Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Cálculo de medidas de dispersión y muestreo GUICEN041MT22-A16V1

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1 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Cálculo de medidas de dispersión y muestreo Desafío Una población estadística está compuesta de cuatro números enteros consecutivos, siendo n el menor de ellos. La desviación estándar de dicha población es siempre A) 0 B) 5 2 C) 2 D) 2 E) Matemática Programa Entrenamiento un valor que depende de n. Mis observaciones GUICEN041MT22-A16V1 Resolución 1

2 Programa Entrenamiento - Matemática Marco teórico Medidas de dispersión Parámetros que indican qué tan disgregados o esparcidos se encuentran los datos. Rango de una muestra: es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. Varianza de una muestra: es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre los datos y el promedio de la muestra. Desviación típica o estándar de una muestra: es la raíz cuadrada de la varianza. Si el promedio del conjunto {x 1, x 2, x,, x n } es x, la varianza se calcula como: = 2 2 = (x 1 x ) 2 + (x 2 x ) 2 + (x x ) (x n x ) 2 n Muestreo aleatorio simple Consiste en extraer una muestra de una población completamente al azar, donde cada elemento tiene igual probabilidad de ser escogido. Mediante el muestreo es posible realizar inferencias acerca de la población. Por ejemplo, se puede estudiar la media poblacional a partir de medias muestrales. Para determinar el número total de muestras de un determinado tamaño, las técnicas de combinatorias son herramientas muy útiles. Entre más muestras de igual tamaño se extraigan, el promedio de las medias muestrales se aproxima más a la media de la población. Si se extraen todas las muestras posibles, de igual tamaño, el promedio entre todas las medias muestrales es igual a la media. 2

3 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Ejercicios PSU 1. Los datos de una muestra son, 5, 7 y 9. La desviación estándar de la muestra es A) 0 B) 5 C) D) 2 5 E) 6 2. Cuál es la varianza del conjunto {5, 6, 8}? A) B) C) D) E) 19. Se tiene un conjunto formado por un entero positivo n, por la mitad de n y por el doble de n. La desviación estándar del conjunto es siempre A) 7 6 n B) 1 2 n C) 7 18 n D) 5 6 n E) independiente del valor de n.

4 Programa Entrenamiento - Matemática 4. Los puntajes de Mario en tres pruebas de la universidad fueron 60, 80 y 50 puntos. El rango de los puntajes de Mario es A) 5 puntos. B) 10 puntos. C) 15 puntos. D) 50 puntos. E) 0 puntos. 5. Las edades de tres hermanos son 4, 7 y 1 años. La desviación estándar de las edades es A) 10 años. B) 14 años. C) 4 años. D) 9 2 años. E) 2 10 años. 6. En la muestra {2m, 5m}, con m un número real positivo, la desviación estándar es A) 2 m B) 2 m C) 2 m D) m E) m 4

5 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 7. Los datos de una población estadística son: 4, 4, 7. El rango y la desviación estándar de la población, respectivamente, son A) y 2 B) y 0 C) 1,5 y 2 D) y 1,5 E) 1,5 y 0 8. El gráfi co de la fi gura muestra las edades de un grupo de participantes de un evento deportivo, agrupadas en intervalos. Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) verdadera(s)? I) El rango de la variable edad es 4 años. II) La mediana se encuentra en el intervalo [18, 22[. III) El intervalo modal es [14, 18[. A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III Cantidad de participantes Edad (años) 9. La tabla adjunta muestra la distribución de frecuencias de la variable estadística X. Cuál de los siguientes valores es el más cercano a la varianza de X? A) 0,6 B) 0, C) 0,5 D) 0,4 E) 0,8 X Frecuencia En la tabla adjunta, a y b son números enteros positivos. Entonces, la desviación estándar de los datos, obtenida a partir de la marca de clase, es A) b 6 5 B) 2b 5 C) b 5 D) un valor que depende de a y de b. E) un valor constante que no depende de a ni de b. Clase Frecuencia [0, b[ a [b, 2b] 2a 5

6 Programa Entrenamiento - Matemática 11. Sea el conjunto {s, t, u}, formado por números enteros positivos distintos entre sí, cuya desviación estándar es m. Cuál es la desviación estándar del conjunto {(2s + 1), (2t + 1), (2u + 1)}? A) 2m + 1 B) m C) 2m D) m + 1 E) 2m 12. Sea S un conjunto formado por dos números naturales a y b. La varianza y la desviación estándar de S son iguales cuando los números a y b son I) iguales. II) consecutivos. III) impares consecutivos. Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo III. C) solo I y II. D) solo I y III. E) I, II y III. 1. Una muestra está compuesta por tres datos que son números enteros positivos. Entonces, se cumple que I) el promedio de la muestra coincide con la mediana de la muestra. II) el rango de la muestra es 2. III) la desviación estándar de la muestra es 2. Es (son) verdadera(s) A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. 6

7 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 14. Se consideran las muestras {a, b, c, d} y {a, c, d}, con a, b, c y d números reales positivos distintos. Si las muestras están ordenadas de forma creciente y el promedio de la primera muestra es b, entonces ambas muestras siempre tienen igual I) mediana. II) promedio. III) rango. Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo III. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. 15. La tabla adjunta muestra el resultado obtenido por dos cursos de un preuniversitario en un ensayo de matemática. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? Curso Promedio Desviación estándar A B I) El resultado del curso A es el más homogéneo. II) El curso B presenta menor dispersión en los puntajes. III) El promedio, considerando los puntajes de los alumnos de ambos cursos, es 500. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Ninguna de ellas. 7

8 Programa Entrenamiento - Matemática 16. Cuál(es) de las siguientes afi rmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) Mientras más pequeña sea la desviación estándar, la muestra es más homogénea. II) Si todos los datos de una muestra tienen frecuencia 1, entonces la muestra no tiene moda. III) La marca de clase corresponde al promedio entre los extremos de un intervalo. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III 17. Sea el conjunto Q = {f, j, k, m, p, s, z}. La cantidad de todas las posibles muestras, sin reposición y sin considerar el orden, de tamaño 4 que pueden extraerse del conjunto Q es A) 24 D) 70 B) 28 E) 210 C) Se tiene una población formada por números enteros positivos de un solo dígito, contabilizados una vez cada uno. Sin considerar el orden, cuál es la cantidad de todas las posibles muestras de tamaño que pueden extraerse de dicha población, sin reposición? A) 27 D) 168 B) 45 E) 504 C) Sea una población de 2p elementos distintos, con p > 7, de donde se extraen muestras de un cierto tamaño fi jo, sin orden y sin reposición. Cuál de los siguientes tamaños de muestra provoca que se obtenga la menor cantidad de muestras totales posibles? A) p B) C) 2p 7 D) p 4 E) 2p 2 8

9 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 20. Sea una población formada por todos los números enteros desde m hasta 2m, ambos incluidos, todos con frecuencia 1 y con m un número entero mayor que 10. Si se extraen todas las posibles muestras distintas de tamaño 5, sin orden y sin reposición, y se calcula el promedio de cada muestra, cuántas unidades de diferencia hay entre el mayor y el menor de los promedios obtenidos? A) m 2 B) m C) m 5 D) m 4 E) Un valor constante que no depende de m. 21. Se tienen las poblaciones P = {1,, 5, 7, 9} y Q = {2, 4, 6, 8}. Si de cada una de ellas se extraen todas las posibles muestras distintas de tamaño, sin orden y sin reposición, entonces es correcto afi rmar que I) de P es posible obtener seis muestras más que de Q. II) la muestra que tiene el menor promedio se obtiene de P. III) las muestras obtenidas de Q tienen distintos promedios entre sí. Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III. 22. Del conjunto M = {, 6, 12, 21} se extraen todas las muestras posibles de tamaño, sin orden y sin reposición, y se obtiene el conjunto P, formado por las medias de cada una de esas muestras. La mediana de P es A) 12 B) 10,5 C) 10 D) 9 E) En el conjunto T = {a, b, c}, ordenado de menor a mayor y de media 8, se obtienen todas las posibles muestras distintas de tamaño 2, sin orden y sin reposición, y se calcula la media de cada una de ellas. Si las dos medias muestrales más altas obtenidas son 9 y 10, cuál es el valor de c? A) 5 B) 6 C) 12 D) 14 E) 4 9

10 Programa Entrenamiento - Matemática 24. Una población de elementos distintos se divide en dos muestras: una de tamaño dos, cuyo promedio es 12 y otra de tamaño tres, cuyo promedio es 18. Entonces, el promedio de la población es A) 15 B) 14,4 C) 0 D) 15,6 E) indeterminable con los datos entregados. 25. Sea el conjunto S = {(p m), m, p, (p + m)}, ordenado de menor a mayor, con m y p números enteros positivos consecutivos. Se extraen todas las muestras distintas de tamaño 2 del conjunto y se calcula el promedio de cada una de ellas. Si la muestra que contiene al menor valor y al mayor valor del conjunto S tiene una media muestral de 8, cuál es el promedio del conjunto S? A) 8,75 B) 8 C) 4,75 D) 7,75 E) No se puede calcular con los datos entregados. 26. Sea un conjunto P con seis elementos distintos que corresponden a números enteros positivos, del cual se extraen todas las posibles muestras distintas, sin orden y sin reposición, de tamaño m, con m un número entero positivo menor que 6, de modo que solo es posible conocer la menor media muestral y la mayor media muestral. Bajo estas condiciones, siempre es posible calcular el promedio del conjunto P si m es igual a I) 2 II) III) 4 Es (son) verdadera(s) A) solo II. B) solo I y II. C) solo II y III. D) I, II y III. E) ninguna de ellas. 27. Se puede determinar la desviación estándar de una muestra con cuatro elementos si: (1) Los elementos son múltiplos consecutivos de. (2) El menor de los datos es 15. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 10

11 GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA 28. En la tabla adjunta se muestra la distribución de frecuencias de una variable estadística M, con p y q números enteros tales que 0 < p < q. Se puede determinar el valor numérico de la desviación estándar de M si: (1) p y q son números consecutivos. (2) La suma de p y q es 5. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. M Frecuencia p 5 q Una muestra está formada por números enteros consecutivos, sin que se repita ninguno de ellos. Se puede determinar el rango de la muestra si: (1) El promedio de los datos de la muestra es 25. (2) La muestra está compuesta por nueve elementos. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 0. Se tiene una población formada por tres números enteros positivos distintos. Se puede determinar el promedio de la población si: (1) Al extraer dos muestras distintas de tamaño 2, los promedios de ellas son 5 y 8. (2) El rango de la población es 6. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 11

12 Programa Entrenamiento - Matemática ü Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad 1 Aplicación 2 Aplicación ASE 4 Comprensión 5 Aplicación 6 Aplicación 7 ASE 8 ASE 9 Aplicación 10 Aplicación 11 Comprensión 12 ASE 1 ASE 14 ASE 15 ASE 16 Comprensión 17 Aplicación 18 Aplicación 19 ASE 20 Comprensión 21 Aplicación 22 Aplicación 2 ASE 24 Aplicación 25 ASE 26 Comprensión 27 ASE 28 ASE 29 ASE 0 ASE Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial. 12