b sen A = a sen B = b sen C = c sen B =

Transcripción

1 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 9. TEOREM EL SENO emstrión: 2R sen sen R Trzms l ltur rrespndiente l vértie : En el triángul se verifi: h h h En el triángul se verifi: h sen h sen Igulnd ms expresines result l iguldd: sen sen Trzms l ltur rrespndiente l vértie : En el triángul se verifi: h sen h sen En el triángul se verifi: h sen h sen Igulnd ms expresines result l iguldd: sen sen sen sen h IMPORTNTE: El terem es válid pr ulquier tip de triángul. nsiderems el triángul tusángul de l figur. Si trzms l ltur h reltiv l vértie : En el triángul se verifi: h sen α h senα sen (1) sen α sen(180º ) sen (1) α h En el triángul se verifi: h h Igulnd tenems: sen h Trznd l ltur h reltiv l vértie, y reliznd el mism rznmient nterir, se demuestr: sen Luis Muñz 1

2 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T RESOLUIÓN E TRIÁNGULOS: 1. Reslver un triángul nid un ld y ds ánguls ts nids:, y 180º ( + ) sen sen sen sen En este s siempre hy sluión si se umple que ls ds ánguls sumn mens de 180º. Ejempl e un triángul se h medid ds ánguls y un ld: 12 m, 47º, 59º. Reslver el triángul. Sluión m º 180º ( + ) 74º 12 sen 47º sen59º sen74º 12 sen 47º sen59º 12 sen59º 14,14 m sen 47º 12 sen 47º sen74º 12 sen74º 15,78 m sen 47º 2. Reslver un triángul nid ds lds y el ángul puest un de ells ts nids:, y sen sen Si < sen N hy sluión del prlem Si sen Hy un úni sluión del prlem Si > sen Puede existir un ds sluines del prlem: 180º ( + ) sen sen sen sen Luis Muñz 2

3 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T e un triángul se nen ls dts: 11 m, 13 m, 117º. Reslver el triángul. Sluión Pr el terem del sen: sen117º sen sen117º 13 sen117º 11 sen117º 0,75 13 r sen 0,75 48,59º ó 131,41º Si 131,41º + > 180º, lueg ns quedms n 48,59º m º 180º (117º + 48,59º) 14,41º plind el terem del sen: 13 sen14,41º sen117º 13 sen14, 41º sen 117º 3,65 m ds 7 m, 4 m, 54º, hllr ls restntes elements. Gemétrimente tmms un segment que represent el ld. En un de sus extrems medims el ángul 54º y trzms l ret que represent l direión del ld. En el tr extrem del ld diujms un r de rdi igul l lngitud del ld. Vems que este r n tiene ningún punt en mún n l ret que represent el ld, n l ul es impsile nstruir el triángul. nlítimente, plind el terem del sen, lulms el ángul : sen sen 7 sen54º 1,41 Impsile! 4 Luis Muñz 3

4 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T ds 3 m, 6 m, 30º, hllr ls restntes elements: Gemétrimente trzms un segment de lngitud 6 m, en un de ls extrems trzms el ángul y en el tr extrem trzms un r de irunfereni de rdi 3 m. Vems que este r rt l ret que represent el ld en un punt, que es el terer vértie del triángul nlítimente lulms el ángul medinte el terem del sen: sen 6 sen30º sen 1 90º 3 180º (90º + 30º) 60º sen sen 3 sen 60º 3 3 sen30º m ds 4 m, 6 m, 30º, hllr ls restntes elements. En este s tenems ds sluines y que el r de irunfereni de rdi 4 m rt l ret que represent el ld en ds punts, y. Pr tnt existen ds triánguls y. nlítimente: sen 6 sen30º 3 sen 48º ó 131º Si 48º º Si 131º º sen 7,84 m sen 2,55 m Luis Muñz 4

5 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 3. El rdi de l irunfereni irunsrit l triángul, nid un ld y su ángul puest. prtir del Terem del Sen pdems relinr fáilmente un triángul n l irunfereni irunsrit l mism. 2R sen sen R O emstrión: nsiderms el triángul. Se d el diámetr de l irunfereni irunsrit, se verifi: El triángul es ret en (su ángul entrl mide 180º). Ls ánguls y sn igules (pues rn el mism r ) sen demás, en el triángul se verifi: sen 2R 2R 2R lul el rdi de l irunfereni irunsrit l triángul siend que 3 m y 60º. Sluión 2R 3 3 R 1,72 m 2 sen 60º 2 0,87 Si 4 m y  30º, lul el rdi de l irunfereni irunsrit l triángul. Sluión: 4 2R 2R 8 2R R 4 m sen30º Luis Muñz 5