CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E0200

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 () Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x 3 +y 3 =9xy en el punto (, ). () La ley adiabática (sin pérdida ni ganancia de calor) para la expansión de un gas es PV.4 = C (donde P es la presión, V el volumen y C una constante). En cierto instante, el volumen es de ft 3,la presión es de 40 lb/ft y ésta está creciendo a razón de 8 lb/ft en cada segundo. Calcular la razón de variación del volumen en dicho instante. (Considerar que lb = libra y ft = pie.) (3) Bosquejar la gráfica de una función continua f(x) que satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f(x) =+ ; lím f(x) =3; f( 3) = 0; f( ) = ; x x + f() = 0; f(3) = ; f(5) = 0; f ( 3) no existe; f (x) < 0six (, 3) (, 3); f (x) > 0six ( 3, ) (3, + ); f (x) < 0six (, 3) ( 3, ) (5, + ); f (x) > 0six (, 5). (4) Se quiere construir un recipiente cilíndrico de base circular con tapa y una capacidad para 600 l. Calcular las dimensiones que debe tener para que se requiera la mínima cantidad de material en su construcción. (Considerar que l =dm 3.) (5) Para la función (x ) f(x) = x determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos críticos y su clasificación, así como los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo. Finalmente, con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función. canek.azc.uam.mx: / 3/ 006.

2 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 Respuestas () Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x 3 +y 3 =9xy en el punto (, ). En primer lugar comprobemos que efectivamente el punto (, ) pertenece a la curva x 3 +y 3 =9xy, verificando que sus coordenadas satisfacen a la ecuación, esto es sustituyendo x =&y =, y que la ecuación se transforme en una identidad. () 3 + () 3 = (9)()() ()(8) + ()() = = 8 8 = 8. Ahora calculemos la pendiente de la recta tangente pedida. Supongamos que x 3 +y 3 =9xy define implícitamente a una función y(x) y lo que queremos hallar es su derivada, y (x). Derivando implícitamente tenemos 6x +6y y =9y +9xy. Trasponiendo términos: 6y y 9xy =9y 6x. Factorizando y : (6y 9x)y =9y 6x. Despejando y : y 9y 6x = 6y 9x. Para calcular la pendiente en el punto (, ) en esta fórmula hacemos x =&y =. y 9() 6() (, ) = 6() 9() = 9 6(4) 6() 8 = = 5 = 5 4. Luego, por último, la ecuación de la recta tangente pedida es la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) y que tiene pendiente 5 ; ésta es 4 y = 5 4 (x ) = 5 4 x 5 y = 5 4 x 5 + y = 5 4 x 3. () La ley adiabática (sin pérdida ni ganancia de calor) para la expansión de un gas es PV.4 = C (donde P es la presión, V el volumen y C una constante). En cierto instante, el volumen es de ft 3,la presión es de 40 lb/ft y ésta está creciendo a razón de 8 lb/ft en cada segundo. Calcular la razón de variación del volumen en dicho instante. (Considerar que lb = libra y ft = pie.) De PV.4 = C se tiene que V.4 = C V 4 0 = C P P V 7 5 = C P. Despejando V y elevando ambos miembros de la igualdad a la potencia 5 7 : V = ( ) 5 C 7 5 = C 7 P 5 7. P

3 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 3 Derivando con respecto al tiempo, tenemos dv dt = C 5 7 dp = dt 7 C 5 7 P 7 P. Cuando V =lap = 40 y como C = PV.4, entonces Además, dp dt =8 Sustituyendo por último estos valores tenemos C = 40; dv dt = 5 7 (40) 5 7 (40 7 )(8) dv dt = (8) dv dt = dv dt = 7 ft 3 s. ft 3 s (3) Bosquejar la gráfica de una función continua f(x) que satisfaga todas las condiciones siguientes: lím f(x) =+ ; lím f(x) =3; f( 3) = 0; f( ) = ; x x + f() = 0; f(3) = ; f(5) = 0; f ( 3) no existe; f (x) < 0six (, 3) (, 3); f (x) > 0six ( 3, ) (3, + ); f (x) < 0six (, 3) ( 3, ) (5, + ); f (x) > 0six (, 5). Una posible gráfica de la función f(x): y x (4) Se quiere construir un recipiente cilíndrico de base circular con tapa y una capacidad para 600 l. Calcular las dimensiones que debe tener para que se requiera la mínima cantidad de material en su construcción. (Considerar que l =dm 3.) Usamos la figura

4 4 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 r h El área total que deseamos que sea mínima es el área lateral πrh más el área de las dos bases πr : A =πrh +πr, donde r & h son dos variables, pero como V = 600dm 3 y V = πr h, tenemos 600 = πr h; luego, despejando h h = 600 πr. Sustituyendo este valor en la fórmula del área total, la podemos expresar como función de una única variable r: A(r) =πr 600 πr +πr. Simplificando, A(r) = 00 +πr = 00r +πr. r Busquemos el valor de r que hace que A sea mínima. Derivando A(r) da(r) = 00 +4πr. dr r Igualando a cero: 00 +4πr =0 4πr = 00 r 3 = r r 4π r = 3 4π r = 3 π. Yyaque h = a partir de da(r) dr 600 ( 300 π π ) 3 = 00 r h = ()(300) π 300/3 π /3 h = ()(300)/3 300 h = 3 π /3 π h =r, +4πr = 00r +4πr, calculamos la segunda derivada: d A(r) = π, dr r la cual es positiva, por lo que para r = & h =r, tenemos efectivamente un área mínima. π

5 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 5 (5) Para la función (x ) f(x) = x determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, los puntos críticos y su clasificación, así como los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo. Finalmente, con estos elementos haga un bosquejo de la gráfica de la función. Intervalos de monotonía: Calculemos la derivada de la función f (x) = (x )x x(x ). x 4 Simplificando x y factorizando (x ): f (x) = (x )(x x +) x 3 = (x ), (con x 0). x 3 De donde vemos que los valores críticos son 0 (donde la derivada no existe) y (donde la derivada vale 0). Veamos ahora el signo de la derivada y de ahí inferiremos dónde la función es creciente y dónde decreciente. Intervalo x 3 x f f es x < 0(< ) + creciente 0 <x< + decreciente (0 <) <x creciente Aquí mismo vemos que para x =, es decir que, en el punto (, 0) de la gráfica de la función, hay un mínimo local pues la función ahí pasa de ser decreciente a ser creciente. Intervalos de concavidad: Calculemos la segunda derivada de la función f (x) = x3 3x (x ) ; x 6 simplificando x : f (x) = x 6(x ) x 4 = x 6x +6 x 4 = 4x +6 x 4 = (3 x) x 4 ; f (x) > 0si3 x >0, es decir, si x <3 o bien x< 3 con x 0; por lo que f(x) es cóncava hacia arriba en (, 0) ( 0, 3 ) ; f (x) < 0si3 x <0, esto es cuando x >3 o bien cuando x> 3. ( ) 3 De donde inferimos que f(x) es cóncava hacia abajo en, + y que hay un punto de inflexión, [ ( )] 3 3,f ;

6 6 TERCERA EVALUACIÓN PARCIAL E000 y como f ) ( ( 3 ( ) 3 = ( ) = ( 3 el punto es, ). 9 Para bosquejar la gráfica de la función, enfaticemos que f(x) es continua en su dominio R {0} y observemos que la recta y = es asíntota horizontal ya que lím x ± f(x) = lím (x ) x ± x = lím x ± y que x = 0 es asíntota vertical pues ) = = 9, x x + = lím x ( x ± x + x)= 0+0= (x ) lím f(x) = lím =+. x 0 ± x 0 ± x Conjuntando todos estos elementos, la gráfica de la función f(x) es: f(x) /9 3 x