INGENIERÍAS Cordinador: Luís Alfredo Rodríguez Saucedo, M. Sc. Correo:

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1 Itroducció al cálculo de icertidumbres e las INGENIERÍAS Cordiador: Luís Alfredo Rodríguez Saucedo, M. Sc. Correo: lurodrig@puj.edu.co INTRODUCCIÓN E las ciecias aturales los resultados de las medidas experimetales sirve para verificar la validez de modelos, leyes y teorías. Por esta razó, el experimeto e ciecia juega el papel de "juez de última istacia" y las medicioes experimetales se costituye e pilar fudametal de cualquier euciado cietífico. Si embargo, como cualquier actividad humaa, la medició o puede estar exeta de imperfeccioes. Todas las medidas, aú aquellas que se realiza co los métodos y equipos más sofisticados posee algú grado de icertidumbre. Se costituye etoces e deber de cada experimetador reportar sus medidas juto co ua estimació cuatitativa de la icertidumbre respectiva. E esta práctica se ilustrará, mediate u ejemplo cocreto, los coceptos presetados e la secció 2.2 del Laboratorio Cero relativos a la estimació y reporte icertidumbres. 2 PROCEDIMIENTO El sistema que se va a estudiar es u pédulo simple (masa putual pediete de ua cuerda) y se medirá las siguietes variables (magitudes por medir): - el período de oscilació del pédulo, - la logitud del pédulo, - la aceleració g debida a la gravedad terrestre. Ua vez medida cada variable se procederá a estimar su icertidumbre de acuerdo co lo establecido e la secció 2.2 del Laboratorio Cero. 2. Costruya u pédulo de logitud cualquiera l y pógalo a oscilar. Co el croómetro mida el tiempo de ua oscilació (tiempo de salida y regreso de la masa al mismo puto). Este tiempo se llama período y se simboliza co la letra T. Registre el valor obteido. NOTA: Se recomieda efectuar la medició después de que el pédulo haya realizado al meos ua oscilació. Ello para evitar el posible efecto sistemático que geeraría cualquier empujó ivolutario de la mao e el mometo de soltar la masa. 2.2 Repita la operació aterior hasta completar 50 datos. No es ecesario deteer y

2 soltar el pédulo para cada ua de las 50 veces. Ua vez oscilado, usted podrá medir varios períodos del pédulo si deteerlo, siempre y cuado la oscilació o se haya distorsioado apreciablemete. Registre sus resultados e la seguda columa de la tabla. 2.3 Ahora mida la logitud del pédulo desde el puto de suspesió hasta el cetro de la masa. Registre su resultado e la tabla No 4. 3 ANÁLISIS Y RESULTADOS 3. Resultado de Medició pare el Período de Oscilació y su icertidumbre. 3.. MAGNITUD POR MEDIR: E la primera fila de la tabla No. 3 escriba la defiició de la magitud que está midiedo. E este caso, el período RESULTADO DE MEDICIÓN. Al observar los 50 datos registrados e la tabla No. se ve que o todos so iguales. Si embargo, es ecesario reportar u valor como resultado de medició. La discusió que sigue le ayudará a decidir cual es el mejor estimado para el período del pédulo: o Orgaice los 50 datos escribiédolos e orde ascedete e la tercera columa de la tabla No.. No omita los datos que se repite. o Ahora Costruya u histograma de frecuecia tomado u tamaño de itervalo apropiado (debe haber por lo meos 5 itervalos). Se sugiere que, para determiar el tamaño de itervalo, al mayor de sus datos se le reste el meor y el resultado se divida por el úmero de itervalos escogido. Cuete cuátos datos hay detro de cada itervalo (frecuecia) y registre sus resultados e la tabla No. 2. Precaució: Defia los itervalos de tal maera que o corra el riesgo de cotar el mismo dato e dos itervalos cotiguos. o Haga ua gráfica de barras (Histograma) co los datos de la tabla No. 2. Utilice el formato de la figura No.. o Calcule el promedio de los datos y escriba su valor al fial de la tabla No.. Ubique tambié este valor sobre el eje horizotal del histograma. Observe cómo se localiza dicho promedio respecto al resto de datos. Qué puede decir acerca de la probabilidad de obteer el promedio como resultado de medició, e comparació co la probabilidad de obteer cualquier otro dato? (Tega e cueta e su discusió cuál(es) itervalos tiee() mayor úmero de datos) CANTIDADES DE ENTRADA. La variabilidad observada e los datos refleja la precisió del sistema de medició. Segú las defiicioes del Aexo del Coserve por ahora todas las cifras sigificativas que dé la calculadora 2

3 laboratorio cero, la precisió puede correspoder a la repetibilidad o a la reproducibilidad del sistema, depediedo de las codicioes e las que se repitió la medida. Revise su método de medició y diga si e su caso se trabajó bajo codicioes de repetibilidad o de reproducibilidad. Etre otras, las fuetes de error que causa esta variabilidad, puede ser: o La estimació a simple vista del mometo e que iicia la oscilació. o El tiempo de reacció de la persoa e el istate de eceder el croómetro. (esto es, tiempo de recorrido del estímulo e el trayecto: ojo cerebro mao) o Resolució del croómetro. o Etc. Trate de agregar al meos otras dos causas a esta lista y cosígelas todas e la columa ecabezada co X i, de la tabla No FUNCIÓN. El siguiete paso es establecer la fució que relacioa el período co las catidades de etrada. Aquí, al resultado reportado debe aplicársele las correccioes correspodietes a cada ua de las fuetes error eumeradas e la secció aterior. Por ejemplo, el tiempo de reacció de la persoa que mide hace que, alguas veces, el valor que registra el croómetro exceda al valor verdadero del tiempo de oscilació y, e otras, sea meor. E cualquier caso, cada valor leído por el croómetro debería corregirse 2 por el valor correspodiete al exceso o defecto ocasioado por las diferetes fuetes de error. De lo aterior se deduce que las catidades de etrada X i para la medida de período so las correccioes debidas a cada fuete de error eumerada e Así, la fució que relacioa el período co las catidades de etrada es: T = T + X + X + X... + X corregido 2 3 N 3..5 RESULTADO CORREGIDO. Los métodos para calcular icertidumbres establece que, como resultado de medició, debe reportarse el resultado corregido, esto es, el resultado que surge después de aplicar las correccioes pertietes. Así, para hallar el resultado corregido los valores x, x 2,. x N de las catidades de etrada debe reemplazarse e la fució f(x, X 2, X N ). Ahora, e el caso del período es razoable pesar que e cada ua de las 50 repeticioes, cada fuete de error afectó e forma aleatoria (a veces por exceso, otras por defecto) al resultado registrado por el croómetro. Etoces, promediado sobre los 50 datos, el valor x i, de cada correcció X i, debe ser igual a cero. Luego 2 Ver def. de correcció e el aexo del laboratorio cero

4 T corregido = T = T A partir las coclusioes de ésta y de la secció aterior, termie de diligeciar el ecabezado y la tercera columa de la tabla No EVALUACIÓN DE LAS COMPONENTES DE INCERTIDUMBRE. Auque los valores x i de las correccioes aplicables a T resultaro ser iguales a cero, o debe olvidarse que cada uo de ellos proviee de ua estimació. Por tato, como cualquier otro valor que resulte de medició o estimació, cada uo de estos ceros o se cooce co absoluta certeza y tiee ua icertidumbre x i distita de cero. A cotiuació se estimará las x i, bie sea por método el tipo A (estadístico) o por el método tipo B (otro método). Ahora bie, hay que teer e cueta que, excepto la resolució del istrumeto, las demás fuetes de variabilidad se cofude idistiguiblemete para dar la dispersió global de los datos que exhibe el histograma de la figura. Por esta razó, e pricipio, el efecto idividual de cada ua de estas fuetes de error o puede discrimiarse estadísticamete. Como cosecuecia y para simplicidad, aquí haremos correspoder esta compoetes de icertidumbre co x, x 2,, x N- y se resumirá e ua sola compoete que se llamará Repetibilidad (o reproducibilidad, si ese fuera el caso) del sistema de medició. Dicha repetibilidad se evaluará estadísticamete a partir de la desviació estádar de todos los datos. La compoete restate x N se asociará co la icertidumbre debida a la resolució del istrumeto de medida. Etoces: x repet = x + x x N-. x res = x N. La icertidumbre de resolució x res suele estimarse simplemete como la mitad de la resolució del istrumeto de medida utilizado. Establezca la resolució del croómetro, divídala por dos y escriba el valor de x res e la casilla respectiva de la tabla No. 3 (Fila X res, columa x i ) Ahora bie, para evaluar x repet, observe que el valor reportado como resultado de medició es el período promedio. De acuerdo co las leyes de la estadística, el parámetro que se debe usar para estimar la icertidumbre de u promedio es la desviació estádar de la media, defiida por: s m = s dode s represeta la desviació estádar del cojuto de datos y el úmero de 4

5 datos 3. Así: xrepet = sm = s Para evaluar x repet, termie de llear la tabla No.. Usado las defiicioes que aparece e esa misma tabla calcule, s 2, s y s m. Coserve e sus cálculos todas las cifras sigificativas que da la calculadora. Reporte el valor hallado de x repet e la casilla respectiva de la tabla No. 3 (co todas las cifras sigificativas dispoibles) Halle la icertidumbre T del período combiado las dos compoetes de icertidumbre que acaba de evaluar (repetibilidad y resolució). Usado la regla de combiació apropiada segú la secció del laboratorio cero, la icertidumbre para el período queda: T = x + x x N = x repet + x res Termie de diligeciar la tabla No. 3 lleado la última columa y las dos últimas filas. Para la casilla del extremo iferior derecho tega e cueta las reglas de redodeo expresadas secció del Laboratorio Cero Evalúe sus resultados y discuta la calidad de su medida. 3.2 Logitud de la cuerda y su Icertidumbre No siempre se dispoe del tiempo, los recursos o la iformació ecesarios para repetir la medida y evaluar la icertidumbre por el método tipo A. E estos casos se debe recurrir al método tipo B, el cual se basa e elemetos como la ituició, el tateo, la experiecia, el coocimieto previo de la magitud por medir, así como iformació extraída de otras fuetes como tablas o mauales, etc. Este es el caso de la logitud del pédulo, cuya medida se realizó ua sola vez. Tal como lo hizo para el período e la secció 3., siga los pasos ecesarios para hallar la icertidumbre de la logitud. Discuta co sus compañeros y reporte sus coclusioes diligeciado la tabla No.4. Etre otras, tega e cueta las siguietes recomedacioes: - Idetifique cuáles puede ser las diferetes fuetes de error para la logitud del pédulo. Nuevamete, las catidades de etrada X, X 2, X N correspoderá a las correccioes de estos errores. Escriba la lista de estas catidades de etrada e la primera columa de la Tabla 4 (cosidere e su discusió, el istrumeto, el 3 No cofuda N y. E esta guía N represeta el úmero de variables de ifluecia mietras que represeta el úmero de veces que se repitió la medició. 4 como reportar correctamete el resultado de medició co su icertidumbre. 5

6 procedimieto de medida etc.). - Puesto que es imposible coocer el valor de cada correcció, asígele a cada ua el valor cero 5 auque, obviamete, la icertidumbre de este valor (cero) o debe ser igual a cero. - Para la medida de la logitud igua compoete podrá evaluarse por métodos estadísticos, pues o hubo repeticioes. Estime etoces, segú su criterio, u valor para cada compoete de icertidumbre x i. Escriba los valores estimados e la columa correspodiete de la tabla 4. - Halle la icertidumbre combiada l combiado las diferetes compoetes x i. Use la regla de combiació apropiada segú la secció del laboratorio cero. - E la casilla respectiva de la tabla No.4, reporte los valores de l y l co el úmero correcto de cifras sigificativas. Al térmio de esta secció, la tabla No. 4 debe quedar completamete diligeciada. 3.3 Determiació de la aceleració gravitacioal g Empleado las leyes de la mecáica ewtoiaa, puede probarse teóricamete que el período de u pédulo que oscila co pequeñas oscilacioes está dado por la expresió: T = 2π l g 3.3. Co los resultados de medició de T y de l obteidos e las seccioes ateriores calcule el valor de la aceleració de la gravedad g e el laboratorio de física. (De uevo, use y coserve todas las cifras sigificativas que da la calculadora. Redodee úicamete al fial, al reportar el resultado co su icertidumbre) De maera semejate a como lo hizo para el período y la logitud, siga los pasos ecesarios para hallar la icertidumbre g. Diligecie la tabla No. 5 a medida que sigue el procedimieto. Para facilitar sus cálculos exprese la fució g = f(x, X 2 ) como u producto de potecias. (Cuáles so, e este caso, X y X 2?). Sugerecia: Para combiar las compoetes de icertidumbre de g utilice la expresió para la icertidumbre relativa de u productos de potecias que aparece al fial de la secció del laboratorio cero Se asume de uevo que los errores cosiderados se debe a efecto aleatorios, esto es, que e caso de que se repitiera la medida el error tiee la misma probabilidad de ser positivo o egativo, oscilado su valor alrededor de cero. Por tato, el valor más probable para la correcció debida a ese efecto es cero. 6

7 3.3.3 Termie de diligeciar la tabla No. 5 expresado g y su icertidumbre co el úmero correcto de cifras sigificativas Medicioes más cofiables que la de esta práctica ha establecido que la gravedad e Cali es g = 9,77 m/s 2 + 0,0 m/s 2. A partir de este valor halle el error y el porcetaje de error de su resultado de medició Compare sus resultados, discuta acuerdos y diferecias y haga sus coclusioes. 7

8 Tabla No. Medida Nº T i (s) T i (s) (ordeado) (T i - T )(s) (T i - T ) 2 (s 2 )

9 =50 i= ( Ti ) = ( Ti T ) = i= i= ( Ti T ) 2 = T = Ti = i= 2 s = (Ti T i= ) 2 = s s m = = 9

10 Figura No. Frecuecia T (s) Tabla No 2 Itervalo frecuecia 0

11 Tabla No. 3 Magitud por medir (Defiició de T, e palabras): Resultado de Medició ( mejor estimado de T) T = Fució (Relació de T co las catidades de etrada): T = X i Nombre de la catidad de etrada x i Valor de la catidad de etrada x i Icertidumbre estimada para el valor de cada catidad de etrada Método de estimació (A o B) X X 2 X 3 X res Correcció debida a la Resolució del croómetro 0 Expresió para calcular la icertidumbre combiada de la magitud por medir: T = T = Valor de la icertidumbre combiada Reporte del resultado de medició co su icertidumbre: T = +

12 Tabla No. 4 Magitud por medir (Defiició de l, e palabras): Resultado de Medició ( mejor estimado de l) l = Fució (Relació de l co las catidades de etrada): l = X i Nombre de la catidad de etrada x i Valor de la catidad de etrada x i Icertidumbre estimada para el valor de cada catidad de etrada Método de estimació (A o B) X X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 Expresió para calcular la icertidumbre combiada de la magitud por medir: l = l = Valor de la icertidumbre combiada Reporte del resultado de medició co su icertidumbre: l = + 2

13 Tabla No. 5 Magitud por medir (Defiició g, e palabras): Resultado de Medició ( mejor estimado de g) g = Fució (Relació de g co las catidades de etrada): g = X i Nombre de la catidad de etrada x i Valor de la catidad de etrada x i Icertidumbre estimada para el valor de cada catidad de etrada Método de estimació (A o B) X X 2 Expresió para calcular la icertidumbre combiada de la magitud por medir (deducir e casa): g = g = Valor de la icertidumbre combiada Reporte del resultado de medició co su icertidumbre: g = + Revisió