LÍMITES. Ing. Ronny Altuve

Transcripción

1 UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Unidad Curricular: Matemática II LÍMITES Elaborado por: Ing. Ronny Altuve Ciudad Ojeda, septiembre 2016

2 INDICADOR DE LOGRO Aplicar la definición y propiedades de los límites, resolviendo problemas propuestos.

3 INTRODUCCIÓN Un límite matemático, expresa la tendencia de una función mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor. Esta noción de acercarse cada vez más a algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y tiene que ver con el concepto de límite, que es fundamental para el Cálculo. Básicamente, se considera que una variable se acerca al máximo a un valor específico, y se examina el efecto que esto tiene sobre los valores de la función.

4 INTRODUCCIÓN Por ejemplo, si se considera la función: lim f x = x3 1 x 1 x 1 X < 1 X > 1 x f(x) x f(x)

5 INTRODUCCIÓN Por ejemplo, si se considera la función: lim f(x) = x + 3 x 2 X < 2 X > 2 X f(x) x f(x)

6 DEFINICIÓN DE LÍMITE El límite de f(x) cuando x tiende a c es el número L, y ello se escribe: lim f(x) = L x c Si f(x) está arbitrariamente cerca de L para toda x suficientemente cercana a c, pero no igual a c. Es importante recordar que cuando se determina un límite, lo importante NO es lo que le sucede a f(x) cuando x es igual a c, sino sólo lo que le ocurre cuando x está cerca de c.

7 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Teorema 1. Si a є R, entonces: lim x = a Teorema 2. Límite de una constante Si c = constante, entonces: lim c = c Teorema 3. Límite de una combinación lineal Si c = constante y f (x) una función, entonces: lim c f (x) = c lim f (x)

8 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES lim Teorema 4. Si m = cte, b = cte, entonces: mx + b = ma + b Teorema 5. Límite de una suma Si lim g(x) = G y lim h(x) = H, con G y H є R, entonces: lim[g x + h x ] = lim g x + lim h x Teorema 6. Límite de una diferencia = G + H Si lim g(x) = G y lim h(x) = H, con G y H є R, entonces: lim[g x h x ] = lim g x lim h x = G H

9 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Teorema 7. Límite de un producto Si lim g(x) = G y lim h(x) = H, con G y H є R, entonces: lim[g x h x ] = lim g x lim h x Teorema 8. Límite de un cociente = G H Si lim g(x) = G y lim h(x) = H, con G y H є R, con H 0, entonces: lim g(x) h(x) lim g(x) = lim h(x) = G H Teorema 9. Límite de una potencia Si lim g(x) = G, con m y n є R, siendo n 0, entonces: lim g (x) m n = G m n

10 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Teorema 10. Límite de un polinomio Si P(x) es una función polinómica, entonces: lim P (x) = P (a) Teorema11. Si lim g(x) = G y lim h(x) = H, con G y H є R, entonces: lim g (x) h (x) = lim g (x) lim h (x) = G H

11 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Calcular el siguiente límite, justificando que propiedad se está usando: a) lim x 2 7 b) lim x 3 x 2 x c) lim 2 +6x+9 x 1 x 2 2x+1 2 d) lim x 2 (x 2 + x) e) lim x 2 x + 1 x 3 f) lim x 2 3x3 2x g) lim 2 +x 3 x 1 x 3 +4 h) lim t 4 t i) lim x x 3 j) lim(3t 5) t 1 2 k) lim x 1 (x3 3x 2 2x + 1) l) lim p 4 p 2 + p + 5

12 INDETERMINACIONES Indeterminación cero partido entre cero Función racional sin radicales: Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

13 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTORIZACIÓN Para factorizar un polinomio y calcular sus raíces, se deben seguir los siguientes pasos, cuando sean posibles: 1. Factor común de un polinomio: Extraer factor común a un polinomio, consiste en aplicar la propiedad distributiva. a x + b x + c x = x a + b + c 2. Igualdad notable I. Diferencia de cuadrados: Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. a 2 b 2 = a + b a b II. Suma o Diferencia de Cubos perfectos: a 3 + b 3 = a + b a 2 ab + b 2 a 3 b 3 = a b a 2 + ab + b 2

14 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS III. Trinomio cuadrado perfecto: Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado. a 2 ± 2ab + b 2 = a ± b 2 IV. Trinomio de segundo grado: Para descomponer en factores el trinomio de segundo gradop (x) = ax 2 + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será: ax 2 + bx + c = a x x 1 x x 2

15 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factorización de un polinomio de grado superior a dos Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras. A. Tomamos los divisores del término independiente B. Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta C. Dividimos por Ruffini. D. Por ser la división exacta, D = d c E. Se continua realizando las mismas operaciones a los siguientes factores.

16 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Evalúa los siguientes límites: 1. lim x 1 x² 1 x 1 2. lim x 1 x² + x 2 x 1 3x 1 3. lim x 1 3x 2 + 5x lim x 2 x 3 8 x lim x 1 x 3 3x + 2 x 3 x 2 x lim x 1 3x 4 4x (x 1) 2 7. lim x 1 x² + x 2 x 2 x 8. lim t 1 t² + t 2 t lim y 0 5y 3 + 8y 2 3y 4 16y lim x 2 x 2 4 x lim x 4 x 4 x 2 x lim x 2 8 x 3 x 2 2x

17 INDETERMINACIONES Indeterminación cero partido entre cero Función racional con radicales. En primer lugar se multiplica numerador y denominador por la conjugada de la expresión irracional. Para la conjugada: (A + B)(A - B) = A² - B² (A B)(A² + AB + B²) = A³ - B³ (A + B)(A² - AB + B²) = A³ + B³

18 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Evalúa los siguientes límites: x² 9x 1. lim x 9 3 x x²+3x lim x 2 x lim x 1 1 x x lim 5. lim x x x 0 x 6. lim x 1 3 x 1 x 1 3 x +1 x 2 +x

19 INDETERMINACIONES Indeterminación infinito partido entre infinito Se dividen todos los sumandos por la potencia de mayor exponente. Reglas Prácticas 1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado. 2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el límite es ±, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado. 3. Si el numerador tiene mayor grado el límite es cero.

20 EJERCICIOS DE APLICACIÓN Evalúa los siguientes límites: 1. lim x x²+5x+4 x 2 2x+1 2x 2. lim 5 3x 2 x x 4 x 3 3. lim x x2 x+2 3x 2 +2x 4 3x 4. lim 2 2x x + 2x+3 5. lim x + x 2 +1 x+1