Velocidad de descarga

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1 Velocidad de descarga Dr. Guillermo Becerra Córdoa Uniersidad utónoma Chapingo Dpto. de Preparatoria grícola Área de Física Profesor-Inestigador ext Km de la Carretera Federal México-Veracruz, Chapingo, Texcoco, Edo de México. Resumen En el moimiento estacionario de un fluido, hay tres tipos de energía: la energía cinética debido al moimiento, la energía potencial debida a la presión y la energía potencial graitacional debida a la altura a la que se encuentre el fluido. En un flujo estacionario, la trayectoria que sigue cada porción no se altera con el tiempo. En el flujo estacionario, la suma de estas energías permanece constante. Pueden cambiar las energías, pero la suma debe permanecer sin cambios. Este principio se le conoce como principio de Bernoulli. En consecuencia, el principio de Bernoulli sólo es álido para flujos estacionarios. Si la rapidez del flujo es demasiado grande, el flujo puede describir trayectorias curilíneas conocidas como remolinos, por lo que se uele turbulento. El principio de Bernoulli permite explicar el uelo de las aes y de los aiones. Explica por qué la presión atmosférica disminuye cuando sopla el iento y otros fenómenos que están relacionados con el moimiento de los fluidos, los cuales están compuestos por líquidos y gases. Como consecuencia del principio de Bernoulli, se obtiene el teorema de Torricelli, el cual calcula la elocidad con la que un líquido sale de un orificio que se encuentra a una determinada profundidad en un recipiente. El recipiente está abierto a la atmósfera en su parte superior. El teorema de Torricelli se obtiene del principio de Bernoulli suponiendo que el área del orificio es mucho más pequeña que la superficie del líquido que se encuentra en la parte superior del recipiente. En este trabajo se calcula teóricamente el alor de la elocidad con la que sale un líquido a traés de un orificio conociendo la profundidad a la que se encuentra y se compara con el resultado obtenido experimentalmente utilizando conceptos de tiro parabólico. Finalmente, se calcula el error porcentual entre ambos resultados. Palabras clae: Principio de Bernoulli, teorema de Torricelli, flujo estacionario, flujos turbulentos.

2 OBJETIVOS: Deducir el teorema de Torricelli a partir de la ecuación de Bernoulli. plicar el teorema de Torricelli para encontrar la elocidad de descarga de un líquido el cual sale por un orificio situado a una determinada profundidad. Comparar los resultados teóricos con los experimentales. INTRODUCCION: Cuando un fluido que llena un tubo se muee a lo largo de este tubo con elocidad promedio, el flujo o descarga Q se define como: Q Donde es el área de la sección transersal del tubo y es la elocidad promedio del fluido en el tubo. Supongamos que un fluido llena un tubo y fluye a traés de él. demás, suponga que el área de la sección transersal del tubo en un punto es y en otro punto. Si el fluido no puede cruzar las paredes del tubo y no hay ni fuentes ni sumideros donde el flujo fuese creado o destruido en el interior del tubo, la masa que cruza cada sección del tubo por unidad de tiempo debe ser siempre la misma. En particular el flujo en el punto debe ser igual al flujo en el punto en el tubo mostrado en la figura. En otras palabras: Donde y son las elocidades promedio del fluido en y, respectiamente. Esta ecuación es conocida como Ecuación de Continuidad. En un fluido hay tres tipos de energía: la energía cinética debida al moimiento, la energía potencial debida a la presión y la energía potencial graitacional debida a la eleación. La energía cinética debida al moimiento, está expresada en la forma siguiente: E c / 3 La energía potencial debida a la presión, se expresa matemáticamente: E p p 4 Donde p representa la presión a la que está sujeto el líquido. La energía potencial graitacional, se expresa por medio de la siguiente ecuación: E g g h 5 La energía total de un fluido está dada por la suma de estas tres energías: E total / g h p 6

3 p p h h Figura Daniel Bernoulli estableció que en un fluido ideal, al que ni se añade ni se resta energía, la suma de estas formas de energía permanece constante: / g h p Cons tan te 7 Es decir, en dos puntos distintos de un fluido la energía total de un fluido permanece constante. La figura muestra dos puntos diferentes de un fluido. En cada punto de la figura se pueden tener diferentes energías cinéticas, graitacionales y de presión, pero la suma de todas ellas debe permanecer constante. En otras palabras, la energía cinética, la energía potencial debida a la presión y la energía potencial graitacional debida a la eleación pueden cambiar de un punto a otro, pero su suma debe permanecer constante. Por consiguiente: / g h p / g h 8 / p Esta ecuación es conocida como principio de Bernoulli. El principio de Bernoulli es consecuencia del principio de conseración de la energía. El principio de Bernoulli es álido si la rapidez del fluido no es demasiado grande. Si la rapidez del flujo es muy grande, el flujo puede olerse turbulento y describir trayectorias curilíneas ariables conocidas como remolinos. En tal caso el principio de Bernoulli no es álido. En el moimiento de los fluidos existen fuerzas análogas a las de fricción que reducen la energía de las partículas. Estas fuerzas son la causa del fenómeno llamado iscosidad y están presentes en la inmensa mayoría de los líquidos. Pueden ser reducidas prácticamente a cero solo en el caso del He a temperaturas extraordinariamente bajas. En el flujo de cualquier otro fluido, aunque sea estacionario, las pérdidas de energía causadas por la iscosidad obligan a que la ecuación de Bernoulli no sea exacta. Sin embargo, esa ecuación se puede usar en la forma dada si las pérdidas de energía causadas por la iscosidad son pequeñas comparadas con las demás energías y esto ocurre en una considerable cantidad de problemas cotidianos donde la elocidad del fluido no es muy pequeña.

4 En la figura se muestra un recipiente con agua que descarga por un orificio pequeño a una profundidad h de la superficie libre del líquido. Deseamos calcular la elocidad de salida por el orificio. h h h y x Figura plicaremos la ecuación de Bernoulli a los puntos y en la figura, tomando arbitrariamente un plano horizontal como plano de referencia. En el punto la presión que actúa sobre la superficie del líquido es la presión atmosférica., por lo que p p atmosféric. La energía potencial graitacional del fluido en el punto es igual al a producto de la densidad por la graedad por la altura a la que se encuentra el fluido en ese punto. En el punto, la presión que actúa sobre el líquido que sale por el orificio es igual a la presión atmosférica, por lo que p p atmosféric. La energía potencial a graitacional del fluido en el punto es igual al producto de la densidad por la graedad por la altura a la que se encuentra. Sustituyendo estos alores en la ecuación de Bernoulli, tenemos: g h p g h atmosféric a p atmosféric a 9 Es decir: g h g h 0

5 Si es la elocidad de la superficie del líquido, es el área de la superficie del líquido, es la elocidad del líquido con la que sale del orificio y es el área del orifico, entonces: Y sustituyendo la ecuación en la ecuación 0, obtenemos: g h g h Finalmente, despejando, llegamos al siguiente resultado: g h 3 Con h h h. Esta ecuación corresponde a la elocidad con la que sale un líquido a traés de un orificio que se encuentra a una profundidad h. Obsere que el resultado depende del área del recipiente y del orificio, pero no depende de la densidad del líquido. Si suponemos que el área del orificio es muy pequeña comparada con el área de la superficie, entonces: Por lo que la ecuación 3 se simplifica a: 0 4 g h 5 Donde. La ecuación 5 es conocida como el Teorema de Torricelli, la cual indica la dependencia de la elocidad con la que sale un líquido por un orificio y la profundidad h a la que se encuentra. DESRROLLO: Para realizar el experimento, se utilizó un botellón de agua de 5 litros, como el mostrado en la figura 3.

6 Figura 3 Practicamos un orificio cerca de la parte más baja del botellón. Hicimos marcas en el botellón a cada 5 cm. del orificio. Llenamos de agua el botellón y lo colocamos a una altura determinada del suelo. Descargamos el líquido por el orificio en cada marca y medimos la distancia horizontal que alcanzaba. Con estos datos calculamos la elocidad con la que sale el líquido del orificio, utilizando la siguiente ecuación relacionada con el tiro parabólico: x g 6 y Donde x es la distancia horizontal que recorre el líquido desde el orificio del recipiente y el punto donde golpea el chorro con el piso; y es la altura a la que se encuentra el orificio. Obsere la figura. Esta ecuación solo es álida si el chorro de agua sale horizontalmente del orificio. La tabla muestra las distancias recorridas y las elocidades con las que sale el líquido por el orificio para cada profundidad, calculadas con diferentes métodos. h(m) x(m) y(m) x g y g h % Tabla Obsere en la tabla que los alores de las elocidades calculadas por medio de la teoría del tiro parabólico y del Teorema de Torricelli, son muy similares. Esto comprueba la alidez del Teorema de Torricelli.

7 VERIFICCION: Diga cuales son los tres tipos de energía a las que está sujeto un líquido. Cómo se expresan cada una de ellas? Cuál es la energía total de un fluido? Qué estableció Daniel Bernoulli? Enuncie el Principio de Bernoulli. De qué es consecuencia el Principio de Bernoulli? Cuándo es álido el Principio de Bernoulli y cuando no? Enuncie el Teorema de Torricelli. Qué suposiciones se han hecho para deducir la ecuación de Torricelli a partir de la ecuación de Bernoulli? De qué depende el Teorema de Torricelli? Obtenga la ecuación 6 a partir de las ecuaciones del Tiro Parabólico. El experimento se podrá hacer con algún otro tipo de líquido como el aceite o la miel? Qué sucederá si el área de la superficie del líquido fuese igual al área del orificio? CONCLUSIONES: Se encontró que las elocidades de descarga calculados por los dos métodos son muy similares ya que los porcentajes de error, a excepción de un dato, no exceden del 0 %. Estos resultados muestran la alidez de la ecuación de Torricelli.