Teoremas de convergencia

Transcripción

1 Cpítulo 3 Teorems de convergenci L necesidd de considerr límites de sucesiones o series de funciones es básic en el estudio del nálisis. Por tnto, es nturl preguntrse bjo qué condiciones se tiene que un límite de funciones posee cierts propieddes deseds y cuándo es posible intercmbir el signo de límite por el de integrl. En el estudio de l integrl de Riemnn tenemos el escenrio más restrictivo, y que por ejemplo, el límite f de un sucesión {f n } de funciones Riemnn integrbles no es necesrimente Riemnn integrble. ncluso si el límite fuese Riemnn integrble, su integrl de Riemnn podrí diferir del límite de l sucesión de integrles ([3] p. 233). El intercmbio de operciones lím f n = lím f n, (3.1) n n es posible si l sucesión {f n } converge uniformemente, pero est condición es summente fuerte. Un de ls principles rzones por ls que l integrl de Lebesgue se h convertido en un herrmient centrl e indispensble del nálisis mtemático es por sus teorems de convergenci. L integrl de Lebesgue h remedido eficientemente el problem de segurr l iguldd en (3.1) requiriendo

2 92 Teorems de convergenci hipótesis no tn fuertes. En este cpítulo veremos que ls versiones de dichos teorems pr l integrl de Henstock y Kurzweil tmbién se cumplen. Estbleceremos el Teorem de Convergenci Monóton, el Lem de Ftou, y el Teorem de Convergenci Domind, entre otros resultdos. El Teorem de Convergenci Monóton es un resultdo muy importnte del cul se derivn los restntes. En l primer prueb que exponemos de dicho teorem usmos l definición tipo Drboux con integrles inferiores y superiores que vimos en el Cpítulo 1. Al finl de este cpítulo presentmos tmbién l demostrción que usulmente se expone en ls referencis del tem que se bs en el Lem de Henstock El Teorem de Convergenci Uniforme L condición fmilir que grntiz l integrbilidd de un función límite y el intercmbio en l iguldd (3.1) concerniente l noción de convergenci uniforme se sigue cumpliendo pr l HK-integrl. Definición 3.1. Un sucesión {f k } de funciones reles definids sobre un intervlo cerrdo converge uniformemente sobre un función f si pr cd ǫ > 0 existe N N tl que f k (x) f(x) < ǫ pr todo k N y x. Teorem 3.2. (Convergenci Uniforme) Si l sucesión {f n } HK() converge uniformemente f, entonces f HK() y l iguldd (3.1) se verific. Demostrción. Primero probremos que { f n} es un sucesión de Cuchy. Ddo ǫ > 0, por definición de convergenci uniforme de l sucesión {f n }, existe N N tl que si h,k N y x entonces f k (x) f h (x) < 2ǫ. Por l monotoní y l linelidd de l integrl, tenemos que f k f h 2ǫl().

3 3.2 El Teorem de Convergenci Monóton 93 Como ǫ > 0 es rbitrrio, l sucesión { f n} es de Cuchy y por lo tnto converge un número rel A R. Ahor mostrremos que f HK() y que A es su integrl. Se ǫ > 0 y N como rrib. Se k N fijo tl que f k A < ǫ. Ahor, se β un cubiert de Cousin de l definición de integrbilidd de f k, de mner que S π (f k ) f k < ǫ siempre que π β. Además, pr l mism k N y un prtición π β tenemos que por l convergenci uniforme que Entonces, S π (f) S π (f k ) = [f(x) f k (x)]l() (,x) π f(x) f k (x) l() (,x) π (,x) π ǫl(). S π (f) A S π (f) S π (f k ) + S π (f k ) f k + f k A < ǫ(l() + 2) pr tod π β. Por lo tnto f HK() y f = A = lím n f n El Teorem de Convergenci Monóton En muchs ocsiones l condición de convergenci uniforme es muy fuerte. El teorem que presentmos en est sección requiere de hipótesis que en l práctic son más fáciles de verificr. Desemos estbler l siguiente iguldd b ( ) f n (x) dx = ( b ) f n (x)dx. (3.2)

4 94 Teorems de convergenci L integrl de Henstock-Kurzweil, similrmente l de Lebesgue, permite este intercmbio pr funciones no-negtivs. Pr su prueb, descomponemos el resultdo en un pr de lems. Lem 3.3. Supongmos que f y f n (n = 1, 2,...) son funciones no-negtivs sobre un intervlo [,b]. Si pr cd x [,b], entonces b f(x) f(x)dx f n (x) ( ) b f n (x)dx. (3.3) Demostrción: Se t < 1 y ǫ > 0. Pr x [,b], se N(x) el primer entero tl que stisfce l propiedd tf(x) N(x) f n (x). (3.4) Podemos escoger cubierts de Cousin β n (n = 1, 2,...) de [,b] nidds de l form β 1 β 2 β 3, tles que S π (f n ) b f n (x)dx + ǫ 2 n (3.5) pr culquier prtición π β n. Si pr lgun n l integrl superior de f n diverge, entonces y hemos termindo y que l prte derech de (3.3) será infinit. Entonces supongmos que cd integrl superior b f n es finit. Definmos, pr cd n, el conjunto E n como sigue E n = {x [,b] : N(x) = n}. De cd cubiert β n extremos ls prejs que tienen como etiquet los vlores x E n, formndo β n [E n ] = {(,x) β n : x E n }.

5 3.2 El Teorem de Convergenci Monóton 95 Note que el conjunto β = β n[e n ] form directmente un cubiert de Cousin de [,b]. Por el Lem de Cousin, podemos escoger un prtición π β. Se N el máximo de los vlores N(x) pr l colección finit de pres (,x) π y definmos π j = {(,x) π : x E j } y σ j = π j π j+1 π N pr cd j = 1, 2,...,N. Note que π = σ 1. Si m > n, entonces culquier prtición π β m es prtición en β n. Por tnto se tiene que σ j β j. Pr visulizr mejor un cálculo que usremos enseguid, mostrmos el siguente rreglo S π1 (f 1 ) S π2 (f 1 ) S π3 (f 1 ) S π4 (f 1 ) S πn (f 1 ) S π2 (f 2 ) S π3 (f 2 ) S π4 (f 2 ) S πn (f 2 ) S π3 (f 3 ) S π4 (f 3 ) S πn (f 3 ).... S πn (f N ) Con bse en el rreglo, tenemos l siguiente iguldd N S πi (f 1 + f f i ) = N S σj (f j ). j=1 L prte izquierd se obtiene sumndo ls columns, mientrs que l prte derech sumndo los renglones. Finlmente, usndo el hecho de que tf(x) f 1 (x) + f 2 (x) + + f i (x) x E i

6 96 Teorems de convergenci y l desiguldd (3.5), tenemos que S π (tf) = = N N S πi (tf) S πi (f 1 + f f i ) N S σj (f j ) j=1 b j=1 ( N ) b f j (x)dx + ǫ2 j j=1 f j (x)dx + ǫ. Hemos obtenido un cot superior pr tods ls sums S π (tf), es decir, pr culquier prtición π β. Como demás ǫ > 0 es rbitrrio, entonces b tf(x)dx sup π β S π (tf) b j=1 f j (x)dx. sigue. Ddo que esto último es cierto pr culquier t < 1, entonces (3.3) se Lem 3.4. Supongmos que f y f n (n = 1, 2,...) son funciones no negtivs sobre un intervlo [,b]. Si f(x) pr cd x [,b], entonces b f(x)dx f n (x) ( ) b f n (x)dx. (3.6) Demostrción. Pr demostrr l prte (3.6), usremos l propiedd que vimos en l Sección 1.4 de que l interesección finit de cubierts de Cousin es tmbién un cubiert de Cousin.

7 3.2 El Teorem de Convergenci Monóton 97 Se ǫ > 0. Fijemos N N. Como ntes, podemos escoger cubierts de Cousin β n de [,b] nidds β 1 β 2 β N, tles que S π (f n ) b f n (x)dx ǫ N pr culquier prtición π β n. Definmos β = N β n, l cul es un cubiert de Cousin de [,b]. Considere un prtición π β. Culquier prtición en β es prtición en β n, pr n N. Ddo que f(x) N f n(x), tenemos que ( N N ) b S π (f) S π (f n ) f n (x)dx ǫ. Hemos obtenido un cot inferior pr tods ls prticiones π β. Por tnto tenemos que b f(x)dx ínf π β S π(f) ( N ) b f n (x)dx ǫ. Como demás N fue tomd rbitrrimente grnde y ǫ > 0 es rbitrrio, entonces b f(x)dx ( ) b f n (x)dx. Teorem 3.5. (Smithee, [14]) Se {f n } un sucesión de funciones no-negtivs HK-integrbles sobre = [,b]. Si pr cd x [,b] y f(x) = ( f n (x) f n ) <, entonces f es HK-integrble sobre y su integrl está dd por ( ) f(x)dx = f n (x)dx. (3.7)

8 98 Teorems de convergenci Demostrción. Por los lems nteriores y por l definición de integrl inferior y superior, l siguiente cden de desigulddes se cumple: ( ) ( ) f n f f f f n. Y que ls funciones f n HK(), los extremos son igules f n <. Por lo tnto f HK() con integrl dd por (3.7). Consideremos l descomposición de f en sus prtes positiv y negtiv, f + y f respectivmente, que se definen como sigue: f + := mx{f, 0} y f := min{ f, 0}. Si f L() entonces ls funciones f + y f son HK-integrbles. Esto se sigue de ls identiddes f + = 1 2 (f + f ) y f = 1 ( f f) (3.8) 2 y de l linelidd de l integrl. Ddo que f +,f 0, ésts pertenecen l clse L(). En el siguiente corolrio veremos un resultdo que involucr funciones en l clse L(). Corolrio 3.6. Se {f n } un sucesión en L() y supongmos que l serie f n converge. Entonces l sum f n converge, es integrble y f n = f n. Demostrción. De ls identiddes en l ecución (3.8) se pueden obtener fácilmente ls siguientes: f = f + f y f = f + + f. (3.9)

9 3.2 El Teorem de Convergenci Monóton 99 Ahor bien, note que f + n + f n = (f n + + fn ) = Entonces ls series f+ n y f n convergen. f n <. Si definimos ls funciones g(x) = f+ n (x) y h(x) = f n (x), ddo que f + n y f n son no-negtivs y HK-integrbles pr cd n, entonces el teorem nterior segur que g y h son integrbles y que stisfcen g = f n + y h = Luego tomemos f := g h, obteniendo f = (f+ n f n ) = f n convergente e integrble. Finlmente, concluimos que f = g h = ( f n + fn ) = f n. f n. Teorem 3.7. (Convergenci Monóton) Se {f n } un sucesión monóton en HK() y se f(x) = lím n f n (x) pr tod x. Entonces f HK() si y sólo si l sucesión { f n} es cotd. En este cso, f = lím f n. (3.10) n Demostrción. Supongmos que l sucesión {f n } es creciente. En cso contrrio, el resultdo se obtiene considerndo { f n }. ( ) Supongmos que f HK(). Ddo que f 1 (x) f k (x) f(x) pr tod k, l monotoní de l integrl implic que < f 1 f k f <. Entonces, efectivmente l sucesión de integrles está cotd.

10 100 Teorems de convergenci ( ) Supongmos hor que { f n} está cotd, entonces el límite existe. Considere l siguiente identidd f(x) = f 1 (x) + (f k (x) f k 1 (x)). k=2 Como el término (f k (x) f k 1 (x)) 0 pr tod k y pr tod x y demás por hipótesis (f k f k 1 ) <, k=2 puede plicrse el Teorem 3.5. Por tnto f f 1 es HK-integrble sobre y n (f f 1 ) = lím (f k f k 1 ) = lím f n f 1. n n k=2 De lo nterior concluimos que f HK() y su integrl está dd por f = lím f n. n Observción: Como probremos más delnte en este cpítulo, si se modific un función integrble sobre un conjunto nulo E no se fect ni l existenci ni el vlor de l integrl. Entonces podemos suponer que l sucesión en el teorem nterior es monóton pr tod x excepto en E y el teorem se sigue verificndo. Ejemplo 3.8. Se G = i un bierto contenido en un intervlo cerrdo [,b], donde los intervlos i son disjuntos. Si tommos f n := 1 Gn donde G n = n i, entonces l sucesión {f n } es creciente, converge puntulmente l función f = 1 G, y { b f n} está cotd por (b ). Por lo tnto se stisfcen ls condiciones del Teorem 3.7 obteniendo como resultdo que l función f = 1 G es HK-integrble sobre [,b], y por el Corolrio 1.45 tenemos b 1 G = lím n b 1 Gn = lím n n l( i ) = l( i ).

11 3.3 El Lem de Ftou El Lem de Ftou Este resultdo es muy útil cundo l sucesión de funciones no es necesrimente monóton. Tnto en l prueb del Lem de Ftou como en l del Teorem de Convergenci Domind que veremos en l siguiente sección, hcemos uso de l noción de límite inferior y límite superior de un sucesión. Enunciremos l definición y lgunos resultdos que utilizremos sin demostrción. Definición 3.9. Se {x n } un sucesión en R y se p n := sup m n {x m }. Definimos el límite superior de {x n } como lím supx n = ínf n p n = lím n p n. Similrmente el límite inferior se define como el supremo (o el límite) de l sucesión {q n }, donde q n := ínf m n {x m }. Si l sucesión {x n } es cotd, entonces tnto l sucesión de supremos {p n } como l sucesión de ínfimos {q n } son cotds. Además {p n } es decreciente y {q n } es creciente, por tnto mbs convergen. Es posible que los límites inferior y superior diverjn cundo l sucesión {x n } no es cotd. Proposición Sen {x n } y {y n } sucesiones de reles. Entonces ) lím inf x n lím supx n. b) Si c 0 y d 0, entonces lím inf(c x n ) = c lím inf x n, lím sup(c x n ) = c lím supx n, lím inf(dx n ) = d lím supx n, lím sup(dx n ) = d lím inf x n. c) lím inf x n + lím inf y n lím inf(x n + y n ).

12 102 Teorems de convergenci d) lím sup(x n + y n ) lím supx n + lím supy n. e) Si x n y n pr cd n, entonces lím inf x n lím inf y n, lím supx n lím supy n. f) L sucesión {x n } converge si y sólo si lím inf x n = lím supx n. En ese cso límx n = lím inf x n = lím supx n. Lem Se {f n } un sucesión en HK() y α HK() tl que α(x) f n (x) pr cd x y n N. Entonces ínf n f n es HK-integrble sobre. Demostrción. Como {f n } está cotd inferiormente por l función α, es clro que el ínfimo ínf n f n existe. Ahor, pr cd k N hcemos g k := Min{f 1,f 2,...,f k }. Como α f k pr cd k, el Corolrio 2.23 b) implic que g k HK(). Además, l sucesión {g n } es decreciente y ls integrles g k están cotds inferiormente por α. Por lo tnto, concluimos por el Teorem 3.7 que lím n g n es HK-integrble sobre. Por como construimos {g n } es clro que ínf n f n = lím n g n. Teorem (Lem de Ftou) Se {f n } un sucesión en HK() y α HK() tl que α(x) f n (x) pr cd x y n N y supongmos que lím inf f k <. (3.11) Entonces lím inf n f n está en HK() y lím inf f n lím inf f n. (3.12)

13 3.3 El Lem de Ftou 103 Demostrción. Se q n := ínf{f m : m n}. L sucesión es creciente y por el lem nterior, ls funciones q n son HK-integrbles sobre. Ddo que α q n f n, por l monotoní de l integrl y l propiedd e) en l Proposición 3.10 tenemos lím inf q n lím inf f n. (3.13) Si l sucesión { q n} no es convergente, es decir, si lím n q n diverge, entonces l prte izquierd en l ecución (3.12) diverge y por consecuenci tmbién l prte derech, lo que contrdice l hipótesis en l ecución (3.11). Entonces, { q n} converge y por tnto es cotd. Luego, el Teorem de Convergenci Monóton segur que q = lím n q n = lím inf f n está en HK() y lím inf f n = lím q n = lím q n. (3.14) n n Finlmente, combinndo ls últims dos ecuciones y l propiedd f) en l Proposición 3.10, l ecución (3.12) se verific. A continución ofrecemos dos ejemplos ilustrndo que no podemos prescindir de l existenci de l función α y de l ecución (3.11) en el Teorem Ejemplo Se = [0, 1] y pr cd n N definmos f n sobre como f n (x) = n1 (0,1/n] (x). L sucesión converge puntulmente l función nul. Entonces, l prte izquierd en l ecución (3.12) es 0. Por el Corolrio 1.45, cd f n es HK-integrble sobre y su integrl es el vlor f n = 1. Luego, l prte derech en l ecución (3.12) tom el vlor -1. El problem es que l función f n tom el vlor n en el intervlo (0, 1/n], de mner que no existe un cot inferior pr l sucesión {f n }.

14 104 Teorems de convergenci Ejemplo Se = [0, 1] y pr cd n N definmos f n sobre como f n (x) = 1 x 21 (1/n,1)(x). L sucesión está cotd inferiormente por l función nul y converge l función f(x) = 1/x 2 pr x (0, 1] y f(0) = 0. Además 1 0 f n = 1 1/n 1 x 2 = 1 + n por lo que l sucesión de integrles { f n} diverge y por lo tnto l condición en l ecución (3.11) no se cumple. Ahor mostrremos que l función límite f no es HK-integrble sobre [0, 1]. Pr ello, usremos el Lem Definmos pr cd n N l función g n (x) = n 2 1 (0,1/n) (x). Cd g n es HK-integrble sobre y su integrl es 1 g n = 0 1/n 0 n 2 = n. Como 0 g n (x) f(x) pr cd x y n N, el Lem 1.49 se verific y concluimos que f / KH(). Como un corolrio l Lem de Ftou presentmos l versión dul, l cul usremos en l prueb del Teorem de Convergenci Domind. Corolrio (Dul del Lem de Ftou) Se {f n } un sucesión en HK() y β HK() tl que f n (x) β(x) pr cd x y n N y supongmos que < lím sup f k. (3.15) Entonces lím sup n f n está en HK() y lím sup f n lím supf n. (3.16) Demostrción. L prueb se sigue de considerr l sucesión { f n }, el Lem de Ftou y ls propieddes de límite inferior y superior en l Proposición 3.10 prte b).

15 3.4 El Teorem de Convergenci Domind El Teorem de Convergenci Domind Teorem (Convergenci Domind) Se {f n } un sucesión en HK() con f(x) = lím n f n (x) pr cd x, y α,β HK() tles que α(x) f n (x) β(x) pr cd x y n N. Entonces f es HK-integrble sobre y se verific l iguldd f = lím f n. n Demostrción. Ddo que l sucesión de integrles { f n} está cotd por α f n β, n N, entonces lím inf f n < y lím sup f n >, de donde plicndo el Lem de Ftou y su dul obtenemos respectivmente f lím inf f n y lím sup Entonces, l Proposicion 3.10 ) implic que lím inf f n = lím sup f n = f n Finlmente, por l Proposición 3.10 f) concluimos que f = lím f n. n Observción Es fácil ver que si lgun de ls funciones f n,α,β en el teorem nterior es bsolutmente integrble, entonces l función límite f tmbién lo es. Primermente, un función g HK-integrble está en L() si y sólo existe α HK-integrble en L() tl que α g, o si y sólo si existe β HK-integrble en L() tl que g β. L condición de necesidd es trivil en mbos csos. Pr l condición de suficienci bst tomr g := (g α) + α y g := β (β g), respectivmente. f. f.

16 106 Teorems de convergenci Corolrio Con ls hipótesis del Teorem 3.16, si lgun de ls funciones f n,α,β pertenece l clse L() entonces l función límite f = lím n f n tmbién pertenece L(). Demostrción. Clrmente f HK(). Como cd f n HK() entonces tmbién f f n HK(). Ddo que tmbién β(x) f n (x) α(x), entonces (β α) f f n β α. De quí obtenemos f f n β α. El Criterio de comprción, Proposición 2.20, implic que f f n L(). De este modo, si lgun f n es bsolutmente integrble sobre entonces tmbién lo es f. Por otro ldo, si tommos el límite cundo n en l desiguldd α f n β, obtenemos α f β. Así, si α o β es bsolutmente integrble, por lo discutido nteriormente f tmbién lo es. En l Proposición 2.7 vimos que un serie convergente define un función HK-integrble. A continución, veremos un ejemplo de un sucesión de funciones HK-integrbles pero que no son bsolutmente integrbles, pr l cul se verificn ls hipótesis de los Teorems de Convergenci Uniforme, Monóton y Domind. Ejemplo Considere l serie k=1 ( 1)k+1 /k. Se puede probr que est serie converge (Ver [3] p. 92). Clrmente, l serie no converge bsolutmente y que k=1 1/k diverge. Definmos l función h : [0, 1] R por 2 k ( 1) k+1 /k x [c k 1,c k ), k N h(x) := 0 x = 1, donde c k = 1 1/2 k, k = 0, 1, 2,... Entonces, por l Proposición 2.7 tenemos que h HK([0, 1]). Por l Observción 2.8, sbemos que h / HK([0, 1]) (Ver Figur 3.1).

17 3.4 El Teorem de Convergenci Domind 107 (15/16, 4) (7/8, 4) (3/4, 8/3) (0, 2) (1/2, 2) Figur 3.1: Gráfic de h. 1 Pr cd n N, definmos l función h n : [0, 1] R como h n (x) := h(x) + 1/n, pr cd x [0, 1]. Por l linelidd de l integrl, h n HK([0, 1]) pr cd n = 1, 2,... Es fácil probr que h n no es bsolutmente integrble. Si suponemos lo contrrio y considermos h + 1/n = h n, tendrímos por el criterio 2.20 que h+1/n es bsolutmente integrble y por tnto que h lo es, lo cul es un contrdicción. ) L sucesión {h n } converge uniformemente h. Note que h n (x) h(x) = 1/n, x [0, 1]. Por tnto, el Teorem 3.2 implic que l iguldd en (3.1) se cumple. b) L sucesión h n (x) h(x) pr cd x [0, 1] y por tnto el Teorem 3.7 se cumple.

18 108 Teorems de convergenci c) Pr cd n, note que h(x) h n (x) h(x) + 1. Por tnto, el Teorem 3.16 tmbién se cumple. Observción Note que ls funciones h n no son cotds, por tnto ningun de ls funciones h n es Riemnn integrble. Tmbién, como y dvertimos, ningun de ls funciones h n es bsolutmente integrble, sí que ninguno de los teorems nteriores se verific cundo nos restringimos l clse L([0, 1]) Prueb lterntiv del Teorem de Convergenci Monóton usndo el Lem de Henstock Proposición (Teorem de Convergenci Monóton ) Se = [,b] y {f n } un sucesión monóton en HK(). Se f(x) = lím n f n (x). Entonces f HK() si y sólo si l sucesión { f n} es cotd. Demostrción. ( ) gul que en l prueb del Teorem 3.7. ( ) Supongmos que { f n} es cotd, entonces A = sup{ f n : n N} existe. Se ǫ > 0. Se r N suficientemente grnde tl que 1/2 r 1 < ǫ y 0 A f r < ǫ. (3.17) Como f(x) = lím n f n (x) pr cd x, entonces podemos escoger un entero k(x) r tl que f k(x) (x) f(x) < ǫ b. (3.18)

19 3.5 Prueb lterntiv del Teorem de Convergenci Monóton usndo el Lem de Henstock 109 Además, como f n HK(), entonces pr cd n N existe un cubiert de Cousin β n tl que S π(f n ) f n < 1 2 n, π β n. (3.19) Ahor definimos un cubiert de Cousin β de como sigue β = {(,x) : (,x) β k(x) }. (3.20) Note que est β depende de ǫ > 0. Ahor, se π = {( i,x i )} n es prtición contenid en β. Entonces n n S π (f) A f(x i )l( i ) f k(xi )(x i )l( i ) (3.21) n n + f k(xi )(x i )l( i ) f k(xi ) (3.22) n + f k(xi ) A. (3.23) Por (3.18), el término en (3.21) es cotdo por n n ǫ f(x i ) f k(xi )(x i ) l( i ) < b l( i) = ǫ. Ahor desemos cotr el término en (3.22). Se s definid como s := mx{k(x i ) : i = 1, 2,...,n} r. Considere l subprtición π p := {( i,x i ) π : k(x i ) = p}, p = r,...,s. Usndo (3.19) y el Lem de Henstock concluimos que s f s k(x i )(x i )l( i ) 1 2 < 1 1 p 2 r 2 = 1 < ǫ. k 2r 1 p=r k(x i )=p i f k(xi ) Finlmente cotremos (3.23). Como f r f k(xi ) f s pr cd i = 1, 2,...,n, entonces l monotoní de l integrl implic que f r i f k(xi ) i f s. i p=r k=0

20 110 Teorems de convergenci Luego summos ls integrles sobre cd subintervlo i obteniendo f r n f k(xi ) Entonces por (3.18) concluimos que A ǫ < n f k(x i ) A, por lo que (3.23) está domind por ǫ > 0. f s. Por lo tnto S π (f) A 3ǫ, y como ǫ > 0 es rbitrrio, el teorem está completo.