= 1n. + c. x dy. x x. + 2r. y y. Rojas Huachin Miryan. Homogéneas y Reducibles a Homogéneas
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- Roberto Agüero Ávila
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1 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Homogénas Rdcibls a Homogénas. arsolvr: ' r b Drminar para q valors d r in solcions d la forma la cación ''' '' ' 0 Solción a Hacmos l cambio: ' ' Rmplaando n la cación: d d n n c n n n c n n nc n c c Pro n : c c r b Para q sa la solción s ncsario sficin q lla ss drivadas saisfagan la cación difrncial dada. r r r r Así: ' r " r "' r r r r Rmplaando: r r r 0 r r r 0 r r r 0 r r r 0 r 0 r r Lgo los valors d r son: 0. Rsolvr las sigins cacions difrncials: a d b d d d d Solción a d d d d d d c b Tnmos: '... Homogéna Hacmos ' ' Rojas Hachin iran
2 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials En : ' ' d d n n c Pro. En : n n c. Rsolvr la cación difrncial: 8 5 d 7 0 d 0 Solción pd scribirs como: 8-7 Enconramos la solción dl sisma: d 8 5 d cación rdcibl a homogéna. Vmos q: q s - 7 Hacmos l cambio d variabls: d d v 7 d En la cación rmplaamos: 8 v v d 7 8 v 0 7 v La cal s homogéna. Hacmos cambio: v d v d d En : d 8 8 d 8 d 7 7 d 7 d 8 8 d 8 8 d 7 d 7 7 d 8 8 d 8 7 d d Por fraccions parcials: 8 0 d d Rojas Hachin iran
3 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials 0 ln ln ln c 8 Ingrando: 5ln ln 8 ln c n n c nc n n c c v 7 Pro En : [ c ]. Hallar la solción gnral d las cacions difrncials: a b c ' b c f 0 a b ' 0 Solción: a b c a nmos q: ' b c f Sa ' ' En : a ' b b c c f a b c b c f a b c ' b c f a b c b c b c f f f c b f c b ' f n f c b a n n f c b a n c n f c b a n c nc f c b d c b a f c b a c Pro n : f c b a c b Vmos q: ' Como a noncs hacmos l cambio ' ' En : ' ' ' c d Rojas Hachin iran
4 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials ' d d n c.. Pro n : n c 7 d 8 d 0 5. Rsolvr la E.D. Solción: 7 d 8 d 0 Tnmos q: Hacmos l cambio: d d d d d d d 7 d 8 d 0 d 7 d 8 En : Como noncs hacmos l cambio. v h r k dond hk s la solción dl sisma: 7 0 h k 8 0 Lgo v d ; r d dr dr v r 7 v r En : v r 8 v r. Homogéno dr Sa r v v v v En : v v v v d v v v 5 n n nv c 5 n n nv c n nv n 5 c n n cv cv 5 5 Rojas Hachin iran
5 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Pro rv v En : 5 c 5 c 5 c. Rsolvr las E.D.: n d d 0 a b an co g sc d an co an cos c d 0 Solción: a Tnmos q: n. ' 0 ' n ' n Hacmos ' ' ' ' ' d En :. n. n d Hacmos V V d.. Admas : n v En : V d d.. v. v V. d v d v.... Homogéna Sa d v v En : v v v v. v v. v v n n nv c Rojas Hachin iran 5
6 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials [. ] nv [. ] nv nc ncv n c n. cv Pro ; v n v n En : cn n n b Tnmos: g co g sc g co g cos c. ' 0... Sa co g ' cos c. ' En : g sc g ' 0 Ahora sa: v g sc d d v En : v v d 0... v Como: - hacmos: v 0 v v 0 Hacmos l cambio: v d d En : d Ahora sa d r r dr En : r dr r r r dr r r dr r r r r r r r dr r r r r r dr n r n c r n r c 5 r co g Pro r g r v g Rojas Hachin iran
7 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials co g En 5: n g c g g Ecacions Linals Rdcibls a Linals 7. Rsolvr: n d d 0 Solción La cación pd scribirs como: n d n d d d d n Brnolli liplicamos por : d n d Hacmos: ' '. ' ' En : ' n ' n Sa.I. d n n d Ahora: :.. n c d. c [ n ] c n Pro. Qd: - n c 8. Rsolvr: cg sn - Solción cos cog cog cos - Brnolli cg cos. Sa cog cos cog cos E.D.L..I. cgd cos d sn n sn n sn sn..p.: [ sn ]' cos sn sn sn cos d c Rojas Hachin iran 7
8 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials 9. Rsolvr: sn cos cos-sn Solción cos cos - sn Tnmos: '.. sn sn liplicamos por - nos qda:. ' cg. cg - ' cg. cog - Brnolli Cambio: ' En : ' cg.. ' cogs - ' ' ' cg. cog linal Ahora.I.:. I. d d cgd sn n sn n sn. sn sn cg sn sn sn. sn coscd cos d sn. sn sn c i c sn Pro nos qda: c sn 0. Rsolvr sc d g d - g d Solción d sc g g d Sa g sc. n : Brnolli - -. D. Sa En : - - E.D.L. d -. I. :. Ahora.I.: ' Rojas Hachin iran [ ] d c d c 5 8
9 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Pro - g g - cg g c n 5: cg d d. Rsolvr: n n d Solción: Tnmos: -- n n Dividndo nr nmos: ' n n ' ' Sa n ' En : ' Brnolli liplicando por - qda: Hacmos cambio: '. '. ' ' En : ' ' Linal d n.i. d.i.: [. ] d c c ro - n nos qda: n c Eacas Rdcibls a Eacas. La Ecación difrncial: d 5 d 0 Pd sr rsla iliando n facor ingran d la forma m n. drminar s facor rsolvr la cación difrncial propsa. Solción Si m n s n.i. noncs: m n d 5 m n d 0 s aca. n * n m n * n m n n m n Rojas Hachin iran 9
10 Ecacions difrncials * m n 5 m n * m m Ejrcicios d Ecacions Difrncials n 5 m m n m m n 5m m n [ n m ] m n [ n 5 m ] m n 0 n m 0 n m m 9 n n 5 m 0 n 5m Lgo l facor s: -9 - En : d d 0 * n * Sa c la solción. Enoncs: * Λ * D: d 7 0 d h h 8 0 h... α Ahora: * h * 8 5 h' 8 h k En α: k c 5 h' c Rojas Hachin iran 0
11 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials. Enconrar la solción gnral d la cación difrncial: a d - d 0 b -d -d 0 iliando n facor ingran d la forma ϑ Solción a Aplicamos facor ingran: ' Lgo:... Sa En : ' ' ln ln... liplicando la cación original por l facor ingran; nos qda: d d 0 la cal s aca. Sa c Λ la solción noncs s vrifica q: h D d d n h... Ahora d : h' h' h' h ln... n : n n c n c Rojas Hachin iran
12 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Rojas Hachin iran b Tnmos q Sabmos q: ' Por dao: En :.. ' Lgo: ' n n n Es dcir: liplicando la cación original por l facor ingran nmos: 0 d d la cal s aca. Sa c la solción noncs s vrifica q D d d h... h D : ' ].. [ h
13 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Rojas Hachin iran ' h h n : c. Enconrar la solción gnral d la cación difrncial: - d d 0 Sabindo q - f s n facor ingran. Solción liplicando por l facor ingran: 0... d f d f nmos q s aca. En sa nva cación podmos considrar a f como n nvo facor ingran s dcir nmos q: 0... d d con f s aca. Como l nvo facor ingran s f nmos q s cmpl ' dond Sa Admás Rmplaando n :. ' Pro ' n n
14 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Rojas Hachin iran... Ahora : 0 d d 5 Sa S db cmplir q c s la solción dond Trabajando con: g d g d g d d... α g Ahora sando:... D α: ' '. g g En : ' g...7 ' n g g 7 n α: - n n La solción s: c s dcir: - n nc 5. d d 0 Solción: Vmos q: no s aca. Harmos la fórmla calclarmos n facor ingran:
15 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials '... m Sa En : ' 5 ' n n n n. n n.. Lgo: s l facor ingran bscado. liplicando la cación difrncial por l facor ingran s convir n aca: d d0. S c l solción gnral d noncs s cmpl q: D :. d h h...5 D : [. ] h' Rmplaando n : h' h' h ' Rojas Hachin iran 5
16 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Rojas Hachin iran 0 0 ' h h Rmplaando n 5 la solción gnral s: c. Dmosrar q si d d0 s na cación difrncial no aca q: a dond R dpnd sólo d léas por noncs s n facor ingran d dicha cación. Enconrar na fórmla gnral para dicho facor aplicando és rsolvr la cación: 0 d d Solción La fórmla dl facor ingran s:... ' Sa En... ' R Como R R R n : d R n R '... d R facor ingran bscado. Rsolvindo la cación difrncial dada: n En.... R Lgo l facor ingran s A coninación mliplicamos la cación difrncial por l facor ingran s convir n aca}: d d 0 dond Ahora sa c la solción gnral dond:
17 Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials D 5: d g h...7 D 7: h'. En : h' En 7: La solción gnral s: c h ' h Bibliografía Ecacions Difrncials Csar Saal R. 998 li Carrillo C.998 Rojas Hachin iran kaor_008@homail.com ac. Ingniría Indsrial- US Rojas Hachin iran 7
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