Dinámica del punto material.

Transcripción

1 Departamento: Físca Aplcada III Mecánca aconal (Ingenería Industral) urso 7-8 I. rncpos de la Dnámca. Dnámca del punto materal. 1 Introduccón. Estuda el movmento tenendo en cuenta las fuerzas rncpos váldos para sstemas de referencas nercales. rncpos comunes con otras cencas. a. Determnsmo: Lo ocurrdo en un nstante está determnado por el anteror b. ausaldad: A las msmas causas le corresponden los msmos efectos 3 ostulados específcos. a. Espaco:. Unforme: ropedades guales en todos sus puntos.. Isótropo: ropedades guales en todas dreccones Absoluto ó sstema de referenca nmóvl: rgen: Barcentro del sstema solar Dreccones fjas: Estrellas fjas v. tro S.. váldo: Galleano ó nercal, se traslada unformemente respecto del absoluto. v. No relatvsta: tras leyes de trasformacón respecto del absoluto b. Tempo:. Absoluto. Transcurre unformemente 4 rmer rncpo de la Dnámca. a. Enuncado: El movmento de una partícula sobre la que no actúan fuerzas o su suma es cero, es rectlíneo y unforme b. oncepto mplícto de efectos de las fuerzas: camba la velocdad de las partículas c. oncepto mplícto de Sstema de eferenca Inercal Un S.. es nercal s cumple el prmer prncpo de la dnámca: se observa una partícula lbre de nteraccones, con movmento rectlíneo y unforme ropedades de los S..I. 1: Todos los observadores en movmento relatvo de traslacón unforme mden déntca aceleracón del msmo punto móvl. Hpótess: se traslada unformemente respecto de 1, a,1 =, ω,1 = a = a + a + ω v a = a,1,,1,1,,1, : S 1 es nercal y se traslada unformemente respecto de 1, es nercal se traslada unformemente respecto de 1, a,1 = a, 1 es nercal a,1 = a, = v, = cte, ve a con m.r.u. es nercal

2 Dnámca del unto Materal 5 Segundo prncpo de la Dnámca. a. Enuncado: F = ma (medda dnámca de las fuerzas) b. onceptos mplíctos:. Las fuerzas se comportan como vectores lgados aplcados a la partícula onsecuencas 1. uede proyectarse en cualquer dreccón F = ma F = ma, ( = 1 ). La suma de las fuerzas produce suma de efectos (aceleracones). F = ma, F = m a. Masa nercal: constante de proporconaldad entre las fuerzas y las aceleracones que producen. Mde la resstenca al cambo de de velocdad onsecuenca: rncpo de equvalenca. Masa en campo gravtatoro: F = mg mg = ma g = a Masa nercal = masa gravtatora ampo gravtatoro = ampo acelerado. c. esuelve conceptualmente el problema dnámco: Dada la fuerza se pueden obtener las F ecuacones del movmento (Integracón de la aceleracón a = ) m 6 rncpo de accón y reaccón. a. Enuncado: Las fuerzas ó nteraccones entre dos partículas son guales, de sgno contraro y stuadas en la recta que une las masas. F1, = F,1 b. onceptos mplíctos:. La cantdad de movmento de dos partículas asladas se conserva.. Δv1 Δv m1 lm = m lm Δ mv 1 1 +Δ mv =, mv mv = p( cte.) Δ t Δt Δ t Δt Los efectos de las nteraccones entre partículas son nstantáneos II Integrales prmeras. 1 Formulacón del problema dnámco. a. Dadas la ley horara r = r() t obtener la fuerza b. Dadas las fuerzas F = F ( r, r, t), obtener las leyes horaras del movmento r = r() t y las trayectoras: Solucón de tres ecuacones dferencales de º orden. Integrales prmeras: Ecuacones dferencales de prmer orden. Teorema de conservacón de la cantdad de movmento. a. S la partícula está aslada ó F = p = mv =cte b. royeccón en una dreccón: F = ma. F = ma, s F = v ct e 3 Teorema del mpulso mecánco y de la cantdad de movmento. di = Fdt F dt = Δ p t t : mpulso mecánco elemental, (tene mportanca en dnámca mpulsva). = pag. / 1

3 Dnámca del unto Materal 4 Teorema de la energía cnétca. a. Enuncado: El trabajo de la resultante se emplea en cambar la energía cnétca de la partícula. W = ΔT b. Demostracón ( ) 1 dv : d ' W = F dl = m dl = m v dv dt = d T W = Δ T dw ' = dt dw ' dt dw ' =, = = F v, dt dt dt dt F v = dt = Expresón en forma dferencal: Expresón en térmnos de potenca: c. aso de fuerzas conservatvas F U : F dl = d U, dw = du, du = dt, d( T + U) = T+U=E (E constante) d. aso de fuerzas conservatvas y no conservatvas: W = W + W, W Δ U =ΔT, Wnc=Δ(T+U); N. N.. dt ( + U) Expresón en térmnos de potenca: FN. v = dt e. aso de fuerzas normales a las trayectoras y otras fuerzas actvas conservatvas (W N.. =) T+U=E Ejemplos: Trabajo de la tensón de un hlo en un movmento con suspensón Trabajo de las fuerzas de lgaduras deales en superfces y líneas vnculares f. Aplcacón: Una masa supuestamente puntual se encuentra sobre una superfce horzontal bajo la accón de un resorte tambén en poscón horzontal. btener una ntegral prmera del movmento. 5 Teorema del momento cnétco: dl o a. Expresón del teorema: = M + v dt b. Momento cnétco: L = mv L : Vector fjo ó lgado al punto v : Velocdad absoluta del punto móvl, medda respecto de un S..I. : entro de reduccón. dl d dmv dl c. Demostracón: = mv + ; = ( v v ) mv + F; dt dt dt dt M = F ; ( ) v v mv = v mv = v, ( = mv : cantdad de movmento) d. asos de cancelacón del térmno complementaro: o o dl S v =, ó v v = M dt o e. Teoremas de conservacón (Integral prmera) en el caso v =. S M = L = cte. M = F = F : Fuerzas centrales Interpretacón geométrca: L = cte. Velocdad areolar constante d Δ r r Δr da L = m ; L = m lm r ; L = m lm ; L = m dt Δ t Δt Δ t Δt dt Enuncado: S las fuerzas son centrales la velocdad areolar se conserva.. Generalzacón: royeccón en una dreccón constante y en el caso de fjo 1 El trabajo W es una funcón que depende de la trayectora y no tene dferencal exacta pag. 3 / 1

4 Dnámca del unto Materal dl dl () = M = M dt dt Subteorema 1: S M = ( F) = (, F, : coplanaros) L = ct e Subteorema :. S F corta a, ó F, la proyeccón de la velocdad areolar en el plano normal a se conserva. (Interpretacón geométrca), F, : coplanaros F = λ + μ, F posee dos proyeccones F, F y el producto ( F ) se anula con cualquera de esas proyeccones. Luego L = cte., pero L es proporconal a la velocdad areolar proyectada en la dreccón normal a c. Aplcacones: a) Masa sobre una superfce horzontal. b) Masa sobre una superfce cónca sn rozamento y sujeta medante un resorte al vértce. III Sstemas de referencas no nercales. 1 Nomenclatura de los sstemas de referenca. a. 1 Inercal ó absoluto b. No nercal ó relatvo, donde se desea la descrpcón. c. S.. asocado a la partícula objeto de estudo. Descrpcón en sstemas de referenca relatvos ( ). a. Análss general 1 1 El segundo prncpo de la dnámca solo es aplcable en sstemas de referencas nercales. S hemos de operar en otros S.. se ha de modfcar la segunda ley de Newton. Ley de composcón de aceleracones: a,1 = a, + a,1 + ω,1 v, Multplcando por m, tenendo en cuenta que F = ma,1 y despejando ma, F = ma,1 = m ( a, + a,1 + ω v,1,) F m( a,1 + ω,1 v,) = ma,. F + Fa + F = ma, uede conclurse que s nclumos las fuerzas no nteractvas, llamadas de nerca Arrastre: Fa = ma,1 orols F = m ω,1 v,, la descrpcón dnámca es análoga a la de los sstemas de referenca nercales y podrá utlzarse los msmos teoremas. Estas fuerzas pueden trabajar ó no, ser conservatvas, etc. Fuerzas de Inerca: Fuerzas no nteractvas se deben a que el sstema de referenca no es nercal b. Análss de la fuerza de arrastre Fa = ma,1. Expresón general Fa = ma,1 m α,1 mω,1 ( ω,1 ). aso de /1 en movmento de traslacón permanente: ω,1 =, α,1 = Fa = ma,1 = ma,1, F =. aso de /1 en movmento de rotacón pura (no helcodal) y con el punto stuado en el eje de rotacón (ver fgura): m α : componente azmutal,1 L proyeccón de sobre L, M ( F) = : momento áxco de F pag. 4 / 1

5 Dnámca del unto Materal mω ( ω ) : componente centrífuga,1,1 v. aso movmento /1 de rotacón permanente (movmento plano) y unforme v, ( en el E...) α,1 = F = mω a a u ( : rado de gro) 1 Δ U = mω,1 F = m ω v F conservatva m x α = α 1 ω 1 1 ω ω m x ( x ) c. Análss de la fuerza de orols:,1, ; asos en que se anula. 1 F = ω,1 = ó v, = ó ω,1 v, ropedad: No trabaja en el S.. relatvo F v, = b. aso de una partícula lbre: a,1 = a, = a,1 ω,1 v, La partícula lbre se observa con aceleracón. ara aplcar el segundo prncpo debemos consderar que actúan las fuerzas de nerca. ( F = m a ω v a ) I,1,1,, 1,1 3 Aplcacón: Movmento en la superfce terrestre. a. Sstema de referenca fjo 1 : rgen : entro de la Terra b. Sstema de referenca relatvo : Terra. rgen : lugar de la superfce terrestre.. Z : vertcal del lugar X Y : plano horzontal del lugar X : tangente al merdano Y : tangente al paralelo c. Estudo de la gravedad aparente:. aso estátco relatvo a la superfce de la Terra ( a, =, v, = ): Φ+ mg+ Fa+ F = ma,, Φ+ mg+ Fa+ F = F = m ω,1 v,, v, =, F = Fa = ma,1, a,1 = a,1 + α,1 + ω,1 ( ω,1 ) = ω,1 ( ω,1 ) a,1 = : porque está en el eje de rotacón α,1 = : porque se trata de rotacón unforme ω,1 ( ω,1 ): Aceleracón centrífuga Fa = mω,1 ( ω,1 ) * Φ= mg (gravedad aparente) * g = g ω,1 ( ω,1 ): v ): mg+ Fa+ F = ma,, a, = g ** (gravedad aparente) ma = mg ma m ω v g ** = g ω ( ω ) ω v. Movmento relatvo en cada lbre (,,,1,1,,,1,1,1, Z 1 Z X λ 1 Y 1 X 1 artícula sobre la superfce terrrestre Φ m g* Y pag. 5 / 1

6 Dnámca del unto Materal IV Dnámca del punto vnculado. 1 Generaldades. a. oncepto de vínculo: Lmtacón mpuesta a las coordenadas de poscón y ó velocdad de una partícula b. Expresón del vínculo: Ecuacón ó necuacón que lga las coordenadas de poscón y ó sus dervadas temporales y el tempo. Ψ ( r, r, t) = lasfcacón según dferentes crteros. a. Dependenca ó no de dervadas temporales: cnemátcos ó geométrcos b. Dependenca ó no del tempo: reónomos ó esclerónomos c. elacón de desgualdad ó gualdad: unlaterales ó blaterales d. Idealdad ó no: lsos ó rugosos (con rozamento) e. Integrabldad ó no: holónomos y heterónomos (no holónomos) 3 Grados de lbertad. a. Defncón: Nº de coordenadas lbres ó ndependentes que defnen la poscón. b. Expresón: l =3-r. (r =nº de ecuacones de lgadura) c. lasfcacón. Isostátcos: l=. Hperestátcos: l< (aso en el sóldo rígdo). on grados de lbertad: l> 4 rncpo de lberacón. a. Enuncado: La partícula se puede consderar lbre de vínculos s se susttuyen los vínculos por fuerzas de accón vncular que realcen la accón del vínculo. b. aracterístcas de las fuerzas vnculares. ealzan en todo nstante la msma funcón del vínculo al que susttuyen. Su módulo es desconocdo a pror, y depende del movmento y de las fuerzas actvas.. Dreccón en vínculos geométrcos blaterales deales (sn rozamento) Normal a las superfces y líneas vnculares. En el caso de que sea un punto, la dreccón pasa por el. v. Actúan en los movmentos mpeddos ó condconados: 5 Movmento vnculado a una superfce Ψ(x,y,z)= sn rozamento. a. Fuerza de lgadura Φ= λ ψ dr b. Lberacón: F + λ ψ = m. dt Sstema determnado, formado por cuatro ecuacones y cuatro ncógntas: tres ecuacones dferencales de º orden mas la ecuacón de lgadura uede proyectarse en cualquer dreccón constante. F + λ ψ = ma ( ) c. Integrales prmeras: v. aso de sstemas conservatvos donde las fuerzas vnculares no realcen trabajo: F = V, T+U=E (cte.) pag. 6 / 1

7 Dnámca del unto Materal v. aso de sstemas no conservatvos: W N... =Δ (T+U). 6 Aplcacón a. Especfcacón: artícula vnculada sn rozamento a una superfce esférca stuada en el campo gravtatoro terrestre. b. Expresón del vínculo. artesanas: x +y +z =. líndrcas: z + =. Esfércas: = c. lasfcacón del vínculo: Geométrco, esclerónomo, blateral, deal y holónomo. X d. Grados de lbertad: l=3-1=. e. oordenadas lbres en esfércas: θ, φ f. Integrales prmeras en esfércas. Sstema conservatvo (el vínculo no trabaja): T+U=E (cte.) ϕ Z θ u artícula sobre una superfce esférca 1 1 E = mv + mgh= m( θ + sen θ ϕ ) + mgcosθ. La fuerza actva es paralela a Z y la vncular corta al eje Z: L z = cte. ó la velocdad areolar proyectada en XY es constante. Lz = L o k, L = u m( θu θ + senθϕu ϕ), k = ucosθ uθ senθ sen θϕ= cte. mg Φ uθ uϕ Y 7 Movmento vnculado a una curva Ψ 1 (x,y,z)=, Ψ (x,y,z)=, sn rozamento. a. Fuerza de lgadura Φ= λ1 ψ1+ λ ψ, no trabaja b. Lberacón: dr F +Φ= m. dt Sstema de ecuacones determnado, formado por cnco ecuacones y cnco ncógntas: tres ecuacones dferencales de º orden mas dos ecuacones de lgadura. uede proyectarse en cualquer sstema de coordenadas c. Integrales prmeras:. aso de sstemas conservatvos: F = V, T+U=E (cte.). aso de sstemas no conservatvos: W N.. =Δ (T+U). Y W F dl. La fuerza vncular no trabaja. X = N.. N.. 8 Aplcacón: éndulo smple en el vacío. a. Especfcacón: artícula suspendda de un hlo nextensble y sn masa, stuada en el campo gravtatoro, y oblgada a moverse en un plano vertcal. b. Expresón del vínculo. artesanas: x +y =. olares: = c. lasfcacón del vínculo: Geométrco, esclerónomo, blateral, deal y holónomo. d. Grados de lbertad: l=-1=1. θ Φ m g N θ éndulo smple T pag. 7 / 1

8 Dnámca del unto Materal e. oordenada lbre: θ f. Aplcacón del º prncpo en componentes ntrínsecas:. Fuerza de lgadura: Φ=ΦN. Expresón del segundo prncpo: omponente normal: omponente tangencal: dr F +Φ= m dt v Φ mg cosθ = m d s mg senθ = m dt. Solucón para pequeñas osclacones ( sen(θ) θ, s = θ ) g θ + θ =, θ = θ ωt + ϕ cos( ) g π Donde: ω =, ω = T = π g. Integral prmera en coordenadas polares Sstema conservatvo (el vínculo no trabaja): T g 1 1 E = mv + mgh= m mgcosθ θ () = θ, θ () = T+U=E (cte.); θ Solucón para osclacones fntas (ara t=, g = [ cos cos ] t = θ θ θ θ dθ g θ cosθ cosθ ): V Aplcacones cláscas del movmento del punto materal. 1 Movmento rectlíneo. a. aracterístcas. Grados de lbertad: 1. Ecuacón dferencal del caso general: mx = F( x, x, t) b. Fnaldad del estudo. aso con solucón analítca: obtener x=x(t). aso sn solucón analítca: hacer estudo cualtatvo x 1 1 c. Integral prmera en el caso general. Teorema de la energía Fdx mv mv x du d. Movmentos con fuerzas conservatvas. F = : dx. onservacón de la energía: T+U=E (cte.) 1 m x dx mx + U = E x = E U ( x) t = m x E U( x). Análss cualtatvo de la solucón medante la gráfca de potencales U(x)/x: egón del movmento: E-U(x) U(x) E U(x) untos sngulares, lbracón ó retorno x =, E=U(x): E T aso de dos puntos x 1 y x : El movmento está U confnado en el domno x 1 x x ropedad: el movmento es peródco x 1 x Movmento undmensonal con dos puntos de lbracón X pag. 8 / 1

9 Dnámca del unto Materal m x dx T = x1 E U ( x ) aso de fuerzas elástcas F = K( x x ): 1 1 E mx + K( x x) = E, x = x = x ± K aso de un solo punto x 1 : La recta U = E, corta a U(x) en un solo punto. S se drge a x 1, nverte el movmento en x 1 y se aleja ndefndamente. U(x) e. Movmento rectlíneo bajo fuerza conservatva y rozamento dependente de la velocdad: E T. Fuerza de rozamento F U r = μx x. W=Δ(T+U); W =Δ E x = μxd x 1 X. aracterístca: erdda de energía. Movmento aperódco x1 Movmento undmensonal con un solo punto de lbracón Movmento de una partícula sometda a movmento central. a. Solucón medante ntegrales prmeras utlzando coordenadas polares.. onservacón de la velocdad areolar ( ó momento cnétco): θ= ; es el doble de la velocdad areolar. onservacón de la energía. S la fuerza depende solo de la dstanca es conservatva. T+U=E, U( ) = U( ) F dl, U( ) = U( ) F d 1 ( ) ( ) m + θ + U = E b. álculo de la fuerza conocda la ecuacón de la trayectora =(θ) mc d 1 1 Ecuacón de Bnet: F = + dθ 3 Aplcacón. Movmento de un punto materal bajo la accón exclusva de una fuerza central dependente solo de la dstanca de la partícula al centro del movmento. a. Energía potencal de la fuerza central: F = F( ) u U( ) = U() Fds, ds = d u d u + θ ϑ ; U ( ) = U () F( ) d b. Integrales prmeras. onstanca del momento cnétco ó de la velocdad areolar.. M = L = cte.; L = mv = u m u + θu,1 ( ) θ θ= c ; (c= cte= doble de la velocdad areolar) onservacón de la energía: T+U = E (cte.) 1 m c T = m( + θ ), T = + m c + + U( ) = E roblema undmensonal equvalente. 1 ' ( ) m + U = E, donde ' 1 c U ( ) = U( ) + m, Y 1 Y 1 θ F X X 1 pag. 9 / 1

10 Dnámca del unto Materal untos de lbracón: = c. Solucón para un observador no nercal. Sstema de referenca no nercal: rgen centro del movmento, X = aracterzacón: ω,1 = θ k, v,1 =. Ecuacón de la dnámca en el S..N.I. : F + Fa + F = ma, a, = u Fa = ma,1 = m ( a,1 + α,1 + ω,1 ω,1 ) a,1 =, α,1 = θ k u = θ uθ, ω,1 ( ω,1 ) = θ Fa = m θ uθ + m θ F = mω,1 v, = m θk u = mθ uθ Fu mθu + mθ u m θ u = m u θ θ md omponente transversal: ( ) omponente radal: θ e.) dt mθ + mθ = θ = θ = c( ct F + m = m c Susttuyendo en esta últma expresón θ =, se reduce al problema undmensonal equvalente: c F m m 3 + = (Dos fuerzas F y Energías potencales: 1 Energía cnétca: T = m c m ) c mc ducf = m d U 3 cf = onservacón de la energía: T+ U = E, m U( ) Los puntos de lbracón se obtenen mponendo = 3 u 1 mc + + = E Bblografía uadernos de Mecánca. Dnámca. Marcelo odríguez Danta urso de MEÁNIA AINAL. Dnámca. Manuel reto Alberca. Edtoral A.D.I. pag. 1 / 1