Esperanza Matemática. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Transcripción

1 speranza Matemática UCR CCI CI-135 Probabilidad y stadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

2 Media de una Variable Aleatoria Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(). La media o valor esperado de es Si es discreta Si es continua ( ) f ( ) ( ) f ( )d UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática

3 Media de una Variable Aleatoria (cont.) Teorema. Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(). La media o valor esperado de la variable aleatoria g() es Si es discreta Si es continua g g ( ) [ g( )] g( ) f ( ) ( ) [ g( )] g( ) f ( )d UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 3

4 Media de una Variable Aleatoria (cont.) Sean y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,y). La media o valor esperado de la variable aleatoria g(,) es Si y son discretas g (, ) [ g(, )] g(, y) f (, y) Si y son continuas g y (, ) [ g(, )] g(, y) f (, y)ddy UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 4

5 Media de una Variable Aleatoria (cont.) Sean y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,y). La media o valor esperado de la variable aleatoria es Si y son discretas Si y son continuas ( ) f ( y) g( ), y ( ) f ( y) ddy g( )d, UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 5

6 Media de una Variable Aleatoria (cont.) Sean y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,y). La media o valor esperado de la variable aleatoria es Si y son discretas ( ) yf ( y) yh( y) Si y son continuas, y ( ) yf ( y) ddy yh( y)dy, y UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 6

7 Varianza y Covarianza Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f() y la media μ. La varianza de es Si es discreta Var Si es continua Var [ ] ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La raíz cuadrada positiva de la varianza,, se llama desviación estándar de. [ ] ( ) f ( )d UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 7

8 Varianza y Covarianza (cont.) La cantidad se llama desviación estándar de una observación respecto a su media. Cuando estas desviaciones se elevan al cuadrado y después se promedian, será mucho menor para un conjunto de valores que sean cercanos a, que para un conjunto de valores que varíe de forma considerable de. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 8

9 UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 9 Varianza y Covarianza (cont.) Teorema. La varianza de una variable aleatoria es Prueba. Caso discreto (el caso continuo es igual, pero en vez de sumatorias son integrales). ( ) ( ) Var ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 y f f f f f f f f f Var

10 Varianza y Covarianza (cont.) Teorema. Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(). La varianza de la variable aleatoria g() es g Si es discreta Var[ g( )] g( ) ( ) g ( ) Si es continua g Var[ g( )] g( ) ( ) g ( ) [( ) ] ( ( ) ) g g ( ) f ( ) [( ) ] ( ( ) ) g g ( ) f ( )d UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 10

11 Varianza y Covarianza (cont.) Sean y variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,y). La covarianza de y es Si y son discretas (, ) [ ( )( )] ( )( y ) f (, y) Si y son continuas cov (, ) [ ( )( )] ( )( y ) f (, y)ddy cov y UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 11

12 Varianza y Covarianza (cont.) La covarianza de dos variables aleatorias es una medida de la naturaleza de la asociación entre las dos. La covarianza sólo describe la relación lineal entre dos variables aleatorias. Describe la naturaleza de la relación. Si la covarianza es positiva significa que y son linealmente ascendentes (valores grandes de estarán relacionados con valores grandes de, y valores pequeños de estarán relacionados con valores pequeños de ). Si la covarianza es negativa significa que y son linealmente descendentes (valores grandes de estarán relacionados con valores pequeños de, y viceversa). UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 1

13 Varianza y Covarianza (cont.) Cuando y son estadísticamente independientes la covarianza es cero. Lo opuesto, sin embargo, por lo general no es cierto. Dos variables pueden tener covarianza cero e incluso así no ser estadísticamente independientes. Una covarianza entre y es cero, quizá indica que y no tiene una relación lineal, pero no que sean independientes. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 13

14 Varianza y Covarianza (cont.) Teorema. La covarianza de dos variables aleatorias y con medias μ y μ, respectivamente, está dada por cov, ( ) ( ) Prueba. Caso discreto (el caso continuo es igual, pero en vez de sumatorias son integrales). cov(, ) ( )( y ) f (, y) y ( y y + ) f (, y) (, y) yf (, y) f (, y) + f (, y) y y f yf (, y), yf (, y) y f (, y) ( ) ( ) y y + UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 14 y y 1 y

15 Varianza y Covarianza (cont.) Sean y variables aleatorias con covarianza y desviación estándar y, respectivamente. l coeficiente de correlación y es ρ l coeficiente de correlación satisface la desigualdad -1 ρ 1 l coeficiente de correlación describe la fuerza de la relación. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 15

16 Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias Teorema. Si a y b son constantes, entonces (a ± b) a() ± b Corolario. Al hacer a 0, se ve que (b) ±b Corolario. Al hacer b 0, se ve que (a) a() Prueba. Caso continuo (el caso discreto es igual, pero en vez de integrales son sumatorias). ( a ± b) ( a ± b) f ( ) ( a ± b) a f ( ) d ± b f ( ) ( ) f ( ) d y f ( ) UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática ( a ± b) a( ) ± b 16 d d 1 d

17 Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias Teorema. l valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria, es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones. s decir, [g() ± h()] [g()] ± [h()] Prueba. Caso continuo (el caso discreto es igual, pero en vez de integrales son sumatorias). ( g( ) ± h( ) ) ( g( ) ± h( ) ) f ( ) ( g( ) ± h( ) ) g( ) f ( ) d ± h( ) f ( ) ( g( ) ± h( ) ) ( g( ) ) ± ( h( ) ) UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 17 d d

18 Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias (cont.) Teorema. l valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de las variables aleatorias y, es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones. s decir, [g(,) ± h(,)] [g(,)] ± [h(,)] Corolario. Al hacer g(,) g() y h(,) h(), se ve que [g() ± h()] [g()] ± [h()] Corolario. Al hacer g(,) y h(,), se ve que ( ± ) () ± () ( g(, y) ± h(, y) ) ( g(, y) ± h(, y) ) f (, y) ddy ( g(, y) ± h(, y) ) g(, y) f (, y) ddy ± h(, y) f (, y) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ddy UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática g, y ± h, y g, y ± h, y 18

19 Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias (cont.) Teorema. Sean y dos variables aleatorias independientes. ntonces () ()() Prueba. Caso continuo (el caso discreto es igual, pero en vez de integrales son sumatorias). f ( ) yf (, y) (, y) g( ) h( y) ( ) yg( ) h( y) ddy ddy ( ) g( ) d yh( y) ( ) ( ) ( ) UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 19 dy

20 Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias (cont.) Teorema. Si a y b son constantes, entonces a + b a a Corolario. Al hacer a 1, se ve que + b Corolario. Al hacer b 0, se ve que a a a Prueba. a + b a + b a + b [( ) ] a + b a + b ( a + b) a( ) + b [( a + b) ( a )] + b ( ) a { } [( ) ] a + b a b [ ] [( ) ] a + b a a a a UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 0 + b

21 a + b a + b a + b a + b a + b Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias (cont.) Teorema. Si y son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,y), entonces a + b a + b + ab Teorema. Si y son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f(,y), entonces a b a + b ab Prueba. [ ( a + b a + b ) ] ( a + b ) a( ) + b( ) a + b [( a + b ) ( a + b )] a + b a b { } [( ) ] {[ a( ) + b( )] } a [ ( ) ] + b [ ( ) ] + ab ( )( ) [ ] UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza a + Matemática b + ab 1

22 Medias y Varianzas de Combinaciones Lineales de Variables Aleatorias (cont.) Corolario. Si y son variables aleatorias independientes, entonces a + b a + b Corolario. Si y son variables aleatorias independientes, entonces a b a + b Corolario. Si 1,,, n son variables aleatorias independientes, entonces a11 + a + + ann a a + + a n n UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática

23 Teorema de Chebyshev Si una V.A. tiene una varianza o desviación estándar pequeña, se esperaría que la mayoría de los valores se agruparan alrededor de la media. Ver las figuras de las filminas 4 y 5. l matemático ruso P.L. Chebyshev descubrió que la fracción del área entre cualesquiera dos valores simétricos alrededor de la media está relacionada con la desviación estándar. Como el área bajo una curva de distribución de probabilidad, o en un histograma de probabilidad, suma 1, el área entre cualesquiera dos números es la probabilidad de que la V.A. tome un valor entre estos números. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 3

24 Teorema de Chebyshev (cont.) UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 4

25 Teorema de Chebyshev (cont.) UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 5

26 Teorema de Chebyshev (cont.) La probabilidad de que cualquier variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media es al menos 1 1/k. s decir, 1 P( k < < + k ) 1 k ste teorema tiene validez para cualquier distribución de observaciones y, por esta razón, los resultados por lo general son débiles. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 6

27 Teorema de Chebyshev (cont.) l valor que el teorema proporciona es sólo un límite inferior; es decir, la probabilidad de una variable aleatoria caiga dentro de dos desviaciones estándar de la media no puede ser menor a 1 1/k. Sólo cuando se conoce la distribución de probabilidad, se puede determinar probabilidades eactas. Por esta razón el teorema se conoce por el nombre de distribución libre. l uso de este teorema se relega a situaciones donde se desconoce la forma de la distribución. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 7

28 Referencias Bibliográficas Walpole, R..; Myers, R.H.; Myers, S.L. & e, K. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Octava dición. Pearson Prentice-Hall. Méico, 007. UCR-CCI CI-135 Probabilidad y stadística speranza Matemática 8