Polinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales.

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1 Polinomios y fracciones algebraicas. Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales. Índice de contenido Polinomios y fracciones algebraicas: nociones básicas...2 Qué es y qué no es un polinomio...2 Coeficientes de un polinomio...2 Grado de un polinomio...2 Suma y resta de polinomios...2 Producto de polinomios...3 División de polinomios...3 Polinomios irreducibles o primos...4 Polinomios de la forma...4 Factorización de polinomios...4 La regla de Ruffini...4 Valor numérico de un polinomio para...5 Raíz de un polinomio...5 El Teorema del Resto...5 Fracción algebraica...5 Operaciones con fracciones algebraicas...5 Polinomios y fracciones algebraicas: técnicas básicas...6 Suma y resta de polinomios...6 Producto de polinomios...7 División de polinomios...8 La regla de Ruffini...9 El Teorema del Resto...9 Factorización de polinomios. Cálculo de raíces...10 Simplificación de fracciones algebraicas...11 Operaciones con fracciones algebraicas...12 Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales...13 Apendice 1. Raíces de polinomios...15 Polinomios y fracciones algebraicas 1 de 15

2 Polinomios y fracciones algebraicas: nociones básicas. Qué es y qué no es un polinomio. Un polinomio es una epresión de la forma P () = a n n +a n 1 n 1 + +a 1 1 +a 0 0 donde a n, a n 1,, a 1, a 0 son números cualesquiera. Coeficientes de un polinomio. Los números a n, a n 1,, a 1, a 0 que multiplican a las potencias de, se denominan coeficientes. En este curso, estudiaremos polinomios con coeficientes enteros. Es decir, a n, a n 1,, a 1, a 0 Z Al conjunto de polinomios con coeficientes enteros se le denota por Z[ ] Grado de un polinomio. El grado de un polinomio es el mayor eponente de la epresión. Por ejemplo, si consideramos los polinomios P ( ) = y Q( ) = , se tiene que el grado de P() es 5 y el grado de Q() es 4. Suma y resta de polinomios. Dados dos polinomios P () y Q( ), puede obtenerse la suma P ()+Q( ) o la resta P ()+Q( ) sumando o restando los términos semejantes. Por ejemplo, para obtener la suma y la resta de los polinomios P ( ) = y Q( ) = P ()+Q( ) = ( )+( ) = = P () Q( ) = ( ) ( ) = = Polinomios y fracciones algebraicas 2 de 15

3 Producto de polinomios. Dados dos polinomios P () y Q( ), puede obtenerse el producto P () Q( ) aplicando la propiedad distributiva. Por ejemplo, para obtener el producto de los polinomios P () = y Q( ) = se procede así: P () Q( ) = ( ) ( ) = = = = División de polinomios. En toda división, sea esta aritmética o algebraica, los términos reciben el nombre de dividendo, divisor, cociente y resto. Estos cuatro términos se encuentran relacionados mediante la igualdad: Dividendo = divisor cociente + resto 36 = P () = Q () C ( ) + R( ) Si el resto de una división es 0, esta se dice que es eacta. 36 = 4 9 P () = Q () C ( ) Cuando una división es eacta, se produce una relación de divisibilidad entre dividendo, divisor y cociente. En concreto, puede afirmarse que: 36 es múltiplo de 4 36 es múltiplo de 9 4 es divisor de 36 9 es divisor de es divisible entre 4 36 es divisible entre 9 P () es múltiplo de Q( ) P () es múltiplo de C () Q( ) es divisor de P () C () es divisor de P () P () es divisible entre Q( ) P () es divisible entre C () Polinomios y fracciones algebraicas 3 de 15

4 Polinomios irreducibles o primos. En la aritmética de los números enteros eisten números que solo pueden ser divididos entre ellos mismos y la unidad. Como todo el mundo sabe, estos son los llamados números primos. En el álgebra de los polinomios, también eisten polinomios que solo pueden ser divididos entre ellos mismos y la unidad. Se llaman polinomios primos o irreducibles. Los polinomios 2, 2 +1, 2+3, son polinomios primos. Polinomios de la forma a Son especialmente importantes los polinomios de la forma -a. Todos los polinomios de esta forma son primos y van a desempeñar un papel muy importante en la factorización de los polinomios. Factorización de polinomios Del mismo modo que, mediante divisiones eactas sucesivas, descomponemos un número en factores primos, podemos descomponer un polinomio en factores primos. 360 = = ( 1) ( 2) ( 3) (+3) La regla de Ruffini La regla de Ruffini permite dividir polinomios fácilmente, siempre y cuando el divisor sea de la forma -a Polinomios y fracciones algebraicas 4 de 15

5 Valor numérico de un polinomio para = a Si, en un polinomio P (), sustituimos la variable o indeterminada por un número concreto y determinado a, obtendremos un valor numérico que denotaremos por P (a) Por ejemplo, si en el polinomio P () = sustituimos la variable o indeterminada por el valor concreto y determinado 3, obtenemos P (3) = = 23 Raíz de un polinomio Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación P () = 0. O, dicho de otra manera, un número a es raíz de un polinomio P () si, y solamente si P (a) = 0. El Teorema del Resto En álgebra el teorema del resto afirma que el resto R, que resulta al dividir un polinomio entre -a, es igual a P (a ) P () Fracción algebraica Una fracción algebraica es una fracción en la que el numerador y el denominador de dicha fracción 2 5 es un polinomio. Por ejemplo, es una fracción algebraica. 2 2 Operaciones con fracciones algebraicas El fin último de cualquier operación con fracciones algebraicas en reducir dicha operación a una sola fracción = 2 +1 ( 2) Polinomios y fracciones algebraicas 5 de 15

6 Polinomios y fracciones algebraicas: técnicas básicas. Suma y resta de polinomios. 1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios. a) ( 1) ( 5) b) ( )+( )+( 2 + 3) c) 2 +(1+ ) d) ( ) ( ) e) 5 (3 2) f) ( ) 2( ) g) (3 4)+(3 +4) h) ( ) ( ) i) (1 ) (1 2 ) j) 2( ) ( ) k) (2 5) (3 7 ) l) ( 2 4 5)+( ) m) n) ( 2 4)+( +5) ( 2 ) o) (+1) ( 1)+ p) 2( 2 1)+4(2 1) 11 q) ( )+( ) r) 3( 2) 2( 1) ( +1) 2. Dados los polinomios A = y B = , calcula: a) A+ B b) A B 3. Dados los polinomios M = y N = , calcula: a) M +N b) M N c) 2 M N 4. Considera los polinomios A= ; B= , y C= Calcula: a) A+ B b) A C c) A+ B+C d) A B e) B+C f) A B C Polinomios y fracciones algebraicas 6 de 15

7 Producto de polinomios. 1. Calcula: a) 3 ( +4) b) 5 ( ) c) 5 ( 1) d) 2 2 ( ) e) 3 2 ( +2) f) 3 ( ) 2. Efectúa (puedes comprobar los resultados en a) (+1) (2 3) b) (5 4) 2 ( 2 ) c) (3 1) (2 +2) d) (2 +1) 2 ( 1) 2 e) 3 (+2) ( 1) f) (3 1) (+1) ( +1) (2 1) g) (+3) ( 2 +1) h) (2 3) (+1) ( 2 4) i) 3 ( ) j) (2 2 +3) ( 1) (2+2 ) k) (+2) ( 5) l) ( ) ( ) m) ( 2 2) ( ) n) 3 ( 2 +1) (1 2 ) Polinomios y fracciones algebraicas 7 de 15

8 División de polinomios. 1. Efectúa las siguientes divisiones de polinomios: a) ( ) ( ) b) ( ) ( 2 +3) c) ( ) (2 +1) d) (8 5 +1) (2 3 1) e) ( ) ( ) f) ( ) ( +3) g) ( ) ( ) Polinomios y fracciones algebraicas 8 de 15

9 La regla de Ruffini. 1. Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini. a) ( ) ( +2) b) ( ) ( 3) c) ( ) ( +1) d) ( ) ( 5) e) (3 5 +2) ( 1)5 f) ( ) ( 2) g) ( ) ( +3) h) ( ) ( +4) El Teorema del Resto 1. Hallar el valor de m para que el polinomio P () = m sea divisible entre ( 1 2). 2. Hallar el valor de m para que el polinomio P () = m 32 sea divisible entre ( 4). 3. Hallar el valor de m para que el polinomio P () = m+3 sea divisible entre ( + 12) 4. Hallar el valor de m y n para que el polinomio P () = 3 +m 2 +n +6 sea divisible entre (+3) y entre ( 2). 5. Calcular el valor de m en el polinomio P () = 3 m para que sea divisible entre (+2). Solución: m= 13/4. 6. Calcular el valor de k para que la división del polinomio P () = 2 k +8 entre (+3) arroje resto 5. Solución: k= Calcular el valor de a para que la división del polinomio P () = 2 +a 3 entre (+2) arroje resto - 5. Solución: a=3. Polinomios y fracciones algebraicas 9 de 15

10 8. Calcular los valores de a y b en el polinomio P () = 2 +a +b, sabiendo que es divisible entre ( 3), y que el resto de su división entre ( 2) es -4. Solución : a= 1 b= 6 9. Calcular los valores de b y c en el polinomio P () = 2 2 +b +c, sabiendo que es divisible entre ( 2), y que el resto de su división entre ( 1) es -3. Solución: a= 3 b= Calcular los valores de a y b en el polinomio P () = 2 +a +b, sabiendo que es divisible entre ( 1), y que se anula para = Calcula k para que el resto de la división ( k 4) ( 2) sea Halla m para que el resto de la división ( m +1) (+3) sea 1. Factorización de polinomios. Cálculo de raíces. 1. Factoriza los siguientes polinomios e indica cuáles son sus raíces: Para factorizar utiliza el comando factoring Para hallar las raíces escribe roots of a) P () = 2 +8 b) P () = 3 6 c) P () = d) P () = 6 8 e) P () = 2 +2 f) P () = 3 12 Polinomios y fracciones algebraicas 10 de 15

11 g) P () = h) P () = 2 +4 i) P () = j) P () = k) P () = l) P () = 2 + m) P () = n) P ( ) = o) P ( ) = p) P () = 5 16 q) P ( ) = r) P ( ) = s) P ( ) = t) P () = u) P ( ) = v) P () = w) P () = ) P () = y) P () = z) P () = aa) P () = ab) P () = ac) P () = ad) P () = Simplificación de fracciones algebraicas 1. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: Utiliza el comando simplify a) b) c) d) e) ( 2) f) g) 4 1 (+1) 2 ( 1) h) i) j) Polinomios y fracciones algebraicas 11 de 15

12 Operaciones con fracciones algebraicas. 1. Realiza las operaciones siguientes: a) b) ( ) c) d) e) g) f) h) ( ) ( 1+ 1 ) i) j) 18 ( ) k) l) Polinomios y fracciones algebraicas 12 de 15

13 Resolución de ecuaciones polinómicas y racionales. Utiliza el comando solve 1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: a) = 0 b) ( 2 4)( 2 +1)( 3)=0 c) = 0 d) ( 2 3 )(2 +3)( 1)=0 e) = 0 f) (3 2 12)( 2 + 2)( 2 +1)=0 g) = 0 h) =0 i) = 0 j) 3 =3 k) = 0 l) ( )( 2 5 )( 3)=0 m) ( 3)(2 2 8)( 2 +5 )=0 n) =0 o) (+1)( 2)( )=0 p) = 0 Polinomios y fracciones algebraicas 13 de 15

14 2. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: a) = 7 4 b) = 15 4 c) = d) = 5 e) 30 2 = f) = g) = h) = i) = 2 j) = +3 k) = 12 l) = m) = n) = 2 o) = 3 p) = q) 1 +1 = r) = 1 s) = 3 t) = u) = v) ( 3) 2 1 = w) = 2 ) = 13 4 y) = z) = 2 + aa) = 2 3 Polinomios y fracciones algebraicas 14 de 15

15 Apéndice 1. Raíces de polinomios. El grado de un polinomio determina el número de raíces que tiene. O, dicho de otra forma, el número de soluciones de una ecuación polinómica coincide con el grado de la ecuación. Pero debemos tener en cuenta que no todas las raíces cuentan por igual. = a es una raíz simple de un polinomio P () si el factor ( a) aparece una sola vez en la factorización de P (). = a es una raíz doble de un polinomio P () si el factor ( a) aparece dos veces en la factorización de P (). Cuando contemos las raíces, contará doble. = a es una raíz triple de un polinomio P () si el factor ( a) aparece tres veces en la factorización de P (). Cuando contemos las raíces, contará triple. Y así sucesivamente. Por ejemplo: El polinomio P () = tiene la siguiente factorización: y sus raíces son: P () = ( 1) 2 (+2) 3 ( +3)( 5) { = 1 doble = 2 triple = 3 simple = 5 simple En total son siete raíces si tenemos en cuenta su multiplicidad. Cuando se representa gráficamente un polinomio, las raíces representan los puntos de corte con el eje de abscisas. En las raíces dobles y en general en todas las raíces de multiplicidad par, la gráfica de polinomio es tangente al eje de abscisas. En las raíces simples y en general en todas las raíces de multiplicidad impar, la gráfica de polinomio es secante al eje de abscisas. Raíz doble Raíz simple Polinomios y fracciones algebraicas 15 de 15