Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

2 PROYECTO EDITORIAL INGENIERÍA Y CIENCIA

3 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias Raúl Toral Joan J. Cerdá

4 Consulte nuestra página web: En ella encontrará el catálogo completo y comentado Raúl Toral Joan J. Cerdá EDITORIAL SÍNTESIS, S. A. Vallehermoso, Madrid Teléfono: Depósito legal: M ISBN: Impreso en España - Printed in Spain Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes, reproducir, registrar o transmitir esta publicación, íntegra o parcialmente, por cualquier sistema de recuperación y por cualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o cualquier otro, sin la autorización previa por escrito de Editorial Síntesis, S. A.

5 Índice Introducción Prolegómenos Clasificación de las ecuaciones diferenciales Solución de una ecuación diferencial Ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separadas Teorema de existencia y unicidad para problemas de valores iniciales Uso de Sage en la resolución de ecuaciones diferenciales Problemas resueltos Ejercicios Solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones diferenciales de primer orden lineales Ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales Cambio de variables Ecuaciones homogéneas Ecuaciones de Bernoulli Ecuaciones de Ricatti Cambio y(x) a x(y) Ecuaciones exactas Factor integrante Uso de Sage en la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden Extracción de información cualitativa a partir de un campo de pendientes Extracción de soluciones analíticas de una ecuación de primer orden Extracción de soluciones numéricas de una ecuación de primer orden Problemas resueltos Ejercicios EDOs lineales de orden superior (I) Definiciones y teorema de existencia y unicidad Ecuaciones diferenciales de orden superior a uno que sean a la vez lineales y homogéneas 75

6 6 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 3.3. Cómo hallar un conjunto fundamental de soluciones para ecuaciones lineales, homogéneas y a coeficientes constantes Las ecuaciones de Euler Sage aplicado a ecuaciones diferenciales lineales de orden superior a coeficientes constantes Calculando wronskianos Sage y las ecuaciones diferenciales de orden superior: Problemas resueltos Ejercicios EDOs lineales de orden superior (II): ecuaciones no homogéneas La solución general Método de coeficientes indeterminados Método de variación de los parámetros Sage y las ecuaciones no homogéneas Cómo definir y manejar en Sage funciones complicadas Utilizando Sage para aplicar el método de los coeficientes indeterminados Utilizando Sage para aplicar el método de variación de los parámetros Problemas resueltos Ejercicios Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Los sistemas de ecuaciones diferenciales Sistemas de ecuaciones lineales Solución general de un sistema lineal Cómo encontrar soluciones a un sistema lineal a coeficientes constantes homogéneo La solución particular al sistema no homogéneo: el método de variación de los parámetros El formalismo de la exponencial: otro método alternativo para encontrar una solución particular al sistema Estudio de las soluciones para sistemas bidimensionales lineales Caso r1, r2 reales y distintos entre sí Caso r1 = r Valores propios complejos Resumen Uso de Sage para resolver sistemas lineales de ecuaciones diferenciales Como representar trayectorias parametrizadas y retratos de fases 139

7 ÍNDICE Un ejemplo práctico del uso de Sage en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales El comando desolve_system Problemas resueltos Ejercicios Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales Series de potencias Buscando la solución a las ecuaciones de segundo orden homogéneas Series de potencias mediante Sage Problemas resueltos Ejercicios Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales (II): desarrollo en serie en torno a puntos ordinarios La Ecuación y las funciones de Airy La ecuación de Hermite Caso general: desarrollo en torno a un punto ordinario Usando Sage para trabajar con las funciones de Airy y Hermite Problemas resueltos Ejercicios El método de Frobenius (I) Puntos singulares regulares: el método de Frobenius Un primer resumen sobre el método de Frobenius Problemas resueltos Ejercicios El método de Frobenius (II) Caso r1 = r Caso r1 /= r2 tal que r1 r2 ЄN Reducción del orden La función Γ de Euler, la función Beta y las funciones multifactoriales Usando Sage: las funciones Gamma, Beta y los multifactoriales Problemas resueltos Ejercicios 223

8 8 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 10. Las ecuaciones y las funciones de Bessel Generalidades sobre las ecuaciones de Bessel Ecuación de Bessel para v = La primera solución para v = La segunda solución para v = Ecuación de Bessel de orden v arbitrario La primera solución a la ecuación de Bessel La segunda solución cuando v no es ni un número entero ni un semientero La segunda solución cuando v es un semientero Segunda solución cuando v es un entero Resumen Problemas resueltos Ejercicios Propiedades de las funciones de Bessel Relaciones de recurrencia Función generatriz Representaciones integrales Ceros de las funciones de Bessel Relaciones de ortogonalidad y desarrollo de una función en serie de Bessel Las relaciones de ortogonalidad Series de Bessel Problemas resueltos Ejercicios Ecuaciones relacionadas con Bessel: hiperbólicas y esféricas. Las ecuaciones hipergeométricas Funciones de Bessel hiperbólicas Ecuaciones reducibles a la de Bessel Funciones de Bessel esféricas Comportamiento asintótico de las funciones de Bessel La ecuación hipergeométrica Problemas resueltos Ejercicios 277

9 ÍNDICE Una introducción a las ecuaciones diferenciales no lineales Análisis cualitativo de ecuaciones no lineales de primer orden El péndulo y otras ecuaciones ẍ(t) = f (x) no lineales El análisis cualitativo de las soluciones en problemas autónomos Linealización en torno de los puntos fijos de la ecuación Interpretación de las ecuaciones linealizadas Propiedades de las trayectorias en el espacio fásico útiles para realizar el análisis cualitativo Análisis cualitativo de las trayectorias alrededor de puntos fijos Ciclos Límite Usando Sage: retratos de fase más elaborados Problemas resueltos Ejercicios La transformada de Laplace aplicada a la resolución de ecuaciones diferenciales La transformada de Laplace y su transformada inversa El producto de convolución y su relación con la transformada de Laplace Resolución de ecuaciones lineales a coeficientes constantes usando la transformada de Laplace Resolución de ecuaciones lineales a coeficientes no constantes usando la transformada de Laplace Problemas resueltos Ejercicios 331 Apéndices 335 A. Demostración del teorema de existencia y unicidad 337 B. Comparativa Sage y Mathematica 347 C. El problema de valores propios 357 C.1. Qué es un problema de valores propios? 357 C.2. Cómo solucionar un problema de valores propios? 358 C.3. Como extraer los valores y vectores propios de una matriz usando Sage 361 D. Representación de funciones implícitas. La función de Lambert 365 D.1. Representación de funciones implícitas 365 Bibliografía 371