TEMA 3: PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA. Matemáticas 3º eso

Transcripción

1 TEMA 3: PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA Matemáticas 3º eso

2 La proporcionalidad es herramienta que se usa p contar número de individ en grandes poblacione Se elige una parte de l superficie, se realiza u recuento y mediante la proporcionalidad se estim cantidad total

3 . Proporcionalidad y repartos directos Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente o razón de las cantidades correspondientes es constante a a' = b b' = c c' =... = k Este cociente k, se llama razón o constante de proporcionalidad directa.

4 . Proporcionalidad y repartos directos Una receta da la información de la tabla sobre las cantidades de azúcar que se necesitan para hacer una mermelada de fresa. Si las cantidades son proporcionales se podrá calcular por ejemplo, cuanta fresa es necesaria para combinar con 9 kilogramos de azúcar. 9 x = 6 0 = 0,6 x = = 6 0 = 0,6 = 90 6 = 30 2 =5kg

5 . Proporcionalidad y repartos directos De manera intuitiva: hemos comprobado que cuando dos magnitudes son proporcionales a cantidades dobles, triples de la primera magnitud, le corresponde doble, triple cantidad de la segunda. A más azúcar, más fresa.

6 . Proporcionalidad y repartos directos Repartos proporcionales directos: Si se suman las cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales, las cantidades obtenidas siguen siendo proporcionales a las dadas a a' = b b' = c c' =... = a + b + c +... a'+b'+c'+... = k

7 Siguiendo con el ejemplo anterior, imaginemos que dos personas han preparado sendos tarros de mermelada con la proporción que habíamos especificado antes de azúcar y fresa: 3 5 = 9 5 = = 2 20 = 0,6 + =

8 Proporcionalidad y repartos directos Si dos magnitudes x y x son directamente proporcionales se cumple que: x x' = k x = k x'

9 Proporcionalidad y repartos directos La relación anterior la podemos resumir a modo de tabla de la siguiente forma: Magnitud x a b c a+b+c+ Magnitud y a b c a +b +c a = k a' c = k c' b = k b'

10 Es decir: # a = k a' % % b = k b' % c = k c' % $ d = k d' % e = k e' % % f = k f ' % &... Sumando término a término nos encontramos con: a + b + c + d + f... = k (a'+b'+c'+d'+ f '+...) Despejando la k: k = a + b + c + d + f... a'+b'+c'+d'+ f '+...

11 Halla la longitud de la sombra del poste más alto que aparece en la figura. -Se trata de magnitudes proporcionales: a más altura del poste más longitud de sombra. 4 m -Por tanto podemos expresar la relación entre ambas de la siguiente forma: x,5 m,5 2 = 4 x x = 4 2,5 = 5, m

12 37. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones: 3 4 = 9 x x = =2 x = = 6 x = = x 3 x 7 = 8 42 x = = 2 x = = 3

13 38. Las magnitudes A y B son directamente proporcionales. Halla la constante de proporcionalidad y completa la tabla: A B A ,8 80 B ,5 00

14 El número de fotos es proporcional al precio?

15 EJERCICIO *Ejercicio 40 Un coche consume 5,5 litros cada 00 km. Cuántos kilómetros podrá recorrer con 0 litros? Litros 5,5 litros 0 litros Km 00 kilómetros x kilómetros 5,5 00 = 0 x x = ,5 = 2000

16 Repartos proporcionales directos: Si se suman las cantidades de dos magnitudes proporcionales, las cantidades obtenidas siguen siendo proporcionales a las dadas. a a' = b b' = c c' =... = a + b + c +... a'+b'+c'+... = k

17 EJERCICIO *Ejercicio 40 Un padre quiere repartir 40 sellos entre sus dos hijos de forma directamente proporcional a sus edades, que son 3 y 5 años. Cuántos sellos recibirá cada uno?

18 Porcentajes y proporcionalidad La proporcionalidad directa se expresa también como: Tanto por uno: cuando la razón se expresa en forma de número decimal. Tanto por cien %: multiplicando por 00 el tanto por uno. Tanto por mil : multiplicando por 000 el tanto por uno.

19 Porcentajes y proporcionalidad Si sabemos que 2 de cada 5 españoles hacen deporte: Qué porcentaje, tanto por uno y tanto por mil lo hacen? Tanto por uno 2 5 = 0,4 Tanto por 00 (%) Tanto por 000 ( ) 2 5 = x 00 x = = x 000 = 40% x = = 400

20 Porcentajes y proporcionalidad Disminuciones e incrementos porcentuales: Si a una cantidad C se le aplica una disminución del r%, la cantidad final es: $ c F = c I r ' & ) % 00( Si a una cantidad C se le aplica una incremento del r%, la cantidad final es: # c F = c I + r & % ( $ 00'

21 Porcentajes y proporcionalidad Si aumentamos una clase de 20 alumnos en un 20%, cuántos alumnos habrá? # c F = c I % + $ r 00 & ( ' # c f = c I + r & # % ( = & % ( = 20 $ 00' $ 00' # 20& % ( = 24 $ 00'

22 Porcentajes y proporcionalidad Si disminuimos una clase de 20 alumnos en un 20%, cuántos alumnos habrá? $ c F = c I & % r 00 ' ) ( $ c f = c I r ' $ & ) = ' & ) = 20 % 00( % 00( $ 80 ' & ) =6 % 00(

23 Porcentajes y proporcionalidad Porcentajes encadenados: Para aplicar varios porcentajes encadenados sobre una cantidad, se pasan a tantos por uno y se aplican sucesivamente. EJEMPLO El precio de la gasolina era de 0,94 euros el litro. A principios de años subió un 5% para luego subir un 3% más. Cuánto cuesta el litro actualmente? 0,94 (+ 0,05) (+ 0,03) =,066,02euros

24 Porcentajes y proporcionalidad EJERCICIO *Ejercicio 3 Aumenta las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican: 34 en un 8% 4563 en un 7,3% 45,76 en un 2% 896,32 en un 0,4%

25 Porcentajes y proporcionalidad EJERCICIO *Ejercicio 4 Disminuye las cantidades en los porcentajes que se indican: 54 en un 5% 762 en un 9,6% 98,7 en un 79% 2369,8 en un 0,68%

26 Porcentajes y proporcionalidad EJERCICIO *Ejercicio 5 Si 2500 se incrementa primero en un 2% y el resultado se vuelve a incrementar en otro 4%. Cuál es el número final resultante?

27 Porcentajes y proporcionalidad EJERCICIO *Ejercicio 6 El precio de una bicicleta es 75 euros. En rebajas hacen un descuento del 25%, pero además, hay que pagar el 6% de IVA. Cuánto cuesta entonces?

28 EJERCICIO *Ejercicio 7 Es lo mismo rebajar primero un artículo un 3% y luego encarecerlo un 4% que encarecerlo primero un 4% y luego rebajarlo un 3%? Sea x el precio del artículo P caso = x ( 0,03) (+ 0,04) P caso2 = x (+ 0,04) ( 0,03) Por la propiedad conmutativa sabemos que ambas expresiones son iguales: x ( 0,03) (+ 0,04) = x (+ 0,04) ( 0,03) P caso = P caso2

29 Porcentajes y proporcionalidad EJERCICIO *Ejercicio 8 Los productos de cierta empresa subieron un 0% en 2008 y un 2% en 2009,y bajaron un 4% en 200. Cuál fue el porcentaje de variación de los precios en esos tres años?

30 Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de las cantidades correspondiente es constante. a a'= b b'= c c'=... = k Este producto k se llama constante de proporcionalidad inversa. Magnitud x a b c a+b+c+ Magnitud y a b c a +b +c a a'= k c c'= k b b'= k

31 Proporcionalidad inversa Un estanque tiene 4 grifos iguales Se sabe que si se abre un grifo tarda 20 minutos en llenarse. Si se abren 2 tarda 60 minutos Si se abren 3 tarda 40 minutos. Cuánto tiempo tardará en llenarse con los 4 grifos abiertos?

32 Un estanque tiene 4 grifos iguales Se sabe que si se abre un grifo tarda 20 minutos en llenarse. Si se abren 2 tarda 60 minutos Si se abren 3 tarda 40 minutos. Cuánto tiempo tardará en llenarse con los 4 grifos abiertos? Si construimos la tabla con los datos del problema nos encontramos con que: Número de grifos abiertos Tiempo de llenado (minutos) t Podemos observar que las magnitudes en este caso son inversamente proporcionales: a más grifos abiertos menos tiempo tarda en llenarse el estanque. 20 = = =20 4 t =20 t = 20 4 = 30

33 Repartos proporcionales inversos Hacer un reparto inversamente proporcional a tres cantidades a,b y c es equivalente a realizar un reparto directamente proporcional a sus inversos: a, b, c

34 Entre los participantes de un concurso de puzles se reparten 08 euros de manera inversamente proporcional al tiempo que han tardado en montarlos. El primero tardó hora El segundo 3 horas El tercero 6 horas. Cuánto dinero le tocará a cada uno? Podemos observar que las magnitudes en este caso son inversamente proporcionales: a menos tiempo tardado en hacer el puzle más cantidad de dinero Se trata de un reparto INVERSAMENTE proporcional a, 3 y 6 Se trata de un reparto DIRECTAMENTE proporcional A:, 3, 6

35 Es decir, que si construyéramos nuestra tabla de reparto ocurriría los siguiente: Premio en Euros a b c 08 Inversa del tiempo empleado (/t) = 3 2 k = = = a = k b 3 a = 72 = 72 = 72 = k b = 72 3 = 24 c 6 = k c = 72 6 =2 = k = = 9 6 = 3 2

36 Reparte 93 en partes inversamente proporcionales a 2,3 y 5: Cantidad a repartir a b c 93 Inversa de cada una de las cantidades a las que debe ser proporcional = 3 30 a 2 = k b 3 a = 90 2 = 45 = k c 5 = k c = 90 5 =8 = k k = = = 90 b = 90 3 = = = 3 30

37 Al repartir 60 de forma inversamente proporcional a los números 2 y x, la parte correspondiente a 2 es 36. Halla x. Cantidad a repartir Inversa de cada una de las cantidades a las que debe ser proporcional 2 x 2 + x = x + 2 2x 36 2 k = 36 2 = 72 = k b x = 72 x (b) = 72 x = 72 b = = = 3 60 x + 2 2x = x x + 2 = 72 20x = 72(x + 2) 60 x + 2 2x = k 20x = 72x x =44 x = 3

38 e reparten 6000 euros entre el primer y el segundo clasificado de la TMB (una carrera de montaña 60km en los Alpes) de manera nversamente proporcional al puesto alcanzado Qué dinero recibirá ada uno?

39 Se reparten 6000 euros entre el primer y el segundo clasificado de la UTMB (una carrera de 60km en los Alpes) de manera inversamente proporcional al puesto alcanzado Qué dinero recibirá cada uno? Cantidad a repartir a b 6000 Inversa del puesto alcanzado = 3 2 a = k b 2 a = 4000 = 4000 b = = 2000 = k k = = k = 4000

40 Ej 43: Por un grifo salen 38 litros de agua en 5 minutos. Cuántos litros salen en una hora y cuarto? Proporcionalidad directa entre ambas magnitudes. Cantidad de agua (litros) 38 l? litros Tiempo (minutos) 5 min h 5 m=75m k = 38l 5min = x = x 75m 38l 75min 5min = 570l 38l 5min x 75m

41 Ej 44: En un mapa,4 centímetros representan 238 kilómetros. Cuántos centímetros representarán a otra carretera que mide 306 kilómetros? Proporcionalidad directa entre ambas magnitudes. Longitud en el mapa (cm) 4 cm x cm Longitud en la realidad (km) 238 km 306 km k = 4cm 238km = x = x 306km 4cm 306km 238km =8cm 4cm 238km x 306km

42 Ej 45: María, Nuria y Paloma han cobrado por un trabajo 344 euros. María ha trabajado 7 horas; Nuria, 5 horas y Paloma, 4 horas. Qué cantidad le corresponde a cada una? Proporcionalidad directa entre ambas magnitudes. María Núria Paloma Total Tiempo trabajado (horas) 7 h 5 h 4 h 6 h Dinero cobrado (euros) a b c 344 euros Cantidad a: k = 7h a = a = 6h 344euros 7h 344euros 6h a =50,5euros 7h a Cantidad b: 5h b = 6h 344euros 5h b b = 4h c Cantidad c: c = 5h 344euros 6h 4h 344euros 6h c = 86euros = 07,5euros

43 47. Es lo mismo repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a 0, 5 y 20, que en partes directamente proporcionales a 2, 3 y 4? Cantidad a repartir a b c x Proporcional a k = x = x 45 x = k 45 Cantidad a repartir a b c x Proporcional a k'= x = x 9 x = k' 9 k' 9 = k 45 k'= k 45 9 x = (k 5) 9 = 45k k'= k 5

44 52. Calcula el tanto por ciento de café que hay en una mezcla de 4 litros de café y 7 litros de agua. Un tanto por cien es una fracción de denominador 00 que cumple la proporción 4 a 7 4l.cafe 7l.agua = x = x 00l.agua 00l.agua 4l.cafe 7l.agua x = 57,4% Un tanto por cien es el tanto por uno multiplicado por 00 x = 4l.cafe 7l.agua = 0,574 Tanto por uno de CAFÉ en AGUA 0, = 57,4%

45 56. La subida salarial en una empresa en los últimos tres años ha sido del 3%, 2% y 4%. a) Cuánto cobra actualmente un empleado que cobraba hace tres años.600 euros? b) En qué porcentaje se ha incrementado su sueldo después de tres subidas? a) 600 (,03) (,02) (,04) =748euros b) Entendiendo que x era la cantidad inicial de dinero que cobraba: x (,03) (,02) (,04) = x (,0926) Es decir, se ha producido un incremento del 9,26%:

46 65. El agua de un depósito se puede extraer en 200 veces con un bidón de 5 litros. Si el bidón fuera de 25 litros, halla en cuántas veces se extraería. Proporcionalidad inversa entre ambas magnitudes. Capacidad del bidón (l) 5 litros 25 litros Veces que hacen falta para sacar el agua del depósito (veces) 200 veces x veces 5litros 200veces = k k = 25litros xveces 5l 200veces = 25l xveces x = 5l 200veces 25l =20veces

47 7. En una Olimpiada Europea de Matemáticas se conceden tres premios inversamente proporcionales a los tiempos empleados en la resolución de los ejercicios. Los tiempos de los tres primeros concursantes han sido 3, 5 y 6 horas. Calcula cuánto dinero recibe cada uno si hay euros para repartir. Cantidad a repartir (euros) a b c Inversa del tiempo empleado (horas) Cantidad a: Cantidad b: = 2 30 = 7 0 Cantidad c: a 4200euros b 4200euros c 4200euros = = = 3 horas 7 0 horas 4200euros 5 horas 7 0 horas 6 horas 7 0 horas a = 3 horas 4200euros = 2000euros c = 6 horas =000euros 7 0 horas 4200euros 7 b = 5 horas 0 horas =200euros 7 0 horas

48 66. Realizan un trabajo en 2 meses entre 2 personas. Necesitan hacerlo en solo en 8 días. Cuántas personas se deben contratar? Proporcionalidad inversa entre ambas magnitudes. Nº de trabajadores (personas) 2 personas x personas Tiempo (días) 60 días 8 días 2 personas 60días = k k = x 8días 5 personas 60días = x 8días x = 2personas 60días 8días = 40personas Necesitamos 40 personas en total, dado que tenemos 2 hay que contratar 28 personas más.

49 67. Tres niños se comen un pastel en 6 minutos. En cuánto tiempo se lo comerían cuatro niños? Nº de niños 3 niños 4 niños Tiempo (minutos) 6 minutos x minutos 3niños 6min = k k = 4niños x min 3niños 6min = 4niños x min x = 3niños 6min 4niños =2min

50 68. Una ganadera tiene pienso para alimentar 320 vacas durante 45 días pero debe dar de comer a los animales durante 60 días. Por lo que decide vender a las que no pueda alimentar. Cuántas vacas debe vender? Las magnitudes se relacionan de forma inversamente proporcional Vacas (unidades) 320 vacas x vacas Tiempo (Días) 45 días 60 días 320vacas 45días = x 60días x = 320vacas 45días 60días = 240vacas Cómo tenía 320 vacas, debe vender =80 vacas

51 Reparte 578 en partes inversamente proporcionales a 4, 4 y 8. Cantidad a repartir a b c 578 Inversa de = 5 9 Cantidad a: Cantidad b: Cantidad c: a 4 = b=260, c=57,8 a = = 260,

52 MATEMÁTICAS PARA EDUCACIÓN SECUNDARIA Proporcionalidad directa e inversa