Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

Transcripción

1 Curso de nivelación Estadística y Matemática Cuarta clase: Distribuciones de probablidad continuas Programa Técnico en Riesgo, 2016

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3 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

4 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Definición Qué es una variable aleatoria continua? Ejemplo Es una variable aleatoria donde el número de resultados posibles es ilimitado o infinito. Rendimiento promedio de una acción.

5 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Pdf vs cdf Probability density function Es la probabilidad en el punto de una variable aleatoria. f X (x)=p (X = x) Cumulative distribution function Es la probabilidad acumulada hasta un punto de una variable aleatoria. F (x)=p (X apple x)

6 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

7 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Propiedades Valor esperado Por analogía con las fórmulas de media de las distribuciones discretas Fórmula Z a µ = E(X )= f (x)xdx a

8 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

9 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. Definición Fórmula Z a s 2 = f (x)(x a µ) 2 dx

10 Definición Características Las variables continuas son infinitamente divisibles. La probabilidad asociada con un intervalo de valores es igual al área bajo la curva. El área bajo la curva total debe ser igual a 1.

11 Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

12 Definición Distribución uniforme Es una distribución en la cual las probabilidades de todos los resultados son las mismas.

13 Definición

14 Función de probabilidad f (x a,b)= ( 1 b a 0 si x e [a,b] otro caso Media E(x)=µ = a + b 2 Varianza s 2 = (b a)2 12

15 Asimetría As = 0 Curtosis k = 9 5

16 Fórmula de cálculo La probabilidad de que x este entre dos observaciones es f (x 1 apple X apple x 2 a,b)= x 2 x 1 b a

17 Utilizada Generalmente utilizada para Cuando se tiene un conocimiento muy general o poco conocimiento sobre la distribución que siguen los datos. Para generación de números aleatorios.

18 Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

19 Definición Distribución normal Es llamada distribución Gaussiana. Es fundamental para el análisis estadístico, dado que gran cantidad de fenómenos se comportan como una distribución normal. Se caracteriza por su simetría con respecto a la media. Además es perfectamente determinada cuando se conoce µ y s.

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22 Fórmula de cálculo Función de probabilidad f (x µ,s 2 )= 1 p 2ps e (x µ)2 2s 2

23 Propiedades Propiedades Es simetríca respecto a µ (La mediana y moda son iguales). La distribución entorno a su media sigue la regla empírica. Regla empírica La regla empírica especifica que, sin considerar el valor de la media o la desviación estándar: el 68,3% de las observaciones está a una desviación estándar de la media. el 95,5% de las observaciones está a dos desviación estándar de la media. el 99,7% de las observaciones está a tres desviación estándar de la media.

24 Propiedades Propiedades Si X N µ,s 2 y a y b son números reales, entonces (ax + b) N aµ + b,a 2 s 2 Estandarizamos Podemos convertir cualquier distribución normal en una distribución con media igual a 0 (µ = 0) y desviación estándar igual a 1 (s = 1), realizando la siguiente operación. Z = X µ s

25 Media E(x)=µ Varianza s 2 Asimetría As = 0 Curtosis k = 3

26 Utilizada Generalmente utilizada para Para describir atributos humanos o de objetos. Gran cantidad de datos se pueden considerar que siguen el comportamiento de una distribución normal. Los promedios siguen una distribución normal.

27 Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

28 Definición Distribución log-normal Si X es una variable aleatoria cuyo logarítmo se distribuye normalmente (esto es, log (X ) N µ,s 2 ), entonces X se considera distribuida mediante una distribución logarítmica normal. Por esto, es usualmente utilizada para datos transformados logarítmicamente.

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30 Cdf

31 Fórmula de cálculo Función de probabilidad f (x µ,s 2 )= p 1 1 2ps x (log(x) µ)2 e 2s 2

32 Utilizada Generalmente utilizada para Para modelar tiempo de procesos.

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34 Definición Distribución t-student Es una distribución centrada alrededor de cero y caracterizada por un solo parámetro llamado grados de libertad (n-1). Es semejante a la distribución normal estándar, pero con colas más pesadas. Amedidaqueaumenteeltamañodelamuestra,la distribución t se aproxima a la normal estándar.

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37 Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

38 Definición Analóga a la distribución Poisson (que mide el número de ocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio), la distribución exponencial mide el paso del tiempo entre tales ocurrencias. Así podemos decir que si el número de ocurrencias tiene distribución de Poisson, el lapso entre las ocurrencias estará distribuido exponencialmente.

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40 Cdf

41 Fórmula de cálculo Función de probabilidad f (x µ)= 1 b e x b

42 Media y varianza Media µ = b Varianza s 2 = b 2

43 Utilizada Generalmente utilizada para Para modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente.

44 Agenda 1 Variable aleatoria Continua Valor esperado de una variable aleatoria continua. Varianza. 2

45 Definición Es una distribución continua en la famialia de (0,1) descrita por dos parámetros. Esta distribución es una de las pocas distribuciones que acumulan la probabilidad de 1 en un intervalo finito, en este caso de (0,1).

46 Definición

47 Definición

48 Fórmula de cálculo Función de probabilidad f (x a,b)= 1 R 1 0 x a 1 (1 x) b 1 dx x a 1 (1 x) b 1

49 Media y varianza Media Varianza µ = a a + b s 2 ab = (a + b) 2 (a + b + 1)

50 Utilizada Generalmente utilizada para Permite generar una gran variedad de perfiles.

51 Bibliografía Barrantes G., Miguel Elementos de estadística descriptiva. EUNED,1998. Kenneth N., Berk & Patrick, Carey Análisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office 2000 Thomson Learning, Gitman, Lawrence. Principios de administración Financiera Pearson Education, Décimaedición. Webster L., Allen Estadística aplicada a los negocios y la economía Irwin McGraw-Hill, Tercera edición.