FORMULARIO V Introducción a la Física. Licenciatura en Física. f (z) = = lim = lim

Transcripción

1 FORMULARIO V Introucción a la Física Licenciatura en Física 1 Operaor Derivaa 1.1 De nición formal f (z 0 ) lim lim z 0!z z z 0 4z!0 f (z + 4z) 4z (1) 1. Derivaas e algunas funciones elementales A continuación mostramos algunas fórmulas funamentales e la erivaa e una función arbitraria : f(z) ; Peniente e en el punto z A 0 z n nz n 1 (Az + B) n na (Az + B) n 1 cos (Az) A sin (Az) sin (Az) A cos (Az) cos (Az + B) A sin (Az + B) sin (Az + B) A cos (Az + B) Si z z (t), esto es, z es una variable a su vez epeniente el parámetro t, entonces: f(z(t)) f (z (t)) A 0 z n nz n 1 V z (Az + B) n na (Az + B) n 1 V z cos (Az) A sin (Az) V z sin (Az) A cos (Az) V z cos (Az + B) A sin (Az + B) V z sin (Az + B) A cos (Az + B) V z (t) Done V z. Si z es la posición y t el tiempo, V z es la velocia. Obs. : A; B son es cantiaes constantes. () (3) 1.3 Algunas propieaes Sean y g (z) funciones arbitrarias e la variable z, se cumple entonces que: g (z) [ + g (z)] + (linealia) (4) 1

2 (z) [A] Af (A es un factor inepeniente e z) (5) g (z) g (z) g (z) g (z) (6) g (z) [ g (z)] g (z) + (7) Obs. : Si la erivaa e una función tiene una valor constante, entonces: Álgebra e vectores.1 Componentes e un vector z f (z 0) z z 0 (8) Sea un vector arbitrario. Para un eterminao sistema e referencia cartesiano, el vector quea expresao en términos e sus componentes (cartesianas) e la siguiente forma: Ax ^{ + A y ^ + A z b k (9) Los vectores unitarios (versores) ^{, ^ y b k, inican las irecciones positivas e los ejes x, y, z respectivamente y son constantes en magnitu y irección.. Norma e un vector magnitu longitu el vector A q A x + A y + A z (10).3 Vector unitario (o versor) Se e ne el vector unitario en la irección e cierto vector arbitrario como: tal que: ba (11) A b 1 (1) Obs. : El vector b A inica solo la irección, en este caso la misma irección e..4 Operaciones vectoriales : Suma y resta Sean los vectores! a b k y! b k, entonces: + (a x + b x )^{ + (a y + b y ) ^ + (a z + b z ) b k (13) análogamente:!a! (a x b x )^{ + (a y b y ) ^ + (a z b z ) b k (14)

3 .5 Proucto interno, escalar o punto Para os vectores arbitrarios! a y! b, se e ne el proucto escalar entre ellos como: k! a k! b cos () ab cos () Geométricamente es hallar la longitu e un vector proyectao en la irección el otro. Si conocemos las componentes cartesianas e los vectores, esto es,! a b k y! b k, entonces el proucto escalar está e nio e la siguiente forma: a x b x + a y b y + a z b z (16) Obs. :!b! a (Conmutativia) (17) Obs. : Para un vector genérico! A A x^{ + A y^ + A z b k, sus componentes cartesianas pueen ser expresaas en términos e un proucto interno tal como sigue: 8 >< A x ^{ (vector proyectao en la irección el eje x) A y ^ (vector proyectao en la irección el eje y) >: A z b k (vector! (18) A proyectao en la irección el eje z) asimismo su norma (magnitu) se puee expresar como: (15) Obs. : A q!a (19) A (0).6 Proucto externo, vectorial o cruz Dos vectores arbitrarios! a y! b, cuyas componentes cartesianas son:! a b k y! b k, entonces, el proucto externo es e nio e la siguiente forma:!! ^{ ^ b k a a x a y a z b x b y b z (1) La magnitu o e manera usual: (a y b z a z b y )^{ (a x b z a z b x ) ^ + (a x b y a y b x ) b k! a! b se puee hallar e la siguiente forma:! a! b k! a k! b sin () ab sin ()! a! r b b b () (3) Obs. : 3

4 ! a? b (4)! b? b (5)!b! a (Anticonmutativia) (6).7 Vectores ortogonales Si! a y! b son vectores perpeniculares entre sí, entonces:! a! 0 (7).8 Vectores paralelos Si! a y! b son vectores paralelos (antiparalelos), entonces:! a!! 0 (8) o equivalentemente! a! b 0 (9).9 Iguala e vectores Si! a b k y! b k son os vectores iguales entonces: Las componentes son iguales: a x b x (30) a y b y (31) a z b z (3) Las magnitues (longitues) son iguales: q q a x + a y + a z b x + b y + b z + a x + a y + a z b x + b y + b z (33) 3 Cinemática puntual 3.1 Vector posición! r (t) x (t)^{ + y (t) ^ + z (t) b k (34) 4

5 3. Vector velocia one :!! r (t) v (t) x (t) ^{ + x (t) y (t) (t) y (t) ^ + (35) (t) b k v x (t) (36) v y (t) (37) v z (t) (38) Obs. : El vector velocia! v (t) siempre es es tangente a la trayectoria que escribe en el espacio la partícula. 3.3 Vector aceleración o equivalentemente :!! v (t) a (t) vx (t) ^{ +! a (t)! r (t) x (t) ^{ + vy (t) ^ +! r (t) y (t) 3.4 Movimiento con velocia constante ^ + (39) vz (t) b k z (t)!vo cte:! )! a! 0 b k (40)! r (t)! r o +! v o (t t o ) (41) 3.5 Movimiento con aceleración constante cte:! v (t)! vo +! a (t t o ) (4)! r (t)! r o +! v o (t t o ) + 1! a (t to ) (43) v (t) v o +! a [! r (t)! r o ] (44) 3.6 Casos particulares (Movimiento rectilineo) Se muestran a continuación aplicaciones e las ecuaciones previas pero en su forma no vectorial. El signo e toas las cantiaes que aparecen en las expresiones (salvo el tiempo que es un parámetro escalar) epenen exclusivamente e la elección e los sentios positivos (negativos) el sistema e referencia que U. escoge. 5

6 3.6.1 Movimiento rectilíneo con rapiez constante x x o + v o (t t o ) (45) 3.6. Movimiento rectilíneo con aceleración constante v v o + a (t t o ) (46) x x o + v o (t t o ) + 1 a (t t o) (47) v v o + a (x x o ) (48) Obs. : Para el sistema e referencia usual, el movimiento vertical en un campo gravitatorio (ej. caía libre) asume la siguiente notación ) a g, x y Movimiento parabólico (Mov. horizontal con velocia cte. + Mov. vertical con aceleración cte.!g) Suponemos la referencia convencional o usual : Ecuaciones para el eje horizontal x x o + v o cos 0 (t t o ) (49) Ecuaciones para el eje vertical v x v o cos 0 (50) v y v o sin 0 g (t t o ) (51) y y o + v o sin 0 (t t o ) 1 g (t t o) (5) Obs. : 0 Ángulo e lanzamiento meio respecto al eje x Obs. : 0 es el ángulo que permite máximo alcance. 4 v y v o sin 0 g (y y o ) (53) 3.7 Movimiento relativo Posición relativa Sean! R 1 y! R las posiciones e os móviles meias e cierta referencia con origen en! O. La posición el móvil () meia ese la posición el móvil (1) está aa por la expresión:! R 1! R! R 1 (54) Recíprocamente, la posición el móvil (1) meia ese la posición el móvil () es:! R 1! R 1! R! R 1 (55) 6

7 3.7. Velocia relativa! V 1 y! V corresponen a las velociaes e os móviles meias e cierta referencia con origen en! O. La velocia relativa el móvil () meia ese el móvil (1) está aa por la expresión:! V 1! V! V 1 (56) Recíprocamente, la velocia relativa el móvil (1) meia ese el móvil () es:! V 1! V 1! V! V 1 (57) 7