La Parábola A. Definición B. Construcción de la parábola C. Elementos de la parábola. Und. 11 Geometría Analítica
|
|
- Francisca Mora Alarcón
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Cundo ls orgniziones de vuelos espiles desen poner en órit un stélite deen lnzrlos on un veloidd proimd de 8 km/s. Pero undo quieren que slg de l órit terrestre deen lnzrlo on un veloidd 8 km/s l tretori result ser un hipérol. Fig. (). Pero no h que ir tn lejos pr ompror que ls hipérols preen en muhs situiones reles, por ejemplo l interseión del plno de un pred el ono de luz que emn de un lámpr de mes on pntll tronoóni, es un hipérol tl omo se puede preir en l imgen. Fig. ()..3.. L Práol.3.. Definiión Se llm práol l lugr geométrio de puntos P que equidistn de un punto fijo F de un ret fij d del plno..3.b. Construión de l práol Pr diujr un práol neesitmos un esudr un hilo que teng l mism longitud que uno de sus tetos. Fijmos un punto F un ret d. Un etremo del hilo, de longitud HG, se fij en el vértie G de l regl orrespondiente l ángulo no reto del teto, u longitud dee oinidir on l del hilo, el otro etremo en F. l otro teto de l esudr se po en l ret fij d. Con un lápiz tensmos el hilo mnteniéndolo pegdo l teto l mismo tiempo deslizmos l esudr lo lrgo de l ret fij, de est form se diuj l práol. Dee oservrse que: PH = PF..3.C. lementos de l práol C. Foo s el punto fijo «F» que sirve de primer refereni pr medir ls distnis de un punto «P» de l práol. C. Diretriz s l ret fij «d» que sirve de segund refereni pr medir ls distnis de un punto «P» de l práol. Und. Geometrí nlíti 639
2 C3. je Se llm eje de l práol l ret FD que ps por el foo es perpendiulr l diretriz. C4. Vértie Se llm vértie l punto medio V del segmento FD que está definido por l interseión del eje on l práol. C. Cuerd Se llm uerd l segmento que une dos puntos ulesquier de l práol. C6. Cuerd fol Se llm uerd fol tod uerd PP que pse por el foo. C7. Ldo reto Se llm ldo reto l uerd fol LL que es perpendiulr l eje. C8. Rdios foles Se llmn rdios foles de P P los segmentos FP FP respetivmente..3.. uión de l Práol.3.. Form reduid L euión de l práol tom su form más reduid o simple undo el vértie está en el origen el eje oinide on uno de los ejes oordendos.. Vértie en el origen eje en el eje Si el vértie está en el origen el eje oinide on el eje, l euión de l práol es: l foo está en F(0; p) l euión de l diretriz es D : = -p. Si p > 0, l práol se re hi rri (Fig. ), si p < 0, hi jo (Fig. d). l término p se llm prámetro de l práol. n ulquier so l distni de l diretriz l vértie l distni del vértie l foo son igules p. simismo l longitud del ldo reto se otiene hiendo en () = p, o, = p en (), oteniéndose en ulquier so: LL = 4p. Oservión.- lgunos utores definen p > 0 onsidern los siguientes sos: = 4p ; = -4p ; = 4p ; = -4p jemplo.- Ls siguientes son práols uos ejes están en el eje de siss: = 4p... () l foo está entones en F(p; 0) en tl so l euión de l diretriz es d: = -p. Si p > 0, l práol se re hi l dereh (Fig. ); si p < 0, l práol se re hi l izquierd (Fig. ). jemplo.- Ls siguientes son práols uos ejes están en el eje de ordends:. Vértie en el origen eje en el eje Si el vértie está en el origen el eje oinide on el eje, l euión de l práol es: = 4p... () 640 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 64
3 .3.B. Form trsldd Cundo el vértie de l práol se ui en V(h; k) su eje es prlelo uno de los ejes oordendos, pueden presentrse los siguientes sos. ) je prlelo l eje : ( - k) = 4p( - h), Foo: F(h; k + p), Diretriz: = h - p ) je prlelo l eje : ( - h) = 4p( - k), Foo: F(h; k + p), Diretriz: = k - p L distni de l diretriz l vértie, l distni de los vérties l foo l longitud del ldo reto son ls misms que ls dds en el ítem nterior L Hipérol.3.3. Definiión Se llm hipérol l lugr geométrio de puntos P de un plno tles que l difereni de sus distnis dos puntos fijos F F del mismo plno es onstnte..3.3b. Construión de l hipérol Pr diujr un rm de hipérol neesitmos un regl de longitud L > FF un hilo que teng un longitud l tl que L l =, siendo l ntidd onstnte. Fijmos un etremo de l regl en el punto F. Un etremo del hilo se fij en D, etremo lire de l regl, el otro en F. Teniendo tenso el hilo lo lrgo de l regl hiendo girr ést lrededor de F, el punto P desriirá un ro de hipérol. Dee oservrse que pr ulquier posiión de P se verifi que: F P + PD = L, FP + PD = l, tl que: F P FP =. Osérvese que el onjunto de puntos onst de dos rms distints, ms infinits. L euión de l práol suele drse medinte l epresión: + B + C + D + = 0, donde, B no son nulos l vez. jemplo.- Tremos el gráfio otengmos ls oordends del vértie el foo, ls euiones del eje de l diretriz, l longitud del ldo reto de l práol: = 0 mpeemos epresndo l euión en l form: ( 3) = -8( + 4) Osérvese que 4p = -8 por lo que l práol se re hi l izquierd. Identifimos el vértie en V(-4; 3), el eje por V es prlelo l eje. Pr situr el foo, nos desplzmos, por el eje desde el vértie hi l izquierd, un distni p =, esto es, hst el punto F(-6; 3). Pr situr l diretriz, nos desplzmos, por el eje desde el vértie hi l dereh, un distni p =, esto es, hst D(-; 3). L diretriz ps por D tiene por euión: + = 0. simismo el ldo reto LL mide: 4p = 8. Por último, medinte los puntos L, L V se puede osquejr l práol tl omo se muestr en l figur djunt..3.3c. lementos de l hipérol C. Foos Son los puntos fijos F F que sirven de primers referenis pr medir ls distnis de un punto P de l hipérol. C. Centro s el punto medio C del segmento FF que une los foos. C3. Vérties Son los puntos V V en los que el segmento FF, que une los foos, ort l hipérol. Ls distnis entre los vérties los foos están relionds por: C4. je trnsverso FP F P = VV l segmento VV determindo sore l ret FF se llm eje trnsverso o rel. C. je onjugdo s el segmento perpendiulr l eje trnsverso que lo interset en el punto medio del segmento VV. Pr designr l eje onjugdo st indir un segmento de longitud BB on l ondiión de que su punto medio C oinid on el punto medio del segmento VV. 64 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 643
4 C6. Cuerd s todo segmento uos dos etremos están sore l hipérol, mos en un mism rm o en distints rms. C7. Cuerd fol s quell uerd uos dos etremos perteneen un mism rm que ps por el foo de l mism rm de l hipérol. C8. Ldo reto Se llm ldo reto de l hipérol l uerd fol LL que es perpendiulr l eje trnsverso. C9. Diretries Son quells rets d d uids entre ls rms de l hipérol respeto de ls ules l rzón de ls distnis de todo punto P ells los foos F F es onstnte. FP F'P PD PD' = onstnte l punto fijo es un foo F o F l ret fij d o d es un diretriz. C0. entriidd Se llm sí l rzón e > de ls distnis medids desde un punto los foos ls diretries. L eentriidd es tmién l rzón que eiste entre ls distnis del entro C l foo F del entro l vértie V de l mism rm. e FP F'P CF PD PD' CV.3.4. uión de l Hipérol.3.4. Form reduid L euión de l hipérol tom su form más reduid o simple undo su entro es el origen su eje trnsverso está sore un eje oordendo.. Centro en el origen eje trnsverso en el eje Si el entro está en el origen el eje trnsverso sore el eje, l euión de l hipérol es:... () prtir de ls ríes udrds de los respetivos denomindores:, se determinn: d) Los foos están sore el eje trnsverso en F (-; 0) F(; 0) e) n el OBV se verifi que:. Centro en el origen eje trnsverso en el eje Si el entro está en el origen el eje trnsverso sore el eje, l euión de l hipérol es:... () Luego de identifir ls ríes udrds de los denomindores se tiene que: ) Los vérties están en V(0; ) V (0; -). ) L longitud del eje trnsverso es V V =. ) Los etremos del eje onjugdo son B (-; 0) B(; 0) su longitud es B B =. d) Los foos están sore el eje trnsverso en F(0; ) F (0; -). e) Y en el OBV se verifi que: Oserviones: ) n mos sos, l longitud del ldo reto es: LL' ) L eentriidd está dd por: e 3) Ls diretries son perpendiulres l eje trnsverso respeto del entro, están uids ls distnis: d e jemplo.- Ls siguientes son hipérols en l que se indin sus dos ejes: ) Los vérties en V(; 0) V (-; 0) ) l eje trnsverso es V V =. ) Los etremos del eje onjugdo son B (0; -) B(0; ) su longitud es B B =. 644 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 64
5 .3.4B. Form trsldd Cundo el entro está en C(h; k) el eje trnsverso es prlelo respetivmente l eje o l eje, l euión de l hipérol tiene un de ls siguientes forms: ) je prlelo l eje : k h k h ) je prlelo l eje : Los ejes trnsverso onjugdo, l distni entre foos, l distni del entro un diretriz, l longitud del ldo reto l eentriidd se determinn omo en el so nterior..3.. síntots de l Hipérol Se llmn sí ls rets que tienen l propiedd de que l distni de un punto de l hipérol un de ells tiende ero undo el punto se lej indefinidmente del entro. L euión de ls síntots son: ) Pr hipérols del tipo (): ) Pr hipérols del tipo (): Fig () Fig () jemplo.- Determinemos el entro, vérties foos; ejes trnsverso onjugdo; ldo reto, l eentriidd ls euiones de ls diretries síntots de l hipérol 3 grfirl. l entro está en C(-3; ). Como está en el término positivo del primer miemro de l euión, se logr estleer que: = 4 = ; luego: = =. 4 l eje trnsverso es prlelo l eje porque l vrile está en el término positivo. Pr situr los vérties se tomn sore el eje trnsverso dos puntos distntes = del entro «C», que son V(-; ) V (-; ). Pr situr los etremos del eje onjugdo se tom en l perpendiulr l eje trnsverso un distni = del entro los puntos B (-3; -4) B(-3; 6). Los ejes trnsverso onjugdo tienen longitudes = 4 = 0, respetivmente. L distni del entro un foo es: 4 9 Pr situr los foos, se tomn sore el eje trnsverso prtir del entro dos puntos distni 9, que son F( ; ) F (-3-9 ; ). L uerd perpendiulr l eje mor por un foo es / =. Ls oordends de sus etremos son ( ; 7/) ( ; -3/) pr l que ps por F, que F es su punto medio; (-3-9 ; 7/) (-3-9 ; -3/) pr l que ps por el foo F. L eentriidd está dd por: e / 9 / L distni del entro un diretriz es / = 4/ 9 = 4 9 /9. Como ls diretries son perpendiulres l eje trnsverso, sus euiones son d: = /9 d : = /9. Si ls hipérols tienen su entro en un punto tl omo C(h; k), l pendiente de ls síntots no min, es deir son omo quí l hemos presentdo. jemplo.- Determinr ls síntots de l hipérol del ejemplo nterior. De l euión de l hipérol: Se puede deduir que = =. prtir de ello se puede plir l fórmul de ls síntots: Pendientes: ±/ = ±/ Luego ls euiones son: = ±/( + 3) s deir: = = Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 647
6 .3.6. Hipérols quiláters Ls hipérols de euiones - = - = uos ejes trnsversos onjugdos tienen igul longitud se llmn hipérols equiláters. Como sus síntots ± = 0 son perpendiulres entre sí, l hipérol equiláter se suele llmr tmién retngulr. 0.- Completr el siguiente udro, notndo en el eje oordendo en donde se ui el eje de l práol, en «F» notr ls oordends de su foo, en «d» esriir l euión de su diretriz en LL notr l longitud de su ldo reto Dds ls euiones de utro práols: : = 0 B : = 0 Práol F d LL' C : 6 3 = 0 D : = 0 Se pide determinr esriir ls oordends del vértie (V) el foo (F), ls euiones del eje (). Práol V F 0.- Dds ls siguientes gráfis de práols, se pide indir ls oordends del foo (F), l longitud del ldo reto (LL ) l euión de l diretriz (d): l so () es el de l hipérol simétri que se le h heho rotr 4º respeto de sus posiiones nteriores. n su euión, el término «k» es un onstnte.. jemplo.- Ls siguientes son hipérols simétris: Del ejeriio nterior se pide vinulr el ldo reto LL de l práol on l euión de su orrespondiente diretriz: Oservión.- Dos hipérols tles que el eje trnsverso de l un es el onjugdo de l otr, omo ls, se llmn hipérols onjugds, se die que d un es onjugd de l otr. Dos hipérols onjugds tienen, pues, el mismo entro ls misms síntots. Sus foos están sore un írulo uo entro es el entro omún de ms hipérols.. d.. 8 i. + = 0. 0 ii. + = 0. 6 iii. = 0 d. 6 iv. 4 = Dds ls siguientes euiones de hipérols:. 9 4 B. 4 C. 9 D Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 649
7 Se pide ompletr el siguiente reudro notndo en el eje oordendo en donde se ui el eje trnsverso, en V V sus vérties, en F F sus foos: V V' F F' 08.- Dds ls hipérols: = = 0 PRÁBOL práol se re hi l izquierd, omo se muestr en l siguiente gráfi: = 0 d = 0 sriir en los reudros ls oordends de sus entros (C), vérties (V V ) foos (F F ). C V V' F F' Pro. 0 Determin l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends. demás se se que ell está situd en el semiplno dereho, es simétri on respeto l eje O su prámetro es p = Del ejeriio nterior vinulr el ldo reto de l hipérol on su orrespondiente eentriidd uid en l olumn de l dereh:. i /3 ii. /4. 9/ iii. d. 4/ iv Del ejeriio nterior, determinr ls euiones de ls diretries d d, sí omo l de sus síntots T T. Hipérol d d' T T' 09.- Del ejeriio nterior se pide vinulr d eje trnsverso (VV ) on su orrespondiente ldo reto (LL ) de l olumn de l dereh:. 4 i. /. 6 ii. /6. 4, iii. 0 d. 4 iv. 8/3 0.- notr l eentriidd de d un de ls hipérols del ejeriio nterior:. e = De l informión que nos dn en el enunido, deduimos que l euión de l práol P tiene l form: = 4p Y omo: p = 3 P: = hor, l gráfi de l práol será omo se muestr en l figur: Pro. 0 Pro. 03 Clul l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends, siendo que l práol es simétri on respeto l eje O, ps por el punto (9; 6) De l informión deduimos que l euión de l práol tiene l form: = 4p Si el punto (9; 6) pertenee l práol P, entones dee stisfer l euión. Luego, reemplzmos ls oordends lulmos el prámetro p, sí: 4p 6 4p 9 p Finlmente, l euión de l práol es: P: = 4. e =. e = d. e = Determin el vlor del prámetro l posiión de práol = -4 on respeto los ejes oordendos. L euión = -4 orresponde un práol de vértie en el origen de oordends uo eje está en el eje, uo prámetro se otiene de: 4p = -4, es deir: p = -. l signo del prámetro (-), nos indi que l Pro. 04 Un le de ero está olgdo por los dos etremos. Los puntos de suspensión están situdos un mism ltur un distni de 0 m. L mgnitud de fleión l distni de m de los puntos de suspensión en sentido horizontl, es igul 4,4 m. Determin l mgnitud de suspensión de este le en su punto medio (l fleh), suponiendo que el le tiene l form de un ro de práol. 60 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 6
8 simismo el vlor del prámetro «p» es: Uniformizmos ls medids epresndo todos los dtos en entímetros. lorndo un figur pr visulizr ls ondiiones del prolem indindo on V el punto medio, se tiene: 4p = 4 p = Por lo tnto se trt de un práol on eje fol prlelo l eje que se re hi l dereh. Con est informión grfimos l práol uimos l posiión de su diretriz por onsiguiente su euión. l le de ero tiene por euión: = 4p Los puntos (000; h) B(800; h - 4,4) perteneen l práol, por lo tnto, deen stisfer l euión: 000 4ph 800 4ph 4, 4 Dividiendo ls dos euiones simplifindo, otenemos: h 6 h 4, 4 h 40m Finlmente, l mgnitud de suspensión (h) de este le en su punto medio es 40 m. Pro. 0 Clul el foo «F» l euión de l diretriz de l práol = 4. Comprmos ls euiones: 4 4p Luego: 4p 4 p 6 Se trt entones de un práol de eje fol en el eje, que se re hi l dereh. hor elormos el gráfio orrespondiente pr esquemtizr l práol: Del gráfio, notmos que ls oordends del foo son: F(p; 0) = F(6; 0) l euión de l diretriz es: = -p. Pro. 06 d: = -6 Determin el rdio fol del punto «M» de l práol =, si l ordend de este punto es igul 6. Sen ( m ; 6) ls oordends del punto «M» que pertenee l práol, luego l reemplzr en l euión =, otenemos M(3; 6). hor, lulmos el prámetro p, sí: 4p = p = 3 Luego, ls oordends del foo de est práol, uo eje fol está en el eje, tiene l form: F(p; 0) = F(3; 0). Finlmente, lulmos el rdio fol FM, sí: FM FM 6 Pro. 07 Determin l euión de l práol, si se d el foo F(-7; 0) l euión de l diretriz - 7 = 0. Si l euión de l diretriz es = 7 ls oordends del foo F(-7; 0), entones se trt de un práol uo eje fol es el eje on vértie en el origen de oordends, riéndose hi l izquierd. n l figur oservmos que el prámetro p = 7, entones l euión de l práol tiene l form: Pro. 08 = -4p P: = -8 Clul l euión de l práol, siendo que su vértie oinide on el punto (; ), el prámetro es igul «p», el eje es prlelo l eje O, l práol se prolong indefinidmente en l direión positiv del eje O (es deir, l práol es sendente). Nos informn que el eje fol es prlelo l eje, de vértie (; ), prámetro «p» se re hi rri, luego se trt de un práol u euión tiene l siguiente form: Reemplzndo dtos: Pro. 09 P: ( h) = 4p( k) P: ( ) = 4p( ) Se d l euión de un práol: = 4 8 lul ls oordends de su vértie «V», l mgnitud del prámetro «p» l euión de l diretriz. Trnsformmos l euión de l práol su form ordinri, sí: 0 4 k 4p h Por omprión ls oordends del vértie «V» son: V(h; k) = V(; 0). Pro. 0 L euión de un práol es = , lul ls oordends de su vértie V l mgnitud del prámetro p. Pr determinr ls oordends del vértie «V» el prámetro «p», trnsformmos l euión dd ompletmos udrdos sí: h 4p k Por omprión otenemos ls oordends del vértie «V», sí tenemos: V(h; k) = V(; 3). hor, pr el prámetro «p», tenemos: Pro. 4p = /4 p = /6 Determin l euión de l práol, si se dn su foo F(7; ) l diretriz - = 0. Se P(; ) un punto ulquier de l práol, pr determinr su euión plimos l de- 6 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 63
9 finiión de práol: «l distni de P l foo F es igul l distni de P l diretriz». Luego del gráfio tenemos: Pr determinr ls oordends del foo «F», strá on determinr ls oordends del punto «D», siendo este punto l interseión de ls rets, diretriz el eje fol. Oserv que, luego otenemos: d F d : 3 0 Pro. 4 Determinr, en los sos siguientes, l posiión reltiv de l ret l práol: si l ort, si es tngente o ps por fuer de ell: - + = 0 ; = 8 hor, pr que l ret se tngente l práol se dee umplir que su disriminnte se igul ero: 4p 4 4pm m 0 m m p 0 Despejndo m se tiene: Luego se umple: PF = PD 7 levndo l udrdo reduiendo result: 7 4 Completndo udrdos, otenemos: 4 6 Como l práol se re hi l izquierd le gregmos el signo ( ) l do miemro: Pro. P: ( ) = -4( 6) Ddo el vértie de un práol V(6; -3) l euión de su diretriz: 3 + = 0, lul el foo de est práol. Nos pomos de l siguiente gráfi: F : 3 0 Ls soluiones de este sistem de euiones son ls oordends del punto «D», esto es: D(; ) = D(3; ) De l figur, etremos el siguiente segmento: donde «V» es punto medio de FD, entones: L oordend del foo es F(9; -8) Pro. 3 Determin los puntos de interseión de l ret = 0 l práol = 4. Pr determinr los puntos de interseión simplemente resolveremos el sistem de euiones: L: = 0 P: = 4 Luego, reemplzmos = 3 en l euión de l práol P, de lo que otenemos: = -6 = 9 = = Los puntos de interseión son: (; ) (-6; 9) Resolvemos el sistem de euiones: 0 8 Luego, reemplzmos = + en = 8 De donde otenemos l euión udráti: hor, nlizndo su disriminnte Si el 0, entones tiene un úni soluión, es deir: = = 4 Luego, el únio punto de interseión es (; 4), por lo tnto l ret L: - + = 0 es tngente l práol P: = 8 Pro. Clul l euión de l tngente l práol = 4p en su punto M ( ; ) L euión de l ret tngente l práol M ; es: que ps por m...() m m m Luego, reemplzmos en: 4p 4p m De lo que se otiene: m presándolo de otro modo, tenemos: m 4p 4p m 0 Pero M ; 4p m...() pertenee l práol 4p por lo tnto dee stisfer l euión: 4p Reemplzndo en (), otenemos: m p Pero: 4p m hor, reemplzndo en (), tenemos: p p Pro. 6 Determin l euión de l ret que es tngente l práol = 6, perpendiulr l ret = 0 Si: L L : m T hor, l euión de l tngente será de l form: L T : k Reemplzndo en T 6 tenemos: 6 k 3 6k 0 Pr que l ret se tngente, entones su disriminnte dee ser ero, sí: 3 46k 0 k 6 Luego, reemplzndo en L T tenemos: L T : = Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 6
10 Pro. 7 Siendo que l euión de l ret tngente un práol p = 4p, está dd por: m, m determin en l práol = 64 el punto M más próimo l ret = 0 lul l distni «d» del punto M est ret. Determinmos l euión de l tngente l práol = 64 prlel l ret = 0 De ests euiones deduimos l pendiente de l tngente el prámetro de l práol: m = - 4/3 p = 6 plindo l propiedd: T : p L m m Luego, reemplzndo dtos se tiene: L : 4 6 T 3 4 L T : Ls oordends del punto M son ls soluiones del sistem de euiones formdo por: L T : P: 64 M ; M9; 4 Luego, l distni d de M L lo lulmos sí: M(9; -4) L: = 0 plindo l propiedd dd pr determinr l uerd de ontto, tenemos: P 0 = (-3; ) P: = 0 4p = 0 p = / Reemplzndo dtos en l euión de l uerd: LC : 3 L : 0 hor lulmos l distni «d» del punto P 0 (-3; ) l uerd de ontto: 3 d Pro. 9 C d 74 3 Demostrr que dos práols que tienen un eje omún un foo omún, situdos entre sus vérties, se ortn formndo un ángulo reto. Grfimos según ondiión del prolem: Pro. 0 HIPÉRBOL Determinr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que sus ejes son = 0 = 8 Si los foos están en el eje, entones se trt de un hipérol uo eje trnsverso, tmién está situdo en el mismo eje tiene por entro el origen de oordends, por lo tnto l euión de est hipérol tiene l form:...(*) Como: = 0 = = 8 = 4 Luego: 4 4 Reemplzndo en (*) otenemos l euión: 6 L gráfi de est hipérol es: resolvemos el sistem de euiones, oteniendo un únio vlor de, es deir: = 0. l reemplzr en: = 3 30 Finlmente los puntos de interseión son: Pro. 0; 30 0; 30 Clulr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás que el eje = 6 l eentriidd e = /4 Como lo hiimos nteriormente, si los foos están en el eje, entones su eje trnsverso tmién está situdo en el mismo eje tiene por entro el origen de oordends. hor, lulmos, siendo que l eentriidd es /4, entones: plindo se tiene: Finlmente, l euión de l hipérol es: d d = Pro. 8 Si se trzn rets tngentes desde un punto P 0 ( 0 ; 0 ) un práol de l form = 4p, l euión de l uerd de ontto está dd por: p 0 0 Desde el punto P 0 (-3; ) se hn trzdo tngentes l práol = 0, lul l distni «d» del punto «P» l uerd de l práol que une los puntos de ontto. Osérvese que el ángulo que formn dos práols en el punto de interseión está definido por el ángulo que formn sus tngentes en este punto. hor, MM es el ldo reto pr ls dos práols, l ul verifi l siguiente propiedd: «L pendiente de l tngente un práol en un etremo del ldo reto siempre es ó -» Pr L T su pendiente m T = - Pr L T su pendiente m T = Y omo m T = m T entones L T L T son perpendiulres, es deir formn un ángulo de 90º. Pro. Determinr los puntos de interseión de l hipérol de l práol = 3. 0 Pr determinr los puntos de interseión de l hipérol l práol de euiones: 0 P : 3 Pro. 3 Clulr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, ls euiones de ls síntots 4 l distni entre los foos = 0. 3 Según dtos del prolem, podemos deduir que se trt de un hipérol de eje trnsverso en el eje de entro en el origen. hor, lulmos,. mpezmos del dto: = 0 = 0 66 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 67
11 Luego, un síntot tiene por euión: 4 m m Y omo semos que l pendiente de l síntot está dd por m = / = 4/3, sumimos: = 4k = 3k hor, plindo se tiene: 0 3k 4k k Reemplzndo otenemos: = 6 = 8 Finlmente l euión de l hipérol es: H: Pro. 4 H: Clulr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás que l distni entre ls diretries es igul 3/ el eje = 6 De los dtos se se que: = 6 = 3 Luego, según dto se se que l distni entre ls diretries es 3/, es deir: (*) Resolviendo l euión: = Reemplzndo vlores en (*): = 4 Finlmente, l euión de l hipérol es: Pro. 6 9 Determinr l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de ordends son simétrios on respeto l origen de oordends. demás, que sus semiejes son = 6; = 8 ( es el semieje situdo en el eje de siss). Si los foos están situdos sore el eje, entones se trt de un hipérol uo eje trnsverso se enuentr en el eje, de entro en el origen de oordends. demás según dto del prolem se se que = 6 = 8, por lo que l euión de l hipérol tiene l form: Pro Dd l hipérol 6-9 = 44, determin: ) Los semiejes. ) L eentriidd. L euión dd, l trnsformmos l form ordinri sí: Se trt de un hipérol uo eje trnsverso se enuentr sore el eje uo entro es el origen de oordends. ) 9 6 Identifindo términos se tiene: ) Se se que: 3 4 L eentriidd «e» está dd por: e Oserv que l eentriidd de un hipérol siempre es mor que (e > ). Pro. 7 Dd l hipérol 6 9 = 44, lulr: ) Los foos. ) Ls euiones de ls diretries. 3 Trnsformmos l euión ordinri: Se trt de un hipérol de entro en el origen de oordends de eje trnsverso en el eje. hor lulmos, : ) Ls oordends de los foos de est hipérol son: F (0; ) F (0; -). ) Ls euiones de ls diretries de est hipérol, tienen l form: Reemplzndo = 4 =, otenemos: Pro. 8 6 Clulr el áre del triángulo formdo por ls síntots de l hipérol: l ret = 0. Un téni pr determinr ls euiones de ls síntots es l siguiente: De:, hemos: l triángulo se determin intersetndo ls tres rets: L : 3 ; L : 3 ; L ' Resolviendo el sistem de euiones otenemos ls oordends de los siguientes vérties: (0; 0), (; 3) (4; -6) l áre (S) del triángulo se otiene lulndo el determinnte de l mtriz: S S = (-) S = u Pro. 9 Se d el punto M(0; ) en l hipérol. Clulr ls euiones de ls rets, en ls ules están los rdios foles del pun to «M». Clulmos ; de l euión dd: L hipérol tiene por entro el origen de oordends su eje trnsverso está en el eje, por lo tnto ls oordends de los foos son F (0; 0) F (-0; 0). Nos piden determinr ls euiones de ls rets que psn por los rdios foles F M F M, lo que hremos por prtes. ) L ret que ps por F (0; 0) M0; - su pendiente no eiste por lo tnto es un ret vertil u euión es L: = 0. ) L ret que ps por F (-0; 0) M0; - tiene por pendiente - /0, luego l euión es: 0 L': 0 0 L' : Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 69
12 Pro. 30 L eentriidd de un hipérol es e = ; el rdio fol de su punto «M» trzdo desde uno de los foos es igul 6. Clul l distni del punto «M» l diretriz, unilterl este foo. plindo l propiedd referid ls distni r d: r e, donde: d(m; F) = 6 e = d Nos piden lulr: d(m; L), por lo que reemplzmos en: r e d, sí: 6/d = d = 8 Pro. 3 L eentriidd de un hipérol es e = 3/; su entro está en el origen de oordends un de sus diretries se d medinte l euión = -8. Clul l distni del punto M de l hipérol, de sis igul 0, l foo orrespondiente l diretriz dd. De uerdo los dtos del prolem, un gráfio proimdo es el siguiente: Nos piden lulr r, plindo l propiedd epuest en l teorí: r e...(*) Semos que: = 0 e = 3/ demás l euión de l diretriz: d' : 8 e Reemplzndo todo lo luldo en (*): r r Por lo tnto l distni del punto «M» de l hipérol, de sis 0, l foo es 7. Pro. 3 Determin los puntos de l hipérol, us distnis l foo dereho son 9 6 igules 7. Se trt de un hipérol de entro en el origen eje trnsverso en el eje. De l euión vmos lulr, hor, lulmos l eentriidd: e 3 Nos piden lulr M M, pr lo ul plimos l propiedd nterior: r e Reemplzndo: r 7, e 3, se tiene: Luego reemplzmos en l euión pr lulr ls oordends: = 6, en: = ± M6; 4 3 M' 6; -4 3 Pro. 33 Clul l euión de l hipérol uos foos están en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, si se dn los puntos M (6; -) M (-8; ) de l hipérol. De uerdo los dtos del prolem, l euión de est hipérol tiene l form: Como M 6; M 8; perteneen l hipérol, entones deen stisfer l euión: Resolviendo el sistem de euiones, otenemos: 3 8 Finlmente l euión de l hipérol es: Pro Determin l eentriidd de l hipérol, si el segmento omprendido entre sus vérties se ve desde los foos de l hipérol onjugd jo un ángulo de 60º. lormos el gráfio orrespondiente, según dtos del prolem: n l figur se reonoe el 30º 60º. Luego se tiene: Pro. 3 F OV notle de e 3 Los foos de un hipérol oiniden on los foos de l elipse. Determin l euión de l hipérol, si su eentriidd es e = 9. De l elipse: 9 ; Luego, los foos de l elipse son F (-4; 0) F (4; 0) que tmién son los foos de l hipérol, por lo tnto: = 4. Pero e =, entones: / = Luego: 4 Si = = 4, entones Luego: 6 4 Finlmente l euión de l hipérol: Pro Demostrr que el áre del prlelogrmo, limit- do por ls síntots de l hipérol ls rets trzds por ulquier de sus puntos 660 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 66
13 prlels ls síntots, es un ntidd onstnte, igul ()/. Grfimos l hipérol, on sus síntots ls rets prlels ests, trzds de un punto P( ; ) ulquier de l hipérol, determinándose el prlelogrmo ORPQ. Si l euión de l hipérol es: Ls euiones de sus síntots son: ' L : L : Luego, hemos que: m = /, entones: ' L : m L : m L ret L P es prlel l ret L. Si tienen l mism pendiente m el punto de pso es P( ; ) entones determinmos su euión sí: L P : = m + - m Hiendo lo mismo, determinmos l euión de L P oteniendo: ' P : L m m hor, vmos determinr ls oordends R (punto de interseión de L P L P ), resolviendo el sistem de euiones de: L ' : m ' L : m m De quí otenemos: P m m m m R ; m m l áre del prlelogrmo ORPQ es dos vees el áre del triángulo ORP, lulemos dih áre: S ORP 0 0 O m m R S m P ORP Q 0 0 Clulndo el determinnte de est mtriz, otenemos: m SORP...(*) 4m Pero P( ; ), por tnto dee stisfer l euión. Luego: Pero: m = / Reemplzmos en (*): S m m ORP 4m SORP 4m 4 / 4 m Finlmente el áre del prlelogrmo es: S ORPQ Pro. 37 S 4 S ORP ORPQ Determinr l euión de l hipérol, si se onoen sus semiejes, sí omo su entro C( 0 ; 0 ) los foos están situdos en un ret prlel l eje O. Si los foos están situdos en un ret prlel l eje, entones el eje trnsverso tmién es prlelo l eje, omo ls oordends del entro son entones l euión es: Pro ; Determin l euión de l hipérol, siendo que l distni entre sus vérties es igul 4 los foos son F (-0; ), F (6; ) Si l distni entre sus vérties es 4, entones: = 4 = Los foos son F (-0; ) F (6; ) entones el punto medio de F F es el entro de l hipérol, es deir: 0 6 h k C ; C 3; C ; Como los foos el entro son olineles, entones el vlor de lo lulmos sí: Luego, lulmos : = 6-3 = 3 3 Finlmente, l euión de l hipérol es: k h 3 44 Pro. 39 Determin l euión de l hipérol si se onoe su eentriidd e = /4, el foo F(; 0) l euión de l diretriz orrespondiente - 6 = 0. De uerdo los dtos, podemos deduir que se trt de un hipérol de eje trnsverso situdo en el eje, de entro en el origen de oordends: F(; 0) = demás, l eentriidd es: Pro. 40 e = / L euión es 6 9 Determin los vlores de «k» pr los que l ret k ort l hipérol Pr que l ret orte l hipérol, resolvemos el sistem de euiones: : L k 9 36 k 9 36 Reduiendo, result: 9 0k 4k (*) Pr que l ret orte l hipérol, es deir se sente, entones se dee umplir que el disriminntes de (*) tiene que ser mor que ero: 0k 4 9 4k 44 0 Reduiendo, result: k > 4, 66 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 663
14 09.- Si l euión = 4 6 determin un práol, lul ls oordends de su vértie, l mgnitud del prámetro p l euión de l diretriz. ) (/3; 0) ; p = 3 ; 6 3 = 0 D) (-3; ) (-6; 9) ) (3; ), l ret es tngente l práol. 4.- Pr qué vlores de l pendiente «k», l ret L: = k + ort l práol = 4? PRÁBOL 0.- Clul l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends, siendo que l práol está situd en el semiplno izquierdo, es simétri on respeto l eje O el módulo de su prámetro es p = 0,. ) = - B) = - C) = -4 D) = -/4 ) = -/ 0.- Identifi l práol u euión es: = ) B) C) D) ) 03.- Clul l euión de l práol uo vértie está en el origen de oordends, siendo demás que l práol es simétri on respeto l eje O ps por el punto C(; ). ) = B) = C) = 4 D) = / ) = Determin l euión de l práol que tiene el foo F(0; -3) ps por el origen de oordends, siendo que su eje sirve de eje O. ) = B) = - C) = -6 D) = 6 ) = 0.- Clulr el rdio fol r del punto M de l práol = 0, si l sis del punto M es igul 7. ) B) C) 8 D) 0 ) 06.- Determin en l práol = 6, los puntos uos rdios foles son igules 3. ) (9; ) (9; -) B) (9; ) (-9; ) C) (9; 6) (9; -6) D) (8; ) (-8; ) ) (; 9) (-; 9) 07.- Clul l euión de l práol, siendo que su vértie oinide on el punto (-3; ), el prámetro es igul 6, el eje es prlelo l eje O l práol se prolong indefinidmente en l direión positiv del eje O. ) ( - ) = ( + 3) B) ( + ) = 6( + 3) C) ( - ) = ( - 3) D) ( + ) = 6( - 3) ) ( ) = 4 ( + 3) 08.- Clul l euión de l práol, siendo que su vértie oinide on el punto (; -), el prámetro es igul 3, el eje es prlelo l eje O l práol se prolong indefinidmente en l direión negtiv del eje O (es deir, l práol es hi jo). ) ( - ) = -( - ) B) ( + ) = 6( - ) C) ( - ) = -( + ) D) ( + ) = -6( + ) ) ( + ) = 6 ( + ) B) (/3; 0) ; p = ; = 0 C) (/3; 0) ; p = 3 ; 6 = 0 D) (/3; 0) ; p = ; = 0 ) (/3; 0) ; p = 3/ ; 6 + = Siendo que = -/6 + 7 determin un práol, lul ls oordends de su vértie l mgnitud del prámetro. ) (6; -) ; p = 3 B) (; 3) ; p = 6 C) (6; ) ; p = 6 D) (; 3) ; p = 3 ) (6; -) ; p = 3/4.- Determin l euión de l práol, si se dn su foo F(4; 3) l diretriz + = 0. ) = -/ + B) = /4 + 6 C) = /8 + 3 D) = /8 + 3 ) = /4 +.- Ddo el vértie de un práol (6; -3) l euión de su diretriz 3 + = 0, lul el ldo reto de est práol. ) 34 B) 34 C) 3 34 D) 4 34 ) Determin los puntos de interseión de l ret = 0 l práol = -9. ) (-4; 6), l ret es tngente l práol. B) (-; ) (3; ) C) (-; 3), l ret es tngente l práol. ) k < / B) k < /3 C) k < /4 D) k < ) k < 3.- Determin l euión de l ret «L» que es tngente l práol = 8 prlel l ret L: + 3 = 0 ) + 4 = 0 B) = 0 C) = 0 D) + + = 0 ) + 4 = Trz un tngente «L» l práol = que result ser prlel l ret L : = 0. Clulr l distni «d» entre est tngente l ret dd. ) 7 B) 3 C) 4 D) 6 ) 7.- Desde el punto (; 9) se hn trzdo tngentes l práol =. Clul l euión de l uerd que une los puntos de ontto. 664 Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 66
15 ) 8 + = 0 B) = 0 C) 8 + = 0 D) = 0 ) 3 + = Determin los puntos de interseión de l elipse de l práol = ) (0; -) (6; ) B) (; ) (4; -) C) (6; ) (6; -) D) (6; 0) (6; -) ) (3; 0) (3; -4) 9.- Cuál de los siguientes puntos no es un punto de interseión de ls dos práols: ) (-; 4) B) (; ) = + ; = 6 + 7? C) ; D) ; ) (; ) 0.- Desde el foo de l práol = se h dirigido un ro de luz hi el eje O, formndo on él un ángulo. Se se que tn = 3/4. l llegr l práol se h reflejdo el ro de ell. Clul l euión de l ret en l que está el ro reflejdo. ) 8 = 0 B) = 0 C) = 0 D) + 8 = 0 ) + = 0 HIPÉRBOL.- Clul l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre los foos = 0 el eje = 8. ) B) C) D) ) 6.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre los foos es = 6 l eentriidd es e = 3/. ) B) 9 4 C) D) 4 ) Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre ls diretries es igul l distni entre los foos = 6. 3 ) B) 44 C) D) ) 4.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre ls diretries es igul 8/3 l eentriidd es e = 3/. ) B) 4 4 C) D) ) 3.- Determin l euión de l hipérol uos foos están situdos en el eje de ordends son simétrios on respeto l origen de oordends, siendo, demás, que l distni entre los foos = 0 l eentriidd es e = /3. ) 6 9 B) 4 C) 6 3 D) 9 6 ) Dd l hipérol 6 9 = 44, lul los foos tmién ls euiones de ls síntots. ) F (; 0) ; F (0; 0) ; = ±3/4 B) F (-; 0) ; F (; 0) ; = ±4/3 C) F (-3; 0) ; F (3; 0) ; = ±/ D) F (-; 0) ; F (; 0) ; = ±/ ) F (-4; 0) ; F (4; 0) ; = ±3/4 7.- Dd l hipérol 6 9 = 44, determin los semiejes, tmién l eentriidd. ) = 6; = 8; e = /4 B) = 4; = 3; e = 4/ C) = 3; = 4; e = /3 D) = 3; = 4; e = /3 ) = ; = ; e = 3/ 8.- Hiendo verifido que el punto M (-; 9/4), determinr los r- está en l hipérol 6 9 dios foles del punto M. ) 4 ; B) 3 ; C) ; 8 3 D) 9 ; ) ; Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 667
16 9.- L eentriidd de un hipérol es e = 3; l distni de un punto «M» de l hipérol l diretriz es igul 4. Clul l distni del punto «M» l foo, unilterl est diretriz. ) B) C) 8 D) 6 ) L eentriidd de un hipérol es e = ; su entro está en el origen de oordends uno de los foos es F(; 0). Clul l distni del punto M de l hipérol, de sis igul 3, l diretriz orrespondiente l foo ddo. ) 6 B) C) D) 3 ) Determin los puntos de l hipérol: us distnis l foo dereho son igules 4,. ) (0; 9/) (0; -9/) B) (6; 4) (6; -4) C) (3; 0/3) (3; -0/3) D) (0; /) (0; -/) 33.- Determin l euión de l hipérol uos foos están en el eje de siss son simétrios on respeto l origen de oordends, si se d el punto M (-; 3) de l hipérol l eentriidd es e. ) - / = 8 B) - = 6 C) - = D) - = 4 ) - = 34.- Clul l eentriidd de un hipérol equiláter. ) B) C) 3 D) / ) 3.- Clul l euión de l hipérol uos foos están en los vérties de l elipse: ls diretries psn por los foos de est elipse. ) B) C) D) ) 37.- Determin l euión de l hipérol, si se onoen sus semiejes, sí omo su entro C(; ) los foos están situdos en un ret prlel l eje O. ) B) C) D) ) 38.- Determin l euión de l hipérol, siendo que los foos son F (3; 4), F (-3; -4) l distni entre ls diretries es igul 3,6. ) B) 44 C) - 44 D) 44 ) Determin los vlores de «m» pr los que l ret m se tngente l hipérol: 9 36 ) m = ±3/ B) m = ±3 C) m = ± D) m = ±, ) m = ±4, ) (; 9/) (; -9/) 3.- Por el foo izquierdo de l hipérol: 44 se h trzdo un perpendiulr l eje que ontiene los vérties. Determin ls distnis de los foos uno de los puntos de interseión de est perpendiulr on l hipérol. ) 0 B) 3 4 C) ) D) ) B) C) D) ) Determin l distni del foo de l hipérol, su síntot. ) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 ) = Determin l euión nóni de l hipérol, si se onoe su eentriidd e = 3/, el foo F(0; 3) l euión de l diretriz orrespondiente 3 44 = 0. 0 B B 0 C 0 8 C 6 B 34 B 03 D 9 7 C 3 04 B D B 0 3 D 9 B D 3 C 3 39 C 08 C 6 B 4 D 3 D Trigonometrí Und. Geometrí nlíti 669
UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE
UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.
Más detallesUNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA
UNIDAD 1 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivos espeífios: 1. Reordrás
Más detallesLa elipse. coordenadas de los vértices, y la longitud del eje mayor que es #+Þ. coordenadas de los extremos del eje menor, cuya longitud es #,Þ
Definiión. L elipse Est Guí tiene..todas...ls respuests MALAS Se llm elipse, l lugr geométrio de los puntos de un plno u sum de distnis dos puntos fijos del mismo plno es onstnte. Los puntos fijos se ostumrn
Más detallesUNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA
UNIDAD LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivo.
Más detallesX. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.
X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos
Más detallesFUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL
FUNCIÓN CUADRÁTICA Y LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA HORIZONTAL El prolem de l práol horizontl Qué relión h entre ls propieddes nlítis de l funión udráti ls propieddes geométris de l práol horizontl? Como
Más detallesB 1. d 1 d 2 B 2 XI.2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
Págin del Colegio de Mtemátis de l ENP-UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos HIPÉRBOLA UNIDAD XI XI.1 DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno,
Más detallesB 1. d 1 d 2 B 2 ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CON CENTRO EN EL ORIGEN
Fultd de Contdurí Administrión. UNAM Hipérol Autor: Dr. José Mnuel Beerr Espinos MATEMÁTICAS BÁSICAS HIPÉRBOLA DEFINICIÓN DE HIPÉRBOLA Un hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles
Más detalles3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola
Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Práol. Elise. Hierol Ojetivos. Se ersigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos de un
Más detalles8. La elipse. 9/ Las cónicas.
9/ Ls ónis. 8. L elipse. Definiión: Ddos dos puntos un distni 2 mor que l distni, se llm elipse de foos prámetro 2, l lugr geométrio de los puntos del plno u sum de distnis es 2. Dee umplirse pues que,
Más detallesMatemática Diseño Industrial Cónicas Ing. Avila Ing. Moll CÓNICAS. Directriz. Generatriz
Mtemáti Diseño Industril Cónis Ing. Avil Ing. Moll CÓNICAS Diretriz Genertriz Un superfiie óni está generd por un ret (genertriz) que se mueve poyándose en un urv fij (diretriz) y que ps por un punto fijo
Más detalles5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO
Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un
Más detallesMATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11
MATEMÁTICAS II Cónis en oordends olres Curso -.- L Lun es el stélite nturl de l Tierr y tiene un órit elíti on el entro de l Tierr en uno de sus foos. Est órit tiene los siguientes dtos: = 800 km, e=0.05.
Más detallesSESIÓN 11 SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I
Mtemátis I SESIÓN SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS I I. CONTENIDOS:. Conepto y representión geométri.. Métodos de soluión: o Igulión o Sustituión. o Reduión (sum y rest). o Determinnte.
Más detallesColegio de Bachilleres Plantel No. 15 Contreras Guía de Estudio para presentar Examen de Evaluación de Recuperación 2015B
Colegio de Bhilleres Plntel No. 5 Contrers Guí de Estudio pr presentr Emen de Evluión de Reuperión 05B Elborr en hojs blns mno solo los ejeriios propuestos, indindo pr d serie l págin de los mismos. Entregr
Más detallesCalcular los parámetros y los vértices de las siguientes hipérbola equilátera: La hipérbola equilátera es aquella cuyos ejes son iguales a = b
Problem relizdo por Elen Abd Felip Enunido: Clulr los prámetros y los vérties de ls siguientes hipérbol equiláter: y = 6 ) Según sus síntots b) Según sus ejes Bses teóris: L hipérbol equiláter es quell
Más detallesPRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA SEPTIEMBRE (RESUELTOS por Antonio Menguiano)
ES CSTELR DJOZ Menguino PRUE DE CCESO (LOGSE) UNVERSDD DE ZRGOZ SEPTEMRE (RESUELTOS por ntonio Menguino) MTEMÁTCS Tiempo máimo: hors Se vlorrá el uso del voulrio l notión ientíi Los errores ortográios,
Más detallesMatemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Dada la siguiente ecuación, identifique la cónica, grafique y encuentre todos sus
Mtemáti ási pr ingenierí (MA05) Clse Práti 4.. Dd l siguiente euión, identifique l óni, grfique enuentre todos sus elementos. 6 9 64 54 6 0 Completndo udrdos: ( ) ( 3) 3 4 Centro= C(; 3) 3 4 Como Entones
Más detallesTRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal
. ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los
Más detallesTriángulos y generalidades
Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro
Más detallesTRIGONOMETRÍA (4º OP. A)
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente
Más detallesDepartamento: Física Aplicada III
Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los
Más detalles22. Trigonometría, parte II
22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Extensión del dominio Se P un punto sore l irunfereni x 2 + 2 =. Est irunfereni tiene rdio entro el origen O(0, 0). Denotmos por
Más detallesUna condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada.
Hoj de Prolems Geometrí III 49. Dd l elipse, si tommos el etremo B de ordend positiv del eje menor omo entro, se desrie un irunfereni de rdio igul diho eje menor, ortr l elipse en dos punto P P. Determinr
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS ELIPSE. B 2B 1 del eje mayor es el eje menor. Cada extremo del eje mayor V 1 y V 2 se llama vértice. El punto DEFINICIÓN DE ELIPSE
Fultd de ontdurí dministrión. UN lipse utor: r. José nuel Beerr spinos TÁTIS BÁSIS LIPS FINIIÓN LIPS Un elipse es el lugr geométrio de todos los puntos P del plno, tles que l sum de sus distnis dos puntos
Más detallesDETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO EN TÉRMINOS DE SUS LADOS HERNAN DARIO ORTIZ ALZATE ESPECIALISTA EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS U de A INTRODUCCIÓN En el desrrollo de l geometrí
Más detallesz b 2 = z b y a + c 2 = y a z b + c
47 ESTUDIO DEL CONO ELIPTICO Not: Lo diujos orrespondientes ls interseiones de este estudio tienen el mismo speto l estudio del ono irulr. Sin emrgo l interseión on plnos prlelos l plno son en este so
Más detallesColegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.
TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos
Más detalles1. Definición de Semejanza. Escalas
Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión
Más detallesXVI Encuentro Departamental de Matemáticas: La innovación en el proceso docente educativo en Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje
XVI Enuentro Deprtmentl de Mtemátis: L innovión en el proeso doente edutivo en Mtemátis prtir de diferentes medios de prendizje y I Enuentro Deprtmentl de GeoGer Netmente intuitivos. Inextitud de los
Más detalles7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales
7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se
Más detallesXI. LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO
XI. LA HIPÉRBOLA 11.1. LA HIPÉRBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definición L hipérol es el lugr geométrico descrito por un punto P que se mueve en el plno de tl modo que el vlor soluto de l diferenci de sus
Más detallesSOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE CORRIENTE CONTINUA -1 er TRIMESTRE-. problemas:11, 12 y 14
R= SOLUCONES DE LOS PROLEMS DE ELECTRCDD DE C.C. SOLUCONES DE LOS EJERCCOS DE CORRENTE CONTNU - er TRMESTRE-. prolems:, y ª ) Soluionremos este prolem por el método generl de nálisis por lzos ásios, omprondo
Más detallesLos triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:
Más detallesm 2 9 8 La fórmula cuadrática que se usó para construir el ejemplo anterior es un caso particular
Funión Cudráti Unidd Conepto Un negoio de deorión, Alfomri Confort, onfeion tpies udrdos que miden entre metros de ldo, on diseños elusivos pedido. Queremos ver que superfiie tiene los tpies. Teniendo
Más detallesLA ELIPSE DEFINICIÓN ELEMENTOS DE LA ELIPSE
1 LA ELIPSE DEFINICIÓN L elipse es el lugr geométrico de todos los puntos P del plno cuy sum de distncis dos puntos fijos, F 1 y F, llmdos focos es un constnte positiv. Es decir: L elipse es l curv cerrd
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
10 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser 10 QUÉ tienes que ser Atividdes Finles 10 Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los
Más detalles7.1 Ecuación en forma común o canónica de la hipérbola. En la gráfica dada a continuación (Fig. 1) es posible encontrar los elementos siguientes:
UNIDAD VII. LA HIPÉRBOLA. DEFINICIÓN: L Hipérol es el onjunto de puntos en el plno u difereni de sus distnis dos puntos fijos en el mismo plno, llmdos foos, es onstnte e igul. 7.1 Euión en form omún o
Más detallesProfesora Jessica Mora Bolaños Décimo año // Liceo San Nicolás de Tolentino Pág. 1 Función
Déimo ño // Lieo Sn Niolás de Tolentino Pág. 1 Funión Ddos dos onjuntos no víos y, se denomin funión de en, l relión o orrespondeni de d elemento del onjunto on un ÚNICO elemento del onjunto. lgunos spetos
Más detallesa vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.
Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l
Más detallesSistemas de Ecuaciones lineales Discusión con parámetros. Discutir el siguiente sistema de ecuaciones lineales según el valor del parámetro a:
ALGEBRA Sistems de Euiones lineles Disusión on prámetros Disutir el siguiente sistem de euiones lineles según el vlor del prámetro : + ( + ) = + = + = Interpretión: Del enunido se dedue que se trt de un
Más detalles10 Figuras planas. Semejanza
Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser? QUÉ tienes que ser? Atividdes Finles Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos.
Más detallesECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO
UNIDAD ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd resolverás ejeriios y prolems que involuren l soluión de euiones de primer grdo y de segundo grdo Ojetivo.
Más detallesSenB. SenC. c SenC = 3.-
TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
nstituto Dr. Jun Segundo Fernández Áre y urso: Mtemáti 4º ño. Profesor: Griel Bejr TRABAJO PRÁCTICO Nº. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Ténis de
Más detallesCónicas y Cuádricas. Tema V. 2 Intersección de una recta y una cónica. 1 Definición y ecuaciones.
Tem V Cpítulo Cónis Álgebr Deprtmento de Métodos Mtemátios de Representión UDC Tem V Cónis Cuádris Cónis En todo este pítulo trbjremos en el plno fín eulídeo E 2 on respeto un refereni retngulr {O; ē,
Más detalles3.1 Circunferencia 3.2 Parábola 3.3 Elipse 3.4 Hiperbola
Moisés Villen Muñoz Cónis. Cirunfereni. Prábol. Elipse. Hiperbol Objetivos. Se persigue que el estudinte: Identifique, grfique determine los elementos de un óni onoiendo su euión generl. Ddo elementos
Más detallesSUPERFICIES-SUPERFICIES CUÁDRICAS CUÁDRICAS SIN CENTRO
: L euión generl es de l form M N Pz donde todos los oefiientes son no nulos M N P Se puede esriir l euión nterior en l form: ± ± on Llmd form nóni de un uádri sin entro. Álger B Fultd de Ingenierí UNMdP
Más detalles1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO.
TEMA 9 Integrl Definid. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. y = f() Un trpeio urvilíneo (o mitilíneo) T es un figur pln omo l que pree en l figur: T O Está limitd por:
Más detallesSECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA
Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio
Más detallesSemejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51
Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y
Más detallesRAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto
Más detallesColegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio
Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o
Más detallesHIPÉRBOLA. Las componentes principales de la hipérbola se pueden obtener de la figura anterior, las cuales son: Focos: Vértices: Pág.
HIPÉRBOLA. Es el conjunto de todos los puntos con l propiedd de que l diferenci de ls distncis de los puntos del conjunto dos puntos fijos ddos es un constnte, positiv y menor que l distnci entre los focos.
Más detallesEn donde x representa la incógnita, y a, b y c son constantes.
FUNCIÓN CUADRÁTICA. Cundo los elementos de un onjunto los elementos de un onjunto se soin medinte un regl de orrespondeni definid por un euión de segundo grdo en, l llmmos funión de segundo grdo o udráti.
Más detallesCAPÍTULO 4: RELACIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS DE CIRCUNFERENCIA (III)
PÍTULO 4: RELIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ROS DE IRUNFERENI (III) Dnte Guerrero-hnduví Piur, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems PÍTULO 4: RELIÓN ENTRE ÁNGULOS Y ROS DE IRUNFERENI
Más detallesGEOMETRÍA DEL ESPACIO
Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll GEOMETRÍA DEL ESPACIO L geometrí pln estudi el onjunto de todos los puntos del plno, l geometrí del espio se refiere l onjunto de puntos del espio, es
Más detallesx x = 0 es una ecuación compatible determinada por que sólo se
Euiones Denominmos euión l iguldd que se stisfe pr uno o más vlores de l(s) vrile(s), o inógnit(s), que interviene en ell. Ejemplos: + 5 + 5 + 6 0 + 0 Denominmos euión lgeri tod euión del tipo: n n n +
Más detallesDETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA
DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0
Más detallesse llama ecuación polinómica de primer grado con una incógnita. Dos ecuaciones son equivalentes cuando admiten el mismo conjunto solución.
Euiones e ineuiones de Primer Grdo on un inógnit Se P () un euión polinómi, on P() un polinomio, resolver l mism es enontrr los eros o ríes de P(), es deir, los vlores de que nuln diho polinomio. X se
Más detallesVisualización de triángulos. Curso de Matemáticas para Física. Trigonometría. Trigonometría. Física I, Internet A b.
Visulizión de triángulos Curso de Mtemátis pr Físi Curso de Mtemátis pr Físi Físi I, vi@ Internet 2004 B A C Físi I, vi@ Internet 2004 Visulizión de triángulos Fijémonos en un triángulo ulquier. Curso
Más detallesTRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan:
TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn:. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml ( 0 ) si su ro entrl orrespondiente,
Más detallesTrabajo Práctico N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA
Fultd Regionl Mendoz. UTN Álger Geometrí Anlíti 13 Trjo Prátio N 9: APLICACIONES A LA GEOMETRÍA Ejeriio 1: Hlle l euión norml generl de l irunfereni que tiene por diámetro el segmento de etremos ( - 1,
Más detallesUnidad didáctica 4. Trigonometría plana
Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y
Más detallesCIRCUNFERENCIA: Definición: Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto llamado Centro y esa distancia es el radio.
Ls cónics responden l ecución generl del tipo F, ) 0 L ecución generl de un cónic es: A B C D E F 0 I) tér min oc cudráti cos tér min os lineles tér min o independiente B término rectngulr, cundo prece
Más detalles1. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES
UNIDAD : Produto etoril y mixto. Apliione.. PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES LIBRES Definiión: El produto etoril de do etore lire y, que e not por, e define omo: - Si 0 ó 0 ó y on proporionle, entone
Más detallesSinopsis. Caracterización de ángulos en su entorno. Se recomienda recurso interactivo. Adobe Edge Animator. Para dibujos: Adobe Illustrator Corel Draw
AN_M_G08_U04_L02_03_04 Se reomiend reurso intertivo Sinopsis Un vtr similr Ninj expli el tem ángulos lternos internos y externos, olterles, orrespondientes y opuestos l vértie. Adoe Edge Animtor Pr diujos:
Más detalles1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.
º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems
Más detallesSECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA
SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.
Más detallesOBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO
OJETIVO 1 lulr l RzÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Más detallesCÓNICAS ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS
ESTUDIO ANALÍTICO DE LAS CÓNICAS Definición: Cónic es el lugr geométrico de los puntos de un plno cu rzón de distncis un punto fijo (que llmremos foco) un rect fij (que llmremos directriz) es constnte.
Más detalles1. Conceptos previos. Traslación gráficas en los ejes de coordenadas
Tem 8. Cónis. Coneptos previos. Trslión gráfis en los ejes de oordends.... L irunfereni... 3.. Definiión euión de l irunfereni... 3.. Euión de l rets tngentes normles l irunfereni.... 6.3 Posiiones reltivs
Más detalles344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:
LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un
Más detallesDefinición: Llamamos triángulo a la figura determinada por la intersección de tres semiplanos.
Mtemáti ª Año ESB Triángulos Cpítulo IV: Triángulos Definiión: Llmmos triángulo l figur determind por l interseión de tres semiplnos. Spl(R;o) Spl(S;o) Spl(T;o)= R Elementos: Vérties :son los puntos de
Más detallesLa hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.
INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.
Más detallesINTEGRALES IMPROPIAS
INTEGRALES IMPROPIAS INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C... 8 4.- Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0 DEFINICION DE INTEGRALES
Más detallesRecuerda lo fundamental
6 L semejnz sus pliiones Reuerd lo fundmentl urso:... Fe:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... sus distnis... Por ejemplo, si ls figurs F F' son semejntes,
Más detallesTrigonometría Ing. Avila Ing. Moll
Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur
Más detallesTRIEDROS. B c C O. A escribimos A. 0 A + B + C 360 Por otro lado una cara ha de ser menor que la suma de las otras dos mayor que su diferencia.
TRIEDRS triedro. TRIEDR tres rists,, y tres seiplnos deliitdos, d uno, por dos rists que llreos rs,,. Teniendo en uent que los plnos,,. Por ser de l rist es de los plnos,. triedro is y ontenids un en d
Más detalles4. Trigonometría II. c) c 2 b 2 a 2 2ba cos C c 11,17 cm a A 61,84. B 38,11 se n B sen C d) A B C 180 A 70 a b 5,32. l 40 sen.
9 ) os 11,17 m se n 61,84 38,11 se n d) 180 70 se n 5,3 se n 10,48 lul un ulquier de ls lturs de los triángulos resueltos en el ejeriio nterior y utilízl después pr lulr su áre. Pr resolver este ejeriio
Más detallesFigura 1. Teoría y prática de vectores
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Fultd Regionl Rosrio UDB Físi Cátedr FÍSICA I VECTORES Mgnitudes eslres vetoriles Ls mgnitudes eslres son quells que quedn determinds dndo un solo número rel, resultdo
Más detallesTEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Más detallesHl = {P = (x, y) 1 d(p, Fl) - d(p, 4) = -2a} 4.2 NOTACION Y PROPIEDADES
4.1 DEFINICION. Un hipérol es el conjunto de todos los puntos del plno euclideno R~ tles que que l diferenci de sus distncis dos puntos fijos es en vlor soluto un constnte. Así, si F, y F, son dos puntos
Más detalles- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna.
9. CIRCUITOS SIMPLES DE CORRIENTE ALTERNA Conoidos los omponentes, hor se prenderá ómo se omportn de form individul l estr onetdos un fuente de limentión de orriente ltern. El onoimiento de l ley de Ohm
Más detallesSISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
Mtemáti Diseño Inustril Coorens en el lno Ing. Avil Ing. Moll SISTEMA DE CRDENADAS EN EL LAN SISTEMA UNIDIMENSINAL Es sio que es posile soir los números reles on los puntos e un ret reípromente. Es lo
Más detallesdeterminante haciendo todos los productos, Tema 8. Determinantes.
Tem. Determinntes.. Definiión de determinntes.. Propieddes de los determinntes.. Cálulo de determinntes de orden myor que (No entr en seletividd).. Rngo de un mtriz.. Mtriz invers... Definiión del determinnte
Más detallesCuestionario Respuestas
Cuestionrio Respuests Copright 2014, MtemtiTu Derehos reservdos 1) Un ineuión o desiguldd on un vrile (inógnit) es un enunido en que se presentn dos epresiones, l menos un on l vrile entre ells uno de
Más detallesTriángulos congruentes
Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors
Más detallesLa Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y
L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.
Más detallesProblemas de trigonometría
Prolems de trigonometrí Reliones trigonométris de un ángulo. Clulr ls rzones trigonométris de un ángulo α, que pertenee l primer udrnte, y siendo que 8 sin α. 7 sin α + os α 8 7 + os α os α 64 5 5 osα
Más detalles2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general)
2.7. POLÍGONO REGULR INSRITO EN UN IRUNFERENI (Método generl) Reuerd: Ddo el rdio del polígono de n ldos (3 m) 1. Diuj un irunfereni de 3 m. de rdio. 2. Trz su diámetro, y divídelo en n prtes igules. 3.
Más detallesTEMA 7: DETERMINANTES
lonso Fernández Glián TEM : DETERMINNTES El determinnte de un mtriz udrd es ierto número que se lul prtir de ell y que ontiene informión signifitiv sore l mtriz.. DETERMINNTES DE ORDEN Y El álulo de determinntes
Más detallesLA RECTA DEL PLANO P O L I T E C N I C O 1 ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS
L Rect del Plno Mtemátic 4º Año Cód. 44-5 P r o f. M r í d e l L u j á n M r t í n e z P r o f. J u n C r l o s B u e P r o f. M i r t R o s i t o P r o f. V e r ó n i c F i l o t t i Dpto. de Mtemátic
Más detallesd) Área del triángulo = mitad de la base por la altura. Área del rectángulo = base por altura.
CAPÍTULO VI 9 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO Conoimientos previos: ) L líne más ort que puede trzrse entre dos puntos, es el segmento de ret que los une. ) El menor segmento que une un punto P on
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr
Más detallesTEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS
Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ].
Más detallesNIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA
ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en
Más detallesTRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno
LSIFIION LOS TRINGULOS. TRINGULOS Los triángulos se lsifin según sus ldos y sus ángulos.. lsifiión de los triángulos según sus ldos.. Triángulo equilátero. s el que tiene sus tres ldos igules Sus tres
Más detallesα A TRIGONOMETRÍA PLANA
TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.
Más detallesEcuaciones Cuadráticas (por lo menos una variable elevada al cuadrado)
Breve Reso de Geometrí en el Plno Euión Linel (tods ls vriles están elevds l 1ª) Ret Euión Generl de l Ret: A B C = 0 = f ( ) Euión Segmentri de l Ret: = 1 Euiones Cudrátis (or lo menos un vrile elevd
Más detalles