo que transcurre hasta que falla un componente electrónico, el espacio muestral S es continuo, pues: S = {0, }. Para un número considerable de puntos Muestrales, resulta práctico expresar el espacio muestral como una regla o enunciado: Ejemplo: El número de puntos internos en una circunferencia de radio 3 con centro en el origen S = { (x,y / x 2 + y 2 <= 9; x>0, y>0} En experimentos de muestreo, que implican la selección artículos de un lote debemos considerar si la selección se lleva a cabo: Sin Reemplazo: El artículo seleccionado no se coloca de nuevo en el lote, antes de seleccionar el siguiente. Con Reemplazo: El artículo seleccionado se coloca de nuevo en el lote, antes de seleccionar el siguiente. Ejemplo: Un lote contiene tres artículos {1, 2,3}.el experimento consiste en seleccionar dos de ellos Si el experimento se lleva a cabo Sin Reemplazo: S = {12, 13, 21, 23, 31,32} Si el experimento se lleva a cabo Con Reemplazo: S = {12, 13, 21, 23, 31, 32, 11, 22,33} Evento: De manera frecuente, el interés recae en un conjunto particular de resultados, así un evento constituye un subconjunto del espacio muestral en un

3 experimento estadístico. El evento se simboliza con una letra mayúscula distinta de la S que la utilizamos para simbolizar el espacio muestral Ejemplo Al lanzar un dado y observar el resultado que se presenta en la cara superior y verificar que el mismo sea un número par: A = {2, 4, 6} Complemento: El complemento de un evento A, denotado por A es el conjunto formado por todos aquellos elementos (puntos muestrales) pertenecientes a S que no están en A. Ejemplo: En referencia al ejemplo anterior el evento complementario se verifica si sucede un número impar: A = {1, 3, 5} En algunos casos expresaremos eventos a través de operaciones básicas de conjunto, tales como intersecciones, uniones y complementos. A continuación se definen de manera sencilla algunas de las operaciones básicas con conjuntos, a saber: La Unión de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los resultados que están en A o están en B o en ambos. La Intersección de dos eventos A y B (A B) es el evento formado por los resultados que están en A y están en B. Para visualizar de manera rápida el conjunto de relaciones entre eventos haremos uso de una herramienta gráfica denominada Diagrama de Venn Unión de dos eventos A y B: A B ( A B)

4 Intersección de dos eventos A y B: A B ( A B) Técnicas de Conteo de Puntos Muestrales.. A continuación se presentan una serie de Técnicas que facilitan el conteo de los elementos asociados al espacio muestral. REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN O PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO. Esta Regla se aplica cuando el espacio muestral se construye por etapas, o el experimento se conforma de varias operaciones. Hagamos las siguientes consideraciones: Cada etapa (j) del experimento puede tener n * j resultados posibles j=1,2,.k Cada uno de los resultados puede ocurrir independientemente de los resultados que se presente en las otras etapas. Luego el número total de puntos muestrales de este espacio muestral conformado por etapas es viene dado por: n=n1. n2.n3.... nk NOTA: Al aplicar la regla hay que tomar en cuenta, si el experimento se efectúa considerando una serie de restricciones.

5 Ejemplo 1: Se lanza una moneda y posteriormente un dado. Calcular el tamaño del espacio muestral. Solución Observamos que en este experimento el espacio muestral se construye en dos etapas, fase u operaciones. Etapa 1: Lanzamiento de la moneda. Con n1= 2 resultados posibles Etapa 2: Lanzamiento del dado Con n2= 6 resultados posibles. Luego la ocurrencia simultánea de ambas operaciones viene dada por: n=n1. n2=2. 6=12 Así el espacio está constituido por 12 puntos muestrales. A través de un diagrama de árbol se puede visualizar cada uno de los puntos muestrales, y realizar el conteo en experimentos que no den como resultado un número muy grande de puntos muestrales. En este Caso: Gráfico 1. Diagrama de Árbol para el Experimento de Lanzar una moneda y posteriormente un dado

6 Cara ( C) Sello ( S ) Luego para la construcción del espacio muestral comenzamos a formar los puntos leyendo de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. S= {c1,c2,c3,c4,c5,c6,s1,s2,s3,s4,s5,s6 }

7 Ejercicios PROBABILIDAD 1) Un dado se construye de tal forma que un 1 o un 2 ocurren dos veces más frecuentemente que un 5, mismo que se presenta, mismo que se presenta tres veces más seguido que un 3, un 4 o un 6. Si el dado se lanza una vez, encuentre la probabilidad de que: a) El número sea par. b) El número sea mayor que 4. 2) Un envío de 20 libros contiene el 20 % de libros mal compaginados. a-. Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y no recibir defectuosos?. b-. Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir a lo sumo 2 defectuosos? c-. Cuál es la probabilidad de adquirir 10 de esos libros y recibir al menos 2 defectuosos? 3) En una escuela se graduaron 100 estudiantes: 54 Estudiaron Matemática 69 Estudiaron Historia. 35 Ambas Materias. SI se selecciona una persona al azar. Calcule la probabilidad de que: a.- Se haya dedicado a Historia o Matemática?. b.- No haya cursado ninguna de estas materias? c.- Haya estudiado Historia pero no Matemática? PROBABILIDAD CONDICIONAL 1) La probabilidad de que un hombre casado vea un cierto programa de Tv es 0,4 y la de que una mujer del mismo estado civil lo haga es 0,5. La probabilidad de que un hombre vea un programa dado que su esposa lo hace es 0,7. Encuentre: Probabilidad de que una pareja de casados no vea el programa. Probabilidad de que una esposa vea el programa dado que su esposo lo hace.

8 EVENTOS INDEPENDIENTES 3.- En una zona se cuenta con dos carros de bomberos que operan independientemente. La probabilidad de que el vehículo 1 este disponible cuando se le necesite es 0,96, la probabilidad de que el vehículo 2 no este disponible es 0,10? a) Cuál es la probabilidad de que ninguno este disponible en caso necesario? b) Cual es la probabilidad de que alguno este cuando se le necesita? 3.1 Una máquina robótica de inserción contiene 10 componentes primarios. La probabilidad de que cualquier componente falle en el período de garantía es 0,01. Suponga que los componentes fallan de manera independiente y que la máquina falla cuando alguno de sus componentes falla. Cuál es la probabilidad de que la máquina falle durante el período de garantía 3.2 Barquisimeto y Maracay estaban compitiendo para la sede de los próximos juegos deportivos. Cada uno ofrecía sus servicios de instalaciones deportivas, alojamiento y alimentación. Las probabilidades de que Barquisimeto le ganara la sede a Maracay eran 0.7 en Instalaciones Deportivas, 0,4 en alojamiento y 0,4 en alimentación. Para obtener la sede las ciudades fueron sometidas a pruebas de servicios y ganar no menos dos de ellas (no hay empate). Barquisimeto tuvo la mayor probabilidad de ganar la sede? Cuantifique dicha probabilidad? TEOREMA DE BAYES 4-. Una fábrica de zapatos piensa lanzar al mercado un nuevo modelo de calzado casual. Por experiencia sabe que el 70% de las veces ha tenido éxito cuando el estudio de mercado ha sido bien realizado y 20% si la investigación estuvo mal orientada. Además, estima que el estudio de mercado está bien elaborado en el 80% de los casos. Si resultó que el calzado tuvo éxito, cuál es la probabilidad de que el estudio de mercado haya sido bien realizado? A propósito, cuál es la probabilidad de que el nuevo calzado tenga éxito? 4.1 La alineación entre la cinta magnética y la cabeza de un sistema de almacenamiento en cinta magnética afecta el desempeño del sistema. Suponga que el 10% de las operaciones de lectura se ven atenuadas por una alineación oblicua, el 5 % de ellas son atenuadas por una alineación descentrada, y que las demás operaciones de lectura se realizan de manera correcta. La probabilidad de un error en la lectura

9 por una alineación oblicua es 0,01, por una alineación descentrada 0,02 y 0,001 por una alineación correcta. a. Cuál es la probabilidad de tener un error de lectura? b. Si se presenta un error de lectura. Cual es la probabilidad de que se deba a una alineación oblicua? 4.2 Se sabe que un suero de la verdad que se aplica a un sospechoso es 90% confiable cuando la persona es culpable y 99% cuando es inocente. En otras palabras, 10 % de los culpables se juzgan inocentes por el uso de este suero y 1% de los inocentes, culpable. Si se selecciona un individuo de un grupo de sospechosos, de los cuales solo 5% ha cometido un crimen, y el suero indica que es culpable, Cuál es la probabilidad de que sea inocente?