Distribuciones de Frecuencia

Transcripción

1 Distribuciones de Frecuencia Datos Agrupados en Intervalos Cuando se trata con una gran cantidad de datos es conveniente agruparlos en intervalos o clases adecuados. Es aconsejable escoger estos intervalos de manera que sus puntos medios sean múltiplos de 5 y 10. Generalmente no debe haber menos de 10 intervalos ni más de 25. Al fijar los límites de estos intervalos se acostumbra usar un decimal adicional de los que aparecen en los datos originales, de modo que cada dato esté contenido en uno y solamente uno de los intervalos. Con un ejemplo sencillo veamos cómo se elabora la distribución de frecuencias para datos agrupados en intervalos. Consideremos los siguientes datos que corresponden a los resultados de un examen de aptitud musical aplicado a un grupo de 50 alumnos de secundaria: Se desea distribuir los datos en 13 intervalos (o dicho de otra manera, los intervalos dividirán al rango en 13 partes iguales). 1. Calculamos el rango de los datos: Rango puntos 2. Determinamos la longitud aproximada de los intervalos dividiendo el rango entre el número deseado de intervalos Rango Longitud de los intervalos Número deseado de intervalos 60 puntos puntos 13 5puntos Cuando el resultado no sea entero se aproxima al entero más cercano.

2 3. Formamos los 13 intervalos iniciando en el dato más pequeño y añadiendo la longitud del intervalo cada vez, como se muestra en la tabla: Intervalo Cada intervalo tiene un límite o cota inferior y un límite o cota superior Gráficamente el rango se ha dividido en trece intervalos de longitud 5 puntos: Para asegurarnos de que cada dato queda en un solo intervalo, cómo los datos en este caso son enteros, le restamos 0.5 a cada límite de cada intervalo para formar los límites definitivos: Intervalo

3 El gráfico del rango ahora se ve así Para los datos agrupados en intervalos se define la frecuencia como el número de datos que quedan dentro de cada intervalo. En la tabla de frecuencia acumulada para datos agrupados en la primera columna se colocan los intervalos definitivos en lugar de los datos. En la segunda columna se coloca el punto medio o marca de clase de cada intervalo: Punto medio del intervalo = límite inferior 2 límite superior Y en las siguientes columnas se coloca la frecuencia, el por ciento, la frecuencia acumulada y el por ciento acumulado. Termina de llenar la tabla: TABLA DE FRECUENCIA ACUMULADA Intervalos (puntos) Punto medio del Intervalo Frecuencia Por Ciento Frecuencia Acumulada Por Ciento Acumulado Total Los puntos medios de los intervalos sustituyen a los datos originales.

4 En lugar de un diagrama de frecuencia de puntos, en los datos agrupados en intervalos, se elabora un histograma que representa gráficamente como están distribuidos los datos en el rango. Un histograma es un gráfico de barras donde la base de cada rectángulo es un intervalo y la altura es el número de datos dentro de cada intervalo, esto es, su frecuencia: En el histograma se rotula el punto medio de cada intervalo en lugar de sus extremos. Los puntos medios sustituyen a los datos contenidos en cada intervalo. Los datos agrupados se pueden representar gráficamente por medio de un Polígono Acumulativo u Ojiva. Para elaborar el polígono acumulativo: 1º. Se dibuja el primer cuadrante de un sistema de coordenadas, en el eje horizontal dibujamos divisiones iguales correspondientes a los límites de cada intervalo o clase; en el eje vertical, por el lado izquierdo con una escala adecuada se coloca la frecuencia acumulada y por el lado derecho el por ciento acumulado. 2º. Localizamos lo puntos formados con la el límite superior de cada intervalo con su frecuencia acumulada. 3º. Se unen los puntos con segmentos de recta. El primer punto se une con el límite inferior del primer intervalo en el eje horizontal.

5 Los percentiles se pueden obtener aproximadamente del Polígono Acumulativo, (de la misma manera que en la gráfica acumulativa de los datos no agrupados en intervalos): Los percentiles y la moda, para datos agrupados, se pueden calcular por medio de fórmulas usando la Tabla de Frecuencia Acumulada. Ejercicios. 1. Las siguientes cifras corresponden al peso redondeado a kg de 1000 estudiantes varones de nuevo ingreso, de 18 a 23 años, de una universidad: (6); (13); (40); (96); (175); (180); (190); (175); (70); (40); (10); (5). Para este conjunto de datos: a. Llena la tabla de frecuencia acumulada:

6 Límites de Clase TABLA DE FRECUENCIA ACUMULADA Peso (en kg) de 1000 estudiantes varones de nuevo ingreso Marca de Clase Frecuencia Por Ciento Frecuencia Acumulada Por Ciento Acumulado Total b. Grafica el histograma de los datos. c. Grafica el polígono acumulativo. d. Calcula el cuartil superior, la mediana, el cuartil superior. e. Calcula la moda de los datos. f. Calcula e interpreta el 40º percentil. g. Calcula e interpreta el 90º percentil. 2. Los siguientes datos tomados del artículo Ages of Oscar-winning Best Actors and Actresses escrito por Richard Brown y Gretchen Davis, corresponden a las edades en años cumplidos de los 39 más recientes ganadores del Premio Oscar por categoría: Actores: Actrices: Para cada conjunto de datos, utilizando 10 intervalos: a. Haz un tabla de frecuencia acumulada.

7 b. Grafica el histograma de los datos. c. Grafica el polígono acumulativo. d. Calcula e interpreta el cuartil inferior, la mediana y el cuartil superior. e. Dibuja los dos rangos, uno arriba del otro y localiza los cuartiles inferior y superior, así como la mediana, quiénes, los actores o las actrices, alcanzan el Oscar con menos variabilidad en la edad? f. Cuál es la edad más frecuente de alcanzar el Oscar en cada categoría? 3. En la siguiente tabla de frecuencia se muestra la concentración de nicotina en la sangre en 3 ng / ml de 40 fumadores: Concentración Frecuencia de nicotina 3 ( ng / ml ) Total 40 a. Elabora la tabla de frecuencia acumulada. b. Grafica el histograma de los datos. c. Grafica el polígono acumulativo. d. Calcula e interpreta el cuartil inferior, la mediana y el cuartil superior. e. Calcula e interpreta el 30º percentil. f. Cuál es la cantidad de nicotina más frecuente (moda) en los fumadores? 4. Los datos mostrados en la tabla de frecuencia corresponden a las temperaturas (en 0 C ), tomadas a la media noche, en estado de sueño profundo, a un grupo de 106 voluntarios: Temperatura Frecuencia (en 0 C ) Total 106 a. Elabora la tabla de frecuencia acumulada.

8 b. Grafica el histograma de los datos. c. Grafica el polígono acumulativo. d. Calcula la mediana de los datos. e. Cuál es la moda de los datos? f. Compara la moda con la mediana, cuál se acerca más a la temperatura de 0 37 C que se considera como la temperatura normal?, Consideras de manera tajante que la temperatura de 0 37 C es la temperatura normal del cuerpo humano y que cualquier variación es hipotermia o fiebre? 5. A continuación se muestran las edades que un grupo de motociclistas tenía cuando murió en un accidente de tránsito, de acuerdo con los registros nacionales de transporte de EUA: Distribuye los datos en 5 clases y a. Elabora la tabla de frecuencia acumulada. b. Calcula la mediana de los datos. c. Cuál es la edad más frecuente (moda) de que los motociclistas tengan un accidente fatal? d. De acuerdo con la moda