ALGEBRA. Curso: 3 E.M. Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas. Nombre: CURSO: Unidad de Aprendizaje: La Parábola

Transcripción

1 Colegio SSCC Concepción - Depto. de Matemáticas Unidad de Aprendizaje: La Parábola Capacidades/Destreza/Habilidad: Racionamiento Matemático/ Aplicación / Calcular, Resolver Valores/ Actitudes: Respeto, Solidaridad, Responsabilidad / Trabajo en equipo, Cumplimiento Curso: 3 E.M. ALGEBRA Aprendizajes Esperados: Grafiquen y determinen las ecuaciones algebraicas de la parábola a partir de elementos dados de ella Recursos TICs: Presentación de la unidad a través de POWERPOINT Evaluación de proceso: Corrección de tareas, interrogaciones, trabajo en clases Tiempo: 4 bloques Profesor Responsable: Miguel Fernández Riquelme Unidad: La Parábola Definición: Función Polinómica. Nombre: CURSO: 1

2 LA PARÁBOLA Se le llama parábola al lugar geométrico (conjunto de puntos) cuyas distancias a un punto fijo F y a una recta fija d, llamados foco y directriz respectivamente, sean iguales. Ecuación en forma principal Deducción de la ecuación principal de la parábola Consideremos que para todo punto P de la parábola se debe cumplir que: PF = PD A partir de la fórmula de la distancia tenemos que: PD PD y PF PF x ( p)) y y x p x p x p y 0 x p y Sustituyendo en la expresión de distancias resulta: PD PF x p x p y Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene x p x p y x x px p px p x x px p px p y y

3 Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene: y 4px Ecuación principal de la parábola de vértice en el origen y sus ramas a la derecha. y = 4px Análogamente podemos deducir: La ecuación de la parábola con vértice en el y sus ramas a la izquierda es: origen y = - 4px La parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación: 3

4 VÉRTICE: Punto (V) de la parábola EJE DE SIMETRIA: recta determinada por el foco y el vértice FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje de simetría al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice. DIRECTRIZ (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola. DISTANCIA FOCAL: Magnitud (p) de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz. CUERDA: Segmento que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal. Ahora para las parábolas que van hacia arriba y con vértice en (0, 0) la ecuación es: x = 4py y para las parábolas que van con sus ramas hacia abajo y con vértice en (0, 0) la ecuación es x = -4py 4

5 Ahora si el vértice de la parábola se ubica en el punto (h, k) entonces se produce una traslación del origen, es decir para la parábola y = 4px que tiene su vértice en el origen y ramas a la derecha quedaría (y - 0) = 4p(x 0) luego la traslación del vértice en el punto (h, k) quedaría: (y - k) = 4p(x - h) Ejemplo. (y - ) = 0,5(x + 3) Ecuación de la parábola con vértice (-3, ) y sus ramas hacia la derecha. Para la parábola que tiene sus ramas hacia la izquierda y vértice en (h, k) la ecuación será (y - k) = - 4p(x - h) Ejemplo. (y + 4) = 0,5(x + 3) Ecuación de la parábola con vértice (-3, ) y sus ramas hacia la izquierda. Para la parábola que tiene sus ramas hacia arriba y vértice en (h, k) la ecuación será (x - h) = 4p (y - k) Ejemplo. (x - 3) = 0,3(y + ) Ecuación de la parábola con vértice (3, -) y sus ramas hacia arriba. 5

6 Finalmente para la parábola que tiene sus ramas hacia arriba y vértice en (h, k) la ecuación será (x - h) = - 4p(y - k) Ejemplo. (x + ) = 0,3(y - 5) Ecuación de la parábola con vértice (3, -) y sus ramas hacia abajo. EJERCICIOS 1. Determinar, la ecuación principal, indicando las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. a. 6y 1x = 0 b. y = - 7x c. 15x = -4y. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen: (Resolver los ejercicios con *) *a. De directriz x = -3, de foco (3, 0). b. De directriz y = 4, de vértice (0, 0). *c. De directriz y = -5, de foco (0, 5). d. De directriz x =, de foco (-, 0). e. De foco (, 0), de vértice (0, 0). *f. De foco (3, ), de vértice (5, ). g. De foco (-, 5), de vértice (-, ). *h. De foco (3, 4), de vértice (1, 4). 6

7 3. Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y las ecuaciones de las directrices de las parábolas: a. y 6y 8x + 17 = 0 b. x x 6y 5 = 0 c. y = x 6x Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (, 4). 5. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-, 3), C(16, 6). Tarea 1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(,0) y su directriz es la recta de ecuación x = -.. Dada la parábola que tiene por ecuación x = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica. 3. Dado el punto B(a, b) con a, b > 0. Demostrar que por el punto B pasa la parábola y Determine el foco y la ecuación de la directriz 4. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación x = y cuyo foco está localizado en el punto F(4, ). 6. Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la gráfica de la parábola cuya ecuación es: 3x 3x 4y 1 = 0 7. Hallar la ecuación general de la parábola que tiene su foco en F(8, 4) y su directriz es la recta de ecuación x = -4. 7