APÉNDICE A INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS DE ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES

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1 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli APÉNDICE A INTERPRETACIONES GEOMÉTRICAS DE ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES Un inomio l cudrdo de l form (+), donde,, puede interpretrse de mner geométric con l siguiente figur: L figur es sudividid en 4 secciones, de tl mner que pr encontrr el áre correspondiente (+) st sumr ls áres de ls cutro secciones, tles áres son: + + +, simplificndo tenemos que: (+) = + + Este inomio elevdo l cudrdo recie el nomre generl de producto notle. En un cso numérico, digmos 7*7=(0+7), tmién es fctile l percepción geométric, quedndo de l siguiente form: 7 0 De igul mner l figur es sudividid en 4 secciones, de tl form que pr encontrr el resultdo correspondiente 7*7= (0+7) st sumr ls áres de ls cutro secciones, tles áres son: 0 + 0*7 + 0*7 + 7, simplificndo tenemos que: (0+7) = 0 + (0)(7) + 7 = =

2 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli Un inomio l cudrdo de l form (-), donde,, puede interpretrse de mner geométric con l siguiente figur: I Si socimos el cálculo de (-) con l figur djunt, lo que se usc es el áre de l sección denomind como I, est puede clculrse medinte l diferenci del áre totl y ls secciones restntes. Es decir (-) (-) = - +, simplificndo otenemos que: (-) = - + Este inomio elevdo l cudrdo recie el nomre tmién de producto notle. - Ahor consideremos el inomio mism metodologí. 4 y I ( 4 y ) pr socirlo con l figur geométric y desrrollrlo con l Nuevmente socimos el cálculo de (4-y ) con l figur djunt, lo que se usc tmién es el áre de l sección denomind como I, est puede clculrse medinte l diferenci del áre totl y ls secciones restntes. Es decir (4) (4)(y ) (y )(4 -y ) simplificndo otenemos que: (4-y ) = 16 40y + y 4 y 4 y 4-y 4 4 y 4 117

3 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli Un trinomio de l form ( + + c) tmién puede socirse un figur geométric, quí, y c. L figur y el desrrollo quedrí de l siguiente mner. c Pr determinr ( + + c) podemos clculr el áre de ls nueve secciones y sumrls. Puede oservrse que tres de ells (en l digonl) son, y c. El resto de ls figurs tiene áres igul :, c y c. Por lo que: ( + + c ) = + + c + + c + c. c Un inomio l cuo puede tener un trtmiento similr los nteriores, descomponiéndolo en prlelepípedos con volumen conocido. Al respecto se propone l siguiente figur. Si descomponemos en los 8 prlelepípedos otenemos: V = De tl mner que: ( + ) = Este inomio elevdo l cuo recie el nomre de producto notle. El volumen de l figur es El volumen de l figur es 118

4 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli El volumen de l figur es El volumen de l figur es El volumen de l figur es El volumen de l figur es El volumen de l figur es El volumen de l figur es Pr dr trtmiento geométrico l inomio ( ) nos poyremos de l figur contigu. 119

5 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli El inomio (-) etrído del cuo nterior es El volumen de este, puede clculrse por l diferenci entre dos cuos, es decir (-) = resto de volúmenes de ls figurs que quedn. Los volúmenes de ls figurs que quedn son los siguientes: El volumen de l figur es: El volumen de l figur es: (-) El volumen de l figur es: (-) Podemos decir entonces que: 10

6 (-) = [ + (-) + (-) ] luego tenemos que: (-) = [ + + ( + ) ] simplificndo llegmos : (-) = + Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli ACTIVIDADES PARA EL ESTUDIANTE. 1.El prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds. Determine el volumen de cd uno de los 8 prlelepípedos. Hy volúmenes de prlelepípedos igules? Cuántos? Cuánto es l sum de los 8 prlelepípedos? Si clculmos el volumen como: (+) = (+)(+)(+) result igul l que otuviste sumndo los prlelepípedos?.el prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds (>). Determine el volumen de cd uno de los 8 prlelepípedos. Hy volúmenes de prlelepípedos igules? Cuántos? Cuánto es l sum de los 8 prlelepípedos? Clculemos el volumen como: (+) = (+)(+)(+) Compárelo con el resultdo correspondiente l sum de los 8 prlelepípedos. 11

7 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli.El prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds (y>>0). Determine el volumen de cd uno de los 8 prlelepípedos. y Hy volúmenes de prlelepípedos igules? -En cso de her- Cuántos? Cuánto es l sum de los 8 prlelepípedos? y Si clculmos el volumen como: (+y) = (+y)(+y)(+y) result igul l que otuviste sumndo los prlelepípedos? y 4.El prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds (y>>0). Determine el volumen de cd uno de los 8 prlelepípedos. Hy volúmenes de prlelepípedos igules? -En cso de her- Cuántos? Cuánto es l sum de los 8 prlelepípedos? y y Si clculmos el volumen como: (+y) = (+y)(+y)(+y) result igul l que otuviste sumndo los prlelepípedos? Determine (7+y) y.el prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds secciondo con tres plnos perpendiculres. Nuestro interés vers sore el prlelepípedo (-). Uíquelo en l figur y clcule su volumen por diferenci entre el volumen totl y los 7 prlelepípedos restntes. Compre el resultdo que otuvo con el resultdo de l siguiente operción: (Primero desrrollndo el producto y luego trvés del producto previo cálculo dentro de cd préntesis). (-) = (-)(-)(-) 6.El prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds ( > > 0). Secciondo con tres plnos perpendiculres. Se genern 8 prlelepípedos- Nuestro interés vers sore el prlelepípedo (-). Uíquelo en l figur y clcule su volumen por diferenci entre el volumen totl y los 7 prlelepípedos restntes. Compre el resultdo que otuvo con el resultdo de l siguiente operción: (desrrollndo el producto). 1 (-) = (-)(-)(-)

8 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli 7.El prlelepípedo que se muestr continución tiene ls medids indicds (y>>0). Secciondo con tres plnos perpendiculres. Se genern 8 prlelepípedos- Nuestro interés vers sore el prlelepípedo (y-).. Uíquelo en l figur y clcule su volumen por diferenci entre el volumen totl y los 7 prlelepípedos restntes. Compre el resultdo que otuvo con el resultdo de l siguiente operción: (desrrollndo el producto). (y-) = (y-)(y-)(y-). Clcule (4-y) y y y APÉNDICE B 1

9 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE ALGUNOS TIPOS DE FACTORIZACIÓN L diferenci de cudrdos. L fctorizción de l diferenci de cudrdos m n, (donde m y n pertenecen l conjunto de los números reles), se s en l oservnci de que los fctores resultntes son, respectivmente, l diferenci y l sum de los dos números. L epresión lgeric m n puede ser referid l figur de l izquierd, y l operción indicd gráficmente consiste en m clculr l sum de ls áres de ls figurs 1 numerds como 1 y, pues son ésts ls figurs restntes producto de l diferenci de n los cudrdos (m n ). Por lo tnto tenemos que: m n = m(m-n) + n(m-n) Fctorizndo medinte término común nos n qued: m n = (m-n) (m+n) m Aquí m y n pueden tomr vlores numéricos o monomios o multinomios. Not: En todos los csos se sume que ls vriles utilizds representn números reles. Ejemplo número 1: Fctoricemos el inomio 16 8r Geométricmente podemos representrlo sí r r Semos que tl diferenci de cudrdos d como resultdo l sum de ls figurs 1 y. El áre de l figur 1 es: (4 - r )(4). Mientrs que el áre de l figur es: (4 - r )( r ). Fctorizmos el término común que es: (4 - r ) por lo que finlmente nos qued: 16-8r 4 = (4 - r ) (4 + r ) 4 14

10 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli L diferenci de cuos. L diferenci de cuos puede tener un trtmiento similr l nterior, consideremos el volumen del cuo myor como, el volumen del cuo menor como, sí que l diferenci de cuos, es: = (-)( + +). El volumen de est sección es: (-) (-) El volumen de est sección es: (-) (-) El volumen de est sección es: (-) (-) 1

11 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli L sum de cuos. Si nos referimos l sum de cuos como (el volumen de l figur myor) y (el volumen de l figur menor) entonces este es: (-) + (-) + (+) Fctorizndo (-), otenemos que: V(volumen) = (-)(+) + (+) Ahor fctorizmos (+) y nos qued: V= (+)( -+ ). El volumen de est sección es: (-) (-) (+) El volumen de est sección es: (-) El volumen de est sección es: (+) (-) 16

12 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli Trinomio cudrdo perfecto 1 6m Ejemplo número : Fctoricemos 9m t t Pr relizr est fctorizción incorporemos el conteto geométrico, de culquier form ls ríces 1 1 6m correspondientes son y m oteniendo que 1 9m = t m t t t (1/t m) 1/t 1/t 1 m m El áre uscd est mrcd precismente como (1/t m) sí que tl áre l clculremos por l diferenci del cudrdo myor, es decir (1/t) menos l sum de los restntes (designdos como 1, y ), el áre 1 es: (1/t-m)(m). El áre es (1/t- m)(m), es decir, el áre es igul l áre 1. Finlmente el áre es: 9m. Luego podemos decir que: (1/t m) = (1/t) [(1/t-m)(m)+ 9m ]. Concluyendo: (1/t m) = (1/t) 6m/t + 9m Not: En est fctorizción es muy conveniente hcer l comproción correspondiente. Ests diferentes representciones nos yudn un tnto entender el significdo de los términos que conformn los fctores en un proceso de fctorizción. En el sentido, de que en vez de recurrir l memori como lmcén de informción, prticulrmente de fórmuls pr fctorizr, podemos recurrir l memori como ejecutor de operciones con significdo implícito. Un vez comprendido los procedimientos, el significdo de los términos o el posile significdo de los términos, sí como l fcultd de socición con representciones geométrics nos permite tener otrs herrmients tles que posiiliten el mejormiento de nuestrs competencis lgerics. 17

13 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli ACTIVIDADES PARA EL ESTUDIANTE 1.Tenemos dos cuos cuys medids son ls que se indicn, nuestro interés vers sore l determinción de l sum de mos cuos. Iniciremos considerndo como uno solo el prlelepípedo de ltur (+). De tl mner que su volumen es: Y l de los otros dos: Tenemos que l sum + es igul : n n n.tenemos dos cuos cuys medids son ls que se indicn, nuestro interés vers sore l determinción de l sum de mos cuos. Iniciremos considerndo como uno solo el prlelepípedo de ltur (m+n). De tl mner que su volumen es: m Y l de los otros dos: Tenemos entonces que l sum (m) +(n) es decir 8m + 7n es igul : m m 18

14 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli.El esquem que se present tiene dos cuos cuys medids se indicn. Al cuo con medid de ldo le restremos el de medid. Es decir. Determine el resultdo trvés de l sum de los prlelepípedos restntes. Compruee el resultdo relizndo l diferenci directmente. 4t 4t 4.El esquem que se present tiene dos cuos cuys medids se indicn. Al cuo con medid de ldo 4t le restremos el de medid. Es decir 64t. Determine el resultdo trvés de l sum de los prlelepípedos restntes. 4t 19

15 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli APÉNDICE C Vlores Utilizr pr Funciones Trigonométrics θ Sen θ Cos θ Tn θ Grdos Rdines No eiste No eiste En deciml

16 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli θ Cot θ Sec θ Csc θ Grdos Rdines No eiste 1 No eiste No eiste No eiste -1 No eiste No eiste No eiste 1 No eiste 1 1 En deciml

17 Universidd Autónom de Bj Cliforni Fcultd de Ingenierí Meicli BIBLIOGRAFÍA Lrson / Hostetler / Edwrds, Cálculo. Volumen 1, Quint edición. Editoril Mc Grw Hill Dennis G. Zill / Jcqueline M. Dewr. Álger y Trigonometrí. Segund Edición. Editoril Mc Grw Hill Grcí Velázquez Á. / Amdo Moreno G. Curso propedéutico de mtemátics. Tópicos de álger. Meicli, Bj Cliforni. Julio de Erl W. Swokowski. Cálculo con geometrí nlític. Grupo Editoril Ieroméric Moreno M. A / Núñez J. / Miemros del Progrm Ncionl de Formlizción y Actulizción de Profesores de Mtemátics. Nodo Regionl sonor; Sonor (UNISON).Grficción de funciones. Arthur Goodmn / Lewis Hirsch. ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. Primer Edición. Editoril Prentice Hll. De Ls Fuentes Lr Mimilino. Tesis, Un propuest pr l construcción del concepto de ríz rel emplendo l diléctic herrmient ojeto y el juego de mrcos. El cso de ls funciones lineles y cudrátics. Pul K. Rees / Fred W. Sprks. Álger. Editoril Reverté. Méico