2.1 Derivadas Tipo Función Simple Función Compuesta

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1 Tema 2: Derivadas, Rectas tangentes y Derivabilidad de funciones. 2.1 Derivadas Tipo Función Simple Función Compuesta Constante Identidad Potencial Irracional Exponencial Logarítmica Suma Resta Producto Cociente Producto por un nº Composición REGLAS DE DERIVACIÓN La derivada de una suma es la suma de las derivadas de estas funciones. La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas de estas funciones. La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada de la segunda. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador y, todo ello, dividido por el denominador sin derivar al cuadrado. La derivada del producto de un número real por una función es igual al número real por la derivada de la función Regla de la cadena

2 Ejemplos de derivadas de operaciones. Derivadas de la función constante: ; ; Derivadas de la función potencial: ; ; Derivadas de la función irracional: ; ; Derivadas de la función exponencial: ln2; ln8 ; Derivadas de la función logarítmica: ; ; Derivada de la suma y resta de funciones: Derivada del producto de funciones: Derivada del cociente de funciones: ; ; ; Derivada del producto de un número por una función Ejemplos de derivadas (Regla de la caden. Derivada de una función en un punto. La derivada de una función y = f(x) en un punto x=a, es un número real, que representa la pendiente ( de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. y = f(x) f (=m y = mx+n La derivada en un punto se representa por f ( y coincide con m. a Ejercicio 1 Halla las derivadas de las siguientes funciones: f) h) q) r) s) t) u) v)

3 Ejercicio 2 Halla las derivadas de las siguientes funciones a trozos: f) h) 2.2 Ecuación de la recta tangente a una curva La pendiente de una recta puede ser positiva (r. crecient, negativa (r. decrecient o nula (recta horizonta: La ecuación de la recta tangente a una curva en un punto es: donde, es la pendiente de la recta, que coincide con la pendiente de la curva en Ejemplos: o Sea la función Halla la ecuación de la recta tangente a la función en o Halle los puntos de la función f(x)= + 1 en los que la recta tangente tiene de pendiente 12 f (x)=3 = m = 12 3 = 12 = = 4 x= x= ) y Q(-2,f(-2)) f(2)= + 1 = 9 f(-2)= + 1 = -7 9) y Q(-2,-7) Ejercicio 3: Hallar las ecuaciones de la rectas tangentes a la funciones en los puntos propuestos: en en el punto en en f) Pasa por el punto Pasa por el punto h) tiene de pendiente 3 en tiene de pendiente 4

4 2.3 Derivabilidad Una función es derivable en un punto son iguales: f '(a + ) = f '(a - ), si en ese punto la función es continua y las derivadas laterales Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Si una función no es continua en un punto, tampoco es derivable. o Derivabilidad de una función: 1. Estudiaremos el dominio de la función: En todo punto que no pertenezca al dominio, la función no será continua, y por lo tanto no será derivable 2. Estudiaremos la continuidad en los cambios de rama: - Si la función no es continua en el cambio de rama, no será derivable en ese punto. - Si la función es continua en el cambio de rama, hay que estudiar la derivabilidad en ese punto. o Gráficas de la derivabilidad en un punto: - Si una función es continua y no derivable en un punto, en ese punto existirá un pico. - Si una función es continua y derivable en un punto, en ese punto la función será redondeada Ejemplo: Estudia la derivabilidad de f(x)= El dominio de toda la función es, o sea, todos los Reales. Continuidad en f(0)=1 Como coinciden los tres: es continua en x=0. Es Continua en todos los Reales. f (x)= f (0-)=-2 f (0+)=-1 Como no son iguales, no es derivable en x=0. Es derivable en todos los reales menos en x=0 Ejercicio 4: Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: Ejercicio 5: Halla a y b para que la función sea derivable:

5 Ejercicio : Halla las siguientes derivadas:... ; f). h). q) r) s) t) u) v) w) x) y) z)