Sucesiones y series de Funciones

Transcripción

1 Sucesioes y series de Fucioes U sucesió de fucioes es u plicció que cd úmero turl hce correspoder u fució f. Supodremos e lo que sigue que ls fucioes f so fucioes reles defiids e u itervlo I. Usremos el símbolo { f } pr represetr l sucesió de fucioes dd por f, pr todo N. Ejemplos Se { f } l sucesió de fucioes defiid por: f : R R, f (x) = x2 1 + x 2 x R f : R R, f (x) = x f : R R, f : R R, f (x) = x(1 x) f (x) = 1 + x + x2 2 + x3 x + + 3!! Covergeci putul Ddo x I se dice que l sucesió de fucioes { f } coverge putulmete e x, si l sucesió de úmeros reles { f (x)} es covergete. El cojuto C de todos los putos x I e los que l sucesió de fucioes { f } coverge putulmete, se llm cmpo de covergeci putul. Simbólicmete: C = {x I : { f (x)} coverge} Supuesto que C Ø, l fució f : C R defiid por: f (x) = lím { f (x)} se llm fució límite putul de l sucesió { f }. Pr eteder l defiició de covergeci putul y e geerl e todo este cpítulo, es muy importte o cofudir l sucesió de fucioes { f } co l sucesió de úmeros reles { f (x)} obteid evludo ls fucioes de dich sucesió e u úmero x I. Tmpoco debes olvidr que e u sucesió l vrible es siempre N y uc x I. Así, l sucesió { f (x)} es l plicció que cd úmero turl N (l vrible) le sig el úmero rel f (x) dode x está fijo. Ejemplo 1 Se l sucesió de fucioes { f } defiid por: f : [0,1] R f (x) = x(1 x) Deprtmeto de Aálisis Mtemático 1

2 Sucesioes y series de fucioes 2 Observ que si x = 0 o x = 1, l sucesió { f (0)} = { f (1)} = {0} es, evidetemete, covergete 0. Si 0 < x < 1 etoces 0 < 1 x < 1 y se verific que { f (x)} 0 porque es u sucesió de l form { p λ } dode λ < 1. Deducimos que el cmpo de covergeci putul de est sucesió es el cojuto C = [0,1] y l fució límite putul es l fució idéticmete ul, f (x) = 0 pr todo x [0,1]. Observ ls gráfics de ls primers seis fucioes de est sucesió Fíjte cómo por el extremo derecho del itervlo ls gráfics se v pegdo l eje de bsciss pero su comportmieto es muy diferete e el extremo izquierdo. Ello es sí porque cudo 1 x es pequeño (es decir, x está cerc de 1) l sucesió { f (x)} coverge muy rápidmete cero, pero cudo 1 x está próximo 1 (es decir, x está cerc de 0) l sucesió { f (x)} coverge letmete cero. Observ ls gráfics de ls fucioes f 10 y f Te prece que l fució f 20 está muy próxim l fució límite putul f 0? Observ que, uque pr cd x [0,1] es f (x) = lím { f (x)} = 0, l fució f o se cerc mucho l fució límite putul f 0. Pr evitr mbigüeddes ecesitmos precisr qué etedemos por proximidd etre dos fucioes. Pr ello, cosider dos fucioes f,g: I R. Dichs fucioes so igules cudo f (x) = g(x) pr todo x I o, lo que es igul, cudo máx{ f (x) g(x) : x I} = 0. E geerl, el úmero máx{ f (x) g(x) : x I} proporcio u bue ide de l proximidd etre ls fucioes f y g pues dicho úmero es tto más pequeño cuto más cercs esté ls gráfics de ls dos fucioes. Deprtmeto de Aálisis Mtemático

3 Sucesioes y series de fucioes 3 Volviedo l ejemplo terior, co f (x) = x(1 x) y f 0, podemos clculr fácilmete el úmero máx{ f (x) f (x) : x [0,1]} = máx{ f (x) : x [0,1]}. Bst derivr f pr comprobr que l fució f lcz su máximo bsoluto e el itervlo [0,1] e el puto x = Luego ( ) +1 máx{ f (x) : x [0,1]} = f (x ) = + 1 y l sucesió {( +1 } +1) coverge 1/e. Fíjte e que lím { f (x)} = 0 pero lím máx{ f (x) : x [0,1]} = 1/e > 0, es decir, ls fucioes f o se proxim l fució ul. De hecho, como l sucesió {( +1) +1 } es creciete, cuto myor se myor es l distci etre l fució f y l fució ul. Observ cómo so ls gráfics de ls fucioes f cerc de cero pr = 100,120,140,160,180, Ejemplo 2 Se l sucesió de fucioes { f }, dode f : R R es l fució dd por f (x) = x2 1 + x 2 Es clro que si x < 1 se tiee que { f (x)} 0, y si x > 1 se tiee que { f (x)} 1. Pr x = ±1 es { f (±1)} = {1/2} que, evidetemete, coverge 1/2. Por tto, el cmpo de covergeci putul de { f } es C = R, y l fució límite putul está defiid por 1 si x > 1 f (x) = lím { f (x)} = 1/2 si x = 1 0 si x < 1 Aquí ocurre que l fució límite putul es discotiu (tiee discotiuiddes de slto e -1 y e 1) pesr de que ls fucioes de l sucesió so cotius. Observ ls gráfics de ls primero cico fucioes de l sucesió Deprtmeto de Aálisis Mtemático

4 Sucesioes y series de fucioes 4 Teemos que (1 + 1/2)2 e máx{ f (x) f (x) : x R} f (1+1/2) f (1+1/2) = (1 + 1/2) e = e Por tto, l distci etre l fució f y l fució límite putul, f, o coverge cero. Este ejemplo y el terior poe de mifiesto que l covergeci putul de { f } f o proporcio u bue ide de l proximció etre ls fucioes f y f. Además ls propieddes de cotiuidd de ls fucioes f puede o coservrse pr l fució límite putul. Esto llev defiir u tipo de covergeci mejor que l covergeci putul. Covergeci Uiforme Se J u itervlo o vcío coteido e el cmpo de covergeci putul de l sucesió { f }. Y se f l fució límite putul de { f }. Se dice que { f } coverge uiformemete f e J si pr todo ε > 0 existe 0 N (que depederá de ε) tl que pr todo 0 se verific que sup{ f (x) f (x) : x J} ε. Pr compreder bie est defiició, licemos l últim desiguldd. Teemos que: sup{ f (x) f (x) : x J} ε f (x) f (x) ε x J ε f (x) f (x) ε x J f (x) ε f (x) f (x) + ε x J Cuy iterpretció gráfic es l siguiete (dode hemos cosiderdo J = [,b]). f + ε f f ε f b Figur 1: Iterpretció gráfic de l covergeci uiforme Esto os dice que l gráfic de l fució f se qued detro de u tubo cetrdo e l gráfic de f de chur 2ε (ver figur 1). Ahor debe estr clro que e el ejemplo 1 o hy covergeci uiforme e igú itervlo del tipo [0,] co 0 < < 1 y e el ejemplo 2 o hy covergeci uiforme e igú itervlo que coteg 1 o 1. Observ que l difereci etre l covergeci putul y l covergeci uiforme e J es l siguiete. Deprtmeto de Aálisis Mtemático

5 Sucesioes y series de fucioes 5 Decir que { f } coverge f putulmete e J sigific que: Fijs u x J; L correspodiete sucesió de úmeros reles { f (x)} coverge f (x), es decir: pr todo ε > 0, existe u úmero turl 0 tl que pr todo N co 0 se verific que f (x) f (x) ε. Nturlmete, el úmero 0 depederá del ε y, e geerl, tmbié de x porque si cmbis x por otro puto z J l sucesió { f (z)} es distit de { f (x)} y el 0 que vle pr u o tiee por qué vler tmbié pr l otr. Decir que { f } coverge f uiformemete e J sigific que: Fijs u ε > 0; Existe u úmero turl 0 tl que pr todo N co 0 se verific que f (x) f (x) ε pr todo x J. Es decir, e l covergeci uiforme, hy u mismo úmero 0 que es válido simultáemete pr todos los x J. E l práctic, el estudio de l covergeci putul se reduce clculr el límite lím { f (x)}, lo que suele ser muy secillo. Mietrs que pr estudir l covergeci uiforme e u itervlo J, lo que se hce es clculr, co ls técics usules de derivció, el máximo bsoluto de f (x) f (x) e J. L preseci del vlor bsoluto e f (x) f (x) es icómod pr derivr por lo que coviee quitrlo, lo que csi siempre puede hcerse co fcilidd. Supogmos que el máximo bsoluto de f (x) f (x) e J se lcz e u puto c J. Etoces si lím { f (c ) f (c )} = 0, hy covergeci uiforme e J. Ejemplo 3 Estudiemos l covergeci uiforme e R + o y e itervlos de l form [,+[, ( > 0), de l sucesió de fucioes { f } defiids pr todo x R + o por f (x) = 2 x e x. Observ que f (0) = 0, y si x > 0, lím f (x) = x lím 2 (e x ) = 0 (porque es u sucesió de l form p λ dode 0 < λ < 1). Por tto, el cmpo de covergeci putul es C = R + o, y l fució límite putl está dd por f (x) = lím { f (x)} = 0 pr todo x R + o. Estudiemos si hy covergeci uiforme e R + o. Observ que f (x) 0, por lo que f (x) f (x) = f (x). Ahor, como, f (x) = 2 e x (1 x), se deduce que f (x) > 0 pr 0 x < 1/, y f (x) < 0 pr x > 1/. Luego f (x) f (1/) pr todo x 0. Deducimos que f (1/) = máx{ f (x) : x R + o }, y como f (1/) = /e, sucesió que, evidetemete, o coverge 0, cocluimos que o hy covergeci uiforme e R + o. Estudiemos si hy covergeci uiforme e u itervlo de l form [,+[, co > 0. Por lo tes visto, sbemos que l fució f es decreciete e el itervlo [1/,+[. Se o u úmero turl tl Deprtmeto de Aálisis Mtemático

6 Sucesioes y series de fucioes 6 que 1 o <. Etoces, pr todo o, teemos que [,+[ [1/,+[, por lo que, máx{ f (x) : x [,+[} = f (). Como lím{ f ()} = 0, cocluimos que hy covergeci uiforme e [,+[. Observ ls gráfics de ls primero cico fucioes de l sucesió Puedes comprobr fácilmete, itegrdo por prtes, que xe x dx = 1 (1+)e pr todo N. Por tto lím 1 0 f (x)dx = 1 0 = 1 0 ( lím f (x))dx Es decir, e geerl, o se puede permutr l itegrció co el límite putul. El cocepto de covergeci uiforme requiere lgus precisioes importtes. L covergeci uiforme se refiere siempre u cojuto. No tiee setido decir que l sucesió { f } coverge uiformemete si o se idic imeditmete cotiució el cojuto e el que firmmos que hy covergeci uiforme. Además, siempre hy covergeci uiforme e subcojutos fiitos del cmpo de covergeci putul (si o sbes probrlo es que o hs etedido l defiició de covergeci uiforme). Por ello, sólo tiee iterés estudir l covergeci uiforme e cojutos ifiitos, por lo geerl e itervlos. No existe el cmpo de covergeci uiforme. Es decir, el cocepto de cmpo de covergeci putul o tiee u álogo pr l covergeci uiforme. L rzó es que o tiee por qué existir u más grde cojuto e el que hy covergeci uiforme. Así, e el ejemplo terior, hy covergeci uiforme e itervlos de l form [,+[ co > 0. L uió de todos ellos es R + y e R + o hy covergeci uiforme. Codició de Cuchy pr l covergeci uiforme L sucesió { f } coverge uiformemete e J si, y sólo si, pr todo ε > 0, existe u úmero turl 0 tl que pr todos,m 0 se verific que sup{ f (x) f m (x) : x J} ε Deprtmeto de Aálisis Mtemático

7 Sucesioes y series de fucioes 7 L utilidd de est codició es que es itrísec l sucesió, es decir, o ivolucr l fució límite. A cotiució eucimos u codició que implic que o hy covergeci uiforme. Supogmos que hy u sucesió {z } de vlores de J tl que { f (z ) f (z ) } o coverge 0, etoces { f } o coverge uiformemete f e J. Series de fucioes Dd u sucesió de fucioes { f }, podemos formr otr, {F }, cuyos térmios se obtiee sumdo cosecutivmete los de { f }. Es decir, F 1 = f 1, F 2 = f 1 + f 2, F 3 = f 1 + f 2 + f 3,... E geerl, F = L sucesió {F } sí defiid se llm serie de térmio geerl f y l represetremos por el símbolo f. Los coceptos de covergeci putul y uiforme pr sucesioes de fucioes se plic igul 1 cuys fucioes f supoemos pr series. Así el cmpo de covergeci putul de l serie 1 f (x) defiids e u itervlo I, es el cojuto C = {x I : 1 putul, llmd fució sum de l serie, es l fució F : C R dd por F(x) = f k=1 f k. es covergete}. L fució límite =1 f (x) pr todo x C. L úic ovedd es que hor tmbié podemos cosiderr el cmpo de covergeci bsolut de l serie, que es el cojuto A = {x I : f (x) es covergete}. El siguiete resultdo es el más 1 útil pr estudir l covergeci uiforme y bsolut de u serie. Criterio de Weierstrss. Se f u serie de fucioes y A u cojuto tl que pr todo x A y 1 todo N se tiee que f (x) α, dode l serie α es covergete. Etoces f coverge 1 1 uiformemete y bsolutmete e A. Demostrció Es imedito, e virtud del criterio de comprció pr series de térmios positivos, que l serie f (x) coverge pr todo x A. Esto implic que l serie f (x) coverge pr todo x A. Vemos 1 1 que l covergeci es uiforme. Utilizremos el criterio de Cuchy. Como α es covergete cumplirá l codició de Cuchy, esto es, ddo ε > 0, existe 0 N tl que 1 si,m 0 etoces Deducimos que f k (x) k=1 m k=1 k=1 α k f k (x) = m k=1 k=m+1 α k = ( > m) = f k (x) k=m+1 k=m+1 α k < ε f k (x) ( x A) k=m+1 α k < ε Deprtmeto de Aálisis Mtemático

8 Sucesioes y series de fucioes 8 Cocluimos que l serie f cumple l codició de Cuchy pr l covergeci uiforme e A. 1 Los resultdos siguietes, reltivos l covergeci uiforme, se plic, clro está, tto sucesioes como series de fucioes. Coservció de l cotiuidd Supogmos que { f } coverge uiformemete f e u itervlo J y que ls fucioes f so tods ells cotius e J. Se verific etoces que l fució f es cotiu e J. Demostrció Se J. Ddo ε > 0, l hipótesis de covergeci uiforme implic que existe 0 N tl que pr 0 se verific que f (u) f (u) ε/3 pr todo u J. Teemos: f (x) f () f (x) f 0 (x) + f 0 (x) f 0 () + f 0 () f () Pero por l form e que hemos tomdo 0 se sigue que: f (x) f () 2ε 3 + f 0 (x) f 0 () (*) Además, como por hipótesis f 0 es cotiu e, se verific que existe δ > 0 tl que pr todo x J co x < δ es f 0 (x) f 0 () ε/3, lo que, e virtud de (*) implic que: f (x) f () 3ε 3 = ε Resumiedo, hemos probdo que ddo ε > 0, existe δ > 0, tl que si tommos x < δ y x J etoces f (x) f () ε, que es, precismete, l cotiuidd de f e. Como l cotiuidd de f e J se expres por f () = lím f (x) = lím( lím f (x)) y, por otr prte, x x por ser f cotiu e, f () = lím f () = lím (lím f (x)); el resultdo terior os dice que x lím ( lím f (x)) = lím (lím f (x)) x x El ejemplo 2 terior co = 1 o = 1 muestr que est iguldd puede ser fls si o hy covergeci uiforme. Permutció de l itegrció co el límite uiforme Supogmos que { f } coverge uiformemete e u itervlo [,b] y que ls fucioes f so tods ells cotius e [,b]. Se verific etoces que lím b f (x)dx = b ( lím f (x))dx Deprtmeto de Aálisis Mtemático

9 Sucesioes y series de fucioes 9 Demostrció Se f (x) = lím { f (x)}. L hipótesis de covergeci uiforme os dice que ddo ε > 0 existe u 0 tl que pr todo > 0 se cumple: Así pues, si > 0 teemos: b b f (x)dx f (x)dx = Al cumplirse esto pr todo ε > 0 se sigue que f (x) f (x) ε pr todo x de [,b] b b [ f (x) f (x)]dx f (x) f (x) dx b f (x)dx = lím b f (x)dx E prticulr, si u serie f coverge uiformemete e [,b] se verific que: 1 b =1 f (x)dx = b ( =1 f (x) ) dx b εdx = ε(b ) Ejemplo 4 Pr cd N se f : [0,1] R l fució dd por f (x) = x (logx) 2, y f (0) = 0. Estúdiese si l serie f coverge uiformemete e [0,1] y dedúzcse que 1 0 x(logx) 2 1 x dx = 2 1 =2 3 Observ que f es cotiu y positiv e [0,1] y se ul e los extremos del itervlo. Como f (x) = ( logx + 2)x 1 logx, se sigue que e el puto c = exp( 2/) l fució f lcz u máximo bsoluto e [0,1]. Luego f (x) = f (x) f (c ) = e 2 4/ 2 y, puesto que l serie 4e 2 2 es covergete, deducimos, por el criterio de Weierstrss, que f coverge uiformemete e [0,1]. E cosecueci, se verificrá que 1 0 =1 f (x)dx = 1 =1 0 f (x) = x(logx)2 =1 1 x f (x)dx. Puesto que y f (x)dx = 2 ( + 1) 3 como fácilmete puedes comprobr itegrdo por prtes, se deduce l iguldd del eucido. L covergeci uiforme o coserv l derivbilidd. Esto es fácil de eteder si cosiders que puedes scr pequeños dietes de sierr l gráfic de u fució derivble co lo que result u uev fució Deprtmeto de Aálisis Mtemático

10 Sucesioes y series de fucioes 10 o derivble y rbitrrimete próxim l primer. Por ello, el siguiete resultdo tiee hipótesis más exigetes que los teriores. Derivbilidd y covergeci uiforme Se { f } u sucesió de fucioes defiids e u itervlo I, y supogmos que: i) f es derivble e I pr todo. ii) { f } coverge uiformemete f e I. iii) { f } coverge uiformemete g e I Etoces f es derivble e I y g(x) = f (x) pr todo x I. Demostrremos este resultdo e el cso prticulr de que ls fucioes f teg derivd primer cotiu e I. E tl cso, fijemos u puto I. Ahor, pr x I, e virtud del teorem fudmetl del Cálculo, teemos que x f (x) = f () + f (t)dt Tomdo límites y hciedo uso del resultdo terior, deducimos que f (x) = f () + x g(t)dt U uev plicció del teorem fudmetl del Cálculo os dice hor que f es derivble e I y que f (x) = g(x) pr todo x I. El teorem terior suele eucirse de u form más geerl e prieci. Tú mismo puedes deducirl prtir del siguiete resultdo que se prueb, co lgú trbjo, hciedo uso del teorem del vlor medio. Proposició Se { f } u sucesió de fucioes derivbles e u itervlo I. Supogmos que l sucesió { f } coverge uiformemete e I u fució g y que hy u puto I tl que { f ()} es covergete. Etoces l sucesió { f } coverge uiformemete e todo itervlo cotdo coteido e I. Teorem de Stoe Weierstrss (1868) Tod fució cotiu e u itervlo cerrdo y cotdo es límite uiforme e dicho itervlo de u sucesió de fucioes poliómics. Deprtmeto de Aálisis Mtemático

11 Sucesioes y series de fucioes 11 Series de potecis Ddos u úmero rel, R, y u sucesió de úmeros reles, {c } 0, se f : R R l fució dd pr todo x R por f (x) = c (x ) y, por coveio, f 0 (x) = c 0. L serie de fucioes f se llm 0 serie de potecis cetrd e. L sucesió {c } 0 se llm sucesió de coeficietes de l serie. El coeficiete c 0 se llm térmio idepediete de l serie. Suele usrse, y osotros tmbié seguiremos l costumbre, l otció c (x ) pr represetr l serie de potecis cetrd e co coeficietes 0 c, = 0,1,2,.... U tipo prticulr de series de potecis so ls series de Tylor. Dd u fució f que tiee derivds de todo orde e u puto, l serie de potecis 0 f ( () (x )! se llm serie de Tylor de f e. Recuerd que, por coveio, f (0 f y 0! = 1. Observ que est serie de Tylor es l sucesió de los poliomios de Tylor de f e. Recuerd que el poliomio de Tylor de orde de f e es l fució poliómic dd por T ( f,)(x) = k=0 f (k () (x ) k k! El resultdo básico pr estudir l covergeci de u serie de potecis es el siguiete. Lem de Abel Se ρ > 0 y supogmos que l sucesió { c ρ } está myord. Etoces se verific que l serie de potecis c (x ) coverge bsolutmete e el itervlo ] ρ, + ρ[ y coverge uiformemete 0 e todo itervlo cerrdo y cotdo coteido e ] ρ, + ρ[. Demostrció Por hipótesis, existe M > 0 tl que c ρ M pr todo. Se 0 < r < ρ. Será suficiete probr que l serie coverge bsolutmete y uiformemete e el itervlo [ r, + r]. Aplicremos pr ello el criterio de Weierstrss. Pr todo x [ r, + r], teemos que: ( ) c (x ) x = c ρ ρ M M r r ρ = M ρ y bst teer e cuet que l serie r ρ < 1. 0 ( r ) es covergete por ser u serie uméric de rzó positiv ρ Deprtmeto de Aálisis Mtemático

12 Sucesioes y series de fucioes 12 El resultdo terior os llev, de form turl, cosiderr el más grde ρ > 0 tl que l sucesió { c ρ } esté myord. Rdio de covergeci de u serie de potecis Cosideremos el cojuto A = {ρ 0 : l sucesió { c ρ } está myord} Observ que A Ø y que el 0 A. Si A está myordo defiimos R = sup(a), si o lo está defiimos R = +. Se dice que R es el rdio de covergeci de l serie de potecis c (x ). El itervlo 0 I =] R, + R[ o, cudo R = +, el itervlo I = R, se llm itervlo de covergeci de l serie. L rzó de est termiologí qued clr e el siguiete resultdo, fácil cosecueci del Lem de Abel. Covergeci de u serie de potecis Se c (x ) u serie de potecis co rdio de covergeci o ulo y se I el itervlo de 0 covergeci de l serie. Se verific que l serie coverge bsolutmete e todo puto de I y coverge uiformemete e culquier itervlo cerrdo y cotdo coteido e I. Además l serie o coverge pr vlores de x R tles que x > R. Este resultdo os dice que el estudio de l covergeci de u serie de potecis se reduce clculr el rdio de covergeci. L úic dud correspode los extremos del itervlo de covergeci, los putos R y + R, e los cules puede drse culquier comportmieto como veremos eseguid co ejemplos. Fíjte que el rdio de covergeci sólo depede de l sucesió de coeficietes de l serie y que el puto e que l serie está cetrd o iterviee pr d e l defiició del rdio de covergeci. Todo esto está muy bie, dirás, pero cómo se clcul el rdio de covergeci? Desde luego, l defiició que hemos ddo de rdio de covergeci tiee utilidd teóric pero o sirve pr clculrlo. Hy u fórmul geerl pr clculr el rdio de covergeci pero este curso o l veremos y vmos limitros dos csos prticulres. Cálculo del rdio de covergeci Podemos plicr los criterios del cociete y de l ríz pr estudir l covergeci bsolut de u serie de potecis. Ello permite deducir co fcilidd los siguietes dos resultdos. Deprtmeto de Aálisis Mtemático

13 Sucesioes y series de fucioes 13 Criterio del cociete Se c (x ) u serie de potecis y supogmos que c +1 L dode 0 L +. Etoces si 0 c L = 0 el rdio de covergeci de l serie es R = +, si L = + el rdio de covergeci de l serie es R = 0 y si 0 < L < + el rdio de covergeci de l serie es R = 1/L. Criterio de l ríz Se c (x ) u serie de potecis y supogmos que c L dode 0 L +. Etoces si 0 L = 0 el rdio de covergeci de l serie es R = +, si L = + el rdio de covergeci de l serie es R = 0 y si 0 < L < + el rdio de covergeci de l serie es R = 1/L. Observ que los criterios teriores so bstte restrictivos pues, por ejemplo, l serie x 2 o 0 puedes plicrle iguo de ellos. E prticulr, el criterio del cociete o puede plicrse cudo hy ifiitos coeficietes ulos. El siguiete rtificio es de bstte utilidd práctic. Cosideremos u serie de potecis de l form c (x ) q dode q es u úmero turl fijo. Pr 0 clculr su rdio de covergeci podemos hcer z = (x ) q y clculr el rdio de covergeci de l serie c z. Si éste es R R +, etoces l c (x ) q coverge pr x q < R, es decir, pr 0 0 x < q R, luego su rdio de covergeci es q R. El siguiete importte resultdo os dice, etre otrs coss, que si u serie de potecis tiee rdio de covergeci o ulo etoces dich serie es l serie de Tylor de su fució sum. Ls series de potecis co rdio de covergeci ulo suele llmrse series de potecis triviles. Por tto: tod serie de potecis o trivil es u serie de Tylor. L demostrció utiliz el hecho, fácil de probr, de que l serie c (x ) y l serie c (x ) 1, obteid derivdo térmio térmio l terior, 0 1 tiee igul rdio de covergeci. Ls series de potecis puede derivrse térmio térmio Se c (x ) u serie de potecis co rdio de covergeci o ulo R. Se I el itervlo de 0 covergeci de l serie y f : I R l fució sum de l serie defiid r todo x I por: Etoces se verific que: i) f es idefiidmete derivble e I. f (x) = c (x ) Deprtmeto de Aálisis Mtemático

14 Sucesioes y series de fucioes 14 ii) L derivd de orde k de f está dd pr todo x I por f (k (x) = =k ( 1) ( k + 1)c (x ) k E prticulr, se verific que f (k () = c k k!, es decir, c k = f (k () y, por tto, l serie de potecis k! c (x ) coicide co l serie de Tylor e de su fució sum. 0 Desrrollos e serie de potecis de ls fucioes elemetles El siguiete problem es importte Problem Dd u fució f co derivds de todos órdees e u itervlo I y u puto I, se verific que l serie de Tylor de f cetrd e tiee rdio de covergeci o ulo? E cso de que sí se, se verific que l fució sum de l serie de Tylor de f coicide co f? Cotrrimete lo que, e pricipio, puede precer l respuest mbs preguts es, e geerl, egtiv. U estudio e profudidd de este problem requiere el uso de técics de vrible complej que o so propis de este curso. A cotiució cosiderremos lgus de ls fucioes más usules del Cálculo y probremos que, e determidos itervlos, coicide co l sum de sus respectivs series de Tylor. L herrmiet básic pr estudir l covergeci de u serie de Tylor es, precismete, el teorem de Tylor. Coviee recordrlo. Teorem de Tylor Se f u fució +1 veces derivble e u itervlo I y se,x I etoces existe u puto c I co c < x tl que: f (x) = T ( f,)(x) + 1 ( + 1)! f (+1 (c)(x ) +1 Series de Tylor de l fució expoecil Los poliomios de Tylor de l fució exp so prticulrmete fáciles de clculr. Puesto que exp (k (0) = exp(0) = 1 pr todo k, el poliomio de Tylor de orde e 0 es: T (exp,0)(x) = 1 + x + x2 2! + x3 x + + 3!! Cosideremos l serie x 0! Deprtmeto de Aálisis Mtemático

15 Sucesioes y series de fucioes 15 Llmdo c = 1! teemos que c +1 = 1 0, por tto l serie coverge y su rdio de covergeci es R = +. Llmemos h l fució sum de l c + 1 serie: h(x) = x! pr todo x R Vmos probr que h es l fució expoecil. Por el teorem de derivció teemos que h (x) = x 1 =1! = =1 x 1 ( 1)! = x! = h(x) Acbmos de probr que h es u fució que coicide co su derivd, esto es, h(x) = h (x) pr todo x R. Cosideremos hor l fució g(x) = h(x)e x, g (x) = h (x)e x h(x)e x = h(x)e x h(x)e x = 0 pr todo x R Como g (x) = 0 pr todo x R teemos que l fució g es costte. Como g(0) = 1, deducimos que g(x) g(0) = 1. Cocluimos, por tto, que h(x) = exp x. L serie de Tylor cetrd e u puto se deduce de l terior si más que teer e cuet que exp(x) = exp()exp(x ). Series de Tylor del seo y del coseo Sbemos que: ( se (x) = cos(x) = se ( se (k (x) = se x + k π ) 2 x + π 2 ) ; Por tto T (se,)(x) = k=0 se ( + k π ) 2 (x ) k k! Como pr todo z R es sez 1, el teorem de Tylor implic que: sex se ( + k π ) 2 (x ) k 1 x +1 k=0 k! ( + 1)! Pero sbemos que De dode deducimos sex = k=0 x +1 lím = 0 ( + 1)! se ( + k π ) 2 (x ) k pr todo x R k! Es decir, l serie de Tylor del seo coverge sex culquier se x R. Deprtmeto de Aálisis Mtemático

16 Sucesioes y series de fucioes 16 Por el teorem de derivció obteemos l serie del coseo, que tmbié será covergete culquier se x R. cosx = k=1 se ( + (k + 1) π ) 2 (x ) k 1 = (k 1)! Si hcemos = 0 teemos que pr todo x R: sex = k=0 ( 1) (2 + 1)! x2+1, cosx = cos ( + k π ) 2 (x ) k pr todo x R k! ( 1) (2)! x2 Series de Tylor de l fució logritmo Seguiremos el siguiete método. Supogmos u fució f de l que queremos clculr su desrrollo e serie de Tylor cetrd e. Supogmos que l derivd de f, f, es más secill que f y que coocemos l serie de Tylor de l derivd e u puto (por comodidd supodremos que = 0). Etoces el teorem de derivció os permite obteer l serie de Tylor de f itegrdo térmio térmio l serie de su derivd f. Si Etoces f (x) = f (x) = f (0) + x + 1 x+1 (x I =] R,R[) (x I =] R,R[) Pr clculr l serie de Tylor de log, pogmos f (x) = log(1 + x) defiid pr x > 1. Teemos que f (x) = x = ( 1) x ( x < 1) Itegrdo formlmete est expresió, defimos pr x < 1: h(x) = ( 1) + 1 x+1 Teemos, e virtud del teorem de derivció, que h (x) = f (x) pr todo x ] 1,1[, esto implic que h(x) f (x) es costte y, como h(0) f (0) = 0, cocluimos que f (x) = h(x). Hemos probdo sí que: log(1 + x) = ( 1) + 1 x+1 ( x < 1) Observ que, efectivmete, ] 1,1[ es el itervlo de covergeci de l serie. L serie de Tylor cetrd e > 0 se deduce de lo terior: ( ) x log(x) = log( + (x )) = log + log = log + ( 1) ( + 1) +1 (x )+1 ( x < ) Deprtmeto de Aálisis Mtemático

17 Sucesioes y series de fucioes 17 ( 1) Observ que l serie x+1 cuy sum pr x < 1 es igul log(1 + x) es tmbié covergete pr x = 1 puesto que se trt de l serie rmóic lterd. E est situció cbe esperr que l iguldd log(1 + x) = ( 1) + 1 x+1 válid, e pricipio, pr x < 1 se tmbié válid pr x = 1? E este cso prticulr, l respuest es firmtiv porque sbemos que log 2 = resultdo estblece que esto es cierto e geerl. Teorem de Abel ( 1). El siguiete + 1 Supogmos f (x) = c (x ) pr todo x ] R,+R[ dode 0 < R < +. Supogmos demás que l serie 0 c R coverge. Etoces se verific que l serie c (x ) coverge uiformemete 0 e el itervlo [, + R]. E cosecueci: +R f (x) = c R +R y f (x)dx = c (x ) c dx = + 1 R+1 lím x +R x<+r Serie de Tylor del rcotgete cetrd e cero Puesto que se deduce fácilmete que rctg (x) = x 2 = ( 1) x 2 ( x < 1) rctgx = ( 1) x2+1 (x ] 1,1[) Además, como est serie coverge tmbié pr x = 1, el teorem de Abel os dice que: Serie biomil de Newto lím rctgx = x 1 x<1 ( 1) = rctg1 = π 4 Cosideremos l fució f (x) = (1 +x) α, dode α R \ Z, y que pr α Z el desrrollo es coocido. Clculemos l serie de Tylor de f cetrd e 0. Teemos que Los coeficietes de l serie será f (x) = α(1 + x) α 1 f ( (x) = α(α 1) (α + 1)(1 + x) α f ( (0)! Por tto l serie de Tylor de f es = α(α 1) (α + 1)! 0 x = Deprtmeto de Aálisis Mtemático

18 Sucesioes y series de fucioes 18 Clculemos su rdio de covergeci c = c +1 c = α Por tto, el rdio de covergeci es R = 1. Defimos pr x < 1 g(x) = x, ( x < 1) Queremos probr hor que l fució sum de l serie, g, coicide co l fució f e el itervlo ] 1,1[. Pr esto cosideremos l fució h(x) = (1 + x) α g(x), defiid pr x < 1. Clculemos h. h (x) = α(1 + x) α 1 g(x) + (1 + x) α g (x) = (1 + x) α 1[ αg(x) + (1 + x)g (x) ] Alicemos hor l expresió etre corchetes, (1 + x)g (x) αg(x) = (1 + x) x 1 α =1 x = x 1 + =1 x ( α α =1 [ ( ) ( ) ( α α α = ( + 1) α [ ( ) ( α α = ( + 1) + ( α) + 1 ) x = )] x = )] x 0 Hemos probdo que h (x) = 0 pr todo x ] 1,1[, de dode deducimos que h(x) es costte, y como h(0) = 1, cocluimos que g(x) = (1 + x) α pr x < 1. Hemos probdo sí que: (1 + x) α = x, ( x < 1) Pr cetrr est serie e u puto > 1 podemos proceder como sigue: [ (1 + x) α = (1 + + (x )) α = (1 + ) α 1 + x 1 + = ] α = (1 + ) α ( α 1 (1 + ) α (x ) siempre que x < 1 + )( x 1 + ) α = Serie de Tylor del rcoseo cetrd e cero Se f (x) = rc se x, su derivd viee dd como f (x) = 1 1 x 2 = (1 x2 ) 1/2 Deprtmeto de Aálisis Mtemático

19 Sucesioes y series de fucioes 19 Hciedo ls sustitucioes x x 2 y α 1/2 e l serie biomil de Newto obteemos f (x) = (1 x 2 ) 1/2 ( ) 1/2 = ( x 2 ) ( ) 1/2 = ( 1) x 2 ( x < 1) Itegrdo térmio térmio l expresió terior obteemos l serie del rcoseo ( ) 1/2 ( 1) rcsex = x2+1 ( x < 1) Como Result filmete ( ) 1/2 1/2( 1/2 1) ( 1/2 + 1) =! = ( 1) (2 1) 2 =! (2 1) = ( 1) (2) rcsex = x + = (2 1) (2) x2+1 ( x < 1) Además, como l serie tmbié coverge pr x = 1, por el teorem de Abel teemos que rcse1 = π 2 = 1 + = (2 1) (2) Y dijimos que ls series de Tylor de u fució o siempre coverge l mism fució. Vemos u ejemplo de esto. Cosideremos l fució f : R R defiid de l siguiete form e 1/x2 si x > 0 f (x) = 0 si x 0 L fució es de clse ifiito, y f ( (0) = 0 pr todo = 0,1,2,..., por lo que su serie de Tylor e = 0 es l serie idéticmete ul que, evidetemete, o coverge f e igú itervlo bierto que coteg 0. Fucioes lítics Se f : I R, dode I es u itervlo bierto. Se dice que f es lític e I si 1. f C (I), 2. E todo puto I l serie de Tylor de f cetrd e coverge e u itervlo o vcío, J I, y su sum es igul f e ese itervlo. Deprtmeto de Aálisis Mtemático