SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

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1 SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistem de m ecuciones lineles con n incógnits,,,, n es un conjunto de m igulddes de l form: n n n n m m mn n m ij son los coeficientes i los términos independientes. Donde ij, i. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistem, es encontrr tods sus soluciones. Según el número de soluciones, los sistems de ecuciones lineles se pueden clsificr sí: determindos comptiles No homogéneos indetermindos Sistems incomptiles determindos Homogéneos comptiles indetermindos. SISTEMAS EQUIVALENTES Se dice que dos sistems de ecuciones lineles son equivlentes cundo tienen ls misms soluciones. Ls siguientes trnsformciones nos permiten otener sistems equivlentes: ) Si en un sistem se multiplic un ecución por un número no nulo, result un sistem equivlente l primero. ) Si en un sistem se intercmin ecuciones se otiene un sistem equivlente l nterior. c) Si en un sistem de ecuciones se suprime o ñde un ecución que se cominción linel de ls demás, se otiene un sistem equivlente l ddo. Ddos los vectores: u, u,..., un del siguiente modo v r u r u... u, u,..., u n de un espcio vectoril V y r, r... r n. Al vector v formdo r u se le llm cominción linel de estos vectores n n Si u (,-,), v (,,). El vector w (9,-,6) es cominción linel de w u v pág. 9 u y v y que: ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

2 d) Si un ecución se le ñde un cominción linel de ls otrs, se otiene un sistem equivlente. EJEMPLO: Resuelve por reducción el sistem: y y 9 ) y y 8 ªecªec ) y y y -/ / Si l sistem nterior le ñdimos o suprimimos un ecución que es sum de ls otrs dos (C.L. de ells) el sistem es equivlente y y y 9 Son equivlent es y 9 y. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL METODO DE GAUSS EJEMPLO () y z () y z () y z -()() ()() y z 7y 6z y z z y 6z 7y z y z y () z y ( ) 6z 7y z y z y () () y 6 6 y, z z 9 ; 6 6 Sistem comptile y determindo. Como cd ecución represent un plno en el espcio, estos tres plnos se cortrán en un punto Otr form de colocrlo: Mtriz socid un sistem de ecuciones pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

3 y z z y z y z y 6 y 6 y - 6 y - z - -z 9 z 6-6 ; Cundo l mtriz socid l sistem dopt est form: R represent números culesquier R R represent números distintos de cero R Hy tnts ecuciones válids como incógnits De form esclond vmos oteniendo un vlor numérico pr cd incógnit. Sistem Comptile Determindo S.C.D. Solución únic EJEMPLO y z y y z y z z y z λ y λ z λ λ λ Solución ( λ, λ, λ ) Sistem Comptile Indetermindo S.C.I infinits soluciones Cundo l mtriz socid l sistem dopt est form pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

4 R R Hy menos ecuciones válids que incógnits. Ls incógnits que están de más tomn vlores ritrrios (λ ) El sistem tiene infinits soluciones S COMPATIBLE INDETERMINADO Interpretción geométric: Los tres plnos se cortn en un rect EJEMPLO y z y z y z y z 7y z no hy solución. Sistem incomptile. Interpretción geométric: Los plnos se cortn dos dos Cundo l mtriz socid l sistem dopt est form: Esto signific que hy un ecución:... u K; K, siendo K R Es un iguldd imposile. El sistem no tiene solución SISTEMA INCOMPATIBLE pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

5 . RANGO DE UNA MATRIZ. DEFINICIÓN Ls fils y columns de un mtriz pueden considerrse como vectores, de hí que: Rngo fil de un mtriz es el myor número de fils linelmente independientes. Rngo column de un mtriz es el myor número de columns linelmente independientes. El rngo fil y rngo column de un mtriz coincide, esto permite trjr con ls fils o con ls columns indistintmente l hor de hllr el rngo de un mtriz.. PROPIEDADES ) Si en un mtriz A, se intercmin entre sí dos fils ( columns) se otiene otr mtriz A ( distint del nterior) pero rngo (A) rngo (A ). ) Si un mtriz A se suprime un fil (column) que es cominción linel de otrs se otiene un mtriz A tl que rngo (A) rngo (A ). c) Si un fil (column) de un mtriz A se le ñde un cominción linel de otrs vris se otiene un mtriz A tl que rngo (A) rngo (A ). d) Si un mtriz A se suprime un fil (column) que est formd tod por ceros se otiene un mtriz A tl que rngo (A) rngo (A ). e) Si reducimos l mtriz A l form esclond A plicndo ls trnsformciones nteriores, el rngo de A es el número de fils distints de cero. EJEMPLO Hllr el rngo de A. A Ddo un conjunto de vectores, no nulos, u, u,..., u n se dice que es un conjunto lire o los vectores son linelmente independientes cundo ningún vector del conjunto es cominción linel de los demás. Ddo un conjunto de vectores, no nulos u, u,..., u n, se dice que es un conjunto ligdo o los vectores son linelmente dependientes cundo lguno de ellos es cominción linel de los demás. EjerciciosComplementros nº pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

6 rngo (A) Ejercicios Complementrios:,, 6, 6. FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES El siguiente sistem de ecuciones: m n mn m m n n n n es equivlente l siguiente ecución n n m m mn n m o simplemente A X B donde A ( ij ), X ( i ) y B ( i ) A l mtriz A se le llm mtriz de coeficientes del sistem y l mtriz (A/B) (A/B) n n m m mn m se l llm mtriz mplid (es l mtriz A l que se ñde l column de los términos independientes). 7. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR MEDIO DE LA INVERSA El sistem () de l pregunt nterior podrí resolverse de l siguiente form: ) Epresándolo mtricilmente n n m m mn n m pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

7 o simplemente A.X B ) Clculndo A - ) Multiplicndo l epresión A.X B por A - se otiene: A - (A.X) A -.B I.X A -.B X A -.B Ejercicios Selectividd:, 8,,, 8. TEOREMA DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS. Se el sistem: y se: (A)... n n n n... m m mn n m... n... n m m mn y (A / B) ()... n... n m m mn m L condición necesri y suficiente pr que el sistem () teng solución es que rngo(a) rngo(a/b) ) Si rngo (A) rngo (A/B) n (n es el número de incógnits) el sistem es comptile y determindo. ) Si rngo (A) rngo (A/B) p < n. Es un sistem Comptile Indetermindo, de grdo de indeterminción n-p (Ls soluciones estrán en función de n p prámetros. RESUMIENDO: Rngo (A) rngo (A / B) COMPATIBLE rngo(a) rngo(a / B) n Determindo rngo(a) rngo(a / B) < n Indetermindo Rngo ( A ) rngo ( A / B ) INCOMPATIBLE. Ejercicios: Selectividd:. 6 Complementrios: (por det o por Guss) pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

8 9.- REGLA DE CRAMER. Sirve pr otener l solución de un sistem de ecuciones lineles. 9. EN SISTEMAS COMPATIBLES Y DETERMINADOS Tenemos un sistem de ecuciones con incógnits. Puesto que A Rn (A)Rn(A/B) el sistem es comptile determindo. Si llmmos: A l resultdo de sustituir en A l column de los coeficientes de por l de los términos independientes. Ay l resultdo de sustituir en A l column de los coeficientes de y por l de los términos independientes. Az l resultdo de sustituir en A l column de los coeficientes de z por l de los términos independientes Su solución es: A A y Az y z A A A Est regl se puede generlizr los sistems de n ecuciones con n incógnits. Ejercicios Selectividd: (Resolver por Crmer y por Guss),,,, 8 9. EN SISTEMAS COMPATIBLES E INDETERMINADOS Considermos un sistem de m ecuciones y n incógnits Como A Rn (A) Rn (A/B) p< n sorn m-p ecuciones que se quitn (nos quedmos con quells que son independientes) y n p incógnits que se tomn como prámetros y se psn l column de los términos independientes. Ejercicios Selectividd:,, 7,,,6, 8, 9,,, 6, 9,,,,,,.- SISTEMAS HOMOGENEOS Un sistem de ecuciones lineles, tl que todos sus términos independientes son nulos, se llm sistem homogéneo.... nn... nn S m m mn n Todo sistem homogéneo cumple ls propieddes: pág. 6 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

9 - tiene solución, pues se verific pr:... n. Est es l solución trivil (,,...). - Pr que teng otrs soluciones distints de l trivil, es necesrio y suficiente que Rn (A) < número de incógnits. Ejercicios Selectividd :,7, 7, Ejercicios Selectividd :,, 9,... pág. 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

10 EJERCICIOS SELECTIVIDAD.- Pon tres ejemplos de sistems de tres ecuciones con dos incógnits que sen respectivmente comptiles determindo, comptile indetermindo e incomptile. Interpret geométricmente cd uno..- represent en l form mtricil AXB el siguiente sistem de ecuciones y construye y resuelve continución el sistem de ecuciones representdo por: y y y z.- Encuentr el conjunto de soluciones del sistem 6y z y z (99) y z 7.- Resuelve el sistem:, sólo en el cso en que el sistem teng y z y z infinits soluciones. En ese cso, interpret geométricmente el significdo de cd ecución y del sistem. y z.- Consider el sistem de ecuciones: y z. Determin: y mz 7 ) el vlor de m pr que el sistem teng soluciones. Pr este vlor de m clcul tods ls soluciones del sistem. ) Los vlores de m pr los que el sistem crece de solución. ( Junio 996- Junio 999) y z 6.- Resuelve el sistem z z Supongmos que S es el conjunto de soluciones otenido, y que: S es el conjunto de soluciones de yz S es el conjunto de soluciones de z S es el conjunto de soluciones de z. Rzon cules de ls siguientes firmciones son cierts o flss: ) S S S ) S S c) S S S (Sep 996) d) S S S pág. 8 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

11 7.-Estudir, según los vlores del prámetro λ, el sistem de ecuciones lineles. Resolverlo en los csos en que se comptile. (Junio 997) λ y λ z λ y z 8.- Resuelve los sistems de ecuciones: y y. Encuentr l y y relción entre ls soluciones otenids y l mtriz invers de l mtriz de los coeficientes.(junio 997) y 9.- Resuelve los sistems: y y encuentr l relción entre y y y ls soluciones nteriores y ls soluciones del sistem: justificndo l y relción otenid ien por mtrices o por otro método. (Sep 997).- Estudir, según los vlores del prámetro λ, del sistem de ecuciones lineles: y λ z λ λ y z λ No es necesrio resolver el sistem pr ningún vlor de λ. y λ z λ.-resolver el sistem formdo por ls tres ecuciones: yz ; y ; - yz y justificr si tiene o no ls misms soluciones que el sistem: yz ; y..- Otén l invers de l mtriz de los coeficientes de ls incógnits del sistem: y y utiliz est mtriz pr resolver el sistem. y Si l mtriz cudrd A verific que A 7AI, encontrr rzondmente l invers A -.- Indic el vlor de pr que el sistem de ecuciones lineles: y z teng soluciones distints de (,,), y en este cso hll tods y z z ls soluciones del sistem, interpretndo el resultdo otenido como un intersección de plnos. (Sep 998) pág. 9 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

12 .- Represent mtricilmente los sistems: y y. Clcul ls soluciones y mir si eiste lgun y y relción entre ls soluciones otenids y l invers de l mtriz. Justific l relción otenid. (Sep 999).- clcul el vlor de λ pr que dmit infinits soluciones el sistem: y z. Otén tods ls soluciones e interpret geométricmente el y λ z y z resultdo otenido, recordndo que cd ecución del sistem represent un plno. (Sep 999) 6.- Averigu pr que vlores de λ tiene un únic solución el sistem: y otener rzondmente pr que vlores de λ el sistem tiene y z y z y λ z λ infinits soluciones. Dr el significdo geométrico de que el sistem teng infinits soluciones, recordndo que cd un de ls ecuciones del sistem represent un plno. (Junio ) 7.- Clculr el vlor de λ pr el que tiene infinits soluciones el sistem: y z. Otener tods ls soluciones correspondientes ese vlor de λ e y z λ y interpretr geométricmente por qué el sistem tiene infinits soluciones. (Sep ) y z λ 8.- Otener el función de λ ls soluciones del sistem:. Eplic l y z relción entre el conjunto de soluciones otenids y l intersección de los plnos: π : y - y π : - z (Sep ) 9.- Ddo el sistem de ecuciones lineles del prámetro λ, se pide: y z λ y z y λ z, dependiente pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

13 i) Determinr pr que vlores de λ el sistem es comptile determindo, comptile indetermindo e incomptile. (, puntos) ii) Otener el conjunto S de soluciones del sistem pr el cso comptile indetermindo ( punto) iii) Otener el vector de S ortogonl (perpendiculr) l vector (,,). ( punt) (Sep ) λ z.- Ddo el sistem de ecuciones lineles λ y z λ, dependiente del prámetro y z λ, se pide: ) Determinr pr que vlores de λ el sistem es: comptile determindo, comptile indetermindo e incomptile. (, puntos) ) Otener ls soluciones en los csos comptile determindo y comptile indetermindo. ( puntos) (Junio ) y z λ.- Ddo el sistem de ecuciones lineles λ y z λ λ y z 6 con λ prámetro rel, se pide: ) Determinr rzondmente pr qué vlores de λ es comptile determindo, comptile indetermindo e incomptile. (. puntos) ) Hllr el conjunto de soluciones del sistem pr el cso comptile determindo. ( punto) c) Hllr el conjunto de soluciones del sistem pr el cso comptile indetermindo. ( punto) (Junio ).- Clculeu tots els vlors rels, y,z,t per ls quls es verific AXXA, on X y i A Set Sol: y. z t / y / y.- El sistem de ecuciones lineles depende del prámetro rel. Discutir pr qué vlores de es incomptile, comptile determindo y comptile indetermindo ( puntos), y resuélvelo en los csos comptiles (, puntos) y z (Junio ) y z y z y z α.- Ddo el sistem de ecuciones con incógnits, y, z 6y z, se pide: y 7z ) Determinr rzondmente el vlor de α pr el cul el sistem es comptile (, p) pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

14 ) Pr ese vlor otenido en ) de α, clculr el conjunto de soluciones del sistem. (,p) c) Eplicr l posición reltiv de los tres plnos definidos por cd un de ls tres ecuciones del sistem, en función de los vlores de α. (,8 p) Junio 6 y z 9.- Ddo el sistem de ecuciones lineles, se pide: y z 9 y z 9 ) Pror que siempre es comptile, oteniendo los vlores de pr los que es indetermindo ( puntos) ) Resolver el sistem nterior pr 7. (, puntos) Junio 7 6 y z 6.- Ddo el sistem de ecuciones lineles y 6z, se pide: y z α ) Justificr que pr culquier vlor del prámetro rel α, el sistem tiene solución únic. ( punto) ) Hllr l solución del sistem en función del prámetro α.(, puntos) c) Determinr el vlor de α pr que l solución (,y,z) del sistem stisfg yz ( punto) Septiemre Dds ls mtrices A y X, se pide: y ) Otener rzondmente los vlores de α pr los que es l únic solución de l ecución mtricil AX αx. (, puntos) ) Resolver l ecución mtricil AX X (,8 puntos) Septiemre 7 α y z 8.- Ddo el sistem dependiente del prámetro rel α, α y z, se pide: y α z ) Determinr, rzondmente, los vlores de α pr los que el sistem es comptile determindo, comptile indetermindo e incomptile. (, puntos) ) Resolver el sistem cundo es comptile determindo. (, puntos) c) Otener, rzondmente, l solución del sistem cundo α (,7 p) Junio Ddo el sistem de ecuciones lineles pág. y z, se pide: y z y z ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

15 ) Pror que es comptile pr todo vlor de. (, puntos) ) Otener rzondmente el vlor de pr el que el sistem es indetermindo. ( punto) c) resolver el sistem cundo, escriiendo los cálculos necesrios pr ello. ( punto) Septiemre 8.- Ddo el sistem de ecuciones lineles ( α ) y z, se pide, rzonndo ls respuests: y ( α )z ( α )y z ) Justificr que pr α el sistem es incomptile. (, puntos). ) Determinr los vlores del prámetro α pr que el sistem se comptile determindo. (, puntos). c) Resolver el sistem pr los vlores del prámetro α pr el cul es comptile indetermindo. (, puntos). Junio 9 y z.- Ddo el sistem de ecuciones lineles: y z 7y αz se pide: ) Deducir, rzondmente, pr qué vlores de α el sistem solo dmite l solución (, y, z) (,, ) (, Puntos) ) Resolver, rzondmente, el sistem pr el vlor de α que lo hce indetermindo (,8 Puntos) Septiemre 9.- Ddo el sistem de ecuciones que depende de los prámetros, y c y z c yc z, se pide: y c z ) Justificr rzondmente que pr los vlores de los prámetros, - y c es incomptile. ( puntos) ) Determinr rzondmente los vlores de los prámetros, y c, pr los que se verific (, y, z) (,, ) es solución del sistem. ( puntos) c) Justificr si l solución (, y, z) (,, ) del sistem del prtdo ) es, o no, únic. ( puntos) Junio α α y z.- Ddo el sistem de ecuciones lineles α αy z α αy z donde α es un prámetro rel, se pide: ) Deducir, rzondmente, pr qué vlores de α es comptile determindo. ( puntos). ) Deducir, rzondmente, pr qué vlores de α es comptile indetermindo. ( puntos). c) Resolver el sistem en todos los csos en que se comptile indetermindo. ( puntos). Septiemre pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

16 .- Se el sistem de ecuciones S: y zm z m y m zm Donde m es un prámetro rel. Otener rzondmente: )Tods ls soluciones del sistem S cundo m. ( puntos) )Todos los vlores de m pr los que el sistem S tiene un solución únic ( puntos) c)el vlor de m pr el que el sistem S dmite l solución (,y,z)(/, - /, ). ( puntos) Junio α z.-se d el sistem de ecuciones (- α)y z, donde α es un prámetro y α z rel. Otener rzondmente: ) L solución del sistem S cundo α. ( puntos). )Tods ls soluciones del sistem S cundo α - ( puntos). c) El vlor de α pr el que el sistem S es incomptile. ( puntos). Jun 6.- Otener rzondmente: ) Tods ls soluciones y z de l ecución y z ( puntos) ) El determinnte de l mtriz cudrd B de dos fils, que tiene mtriz invers y que verific l ecución B B. ( puntos) c) El determinnte de l mtriz cudrd A que tiene cutro fils y que verific l ecución: A 9 Siendo demás que el determinnte de es positivo. ( puntos). Jun -y -z 7.- Sig el sistem d'equcions S: y z, on α és un pràmetre rel. y αz Oteniu rondment: ) L solució del sistem S qun α. ( punts) ) El vlor de α per l qul el sistem S té infinites solucions. ( punts). c) Totes les solucions del sistem S qun es dón α el vlor otingut en l'prtt ). ( punts) A.Setemre. pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

17 y 8.- Es té el sistem d'equcions: - - y, on, i c són nomres rels. y c Clculeu rondment, escrivint tots els pssos del ronment: ) L relció que hn de verificr els nomres,, i c perquè el sistem sig comptile ( punts) ) L solució del sistem qun -,, c. ( punts). c) L solució del sistem qun els nomres, i c verifiquen l relció c -. ( punts) A. Juny. α y z 9.- Es don el sistem d'equcions: αy z on α és un pràmetre rel. y z Clcul rondment, escrivint tots els pssos del ronment utilitzt: ) Totes les soucions del sistem qun α 7. ( punts) ) Els vlors de α per ls quls el sistem és comptile indetermint. ( punts). c) Els vlors de α per ls quls el sistem és comptile determint. ( punts). B. Juliol. y z -.-Dont el sistem d'equcions: y z k -, on k és un pràmetre rel, k y z k es demn: ) Discutir,d'un mner rond, el sistem segons els vlors de k. ( punts). ) Otenir, d'un mner rond, escrivint tots els pssos del ronment utilitzt, totes les solucions del sistem qun k -. ( punts). c) Resoldre d'un mner rond el sistem qun k. ( punts). A. Juny. (- α) y z.- Tenim el sistem d'equcions : y - z -, on α és un pràmetre rel, y - (α ) z -α Oteniu rondment,escrivint tots els pssos del ronment utilitzt: ) Els vlors del pràmetre α per ls quls el sistem és incomptile.( punts). ) Els vlors del pràmetre α per ls quls el sistem és comptile i determint. ( punts). c) Totes les solucions del sistem qun. ( punts). B. Juliol. (- α) (α ) y (α ) z α.- Se d el sistem de ecuciones: α α y α (α ) y (α ) z α - α 9 pág. ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

18 donde α es un prámetro rel. Otener rzondment, escriiendo todos los psos del rzonmiento utilizdo: ) Tods ls soluciones del sistem cundo α. ( puntos). ) L justificción rzond de si el sistem es comptile o incomptile cundo α. ( puntos). c) Los vlores de α pr los que el sistem es comptile y determindo. ( puntos). B. Juny. y z α.- Se d el sistem de ecuciones: y - αz αy z α Donde α es un prámetro rel. Otener rzondmente, escriiendo todos los psos del rzonmiento utilizdo: ) L solución del sistem cundo α. ( puntos) ) Tods ls soluciones del sistem cundo α ( puntos) c) El vlor de α pr el que el sistem es incomptile. ( puntos) A. Juliol. pág. 6 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997

19 EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS SISTEMAS DE ECUACIONES.- Clcul el rngo de ls siguientes mtrices ) ) 8 ) ) d c Soluciones:,,,.- Estudi el rngo de ls siguientes mtrices según el vlor del prámetro N M.- Comprue si ls siguientes vectores son L.D. o L.I. ) (,,,), (,-,,), (,,,), (,-,,-) ) (,,,), (,-,,), (,,,), (,,,) c) (,-,7), (,,), (,,) d) (,,), (,,), (,,).- Aplic el teorem de Rouché pr verigur si los siguientes sistems son comptiles o incomptiles. Resuélvelos cundo se posile: y y y t z y t y z y y y y.- Estudi el rngo de ls siguientes mtrices: B A pág. 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-6997