Cónicas. Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá. November 27,

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Carolina Fernández Saavedra
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1 Cónicas Marcos Marvá Departamento de Física y Matemáticas, Universidad de Alcalá November 27, 2013 marcos.marva@uah.es

Cómo definir una cónica Como intersección de un plano y un cono recto de doble hoja Llamaremos Ángulo de conicidad α: ángulo formado por el plano perpendicular al eje del cono y su recta generatriz.

2 Cómo definir una cónica Como intersección de un plano y un cono recto de doble hoja Llamaremos Ángulo de conicidad α: ángulo formado por el plano perpendicular al eje del cono y su recta generatriz. Ángulo de incidencia β: ángulo formado por el plano perpendicular al cono y el plano que corta al cono. Casos degenerados: el plano incidente pasa por el vértice del cono. Punto: α > β Recta: α = β Dos rectas secantes: α β π 2

3 Cómo definir una cónica Casos NO degenerados: el plano incidente NO pasa por el vértice del cono. Circumferencia: β = 0 Parábola: α = β Hipérbola: Elipse: α > β α β π 2

4 Cómo definir una cónica Algebráicamente Como ecuación general de segundo grado: Lugar geométrico Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (1) Conjunto de puntos del plano que satisfacen una determinada propiedad geométrica

5 Cónicas: la circumferencia La circumferencia de centro (a, b) y radio R es el conjunto de los puntos P = (x, y) del plano cuya distancia a (a, b) es R. Imponiendo la condición de la definición, el teorema de Pitágoras proporciona la ecuación (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 (2)

6 Cónicas: la circumferencia Además Si hacemos A = 2a B = 2b C = a 2 + b 2 R 2 en (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 la ecuación anterior adquiere la forma x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 (3) Recíprocamente, toda ecuación de tipo (3) con A 2 + B 2 > 4C 2 es una cirfumferencia de ( A centro 2, B ) A 2 y radio R = B2 4 C

7 Cónicas: la parábola La parábola es el conjunto de los puntos P del plano que son equidistantes a una recta fija L, llamada directriz y a un punto F, llamado foco, que está fuera de dicha recta. Eje es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Vértice es el único punto V de la la parábola que está en el eje.

8 Cónicas: la parábola Ecuación de la parábola cuando el sistema de referencia es tal que el vértice V está en el origen de coordenadas y el foco F en el eje OX: y2 = 2px, (4) donde p es la distancia orientada de foco a la directriz. Si el foco está en el eje de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py (5)

9 Cónicas: la parábola Ecuación canónica de la parábola con vértice en (h, k) arbitrario respecto de un sistema de referencia (x h)2 = 2p(y k) o bien (y k)2 = 2p(x h) (x h) indica desplazamiento horizontal de h unidades. (y k) indica desplazamiento vertical de k unidades. Analogía entre y = f (x h) + k y = f (x) (6)

10 Cónicas: la parábola Teorema: propiedades reflectoras de las parábolas La recta tangente a la parábola en un punto P forma ángulos iguales con 1 La recta que pasa por P y por el foco. 2 La recta que pasa por P y es paralela al eje de la parábola.

11 Cónicas: la parábola Hallar la ecuación de la parábola de vértice (2, 1) y foco (2, 4). Hallar el vértice, en foco, el eje, la directriz y la gráfica de la parábola de ecuación y 2 8y = 4x 8 El receptor de una antena parabólica de T.V. dista 3 dm, del vértice y se se encuentra situado en su foco. Hallar la ecuación de la sección del reflector (se supone dirigido hacia arriba y que su vértice está en el origen de coordenadas). El telescopio de reflexión del monte Palomar utiliza un espejo de contorno circular de 200 plg de diámetro. El perfil del espejo según un di ámetro es una parábola cuya distancia focal es 55.5 pie. 1 Encontrar una ecuación de la sección parabólica. 2 Cuál es la profundidad máxima del espejo?

12 Cónicas: la elipse La elipse es el conjunto de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F 1 y 2 llamados focos es constante. Vértices: puntos de corte de la elipse con la recta que une sus focos. Eje mayor: cuerda que une los vértices. Centro : punto medio del eje mayor. Eje menor: cuerda perpendicular al eje mayor por el centro.

13 Cónicas: la elipse La ecuación de la elipse cuando el sistema de referencia es tal que el origen de coordenadas coincide con el centro de la elipse x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 (7) donde 2a y 2b son las longitudes de los ejes mayor y menor. Proposición: en las condiciones anteriores se cumple a 2 = b 2 + c 2

14 Cónicas: la elipse Proposición: dada una elipse centrada en el origen de coordenadas y ecuación x 2 a 2 + y2 = 1, sus focos están situados en b2 1 Si a > b, entonces F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0), c = 2 Si a = b, es una circumferencia. 3 Si a < b, entonces F 1 = (0, c), F 2 = (0, c), c = a 2 b 2. b 2 a 2.

15 Cónicas: la elipse Forma canónica de la ecuación de elipse con centro en (h, k) Donde (x h) 2 (y k)2 a 2 + b 2 = 1 (8) Si a > b en (8) los focos (h ± c, k) están sobre la recta y = k. Si a < b en (8) los focos (h, k ± c) están sobre la recta x = h. Determinar los vértices y los focos de la elipse de ecuación 9x y 2 36x + 150y + 36 = 0 x 2 + 4y 2 2x + 2y 11 = 0

16 Cónicas: la elipse La excentricidad de una elipse es le cociente Para una elipse se cumple que e = c a 0 < e < 1 Determina la ecuación de la elipse de excentricidad 3 5 y cuyos vértices son (±5, 0).

17 Cónicas: la elipse Teorema: propiedades reflectoras de la elipse La recta tangente a una elipse en un punto P forma ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por cada uno de los focos.

18 Cónicas: la hipérbola La hipérbola es el conjunto de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F 1 y F 2 llamados focos es constante e igual a, digamos, k.

19 Cónicas: la hipérbola La ecuación de la hipérbola Si el sistema de referencia es tal que los focos se situan sobre el eje de abcisas y el origen de coordenadas es el punto medio de los mismos, x 2 a 2 y2 b 2 = 1 (9) Vértices: puntos de corte con el eje 0X; ( a, 0), (a, 0) (a = k 2 < c). a y b = c 2 a 2 son las longitudes de los ejes mayor y menor.

20 Cónicas: la hipérbola Cuando los focos se situan sobre el eje de ordenadas en (0, c) (0, c) la forma canónica de la ecuación de la hipérbola es x 2 b 2 y2 a 2 = 1 (10) Las rectas y = b a x y = b a x son las asíntotas de la hipérbola de la izquierda.

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