UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

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1 u r s o : Matemática Material N 11 GUÍ TEÓRIO PRÁTI Nº 9 UNI: GEOMETRÍ ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS LSIFIIÓN E LOS ÁNGULOS E UERO SU MEI Ángulo nulo : Es aquel que mide 0. Ángulo agudo : Es aquel que mide más de 0 y menos de 90. Ángulo recto : Es aquel que mide 90. Ángulo obtuso : Es aquel que mide más de 90 y menos de 180. Ángulo etendido : Es aquel que mide 180. Ángulo completo : Es aquel que mide 360. EJEMPLOS 1. En la figura 1, es una recta y a es un ángulo agudo. Entonces, el O mide ) 24º ) 72º ) 90º ) 168º E) 180º a O 3a 4a fig uál de las siguientes opciones es siempre verdadera? ) La suma de tres ángulos obtusos es un ángulo completo. ) La suma de un ángulo obtuso con un ángulo agudo es un ángulo etendido. ) La mitad de un ángulo obtuso más la mitad de un ángulo agudo es un ángulo etendido. ) La suma de dos ángulos rectos es un ángulo etendido. E) La suma de dos ángulos agudos es un ángulo obtuso.

2 3. En la figura 2,, y L 3 son rectas. Si = 3 y = 4, entonces + es igual a ) 22,5º ) 67,5º ) 90º ) 112,5º E) 157,5º fig. 2 L 3 4. En la figura 3, si = 8a + 24º, entonces el mide ) 144º ) 180º ) 192º ) 216º E) 336º O a 3a 2a fig En la figura 4, cuánto mide el O si = 176º? ) 23º ) 69º ) 115º ) 176º E) 184º 3 O 5 fig En la figura 5, cuánto mide 1 5 del O? ) 12º ) 15º ) 75º ) 90º E) 105º 7 5 O fig. 5 2

3 LSIFIIÓN E LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSIIÓN Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común, y sus regiones interiores no se intersectan. O y consecutivos Ángulos adyacentes o : par lineal Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los otros dos lados sobre una misma recta. O y adyacentes Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y los lados de uno de ellos son las prolongaciones de los lados del otro. y opuestos por el vértice, OSERVIONES isectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes). Rectas perpendiculares: Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto. EJEMPLOS 1. En la figura 1, si + δ = 194º y δ + = 217º, entonces es igual a ) 23º ) 31º ) 90º ) 123º E) 166º δ fig. 1 3

4 2. En la figura 2, cuál es la medida de 2? ) 20º ) 40º ) 60º ) 120º E) 240º fig. 2 2 O En la figura 3, si y son rectas, entonces 2λ + 4ε + 3δ + = ) 180º ) 540º ) 720º ) 900º E) 980º λ ε δ fig En la figura 4, OM OQ, MON = º y NOQ = + 35º. uánto mide el MON? Q ) 10º ) 45º ) 55,5º ) 60º E) 60,5º O N M fig En la figura 5, los puntos X, O e Y son colineales. Si OS OZ, y ZOY = 1 3 XOS, cuánto mide el SOX? S ) 22,5º ) 40º ) 45º ) 67,5º E) 90º X O Z Y fig. 5 4

5 LSIFIIÓN E LOS ÁNGULOS E UERO L SUM E SUS MEIS Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90. Si y son ángulos complementarios, es el complemento de y es el complemento de. El complemento de un ángulo es 90. Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180. Si y son ángulos suplementarios, es el suplemento de y es el suplemento de. El suplemento de un ángulo es 180. EJEMPLOS 1. El suplemento de un ángulo es igual al triple de dicho ángulo. uánto mide? ) 22,5º ) 45º ) 67,5º ) 90º E) 157,5º 2. El complemento del doble del ángulo ε es 54º, entonces ε mide ) 18º ) 36º ) 54º ) 72º E) 90º 3. Si y 3δ son ángulos complementarios, entonces en función de 3δ es ) 3δ 90º ) 180º 3δ ) 90º 3δ ) 3δ 180º E) 90º + 3δ 5

6 4. El suplemento del suplemento de 19º es ) 0º ) 161º ) 19º ) 71º E) El suplemento de 25º más el complemento de 3 12º es igual a ) 205º 4 ) 102º 4 ) 385º 4 ) 307º 4 E) 295º 4 6. La diferencia entre un ángulo y su complemento es 20. uánto mide el suplemento de? ) 55º ) 115º ) 125º ) 145º E) 160º 7. Si el suplemento del ángulo (35 ) es 160, entonces el complemento de es ) 15º ) 35º ) 75º ) 145º E) 165º 6

7 PRES E ÁNGULOS FORMOS POR OS RETS PRLELS ORTS POR UN TRNSVERSL ÁNGULOS LTERNOS: // T LTERNOS EXTERNOS 1 con 7 LTERNOS INTERNOS 3 con con 8 4 con 6 fig Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS ORRESPONIENTES 1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8 Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS OLTERLES OLTERLES EXTERNOS 1 con 8 2 con 7 OLTERLES INTERNOS 4 con 5 3 con 6 Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180. EJEMPLOS 1. En la figura 2, //. Entonces, 2 y es igual a ) 45º ) 89º ) 95º ) 105º E) 135º 135º y fig. 2 7

8 2. Si en la figura 3, //, cuál es el valor del? ) 5º ) 10º ) 20º ) 70º E) 100º 150º 40º fig En la figura 4, //, cuál es el valor del? ) 35º ) 50º ) 55º ) 70º E) 125º 125º fig. 4 70º 4. En la figura 5, // y L 3 // L 4. Si = 135º, cuál es el valor de +? ) 45º ) 145º ) 150º ) 180º E) 270º L 3 L 4 fig En la figura 6, // // L 3. Si = 129º, entonces el mide ) 20º ) 30º ) 37º ) 43º E) 47º 2 L 3 fig. 6 8

9 ÁNGULOS EN TRIÁNGULOS TEOREMS La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a = 180º fig. 1 La suma de las medidas de los ángulos eteriores es igual a = 360º La medida de cada ángulo eterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. = + = + = + EJEMPLOS 1. ado el de la figura 2, las medidas del y del y son ) = 45º y = 45º ) = 55º y = 15º 125º ) = 30º y = 15º ) = 60º y = 30º E) ninguna de las anteriores. y 2 fig En la figura 3, es el 20% de. uál es la diferencia entre y? ) 110º ) 120º ) 140º ) 150º E) 175º 30º fig. 3 9

10 3. En la figura 4, si = 2, entonces el valor del es ) 2 ) ) ) 2 E) 180 fig Si en la figura 5, es bisectriz del y = 50º, entonces el mide ) 20º ) 50º ) 60º ) 70º E) 80º fig El de la figura 6, es rectángulo en. Si y : = 3 : 1, entonces el mide ) 30º ) 45º ) 50º ) 60º E) 135º y fig En el de la figura 7, es bisectriz del. Entonces, la medida del es ) 75º ) 90º ) 120º ) 125º E) 130º E 70º 130º fig. 7 10

11 LSIFIIÓN E LOS TRIÁNGULOS Según sus lados Escaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida. Isósceles: Tiene dos lados de igual medida. Equilátero: Tiene sus tres lados de igual medida Según sus ángulos cutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. Rectángulo: Tiene un ángulo recto. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso. OSERVIONES: 1) En un triángulo isósceles, que solamente tiene dos lados de igual medida, al lado distinto se le llama base. 2) En todo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo. EJEMPLOS 1. Si en la figura 1, el es isósceles de base, E valor del es y = E, entonces el ) 35º ) 45º ) 55º ) 60º E) ninguno de los valores anteriores. 54º E fig En el de la figura 2, y =. Entonces, el mide ) 10º ) 15º ) 20º ) 30º E) 35º 35º fig En el de la figura 3, =, L // y //. Entonces, el mide ) 40º ) 70º ) 80º ) 110º E) 140º L fig. 3 40º 11

12 4. En la figura 4,, y L 3 son rectas. Si el F = y es suplemento del G, entonces se puede asegurar que ) = ) = ) = = ) > E) = E fig. 4 L 3 F G 5. En la figura 5, el es escaleno con e y valores positivos. uál(es) de las siguientes relaciones es (son) verdadera(s)? I) y II) 2 III) 2 y 2 2 y fig. 5 ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Todas ellas. E) Ninguna de ellas En la figura 6, y son bisectrices de los ángulos eteriores del. Entonces, el ángulo mide ) 25º ) 35º ) 45º ) 50º E) 90º 40º fig. 6 12

13 EJERIIOS 1. Los ángulos y son suplementarios. Si : = 2 : 3, entonces se puede afirmar que: I) es un ángulo agudo. II) El complemento de la mitad de es 26º. III) Los ángulos 2 y 2 son complementarios. Es (son) verdadera(s) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III E) I, II y III 2. En la figura 1, F es FE y los puntos, F y son colineales. Entonces, la medida de ) 35º ) 45º ) 55º ) 65º E) 70º 35º F E fig En la figura 2, //. Luego, la medida del ángulo es ) 130º ) 73º ) 65º ) 50º E) 33º 57º 130º fig En la figura 3, los valores de e y, para que el sea equilátero, deben ser ) = 5 2, y = 5 2 ) = 5, y = 5 fig. 3 ) = 5 2, y = ) = 10, y = 5 2 E) = 5, y = 5 2 y

14 5. En la figura 4, el es isósceles de base. Entonces, la medida del es ) ) ) ) E) fig En la figura 5, el es isósceles de base. Si = y = + 18, entonces es igual a ) 22 ) 18 ) 14 ) 8 E) 4 fig En la figura 6, PQR es tal que PR = a + b, PQ = c + d y QR = b + c. uál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si a = c, entonces PQR es isósceles. II) Si a = c y b = d, entonces PQR es equilátero. III) Si a, b, c y d son números enteros distintos entre sí, entonces PQR es escaleno. R ) Sólo I fig. 6 ) Sólo II ) Sólo I y II ) Sólo I y III E) I, II y III a + b b + c P c + d Q 8. En la figura 7, el es rectángulo en. Entonces, el valor del ángulo es ) 12º ) 26º ) 38º ) 68º E) 78º 104º fig

15 9. En la figura 8, el es isósceles de base. Si F = FG, = 4 y = 2, entonces la medida del FE es E ) 120º ) 60º ) 45º ) 30º E) 15º F G fig En la figura 9, // // L 3. Entonces, la suma de los ángulos, y es ) 120º ) 140º ) 160º ) 180º E) 200º 40º 120º L 3 fig En el de la figura 10, + = ) 50º ) 70º ) 130º ) 230º E) 260º 50º fig En la figura 11, del es ) 25º ) 30º ) 45º ) 65º E) 70º, es bisectriz del y =. Entonces, la medida E fig º 15

16 13. En la figura 12, el E es isósceles de base. Si E //, la medida del F es ) 27º ) 31º ) 33º ) 58º E) 64º F 85º fig º E 14. En la figura 13, el EF = 130º, entonces el es igual a ) 40º ) 50º ) 100º ) 120º E) 130º fig º E F 15. En la figura 14, E es una recta y EO = 1 2 O = 1 3 O = 2 O. Entonces, 3 O = ) 24º ) 36º ) 72º ) 84º E) 110º O E fig En el PQR de la figura 15, cuánto mide el PRQ? ) 20º ) 40º ) 60º ) 80º E) 100º P 3 R 3 100º fig. 15 Q 16

17 17. En la figura 16, los puntos E, y son colineales. uál es el valor del? ) 50º ) 65º ) 90º ) 115º E) 165º 50º E fig En el la figura 17, = 50º, z = 4 y = 1 y. uál es el valor del v? 3 ) 10º ) 30º ) 40º ) 50º E) 90º v fig. 17 z y 100º 19. En la figura 18, =. Entonces, el E = ) 35º ) 55º ) 80º ) 110º E) 170º fig º E 20. En el PQR de la figura 19, QT y RS son bisectrices de los ángulos PQR y PRQ, respectivamente. uál es el valor del? R ) 40º ) 50º ) 100º ) 130º E) 150º V 100º P T S fig. 19 Q 17

18 21. En el de la figura 20, F y E son bisectrices de los ángulos y, respectivamente. Entonces, el F mide ) 18º ) 27º ) 36º ) 54º E) 72º 22. El triple del complemento de ( 10º) es igual al suplemento de ( 20º). uánto mide el complemento del ángulo? E 72º F fig. 20 ) 130º ) 100º ) 80º ) 50º E) 40º 23. En la figura 21,,, L 3 y L 4 son rectas, donde // y es bisectriz del ángulo obtuso formado por las rectas L 3 y L 4. Entonces, el mide L 3 L 4 ) 30º ) 40º ) 60º ) 70º E) 120º fig Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 40º más que el otro, y 40º menos que el tercer ángulo. uál es la medida del ángulo mayor? ) 80º ) 100º ) 120º ) 150º E) 160º 25. En la figura 22, el ángulo ε es igual a ) 2 ) 2 + ) 2 ) 2 E) P R ε S T fig. 22 Q 18

19 26. En la figura 23, = + 5 y = 2 3. Se puede determinar que el es equilátero si : (1) = (2) = 8 fig. 23 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional En la figura 24, se puede determinar que // si : (1) + = 180º L (2) = ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional fig En la figura 25, se puede determinar que el es equilátero si : (1) = y + = (2) E, y E = fig. 25 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional E 29. En la figura 26, se puede determinar el valor de + + si : (1) = = (2) // 80º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional fig

20 30. En el PQR de la figura 27, se puede determinar el valor del RPQ si : (1) a = c y c = 2 b (2) PQR = 60º a b R fig. 27 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas (1) y (2) ) ada un por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere de información adicional P c Q MM11 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 20