MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC. SS. II 2007/2008 ÁLGEBRA. a) Plantee, sin resolver, un sistema de ecuaciones asociado al siguiente problema:

Transcripción

1 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II ÁLGEBRA 1 Un cliene de un supermercado ha pagado un oal de 156 euros por 24 liros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 liros de aceie de oliva Planee y resuelva un sisema de ecuaciones para calcular el precio uniario de cada arículo, sabiendo que 1 liro de aceie cuesa el riple que un liro de leche y que 1 kg de jamón cuesa igual que 4 liros de aceie más 4 liros de leche 2 a) Planee, sin resolver, un sisema de ecuaciones asociado al siguiene problema: Un monedero coniene 1 euro en monedas de 2, 5 y 10 cénimos; en oal hay 22 monedas Sabiendo que el número de monedas de 5 y 10 cénimos junas excede en 2 unidades al número de monedas de 2 cénimos, obenga el número de monedas de cada ipo que hay en el monedero x y z 6 b) Resuelva el sisema formado por las ecuaciones 2x y 2z 3 3x 2y 3z Sean las marices A = 1 3 x, B = y, C = z 1, D = z Calcule x, y, z, sabiendo que A B = 2CD z 4 Sea la mariz A = 0 m 6 3 m a) Calcule los valores de m para que dicha mariz enga inversa b) Haciendo m =4, resuelva la ecuación maricial X A = Sea la mariz A = 0 m m a) Deermine para qué valores del parámero m exise A 1 b) Calcule A 1 para m =2 a) Un auobús ranspora 90 viajeros con 3 arifas diferenes: 1ª: Viajeros que pagan el billee enero, que vale 070 euros 2ª: Esudianes, con descueno del 50 % 3ª: Jubilados, con descueno del 80 % Se sabe que el número de esudianes es 10 veces el de jubilados y que la recaudación oal ha sido de 4676 euros Planee, sin resolver, el sisema de ecuaciones necesario para deerminar el número de viajeros, de cada arifa, que va en el auobús 1

2 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II b) Dada la mariz A = 1 1 0, deermine, si exise, la mariz X que verifique AX= Resuelva la siguiene ecuación maricial: AX2B C, siendo A 1 0 1, B 2, 4 5 C Sean las marices : 2 1 A = 3 2, B = , C = a) Realice, cuando sea posible, los siguienes producos de marices: A B, B C, C A b) Resuelva la ecuación maricial: A X + B = C 9 Sea el sisema: 3x 2y 2z 3 x z 1 2y z 0 a) Expréselo en forma maricial b) La mariz de los coeficienes posee inversa? Jusifique la respuesa c) Resuélvalo y clasifíquelo en cuano al número de soluciones 10 Deermine los valores de x e y que hacen ciera la siguiene igualdad: 1 1 x 1 x y y Deermine la mariz X de dimensión 2x2 al que: X Se considera la mariz 1 x 1 A x x 0 a) Calcule los valores de x para los que no exise la inversa de A 1 b) Para x 3, calcule, si es posible, A 2

3 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II 12 a) Un esablecimieno pone a la vena res ipos de camisas A, B y C Se sabe que la razón enre los precios de las camisas C y B es 19/18 y enre los de B y A es 6/5 Al comprar res camisas, una de cada clase, se pagan ps Planee el sisema de ecuaciones que permia conocer el precio de cada camisa b) Siendo A y B afirmaivo, resuélvala, razone si posee solución la ecuación maricial AX B y, en caso 13 De una mariz A se sabe que su segunda fila es 1 2 y su segunda columna es elemenos de A sabiendo que A Halle los resanes 3 a) Sabemos que el precio del kilo de omaes es la miad que el del kilo de carne Además, el precio del kilo de gambas es el doble que el de carne Si pagamos 18 euros por 3 kilos de omaes, 1 kilo de carne y 250 gramos de gambas, cuáno pagaríamos por 2 kilos de carne, 1 kilo de omaes y 500 gramos de gambas? b) Dada la mariz A, halle A Sean las marices A, B, C a) Calcule la mariz P que verifica BPA C b) Deermine la dimensión de la mariz M para que pueda efecuarse el produco AM C c) Deermine la dimensión de la mariz N para que C N sea una mariz cuadrada 16 Sea el sisema de ecuaciones lineales x y z 2 2x 3y z 2 4x y 3z 2 a) Clasifique y resuelva el sisema b) Escriba la mariz de coeficienes de ese sisema y, si es posible, calcule su mariz inversa 17 Sean las marices A, B y C a) Calcule (AI 2) B, siendo I2 la mariz idenidad de orden 2 b) Obenga la mariz B (mariz raspuesa de B) y calcule, si es posible, c) Calcule la mariz X que verifica AXB C 18 Una fábrica produce dos ipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada uno La capacidad máxima diaria de fabricación es de 1000 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo Cuános relojes de cada ipo debe producir para obener el máximo ingreso? Cuál sería dicho ingreso? 3 B A

4 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II 19 Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x,y) 3x 5y, en el recino del plano deerminado por las inecuaciones: x 0, y 0, 3x 2y 10, 2x 3y 24, x5y 1 20 Una paselería elabora dos ipos de rufas, dulces y amargas Cada rufa dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de naa y 30 g de azúcar y se vende a 1 euro la unidad Cada rufa amarga lleva 100 g de cacao, 20 g de naa y 15 g de azúcar y se vende a 13 euros la unidad En un día, la paselería sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de naa y 105 kg de azúcar Sabiendo que vende odo lo que elabora, calcule cuánas rufas de cada ipo deben elaborarse ese día, para maximizar los ingresos, y deermine dichos ingresos 21 a) Los vérices de un polígono convexo son (1, 1), (3, 1/2), (8/3, 5/2), (7/3, 3) y (0, 5/3) Calcule el máximo de la función objeivo F(x,y) 3x 2y 4 en la región delimiada por dicho polígono b) Dibuje el recino del plano definido por las inecuaciones: x 2y 6 ; xy 1 ; y 5 ; x 0 ; y 0 y deermine sus vérices 22 Sea el sisema de inecuaciones x y 6 3x 2y 13 x 3y 3 x 0 a) Dibuje el recino cuyos punos son las soluciones del sisema y obenga sus vérices b) Halle los punos del recino en los que la función F(x,y) x 2y oma los valores máximo y mínimo, y deermine ésos 23 a) Dibuje la región del plano definida por las siguienes inecuaciones: 2x 3y 13, 2x 3y 17, x y 11, y 0 b) Deermine los vérices de ese recino c) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) 5x 6y en la región anerior e indique en qué punos se alcanzan 24 Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 esanes Se sabe que son necesarios 4 kg de madera para fabricar una librería de 1 esane, siendo su precio de vena 20 euros; para fabricar una librería de 3 esanes se necesian 8 kg de madera y el precio de vena de ésa es 35 euros Calcule el número de librerías de cada ipo que se deben fabricar para obener el máximo ingreso, sabiendo que, por fala de oros maeriales, no se pueden fabricar más de 120 librerías de 1 esane, ni ampoco más de 70 de 3 esanes 25 Una persona desea adelgazar En la farmacia le ofrecen dos compuesos A y B para que ome una mezcla de ambos en la comida, con las siguienes condiciones: No debe omar más de 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g La canidad de A debe ser mayor o igual que la de B No debe incluir más de 100 g del compueso A Se sabe que cada 100 g de A conienen 30 mg de viaminas y cada 100 g de B conienen 20 mg de viaminas a) Formule maemáicamene el conjuno de resricciones, dibuje la región facible y deermine sus vérices b) Cuános gramos debe omar de cada compueso para obener el preparado más rico en viaminas? 4

5 26 Sea el sisema de inecuaciones siguiene: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II x + y 120; 3y x; x 100; y 10 a) Represene gráficamene la región facible y calcule sus vérices b) En qué puno de esa región, F(x,y) 25x 20y alcanza el máximo? 27 Un ahorrador dispone de euros para inverir en fondos de dos ipos: A ó B La inversión en fondos A debe superar los 5000 euros y, además, ésa debe doblar, al menos, la inversión en fondos B La renabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 27 % y la de los B ha sido del 63 % Suponiendo que la renabilidad coninúe siendo la misma, deermine la inversión que obenga el máximo beneficio Calcule ese beneficio 28 Una empresa paselera dispone semanalmene de 160 kg de azúcar y de 240 kg de almendra para hacer oras de almendra y ableas de urrón Se necesian 150 g de almendra y 50 g de azúcar para hacer una ora de almendra y 100 g de almendra y 100 g de azúcar para cada ablea de urrón El beneficio neo por la vena de cada ora es 175 euros, y por cada ablea de urrón es de 1 euro Deermine cuánas oras de almendra y cuánas ableas de urrón han de elaborarse para obener la máxima ganancia Cuál es el beneficio máximo semanal? 29 Una fábrica produce dos ipos de juguees, muñecas y coches eledirigidos La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 300 coches La empresa dispone de 1800 horas de rabajo para fabricar los juguees y sabe que la producción de cada muñeca necesia 3 horas de rabajo y repora un beneficio de 10 euros, mienras que la de cada coche necesia 6 horas de rabajo y repora un beneficio de 15 euros Calcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el beneficio global de la producción sea máximo y obenga dicho beneficio 30 Ciera sala de especáculos iene una capacidad máxima de 1500 personas, enre adulos y niños; el número de niños asisenes no puede superar los 600 El precio de la enrada a una sesión de un adulo es de 800 ps, mienras que la de un niño es de un 40 % menos El número de adulos no puede superar al doble del número de niños Cumpliendo las condiciones aneriores, cuál es la canidad máxima que se puede recaudar por la vena de enradas? Cuánas de las enradas serán de niños? 31 Se quiere organizar un puene aéreo enre dos ciudades, con plazas suficienes de pasaje y carga, para ransporar 1600 personas y 96 oneladas de equipaje Los aviones disponibles son de dos ipos: 11 del ipo A y 8 del ipo B La conraación de un avión del ipo A cuesa 4 millones de ps y puede ransporar 200 personas y 6 oneladas de equipaje; la conraación de uno del ipo B cuesa 1 millón de ps y puede ransporar 100 personas y 15 oneladas de equipaje Cuános aviones de cada ipo deben uilizarse para que el cose sea mínimo? 32 Represene gráficamene el recino definido por el siguiene sisema de inecuaciones: 2x y 18 2x 3y 26 x y 16 x 0 ; y 0 a) Calcule los vérices de ese recino b) Obenga en dicho recino el valor máximo y el mínimo de la función Fx,y5x 3y Diga en que punos se alcanzan 33 Sea el conjuno de resricciones siguiene: x y 9 x y 0 x 2y 16 x 0 5

6 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SS II a) Dibuje la región facible deerminada por dichas resricciones b) Calcule los vérices de dicha región c) Obenga los punos en los que la función objeivo Fx,yx 2y presena el máximo y el mínimo 34 Para fabricar 2 ipos de cable, A y B, que se venderán a 150 y 100 ps el mero, respecivamene, se emplean 16 Kg de plásico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hecómero) del ipo A y 6 Kg de plásico y 12 Kg de cobre para cada Hm del ipo B Sabiendo que la longiud de cable fabricado del ipo B no puede ser mayor que el doble de la del ipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 Kg de plásico ni más de 168 Kg de cobre, deermine la longiud, en Hm, de cada ipo de cable que debe fabricarse para que la canidad de dinero obenida en su vena sea máxima 35 Sea el recino definido por las siguienes inecuaciones: 5x 2y 10 0 x y 2 0 3x 4y 20 0 x 0 y 0 a) Dibuje dicho recino y deermine sus vérices b) Deermine en qué puno de ese recino alcanza la función F(x,y) 4x 3y el máximo valor 6