LECCIÓN Nº 04 LA PARABOLA

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1 LECCIÓN Nº 04 LA PARABOLA Parábola El conjunto de puntos del plano tales que están a la misma distancia de una recta dada y de un punto dado F que no este sobre recibe el nombre de parábola. El punto F es el foco de la parábola y la recta es la directriz de la parábola. La recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz es el eje (eje de simetría) de la parábola. El punto V de intersección de una parábola con su eje recibe el nombre de vértice de la parábola. Para obtener una ecuación de la parábola que tiene un foco en el punto F(0,2) y cuya directriz es la recta cuya ecuación es y = -2: Pág. 22 EDUCA INTERACTIVA

2 Obsérvese que U(x,y) es un punto del lugar geométrico si y solo si: Donde W es la proyección perpendicular de U sobre. Entonces como U tiene las coordenadas (x,y), F tiene coordenadas a (0,2), y W tiene como coordenadas a (x,-2) se tiene: Mediante un razonamiento similar se puede demostrar que una ecuación de la parábola cuyo foco es F(0,p) y cuya directriz es la recta esta dada por y = -p es: Esta ecuación recibe el nombre de formas ordinarias de una parábola con vértice en el origen y foco sobre un eje de coordenadas. Si p>0, entonces la parábola se abre hacia arriba o derecha. Si p<0, entonces la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda. Las diferentes posibilidades se muestran en las siguientes figuras. EDUCA INTERACTIVA Pág. 23

3 Obsérvese que en cada caso el vértice esta a IpI unidades de distancia tanto del foco como de la directriz. Ejemplo 1: Calcule las coordenadas del F y una ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es Solución: trace un esquema de esta curva. Comparando con la ecuación ordinaria. Se ve que p = -2, por lo tanto las coordenadas de F son (-2,0) y tiene como ecuación x = 2. Puesto que y2 es siempre positivo, x debe ser no positivo para todos los puntos que estén sobre la parábola, y la grafica tiene la apariencia que se muestra: Pág. 24 EDUCA INTERACTIVA

4 Análisis de la ecuación Primero, determinar si es simétrica asimétrica. Demuestra que la curva es simétrica con relación al eje de las abscisas, porque para un valor de x se obtienen dos valores de y iguales y de signos contrarios. En cambio, la curva es asimétrica con relación al eje de las ordenadas, porque según la ecuación: Para cada valor de y se obtiene un solo valor x. Segunda, determinar los puntos de intersección de la curva con los ejes de coordenadas. Si x=0 y resulta y=0 lo que determina que el único punto común de la curva con los ejes es el origen del sistema de coordenadas. Cuarta, investigar si la curva es abierta o cerrada, la misma ecuación indica que cuando x aumenta y aumenta en la misma condicion. Lado recto Se llama ancho focal o latus rectum de la parábola, la magnitud del segmento de recta Q Q perpendicular al eje de la parábola que pasa por el foco. Para calcularlo se hacen simultáneas la ecuación x = p/2 con la ecuación de la parábola y2 = 2px, obteniéndose así que: Extrayendo y = +- p EDUCA INTERACTIVA Pág. 25

5 Ancho focal = 2p Ecuación de la parábola con vértice fuera del origen. Las ecuaciones anteriores son validas solo para el vértice en el origen. La ecuación de la parábola con vértice en S(h,k) se da en la siguiente expresión: Ecuación de la parábola horizontal: Ecuación de la parábola vertical: Forma general de las ecuaciones de la parábola vertical y horizontal Horizontal. x = ay2 + by + c, Vertical Ejemplo 2 Obtenga una ecuación general de la parábola que pasa por los puntos Q(0,1), S(-1,4), T(2,1). Solución: Puesto que cada punto de la grafica pasa por. Las coordenadas de estos puntos deben satisfacer la ecuación: Pág. 26 EDUCA INTERACTIVA

6 o bien Resolviendo a, b y c. Se tiene entonces Ejercicios En los ejercicios 1-4, obtenga una ecuación cartesiana de la parábola con vértice en el origen y con foco en el punto dado F. Obtenga también una ecuación cartesiana de la directriz. 5. En los siguientes ejercicios obtenga una ecuación de la forma: Que pase por los puntos Q, S y T. 6. Un arco parabólico de acero, tiene diez metros de altura, con el eje vertical y cuyos puntos de apoyo están separados por 20 metros. Esta el foco de la parábola sobre el suelo o debajo de el y a que distancia del suelo esta? 7. Se planea hacer un arco parabólico, con eje vertical y cuyos puntos de apoyo están separados por una distancia de 30 metros. Si el foco de la parábola debe de estar a 8 metros de altura, cual es la altura que debe de tener el arco. EDUCA INTERACTIVA Pág. 27