Polinomios ortogonales

Transcripción

1 Lección 7 Polinomios ortogonles 7.1 Funciones peso Si (, b) es un intervlo de l rect rel, cotdo o no, un función peso w en (, b) es, por definición, un función rel definid en (, b), continu, positiv excepto quizá en un conjunto finito de puntos (en los que es nul), y tl que pr cd n = 0, 1, 2,... ls integrles existn Ejemplos x n w(x)dx (7.1) ) Supongmos primero que el intervlo (, b) es cotdo. Trs un cmbio linel de vrible podemos tomr (, b) = (-1,1). L función w(x) = (1 x) α (1 + x) β α, β reles, stisfce tods ls condiciones de un función peso, slvo l existenci de ls integrles (7.1). Ests existen si, y sólo si, α >, β > por qué? b) Supongmos que (, b) es semi-infinito y que, trs un cmbio linel de vrible, (, b) = (0, ). L expresión x α e x, α > define un función peso. c) Si (, b) es tod l rect, e x2 es un función peso Dd un función peso w en (, b) l integrl f(x)g(x)w(x)dx (7.2) 79

2 80 Miguel A. Revill define un producto interno en el espcio L 2 w(, b) de ls funciones f pr ls cules f(x) 2 w(x)dx < En l lección nterior hbímos considerdo el cso prticulr de (7.2) en que (, b) er cotdo, y csi siempre usmos w 1. Al introducir funciones peso no idénticmente unidd se hce posible stisfcer (7.1) en un intervlo no cotdo. Notemos demás que el efecto de l función peso en los problems de proximción es que l clculr l distnci f p = f(x) p(x) 2 w(x)dx ls desviciones f(x) p(x) correspondientes los x en que w es myor contribuyen más que ls correspondientes los x en que w es pequeñ. En est lección estudiremos problems de proximción en que X = L 2 w(, b), y S = Π n = {polinomios de grdo n } (por l condición en (7.1), L 2 w(, b) contiene todos los polinomios). Como observmos en l lección precedente, l obtención efectiv de l mejor proximción se simplific notblemente si en Π n se elige un bse ortogonl. L construcción de tles bses se llev cbo en el punto siguiente. 1/2 7.2 Polinomios ortogonles Dd un función peso w en (, b), un sucesión de polinomios ortogonles {Q n } n=0 es quell en que Q n es un polinomio de grdo exctmente n, n = 0, 1, 2,... y demás Q n, Q m = 0 si n m, n, m = 0, 1,... Notemos que, fijd w, si {Q n } y {R n } son dos sucesiones de polinomios ortogonles, entonces Q n = α n R n, n = 0, 1, 2,... donde α n es un número rel no nulo. En efecto, Q n (x) = q n x n Q n(x), R n = r n x n R n(x), donde q n, r n 0 y Q n, R n tienen grdo n 1. Como q n x n Q n(x) y (q n /r n )(r n x n R n(x)) = q n x n (q n /r n )R n(x) son ortogonles todo polinomio de grdo n 1 ( por qué?), result que Q n(x) y (q n /r n )R n(x) son mejores proximciones q n x n por polinomios de grdo n 1. Por l unicidd, Q n(x) = (q n /r n )R n(x) y por tnto q n /r n R n = Q n. En resumen los polinomios ortogonles están definidos slvo un normlizción que determine el coeficiente director (o lterntivmente el vlor en un punto que no se un cero, etc... ) Un propiedd fundmentl es que los polinomios ortogonles se pueden generr por recurrenci TEOREMA

3 Lección 7. Polinomios ortogonles 81 Si {Q n } n=0 es un sucesión de polinomios ortogonles entonces existen constntes c n, n, b n tles que Q n (x) = (c n x n )Q n (x) b n Q n 2 (x), n = 2, 3, 4,... (7.3) Recíprocmente, definiendo Q 0 (x) = 1 Q 1 (x) = x 1 n = xq n, Q n / Q n, Q n, n = 1, 2, 3,... b n = xq n, Q n 2 / Q n 2, Q n 2, n = 2, 3,... Q n = (x n )Q n b n Q n 2, n = 2, 3,... se gener l sucesión de polinomios ortogonles mónicos. Demostrción. Demostrmos sólo el teorem directo, y que el recíproco es nálogo. Como xq n tiene grdo exctmente n, se expres como xq n = α 0 Q 0 + α 1 Q α n Q n + α n Q n, α n 0 ( Por qué los Q i son un bse?). Por consiguiente, dividiendo por α n Q n = β 0 Q β n 2 Q n 2 + β n Q n + β n xq n, pr ciertos β i, y sólo hy que probr que β i = 0 si i < n 2. Ahor bien, pr i < n 2, Q n, Q i = β 0 Q 0, Q i β n 2 Q n 2, Q i + β n Q n, Q i + β n xq n, Q i. El primer miembro es nulo por l hipótesis de ortogonlidd y lo mismo ocurre con todos los Q j, Q i, cundo i j. Por tnto, 0 = β i Q i, Q i + β n xq n, Q i. Ahor bien, xq n, Q i = Q n, xq i ( por qué?) y Q n es ortogonl xq i, l ser el grdo de este < n 1. En definitiv β i Q i, Q i = 0 ó β i = 0, y result En consecuenci, c n = β n y Q n = (β n x + β n )Q n + β n 2 Q n 2 n = β n = β n xq n, Q n Q n, Q n b n = β n 2 = β n xq n, Q n 2 Q n 2, Q n 2 Vemos que β n es el cociente entre coeficientes principles y β n 2 se puede escribir como β n Q n, Q n β n Q n 2, Q n 2 pues Q n, Q n = β n xq n, Q n = β n xq n, Q n, pr todo n. cálculos. Esto evit lgunos

4 82 Miguel A. Revill L relción (7.3) se llm relción de recurrenci de tres términos. Grcis ell es posible evlur eficientemente polinomios P que vengn expresdos en l form P = α 0 Q α n Q n (ejercicio 1.4.7). Por completitud, notemos que si {Q n } 0 es un sucesión de polinomios ortogonles, entonces Q 0, Q 1,..., Q n son un bse de Π n y que l mejor proximción en Π n un función f L 2 w se escribe n p f, Q i = Q i, Q i Q i. (7.4) i= Un propiedd importnte de los polinomios ortogonles es l siguiente: TEOREMA Si {Q n } es un sucesión de polinomios ortogonles y f L 2 w C(, b) es ortogonl Q 0,..., Q n entonces ó f es idénticmente nul ó hy n puntos r i en (, b) en los que f cmbi de signo (es decir, hy un entorno de r i en que ó bien f > 0 pr x > r i, y f < 0 pr x < r i, ó bien f > 0, pr x < r i, y f > 0 pr x < r i ). Demostrción. L condición f, Q 0 = 0 signific f(x)w(x)dx = 0 luego si f no es idénticmente nul, tom vlores positivos y negtivos y, siendo continu, hy, cundo menos, un punto en el que cmbi el signo. Supongmos que cmbie el signo sólo k < n veces, y sen r 1 < r 2 <... < r k los puntos en que lo hce. Entonces f(x)(x r 1 ) (x r k )w(x)dx 0 pues el integrndo no cmbi de signo ( por qué?). Pero esto es bsurdo, pues f debe ser ortogonl (x r 1 ) (x r k ) Π n Corolrio. Q n tiene sus n ríces reles, simples y en el intervlo (, b). 7.3 Sistems clásicos Polinomios de Chebyshev. Los definimos en un cpítulo nterior como T n (cos θ) = cos nθ. Demostrremos hor que {T n } es un sucesión de polinomios ortogonles en (-1,1) pr l función peso 1 1 x 2

5 Lección 7. Polinomios ortogonles 83 (Obsérvese que este es el cso α = β = /2 del ejemplo ) de 7.1.1). En efecto, si n, m son enteros no negtivos. T n, T m = = = π 0 dx T n (x)t m (x) = 1 x 2 cos nθ cos mθdθ = si n m π/2 si n = m 0 π si n = m = 0 π π 0 sen θdθ T n (cos θ)t m (cos θ) sen θ [cos(n + m)x + cos(n m)x]dx Ls relciones T n, T m = 0, n m, n, m enteros no negtivos, junto con T n (1) = 1, n = 0, 1, 2,... crcterizn los polinomios de Chebyshev ( por qué?). Prticulrizndo l fórmul (7.4) l cso presente vemos que si definimos, pr f L 2 w A n = 2 π dx f(x)t n (x), n = 0, 1, 2,... (7.5) 1 x 2 entonces l proximción mejor f por un polinomios de grdo m, respecto de l función peso 1/ 1 x 2 es A n A i T i (x) (7.6) Polinomios de Legendre. Se pueden definir por d n i=1 P n (x) = 1 2 n n! dx n (x2 1) n, n = 0, 1, 2,... (7.7) (ejercicio 7.6.3). Son ortogonles en (-1,1) pr w(x) 1, cso prticulr α = β = 0 en el ejemplo ) de L ortogonlidd se estblece como sigue. Si Q es un polinomio de grdo < n, n = 1, 2,... Q(x) dn dx n (x2 1) n dx = Q(x) dn dx n (x2 1) n 1 Q (x) dn dx n (x2 1) n dx el término integrdo es nulo, y que ±1 son ceros de orden n de (x 2 1) n. Reiterndo el proceso llegmos = () n Q (n) (x)(x 2 1) n dx que es nulo por serlo Q (n) (x) idénticmente. Los {P n } se crcterizn por l ortogonlidd y por l propiedd P n (1) = 1 (ejercicio 7.6.3), por lo que tmbién es posible definir los P n como los polinomios ortogonles en (-1,1) que tomn en 1 el vlor 1. Si se dopt tl definición, (7.7) ps ser un teorem, llmdo de Rodrigues.

6 84 Miguel A. Revill Figur 7.1: Polinomios de Legendre de grdos Polinomios de Lguerre. Se definen por L n (x) = e x dn dx n (xn e x ), n = 0, 1, 2,... (7.8) son ortogonles en (0, ) pr el peso e x, cso prticulr α = 0 del ejemplo b) de Vése el ejercicio Figur 7.2: Polinomios de Lguerre de grdos 0 4 (pr α = 0)

7 Lección 7. Polinomios ortogonles Polinomios de Hermite. Se definen por H n (x) = () n e x2 dn 2 dx n (e x ), n = 0, 1, 2,... (7.9) son ortogonles en (, ) pr el peso e x2, ejemplo c) de Vése el ejercicio Figur 7.3: Polinomios de Hermite de grdos Convergenci de los desrrollos ortogonles Supongmos hor que X es uno de los espcios L 2 w(, b) considerdos en el prtdo y que S n = Π n. Si tommos un sucesión de polinomios ortogonles {Q n } n=0 en L 2 w(, b), l mejor proximción p n f L 2 w por polinomios de Π n, se represent explícitmente como n f, Q i p n = Q i, Q i Q i i=0 y por tnto l cuestión de si p n f en L 2 w(, b) se reduce exminr si f, Q i f = Q i, Q i Q i (7.10) i=0 donde l sum de l serie se entiende en el sentido de l norm de L 2 w(, b). Cundo (7.10) vle se dice que se h desrrolldo f en serie de polinomios ortogonles. Nos limitremos quí l cso en que (, b) = (-1,1), w(x) = 1/ 1 x 2 (desrrollos en serie de Chebyshev). El desrrollo de f L 2 w(, b) es 1 2 A 0 + A k T k (x) (7.11) k=1

8 86 Miguel A. Revill donde los coeficientes A k están ddos por l fórmul (7.5) El siguiente resultdo no tiene ls hipótesis más débiles posibles y es fácil de demostrr. TEOREMA Si f C([, 1]), entonces su desrrollo de Chebyshev converge f en l norm de L 2 w, w(x) = 1/ 1 x 2. Demostrción. Observemos nte todo que C([, 1]) está contenido L 2 w ( por qué?). Bst probr que f es límite en L 2 w de polinomios. Por el teorem de Weierstrss, ddo ε > 0 hy un polinomio P con f p ε, pero entonces, en L 2 w f p = [f(x) p(x)] 2 dx 1 x 2 1/2 ε dx 1 x 2 1/2 = επ 1/2 lo que demuestr que podemos proximr f por polinomios tnto como deseemos Bjo hipótesis ms restrictivs l serie (7.11) converge hci f uniformemente. ( Note que l convergenci uniforme implic l convergenci en L 2 w, pero no l revés.) TEOREMA Si f C 2 ([, 1]), su desrrollo en serie de Chebyshev converge uniformemente hci f. Demostrción. Cmbindo de vrible x = cos θ en l expresión de los A k A k = 2 π π 0 f(cos θ) cos kθdθ Poniendo f(cos θ) = g(θ), dos integrciones por prtes dn A k = 2 π πk 2 cos kθg (θ)dθ 0 ( por qué?). Así A k = 0(k 2 ), luego por el criterio M de Weierstrss, l serie (7.11) converge uniformemente hci ciert función continu F. Pero el teorem nterior muestr que l serie converge f en L 2 w. Por l unicidd del límite en L 2 w, f = F y el teorem está probdo.

9 Lección 7. Polinomios ortogonles Nots: ) Si en el teorem f C n ([, 1]), n 2, se puede iterr l integrción por prtes y A k = 0(k n ): L regulridd de l función se trduce en l rpidez de decimiento de los coeficientes del desrrollo de Chebyshev y por ello en l rpidez en l convergenci de l serie de Chebyshev. b) Según el teorem f C 2 bst pr grntizr l convergenci uniforme del desrrollo de Chebyshev. Sin embrgo C no grntiz ni l convergenci puntul del desrrollo en serie de Tylor! 7.5 Cudrtur Gussin Hst hor, suponímos que, en l fórmul de cudrtur I n+1 (f) = n α j f(x j ) (7.12) j=0 los x j hbín sido elegidos de ntemno y veímos que los n + 1 prámetros α j podín determinrse únicmente pr que (7.12) fuese exct en ls n + 1 funciones 1, x,..., x n. Supongmos hor que en (7.12) podemos elegir tmbién los nodos x j. Disponemos de 2n + 2 prámetros y prece plusible esperr que (7.12) pued hcerse exct pr ls 2n + 2 funciones 1, x,..., x 2n+1. Imponer es exctitud conduce (método directo) un sistem con 2n + 2 ecuciones pr 2n + 2 incógnits. Sin embrgo l solubilidd de tl sistem no puede ser decidid por métodos lgebricos y que ls ecuciones no son lineles. Ls fórmuls de cudrtur que eligen los nodos pr logrr el myor grdo de exctitud posible se llmn gussins en honor su inventor. A pesr de su ntigüedd, su populrizción h sido reciente: en l époc del cálculo mnul, los dtos, l estr tbuldos, imponín los nodos Fórmuls gussins Trtemos de determinr {α j }, {x j } en (7.12) pr logrr el myor grdo de precisión posible. Como tl fórmul h de ser interpoltori ( por qué?) con f(x)dx I n+1 (f) = W (x)f[x 0,..., x n, x]dx W (x) = (x x 0 ) (x x n ) (7.13) De éste modo, (7.12) es exct pr f si y sólo si f[x 0,..., x n, x] es ortogonl W (en [, b] con peso unidd). Si f es un polinomio de grdo n + k + 1, k = 0, 1, 2,... su diferenci f[x 0, x 1,..., x n, x] es un polinomio en x de grdo k. Más precismente cundo f recorre Π n+k+1, su diferenci recorre todo Π k ( por qué?). Así W es exct en Π n+k+1 si y sólo si {x j } son tles que W es ortogonl todo polinomio de grdo k. No es entonces posible tomr k = n + 1, y que W tiene grdo n + 1. Pr k = n l ortogonlidd W Π k se produce si y sólo si los {x j } se eligen como ls n + 1 ríces

10 88 Miguel A. Revill distints del polinomio ortogonl de grdo n + 1 (en [, b] con peso 1) (note que tles ríces están en (, b)). Podemos concluir entonces: TEOREMA Un fórmul del tipo (7.12) con n+1 nodos puede tener lo sumo grdo 2n+ 1. Tl máximo se lcnz únicmente en l fórmul interpoltori llmd gussin bsd en los ceros del polinomio mónico de grdo n + 1 ortogonl los de grdo n en (, b) pr el peso unidd Ejemplo. Construymos l regl gussin de 3 nodos en [-1,1]. Según el teorem los nodos son los ceros de uno culquier de los polinomios P de grdo tres que son ortogonles todos los de grdo lo sumo dos. Estos P son multiplos esclres del polinomio de Legendre, que de cuerdo con l fórmul 7.7 es (5x 3 3)/2. Así los nodos son ± 3/5, 0. Los pesos se determinn imponiendo que l regl se interpoltori, o equivlentemente que se exct pr 1, x, x 2. Así se obtiene (efectúe los cálculos) que el nodo 0 tiene peso 8/9 y los dos restntes peso 5/9 cd uno. (Ve problem ) Est fórmul integr exctmente todos los polinomios hst el grdo 5 inclusive Errores En relción con los errores de redondeo, un propiedd interesnte de ls regls gussins es l siguiente: TEOREMA Los coeficientes α j, j = 0,..., n de l regl gussin de n + 1 nodos son todos positivos. Demostrción. Si Q j denot el polinomio, de grdo 2n, W 2 /(x x j ) 2, podemos escribir, l vist del grdo de ls fórmuls de Guss Q j (x)dx = n α k Q j (x k ) L integrl es positiv. En l sum, los términos con k j tienen Q j (x k ) = 0, mientrs que Q j (x j ) = (x j x 0 ) 2 (x j x n ) 2 > 0. Es clro entonces que α j es positivo. Pr el error de interpolción tendremos: TEOREMA Si f tiene 2n + 2 derivds continus en [, b], el error de cudrtur E n+1 (f) de l regl de cudrtur gussin de n+1 nodos viene ddo por k=0 E n+1 (f) = f (2n+2) (ξ) (2n + 2)! W 2 (t)dt siendo ξ un punto de [, b] (que depende de f ) y W l función en (7.13).

11 Lección 7. Polinomios ortogonles 89 Demostrción. Denotemos por P el único polinomio de grdo 2n + 1, tl que P (x j ) = f(x j ), P (x j ) = f (x j ), 0 j n. E n+1 (f) = f(x)dx n α j f(x j ) = j=0 Invocndo l exctitud de l regl gussin pr P E n+1 (f) = f(x)dx [f(x) P (x)]dx n α j P (x j ) bstndo entonces pr concluir l prueb usr l form del error en l interpolción de Hermite y el teorem del vlor medio del cálculo integrl. 7.6 Cuestiones y problems Existe un función peso en un intervlo propido pr l que 1 + x 2 se un miembro de un sucesión de polinomios ortogonles? Y pr l que x 2 lo se? j= Pruebe que si f es un función continu de L 2 w(, b) su mejor proximción p n por un polinomio de grdo n l interpol en n + 1 puntos distintos de (, b). Así p n es de hecho un polinomio interpoldor de Lgrnge. Este resultdo no puede usrse pr construir p n pues los nodos de l interpolción, que dependen de f, son desconocidos priori Polinomios de Legendre Demostrr ls siguientes propieddes: ) L expresión (7.7) define un polinomio de grdo exctmente n. b) P n (1) = 1, n = 0, 1, 2,... Justmente l constnte 2 n n! en (7.7) se elige pr que vlg est propiedd. c) P n es un polinomio pr o impr de cuerdo con l pridd de n Pruebe que l expresión (7.8) define un polinomio de grdo n. Pruebe l ortogonlidd de tles polinomios. Pruebe que los {L n } se crcterizn por l ortogonlidd y por tener coeficiente director () n /n! Pruebe que l expresión (7.9) define un polinomio de grdo n. Pruebe l ortogonlidd de tles polinomios. Pruebe que los {H n } se crcterizn por l ortogonlidd y por tener coeficiente director 2 n Demostrr ls siguientes fórmuls de recurrenci: ) P 0 = 1, P 1 = x, P n+1 = 2n + 1 n + 1 xp n(x) n n + 1 P n(x) n 1

12 90 Miguel A. Revill b) L 0 = 1, L 1 = x + 1, c) H 0 = 1, H 1 = 2x, L n+1 = (2n + 1 x)l n (x) n 2 L n (x) n 1 H n+1 = 2xH n (x) 2nH n (x) n Polinomios de Jcobi P n (α,β) (x). Pr α, β prámetros reles >, l sucesión {P n (α,β) } n=0,1,2,... se define por ser ortogonl en (, 1) pr el peso (1 x) α (1 + x) β junto con l condición P n (α,β) Γ(n + α + 1) (1) = Γ(n + 1)Γ(α + 1) Demuestre que cundo α = β = 0 los polinomios de Jcobi son los de Legendre. Estudie l relción entre P (/2,/2) n y T n Polinomios de Chebyshev de segund especie. Pruebe que pr cd n = 0, 1, 2,... hy un único polinomio U n tl que, pr cd θ rel, U n (cos θ) sen θ = sen(n + 1)θ. Pruebe que U n (Polinomio de Chebyshev de segund especie) tiene grdo n. Pruebe l relción de recurrenci U n+2 (x) = 2xU n+1 (x) U n (x), n = 1, 2. Pruebe que los U n son ortogonles en (, 1) pr el peso 1 x 2. Hlle un fórmul de Rodrigues que exprese U n como múltiplo esclr de l derivd n-ésim de un función Pruebe que si un función f continu en [0,1] es tl que 0 f(x)x n dx = 0, pr n = 0, 1, 2,... entonces f es idénticmente nul Desrrolle en serie de Chebyshev ls funciones 1 + x, 1 x 2 2, rccos x En [-1,1] demuestre que l regl gussin es simétric en el sentido de que si x es un nodo de tl regl, x tmbién lo es y demás x y x entrn con el mismo peso. (Utilice que l regl gussin es l únic con su grdo de precisión.) Cudrtur gussin respecto de un función peso. En un intervlo bierto (, b) no necesrimente cotdo, se w un función peso (vése 7.1). Se trt de proximr integrles de l form f(x)w(x)dx

13 Lección 7. Polinomios ortogonles 91 por un combinción linel de vlores de f (no de vlores del integrndo) en n+1 puntos distintos fijdos (independientes de f) x i. Los pesos de l combinción linel tmbién se suponen independientes de f. Pruebe, que ddos los x i, hy un únic elección de pesos que hg l fórmul exct cundo f es un polinomio de grdo n. Con esos únicos pesos l fórmul se llm interpoltori por qué? Pruebe que hy un únic elección de nodos y pesos pr los que l fórmul integre exctmente todos los polinomios de grdo 2n + 1, y que tl fórmul no integr exctmente todos los polinomios de grdo 2n + 2. Son los pesos positivos? Dé un expresión pr el error de cudrtur Cudrtur de Lobtto. Se v proximr f(x)dx por un regl del tipo α 0 f() + α 1 f(x 1 ) α n f(x n ) + α n f(b), donde α 0, α 1,..., α n ; x 1,..., x n son prámetros determinr ( n 1). Demuestre que hy un únic fórmul (llmd de Lobtto) pr l que el grdo de precisión se 2n 1. Qué ventjs puede tener, en uso compuesto, l regl de Lobtto sobre l gussin con el mismo número de nodos? Cuál es l fórmul de Lobtto con n = 1? Y con n = 2? Absciss de l fórmul de Lobtto. Pruebe que ls bsciss de l fórmul de Lobtto de n+1 nodos son, b y los n ceros de l derivd del polinomio ortogonl de grdo n en (, b) pr el peso Cudrtur de Rdu. Se v proximr f(x)dx por un regl del tipo α 0 f()+α 1 f(x 1 )+...+α n f(x n ), donde α 0, α 1,..., α n ; x 1,..., x n son prámetros libres. Demuestre que hy un únic fórmul (llmd de Rdu) pr l que el grdo de precisión se 2n.