CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

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1 CARÁCTER DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA La Geometría Elemental, conocida a por el estudiante, se denomina también Geometría PURA para distinguirla del presente estudio. Recordaremos que por medio de un sistema coordenado es posible obtener una correspondencia biunívoca entre puntos números reales. Esto, como veremos, nos permitirá aplicar los métodos del ANÁLISIS A LA GEOMETRÍA; de ahí el nombre de GEOMETRÍA ANALÍTICA. Al ir avanzando en nuestro estudio veremos, por ejemplo, como puede usarse, ventajosamente, los métodos algebraicos en la resolución de problemas geométricos. Recíprocamente, los métodos de la Geometría analítica pueden usarse para obtener una representación geométrica de las ecuaciones de las relaciones funcionales. El sistema de sistema coordenado, que caracteriza a la Geometría Analítica, fue introducido por primera vez en 67 por el matemático francés René Descartes (96 60). Por esta razón, la Geometría Analítica se conoce también con el nombre de GEOMETRÍA CARTESIANA. Por la parte que toma en la unificación de las diversas ramas de la Matemática, la introducción de la Geometría Analítica representa uno de los adelantos más importantes en el desarrollo de la Matemática. En Geometría pura, el estudiante recordará que, generalmente, era necesario aplicar un método especial o un artificio, a la solución de cada problema; en Geometría Analítica, por el contrario, una gran variedad de problemas se pueden resolver mu fácilmente por medio de un procedimiento uniforme asociado con el uso de un sistema coordenado. El estudiante debe tener siempre presente que está siguiendo un curso de Geometría Analítica que la solución de un problema geométrico no se ha efectuado por Geometría Analítica si no se ha empleado un sistema coordenado. Según esto, un buen plan para comenzar la solución de un problema es trazar un sistema de ejes coordenados propiamente designados. Esto es de particular importancia en los primeros pasos de la Geometría Analítica, porque un defecto mu común del principiante es que si el problema que se trata de resolver se le dificulta, está propenso a caer en los métodos de la Geometría Pura. El estudiante deberá hacer un esfuerzo para evitar esta tendencia para adquirir el método espíritu analítico lo más pronto posible. La Geometría Analítica, una unión de la Geometría del Álgebra, permite analizar ciertos conceptos geométricos de manera algebraica e interpretar ciertas relaciones algebraicas de manera geométrica. Los dos principales objetivos se centran en la graficación de ecuaciones algebraicas la determinación de ecuaciones de figuras geométricas útiles. - -

2 SISTEMAS DE COORDENADAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DADOS (EN EL PLANO) Sean P (, ) P (, ) dos puntos del plano cartesiano. P Queremos encontrar la distancia d entre P P.Por P trazamos una paralela al eje por d P una paralela al eje, cortándose éstas en M como se indica en la figura. P M Consideremos el triángulo rectángulo P MP. Por el teorema de Pitágoras, tenemos: d = (P M) + (P M) Pero: P M = P M = d = ( ) + ( ) d ( ) ( ) TEOREMA DE PITÁGORAS A c b C a c a b EJEMPLOS:.- Encontrar la distancia entre los puntos: P (, ) P (, ). Si aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos: P d d ( ( ) d 6 6 d 00 d 0 ) ( ( ) ) P - -

3 .- Hallar la distancia entre los puntos (, ) (, 7) d d ( ( ) d 9 d ) ( (7 ) ) DIVISIÓN DE UN SEGMENTO POR UNA RAZÓN DADA Sean P (, ) P (, ) son los etremos de un segmento P P las coordenadas (, ) de un punto P que divide a este segmento en la razón P dada r P P : P P. Vamos a encontrar las coordenadas e del punto P Por los puntos P, P, P, trazamos perpendiculares a los ejes coordenados, tal como en la gráfica. Por Geometría elemental, las tres rectas paralelas intersecan segmentos proporcionales sobre las dos transversales. P P A A A RECUERDE Teorema: Tres rectas paralelas intersecadas por dos transversales, determinan segmentos proporcionales en dichas rectas A D Entonces: P P PP AA AA C E F Tenemos que: P P r A A = AA = PP Sustituendo tenemos: r A DE C EF - -

4 Resolviendo: r r r r r r r r r r r Por lo tanto: Por un procedimiento semejante encontramos, así tenemos: Caso especial: Punto medio: (r = ); en este caso las coordenadas de P son: ; Ejemplo:. Si P (, ) P (7, ), son dos puntos etremos del segmento P P. Hallar las coordenadas de un punto P(, ) que divide a este en una razón r = Solución: r r r r P (7, 7) REFUERZO Nº. Hallar el perímetro del cuadrado cuos vértices son :(, ); (0, ); (, ); (, ).. Demostrar que los puntos (, ); (6, 9); (, ) son los vértices de un triángulo isósceles.. Demostrar que los puntos (, ); ( 8, ); (, ) son vértices de un triángulo rectángulo hallar su área.. Demostrar que los tres puntos (, ); (, ); (, ) son colineales es decir que están en la misma recta.. Demostrar que los puntos (0, ), (, ); (7, ); (, ) son los vértices de un cuadrado. 6. Los vértices de un triángulo son A (, 8); (, ); C (6, ) si D es el punto medio del lado C calcular la longitud de la mediana AD. 7. Demostrar que los cuatro puntos (, ); (, ); (, 6); (9, ) son los vértices de un paralelogramo. 8. Calcular el área del triángulo cuos vértices son los puntos (, ); (, ); (, 0) 9. Los vértices de un triángulo son A (, ); (, ); C (7, ) si D es el punto medio del lado A E es el punto medio del lado C demostrar que el segmento DE es la mitad de la longitud del lado AC. 0. En el triángulo rectángulo del ejercicio demostrar que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices. NOTA: Realizar un gráfico para cada ejercicio. - -

5 ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA Una línea recta analíticamente, es una ecuación lineal de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cua ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta. Una recta queda determinada completamente si se conoce dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc. ÁNGULO DE INCLINACIÓN Es el ángulo formado por la recta la parte positiva del eje de las X, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba. Evidentemente, Ө puede tener cualquier valor comprendido entre 0º 80º; es decir, su intervalo de variación está dado por: 0º Ө 80º ' Para la maor parte de los problemas de Geometría analítica, emplearemos más la tangente del ángulo de inclinación que el ángulo mismo. Según esto: PENDIENTE Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta m = tg P a la tangente de su ángulo de inclinación. Para deducir su ecuación, diremos que: P A Si P (, ) P (, ) son dos puntos de una recta, entonces, su pendiente es: m DEMOSTRACIÓN: m = tg P A m tg P P A A = P A = Sustituendo tenemos: m, - -

6 EJEMPLOS:. Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (, ) (, ). m m m P (,) 6 P (,) Hallar la pendiente el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (, ) (, ). m m (La recta es paralela al eje ) P(, ) P(, -). Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (, ) ; P (, ) m 8 0 Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, su ángulo de inclinación será de 90º. Como Tg 90º no está definida, la pendiente de una recta paralela al eje Y - 6 -

7 no eiste. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X no tiene pendiente. Se recordará que no es un número.. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (, ) ; ( -, -) 6 6 m entonces 6 m. Encontrar la pendiente de una recta que pasa por los puntos P (, ) ; P (, 7 ) m 7 ( ) 8 8 PARALELISMO Y PERPENTICULARIDAD PARALELISMO Dos rectas L L son paralelas, cuando tienen la misma pendiente, es decir: m = m PERPENDICULARIDAD Dos rectas L L son perpendiculares cuando la pendiente de la una es igual al recíproco de la otra cambiada de signo, es decir: m m ÁNGULO FORMADO POR DOS RECTAS Sea L L dos rectas que se intersecan en el punto P formando los ángulos suplementarios. Sean A las intercepciones de L L con el eje. Se ha formado el triángulo AP, en el que tenemos el ángulo interior en ángulo eterior

8 Por geometría elemental, un ángulo eterior de un triángulo es igual a la suma L L de los ángulos interiores opuestos. m m Entonces tenemos: = + P Despejando (ángulo formado entre las dos rectas), tenemos: = - Aplicando la tangente a los dos miembros 0 A de la igualdad tenemos: tg = tg ( - ) tg tg tg tg.tg Pero: tg = m ; tg = m Entonces: tg m m m.m EJEMPLO:.- Hallar los ángulos agudos del paralelogramo cuos vértices son los puntos: A (, ); (, 6); C (, 6) D (9, )

9 6 ma ma m m TgA m.m 0 TgA (0) o A. mad mad 0 9 A Y 6 m m D 9 C X Pero como ACD es un paralelogramo, tiene sus ángulos opuestos congruentes. Entonces: C =. REFUERZO Nº. Decir qué ángulo de inclinación tienen las siguientes rectas: a) el eje b) el eje c) una recta paralela al eje dirigida hacia la derecha d) una recta paralela al eje dirigida hacia la izquierda.. Hallar la pendiente el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos: (, ) ( 7, ).. Los vértices de un triángulo son los puntos (, ); (, ); (, ). Calcular la pendiente de cada uno de los lados.. Una recta de pendiente pasa por el punto (, ). La abscisa de otro punto de la recta es. Hallar su ordenada.. Dos rectas se cortan formando un ángulo de. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de, calcular la pendiente de la recta inicial. 6. Por medio de pendientes demuéstrese que los tres puntos (6, ); (, ) (, ) son colineales. 7. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (, ) (, ) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (, ) (, 7)

10 LA LÍNEA RECTA DEFINICIÓN.- Es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes P P, el valor de la pendiente m es la misma. FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA. ECUACIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE. Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos su dirección (pendiente). Analíticamente, la ecuación de la recta puede estar perfectamente determinada si se conocen las coordenadas de uno de sus puntos su ángulo de inclinación ( por tanto su pendiente). Una ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto P (, ) es: = m( ) Recuerde que la fórmula punto pendiente, P (, ) denotado al punto dado P (, ) denotado a cualquier otro punto sobre la recta P (, ) DEMOSTRACIÓN: Sea el punto P(, ) un punto cualquiera de la recta, diferente del punto dado P (, ). Por la definición de pendiente se tiene: m De la cual obtenemos, inmediatamente, quitando denominadores, la ecuación () que es: = m( ) () Recíprocamente, si las coordenadas de cualquier otro punto P (, ) satisfacen (), tenemos: 0 P (, ) m que es la epresión analítica de la definición de recta, aplicando a los dos puntos P (, ) P (, ). Por tanto, P está sobre la recta. Esto completa la demostración

11 EJEMPLOS..- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (, ) tiene una pendiente de. Representar gráficamente. Datos: m = ; P (, ) = m( ) = ( ) = 9 = P,.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (, ) tiene una pendiente de. Representar gráficamente. Datos: m = ; P (, ) P, = m( ) = ( ( ) ) = ( + ) = + + = 0 - -

12 ECUACIÓN DE LA RECTA, CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS. Sean P (, ) P (, ) dos puntos diferentes, dados sobre una recta. Al hallar la pendiente de esta recta, se tiene: m Utilizamos la forma de la ecuación de la recta punto pendiente, sabiendo que: P (, ) m Luego aplicando la fórmula punto pendiente se cumple que: P, P, ECUACIÓN CONOCIDOS DOS DE SUS PUNTOS Ejemplos:. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ( 6, 7) P (, ) Solución: Aplicando la fórmula tenemos: La ecuación es: = P(-6, 7) 9+7+ =0 P(, -) - -

13 . Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (, ) P (, 7) ( ) 7 ( ) ( ) P (,7) P (,). Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (, ), P (, ). ( ) ( ) 8 ( ) P (, ) -6-7 P (,) REFUERZO Nº (Grupo 9 pág. 6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) tiene pendiente.. Una recta con pendiente pasa por el punto (, ). Un punto sobre la recta tiene ordenada, hallar la abscisa de dicho punto.. Hallar la ecuación de la recta determinada por los puntos (, ) (, ).. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 0) (m, m). - -

14 . Los vértices de un cuadrilátero son: A (0, 0); (, ); C (6, 7); D (8, 0). Hallar las ecuaciones de sus lados. 6. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento A (, ), (, 6). OTRAS FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ECUACIÓN DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA DE ORIGEN. La recta cua pendiente es m cua ordenada en el origen es b tiene por ecuación: m b DEMOSTRACIÓN: Consideremos una recta l, cua pendiente es m cua ordenada es en el origen, es decir, su intersección con el eje Y, es b. Como se conoce b, el punto cuas coordenadas son (0,b) está sobre la recta. Por tanto, el problema se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto tiene una pendiente dada. Según el teorema, la ecuación buscada es : m( ) b m( 0) o sea EJEMPLOS = m + b.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la ordenada 6 cua pendiente es. Representar gráficamente. Datos: m = ; b = 6 = m + b = + 6 b 0 P(0,6) 6 (0,b) P (, ) b 6 - -

15 .- Hallar la ecuación de la recta que pasa por la ordenada cua pendiente P(0,) es -. Representar gráficamente. Datos: m = ; b = = m + b = + - ECUACIÓN SIMÉTRICA DE LA RECTA. La recta cuas intersecciones son con los ejes X e Y son a 0 b 0, respectivamente tiene por ecuación: a b Sean (a 0) (b 0) los segmentos que una recta determinan sobre los ejes X e Y es decir, sus intercepciones. Entonces (a, 0) (0, b) son dos puntos de la recta. Por tanto, el problema de obtener la ecuación de una recta cuando se conocen los segmentos que determinan sobre los ejes se reduce a hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos tenemos, por el teorema que dice: La recta que pasa por dos puntos dados P (, ) P(, ) tiene por ecuación: ( ) Si reemplazamos los valores en la ecuación nos queda: 0 b 0 ( a) de donde a 0 a b b ab 0 (0,b) a (a,0) - -

16 Transponiendo b al primer miembro dividiendo por ab, obtenemos EJEMPLOS: a b. Encontrar la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos P (, 0), P (0, ). 0 P (0,) b Datos: a = ; b = 0 P (,0) a - -. Una recta de pendiente pasa por el punto (, 6). Hallar la ecuación de la recta en la forma simétrica. Solución: Primero hallamos la ecuación de la recta, utilizando la fórmula punto pendiente: m (Ecuación de la recta) P, 6 Para hallar la forma simétrica trasponemos el 8 al segundo miembro de la ecuación, luego dividimos para 8 obteniendo así: - 6 -

17 Ecuación simétrica de la recta REFUERZO Nº. Sea el triángulo formado al unir los puntos: A (, ); (, ) C (, ). En este triángulo, calcular: a) Las ecuaciones de los lados. b) La ecuación de una recta que pasa por el vértice A es paralela al lado C. c) Las ecuaciones de las medianas. d) Las ecuaciones de la mediatrices de los lados.. Hallar la ecuación de la recta cua pendiente es que pasa por el punto de intersección de las rectas + 8= = 0.. Los segmentos que una recta determina sobre los ejes e son respectivamente. Hallar su ecuación.. El punto P de ordenada 0 está sobre la recta cua pendiente es que pasa por el punto A (7, ). Calcular la abscisa de P.. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos: (, 6) (, 0). 6. Una recta pasa por el punto A (7, 8) es paralela a la recta que pasa por los puntos C (, ) D (, ). Hallar su ecuación. 7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (, ) determina sobre el eje el segmento Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son: = 0 ; + 0 = 0 ; 8 9 = = 0. Demostrar que la figura es un paralelogramo hallar las coordenadas de sus vértices. NOTA: Realice un gráfico para cada ejercicio

18 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Una ecuación general de la recta es una ecuación del tipo: A C 0 ( ) En donde A, C; son número reales, A o tienen que ser diferente de cero C puede o no ser igual a cero. La ecuación () se llama la forma general de la ecuación de una recta. Ahora vamos a considerar el caso inverso, a saber, la ecuación lineal (), representa siempre una línea recta? Para contestar a esto eaminaremos las dos formas posibles de la ecuación () con respecto al coeficiente de, es decir, las formas para 0 0. CASO I ( = 0 ) Si = 0, entonces A 0, la ecuación () se reduce a la forma: C ( ) A Pero ( ) es de la forma = k, que es la ecuación de una recta paralela al eje Y. CASO II. ( 0 ) Si 0, podemos dividir la ecuación () por entonces por transposición se deduce a la forma: A C ( ) ( ) Pero () está en la forma = m + b; por tanto, es la ecuación de una recta cua pendiente m es A cua ordenada en el origen b es C. ( m = A ; b = C ). En consecuencia, vemos que en todos los casos la ecuación () representa una recta. Vamos a hacer un resumen de estos resultados en el siguiente enunciado: Una ecuación lineal en las variables e representa una recta recíprocamente. ( * ) NOTAS:.- Este enunciado muestra lo apropiado del término lineal para designar las epresiones algebraicas de primer grado

19 .- La pendiente de una recta cualquiera, no paralela al eje Y, puede obtenerse directamente a partir de la ecuación. Para ello bastará reducir la forma dada () a la forma (); el coeficiente de es la pendiente. Más sencillamente, todo lo que tenemos que hacer es dividir en () el coeficiente de por el coeficiente de después cambiar el signo. Ejemplos: Calcular la pendiente la ordenada en el origen de las siguientes ecuaciones de la forma general de la recta = 0 A = ; =, C = -8; entonces: m = A C 8 ; b =.- + = 0 A = ; = -, C = : entonces: m = A ; b = C REFUERZO Nº. Hallar la ecuación de la recta determinando los coeficientes de la forma general, que es perpendicular a la recta + = 0 pasa por el punto (-,-).. Hallar el valor de k para que la recta k + (k ) 8 = 0, sea paralela a la recta = 0.. Hallar la pendiente e intercepciones de la recta = 0.. Determinar el valor de k para que la recta + + k = 0 forme con los ejes coordenados un triángulo rectángulo de área igual a ½ unidades cuadradas.. Demostrar que la recta que pasa por los puntos (, ) (7, ) biseca al segmento cuos etremos son los puntos (8, ) (, ). 6. Demostrar que las rectas = 0 ; = 0 ; 6 = = 0 forman un paralelogramo hallar las ecuaciones de sus diagonales. 7. Demostrar que las rectas 6 = 0 ; + + = 0 ; + = 0 ; = 0 forman un cuadrado. 8. Hallar el ángulo agudo formado por las rectas 9 + = =