CAPITULO 3.TEORIA VECTORIAL DE CAMPOS Introducción

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1 L nturlez no se ve desconcertd por ls dificultdes del nálisis Agustín Fresnel APITULO.TEORIA ETORIAL DE AMPO Los teorems básicos que en este cpítulo estudiremos tuvieron su origen en l físic. El teorem de Guss ( ) o teorem de l divergenci surgió en relción con l electrostátic. Debemos dr crédito conjunto por este teorem l mtemático ruso Ostrogrdsk (80-86). El teorem de tokes (89-90 ) fue sugerido por primer vez en un crt tokes por el físico Lord Kelvin en 850 fue usdo por tokes en el emen pr el premio mith en Introducción e l plicción f: n m entre dos espcios vectoriles euclídeos de dimensiones respectivs n m. undo m es el conjunto de los números reles, que como sbemos tiene estructur de espcio vectoril de dimensión, se tienen ls funciones esclres de vrible vectoril ( cmpos esclres ). Así por ejemplo, en l trnsmisión del clor trvés de un cuerpo en régimen estcionrio, l tempertur puede vrir de unos puntos otros del cuerpo, pero en un punto determindo será siempre l mism, luego l tempertur es un función de punto. undo n >, m > se tienen ls funciones vectoriles de vrible vectoril (cmpos vectoriles). on regiones del espcio en ls que se mnifiestn mgnitudes físics de índole vectoril. L mgnitud físic que define el cmpo que generlmente llmmos vector, tendrá significciones físics diverss. Así en los cmpos grvittorios será un fuerz, en los mgnéticos o eléctricos será l inducción o l intensidd. Estos cmpos poseen un significdo intrínseco, es decir son independientes del sistem de coordends que se emplee propiedd que les hce ser de grn interés en l físic - mtemátic... mpos esclres Definición en m =R el conjunto de los números reles n =A R. e llm cmpo esclr l plicción f : A R R P f(p)

2 que cd punto P(,,z) A le sign un número rel f P. El vlor f(p) representrá por ejemplo: l presión en un punto de un ms fluid en equilibrio, etc. upondremos continus diferencibles en A ls funciones que definen los cmpos esclres. undo los cmpos esclres no dependen del tiempo se llmn cmpos estcionrios. onsideremos el lugr geométrico de los puntos de A en los cules el vlor f(p) se el mismo, por ejemplo K. Ls coordends de todos estos puntos stisfcen l relción f(,, z)=k Luego todos estos puntos están en un superficie llmd superficie de nivel, de ecución l nterior. A cd vlor de K corresponde un superficie de nivel. Tods ls superficies de nivel constituen el hz de superficies de nivel. En los cmpos esclres plnos, en lugr de superficies de nivel, hblremos de línes de nivel de ecución: f(,)= K... mpos ectoriles Definición en m = R n =A R. e llm cmpo vectoril l plicción f : A R R P f(p) que hce corresponder cd punto P(,,z)A un vector f(p)r. Designndo por r el vector de posición del punto P, con respecto un sistem ortonormdo ( i, j, k), se tendrá f(,,z)= f (,,z) i +f (,,z) j +f (,,z) k upondremos que ls funciones f, f, f son continus diferencibles en A, con derivds prciles continus. e llmn línes de cmpo quells línes que son tngentes en cd punto P l vector cmpo f(p). Luego ests línes tienen l dirección del vector cmpo, con lo cul se determinn por el sistem diferencil dr f 0 d f d f dz f

3 que constitue un sistem de dos ecuciones diferenciles de primer orden, el cul un vez resuelto proporcion un fmili de curvs dependientes de dos constntes rbitrris. i el cmpo vectoril es un cmpo cinético, ls línes de cmpo se llmn línes de flujo. En los cmpos estcionrios, es decir quellos que no dependen del tiempo, se llmn línes de corriente. i se trt de un cmpo de fuerzs, ls línes vectoriles se llmn línes de fuerz del cmpo. Ejercicios de plicción. Ddo el cmpo F i j, clculr ls línes de cmpo. Ls línes de cmpo están definids por l ecución d d Integrndo l ecución diferencil, l ecución del hz de línes en el plno es: + =. Un cmpo de vectores está definido por l función potencil.lculr ls línes de cmpo. z El cmpo de vectores procede de un función potencil: grd i j k z z z F álculo de ls línes de cmpo: d z d z dz z Integrndo se obtienen ls línes de cmpo como intersección de los cilindros - =, +z =.4. Grdiente de un cmpo esclr Definición e llm grdiente del cmpo esclr f(,, z) en el punto P stisfcen ls condiciones de derivción prcil, l vector, suponiendo que se f f P f i P f j z P k

4 bemos que el vector unitrio n, norml l superficie f(,, z) en un punto P es f n () f De l epresión () se deduce que los vectores n es el vector unitrio del grdiente. f tienen el mismo sentido dirección. Luego n L derivd de,,z f en el punto P en l dirección n viene dd por f n. f n f () Multiplicndo miembro miembro () () se obtiene f n n f Est form de obtener el grdiente de un cmpo esclr es independiente del sistem de coordends empledo. f(,,z) en un punto P es el vector norml en P l superficie de nivel que ps por este punto. De modo que f ument en el sentido del vector grdiente, siendo su módulo igul l derivd de P en l dirección del grdiente de P. El cmpo vectoril esclr de quél. f es el cmpo de grdientes de f, l que inversmente, se denomin potencil. Ddo el cmpo esclr U L( z ), clculr el vector grdiente U z, U z, U z z z z i z j z z U k.5. Nbl Lplcino Definición 4 e define el operdor nbl como 4

5 i j k z Propieddes El operdor nbl es un operdor linel. Demostrción.En efecto, en virtud de ls propieddes lineles de l derivción prcil se verific f g f f f g iendo f g funciones de (,, ) K ( cuerpo de los números reles ). Por otr prte, plicndo este operdor l cmpo esclr f(,, z), se obtiene el grdiente de este cmpo esclr f f f f i j k f i j k z z Definición 5 i se multiplic esclrmente el operdor nbl Lplcino Δ. z e llm ecución de Lplce l ecución: f=0, que result de igulr cero el Lplcino de f(,,z). Est ecución es de grn importnci en l Físic - mtemátic. A ls funciones que verificn l ecución de Lplce se ls llm funciones rmónics..6. Divergenci rotcionl de un cmpo Definición 6 Ddo el cmpo vectoril punto P l esclr f f i f j f k, se llm divergenci de este cmpo en el div f.f f f f z Luego l divergenci en un punto P de un cmpo vectoril es igul l producto esclr simbólico. f del vector nbl por el vector que define el cmpo, estndo este producto prticulrizdo pr ls coordends de P. 5

6 Definición 7 Ddo el cmpo vectoril en el punto P se design por Rot f l vector f f i f j f k, se llm rotcionl del cmpo vectoril f f i f f j z f k f f f f f i j z z f k undo el rotcionl vle cero en culquier punto, el cmpo se llm irrotcionl. undo l divergenci es nul en culquier punto, el cmpo se llm solenoidl. i el cmpo es l vez irrotcionl solenoidl, se llm rmónico. 4.Ddo el cmpo vectoril F= ( + + z ) i + ( + + z )j+( + + z ) k, clculr l divergenci el rotcionl de F. Divergenci de F : 4 i + 4 j + 4 z k Rotcionl F i j z z z z k z = ( -z) i + (z - ) j+( - )k.7. Integrles curvilínes Definición 8 e P(, ) un función definid en cd punto (, ) de un curv suve de longitud finit, de ecuciones prmétrics = (t), = (t), t b ( ) de etremos A [(), ()], B[(b),(b)] Dividmos el intervlo [, b] intervlos prciles de mplitudes t p =t p+ -t p (p=0,,.n), medinte los n vlores intermedios t p = ( p =, n ) = t 0 < t < t <..< t n < t n+ =b 6

7 Elijmos en cd intervlo prcil [t p, t p+ ], de modo rbitrrio, un vlor ψ p de su interior o de sus etremos. en ( p, p ) ls coordends del punto de l curv correspondiente l vlor t = t p sen ( p, p ) ls reltivs l vlor intermedio t= ψ p. Formemos l sum n p p P μ p, ηp p0 (4) i l tender n de modo que l mor de ls mplitudes t p 0 l sum (4) tiende hci un límite finito, este límite se llm integrl curvilíne de P d sobre l curv. Lo representremos P(, )d (5) El teorem que sigue prueb l eistenci de l integrl curvilíne ( 5) proporcion el método pr clculr su vlor. Teorem i es un curv suve de longitud finit siendo P (t) un función continu en se verific AB P, d b P(t) '(t)dt so de tres dimensiones. i es un curv suve de longitud finit siendo P( t) continu en, se verific AB b P (,,z)d P(t) '(t) dt (6) Ls letrs AB indicn el orden de integrción sobre Observciones. Poner BA en lugr de AB equivle permutr los limites b de integrción. AB BA. undo l curv es cerrd, l integrl curvilíne se escribe en l form P d Q d e recorre l integrr en sentido directo o ntihorrio. 7

8 . Un integrl definid se puede considerr como un integrl curvilíne etendid un segmento del eje OX b f d AB f d.8. irculción de un vector. Trbjo de un fuerz e el cmpo vectoril F (,, z) =P(,, z) i+q(,, z ) j +R(,, z) k r el vector de posición de un punto culquier P, respecto de un sistem de referenci ortonormdo ( i, j, k). bemos que r= i + j + z k d r= d i + d j + d z k con lo cul se verific : F.d r = P d + Q d + R d z onsideremos l integrl curvilíne AB P d Q d R dz lo lrgo de l curv AB de ecuciones = (t), = (t), z= z(t), t b ( ) Dich integrl se puede escribir en l form AB F. dr Est integrl recibe el nombre de circulción del vector F lo lrgo de AB En prticulr, cundo F represent un fuerz se tiene: T F.dr (7) AB Est fórmul epres el trbjo totl T relizdo por l fuerz F lo lrgo del cmino AB. En generl, el trbjo ddo por est integrl curvilíne depende del punto inicil A, del punto finl B del cmino seguido pr ir desde A hst B..8.. lculo de integrles curvilínes respecto l longitud de rco e P(,, z) un función continu sobre un curv suve de ecuciones prmétrics, entonces se tiene 8

9 = (t), = (t), z =z(t), t b ( 8) P(, b (t),,z)ds P[(t), z(t)] '(t)] ['(t)] [z'(t) dt Ejercicios de Aplicción 5.Ddo el cmpo vectoril F= ( + 6 ) i 4 z j + 0 z k, clculr 0, 0 ) l punto B(,, ) lo lrgo de l curv de ecuciones = t, = t, z= t F. dr desde el punto A(0, d 4 z d 0 z dz 9 t 8 t 60 t dt Intégrles independientes del cmino de integrción Ddo el cmpo vectoril: F (,, z) =P(,, z) i+q(,, z) j +R(,, z) k, consideremos l integrl curvilíne AB F.dr AB P d Q d R dz undo l epresión P d + Q d + R d z es igul l diferencil totl de un función U (,, z), l integrl curvilíne sobre l líne AB sólo depende de los etremos del cmino de integrción pero no de dicho cmino. El vlor de dich integrl será el mismo pr tods ls curvs que psen por A B. Luego podemos decir que: L condición necesri suficiente ( siempre que el dominio D se simplemente coneo) pr que l integrl curvilíne nterior no depend más que de los puntos inicil finl no del cmino de integrción, es que l form diferencil P d +Q d + R d z se l diferencil ect de un función U(,, z).en ests condiciones se verific AB P d Q d R dz U,, z U,, z culquier que se l curv suve contenid en D que une los puntos A B. 9

10 .0. Eistenci de l función potencil so de dos vribles Dd l epresión P(, ) d +Q(, ) d en donde P Q dmiten derivds prciles continus, diremos que dich epresión dmite función potencil U (, ) o, dicho de otr form, es diferencil totl ect cundo se verific P Q (9) Ahor, si se tiene en cuent que U U U P d Q d du d d P, U Q de est últim relción de l epresión ( 9 ) se verific U U L nterior iguldd es el teorem de chwrz (iguldd de ls derivds cruzds). Est condición es necesri pr l eistenci de función potencil. undo se cumple est relción es posible obtener l función potencil. Finlmente podemos concluir: l condición necesri suficiente pr que eist función potencil es que se verifique el teorem de chwrz. so de tres vribles Dd l epresión: P(,,z) d +Q(,,z) d+r(,,z)d z en donde ls funciones P,Q, R dmiten derivds prciles continus, diremos que dich función dmite función potencil U(,,z) o, dicho de otr form, es diferencil totl ect, cundo se verific P Q, Q R z P R, z Al igul que en el cso de dos vribles, esto implic que se verific el teorem de chwrz, o de otr form que Rot F=0

11 Ejercicios de plicción 6. Demostrr que l epresión d d es un diferencil totl ect obtener l función potencil. Al ser Rot F =0, l epresión que escribimos continución es un diferencil totl ect, lo cul implic que el cmpo F es conservtivo Q U P U d U Q d P d d d F.dr álculo de l función potencil Q U, P U Φ d, U Φ L, U cte ) Φ ( Φ U L función potencil buscd es cte L, U..Áre de un superficie e un superficie prmétric suve dd por r(u, v) = (u, v) i +(u, v) j+ z(u, v) k Definid sobre un región biert D del plno U. i cd punto de se corresponde con un punto del dominio D el áre de l superficie se define como

12 A d r u r D v du dv i l superficie viene dd por su ecución eplicit z=f(, ) uns prmétrics de l superficie serán r(, ) = i + j+ z(, ) k Definid sobre un región R del plno XY.L epresión del áre cundo l superficie viene dd en form eplicit será A R ' ' f f dd.. Integrl de superficie mos suponer que un curv continu simple limit un superficie, siendo l ecución de l superficie r(u, v) = (u, v) i +(u, v) j+ z(u, v) k undo u v vrín en un dominio D dos crs, sí como que el vector norml r u r v vrí de form continu en. De ls dos crs de, llmremos cr positiv quell que se ve desde l región del espcio hci donde se dirige el vector norml r u r v. Elegid l cr positiv de qued determindo el sentido positivo sobre el borde diciendo que un observdor de pie sobre l cr positiv describe en sentido positivo cundo dej su izquierd l superficie Al vector d s= (r u r v ) d u d v se le llm vector elemento de áre de l superficie. Asignemos cd punto P de l superficie un vector F que será un función continu del vector de posición r = 0P. Al símbolo r u r du dv F.ds F. v (0) D se le llm integrl de superficie de F sobre l cr positiv de l superficie. Luego es l integrl doble sobre el dominio D del producto mito (0 ). mos definir hor l integrl de superficie de un función esclr g(,, z) l cul suponemos definid continu sobre un superficie

13 i l superficie viene dd por z=f(, ) se R su proección sobre el plno XY. upongmos que f(, ). f (,),f (,) son continus en R, entonces l integrl de superficie de g(,,z) sobre es g(,,z(,,z)d g(, ) f f d d R.. Flujo de un cmpo trvés de un superficie e el cmpo vectoril F que represent l velocidd en un punto M de un fluido que ps trvés de un elemento de áre d A en torno l punto M de un superficie, cuo vector norml unitrio en el punto M es n ( orientdo hci l cr positiv ). El producto esclr F.dA F.n da mide el volumen de fluido que trvies l superficie elementl en l unidd de tiempo. Luego represent el flujo elementl del cmpo F trvés del elemento de superficie d A en el sentido del vector n. El flujo totl de F trvés de l cr positiv de l superficie viene ddo por F.n da F.dA.4. Teorem de l divergenci o de Guss Ostrogrsk e un superficie cerrd que limit un volumen. onsideremos un cmpo vectoril F siendo ls componentes de este cmpo vectoril P,Q,R sí como ls derivds prciles funciones continus en. L integrl de l divergenci del cmpo F etendid es igul l flujo totl del mismo hci el eterior trvés de tod l superficie. div F dv F.n dσ () P Q R d d dz z P d dz Q dz d R d d () donde represent l cr etern de l superficie cerrd que limit. Ejercicios de Aplicción 7. lculr el vlor de d d z + d z d + z d d siendo l superficie de l región limitd por el cilindro + =9 los plnos z=0, z=

14 Aplicndo el teorem de Guss d dz dz d z d d d d dz d d dz 8π 8. lculr d dz dz d z z d d iendo un superficie cerrd culquier que contiene en su interior el origen de coordends. div f P Q R 0 z Por ser div F=0, l integrl es independiente de l superficie. omo superficie cerrd vmos elegir l esfer + +z =. Luego se verific cos α dσ cos β dσ z cos γ dσ 4 dv π 4π En est últim integrl se h podido plicr el teorem de Guss que no h puntos singulres en el interior de l superficie..5. Teorem de tokes e z= z(,) un superficie de dos crs limitd por un curv cerrd simple suve. e un de ls crs de l superficie n el vector norml unitrio l cr. Ddo el cmpo vectoril F en donde ls componentes de este cmpo tienen derivds prciles continus en un región biert que contiene l superficie l curv se verific que el flujo del rotcionl del cmpo trvés de en el sentido de n es igul l circulción del mismo lo lrgo del borde en sentido directo respecto de l cr. rot F.n dσ F.dr Fórmul de Green - Riemnn en el plno prtir del Teorem de tokes. El Teorem de Green nos dice que si P (, ) Q(, ) sí como ls derivds prciles P, Q, son continus en un dominio plno D simplemente coneo limitdo por un curv simple cerrd entonces se verific: 4

15 Q P P D, d Q, d d d e h tomdo como sentido positivo el sentido contrrio ls gujs del reloj. Ejercicios de plicción 9. Demostrr que si un región D del plno tiene como fronter l curv siendo est curv simple cerrd, el áre est dd por d d. en ls funciones P / Q /. Apliquemos el teorem de Green d d D d d AD 0. Hllr el flujo del rotcionl del vector F= (- ) i + z j z k sobre l semiesfer + +z = (z >0), comprobr el resultdo por el teorem de tokes. Rot F= - 4 z i k 4 z i kn dσσ n cos α i cos β j cos γ k 4 z i kn dσ 4 z cosα cos γ dσ cos α cos β cos γ z cos α cos γ z cos γ 4 z cos α cos γdσ 4 z cos γ dσ 4 d d d d π (flujo entrnte) z D D D es el círculo Aplicndo el teorem de tokes: ls ecuciones prmétrics de l curv en el plno z = 0, que es donde se po l superficie serán: =cos t, =sen t, z=0 d z d z dz 0 π sen t dt 0 π sen t cos t dt π 5

16 Ejercicios resueltos d d. lculr l integrl de superficie z etendid sobre l cr eterior de l esfer + +z - =0 I D d d D d d L primer integrl está etendid sobre l cr superior l segund integrl está etendid sobre l cr inferior I D dd L superficie se proect en el plno XY en el dominio + =. Psndo coordends polres e integrndo se tiene π I ρ dρ dθ 8 dθ 0 ρ ρ dρ 0 ρ 4π. e el cmpo vectoril F= 4 z i j + z k. lculr el flujo del vector F trvés de l superficie del cubo limitdo por =0, =, =0, =, z =0, z=. Apliquemos el teorem de Guss: div F= 4 z- 4 z dddz d d 4z Φ F.ds div F dv. lculr z d dz z d dz zd d superficie dz siendo es l cr eterior de l z z 0 Aplicndo el teorem de Guss F z i z j zk 6

17 z d dz z d dz zdd z dddz mbio de vribles: = X /, = Y /, z = Z / El dominio se trnsform en: X+Y+Z, Z 0. L integrl triple se puede poner I d d dz d d dz z d d dz omo ests tres integrles tienen el mismo vlor, l epresión nterior dopt l form I d d dz d d dz Etendid X+Y+Z, X 0, Y 0, Z 0 J X, Y, Z J,,z 8 X Y Z dx dy dz I X Y Z 8 dx dy dz Integrl triple de Dirichlet: p = /, q= /, r = /, s = I 8 Γ Γ Γ Γ 7 Γ 5 π 5 egundo método I z d d dz Psndo coordends esférics I π 0 4 ρ ρ cos d dρ dθ 4 cos d ρ dρ dθ 4. lculr l integrl curvilíne d d siendo l curv = entre los puntos (, -) (, ). 0 π 0 5 π 5 7

18 I d d d d d d 8 5 Ejercicios propuestos. Hllr el flujo del vector F= 8 z i - j + k trvés del plno + +6z= en l prte del espcio en que X Y Z son positivs. OLUION: 4. lculr el vlor de: d dz dz d z d d siendo l superficie de l región limitd por el cilindro +=9 los plnos z=0 z= ) Utilizndo el teorem de Guss. b) Directmente. OLUION: 8. lculr l integrl de l epresión z F dr z d d dz z z OLUION: z rctng z 4. Demostrr que el cmpo F=( z +6)i+( 6 - z)j +( z - ) k es conservtivo. b)lculr F. dr, siendo culquier cmino que une el punto A (, -, ) con el B (,, ). c) Interpretción físic del resultdo. OLUION: b) 5 5. lculr d d lo lrgo de un circunferenci de rdio R centro el origen de coordends. 8

19 OLUION: 6. Ddo el cmpo vectoril F=(+)i +( -z) j + (+z)k, verificr el teorem de tokes sobre el triángulo definido por l intersección del plno + +z=6 con el triedro principl. 7. Ls componentes de un fuerz F que ctú en el punto P(,, z) de un cmpo vienen epresds por z z P, Q, R. Estudir si el cmpo es conservtivo, en cso firmtivo hllr l función potencil. clculr el flujo trvés de l superficie 8. Ddo el cmpo vectoril F i z j z z k esféric de centro (, b, c ) rdio R OLUION: πr 5 πr b c 9. lculr l integrl de superficie z d d siendo l superficie eterior de l esfer + +z =R OLUION: 4 πr 0. lculr d d z dz, donde es l intersección de ls superficies z 0 R. OLUION: R 6 π 8. lculr cos α cos β z cos γdσ. es l superficie de l esfer + +z =R. OLUION: R5 5. Ddo el cmpo vectoril F=( +-4) i+ j +( z+z )k, clculr rot F. ds siendo l superficie esféric + +z =6, z 0 OLUION: 0 9

20 . Ddo el cmpo vectoril F= ( + z - ) i + ( z + - ) j+ ( + -z ) k clculr rot F.ds donde es l prte de l superficie z=0 que está por encim del plno z = 0. OLUION: 6 π 4. Ddo el cmpo vectoril F= ( + +z ) i+( +z + )j+( z + + )k clculr l divergenci, el rotcionl puntos en que se nuln. AB zd zd dz iendo A (,, ), B (5, 5, ) AB un curv culquier. OLUION: 4 5. lculr l integrl curvilíne d d lo lrgo de l elipse = cos θ, =b sen θ OLUION: 0 6. Ddo el cmpo vectoril F= - z i + z j + k clculr el trbjo lo lrgo de un espir de hélice de ecuciones =r cos t, =r sen t, z= k r t. OLUION: π r k 7. lculr l integrl lo lrgo de l curv intersección de l esfer + +z = el cilindro + - =0 comprendid en el octnte positivo. El origen será el punto de bcis nul. OLUION: 8. Ddo el cmpo vectoril F=( +)i j +(-z) k.lculr : Fds siendo l cr pln del sólido limitdo por el prboloide + = z el plno z =9. OLUION: 8π 9. Ddo el cmpo vectoril F= ( -) i+ ( z -) j+ k ) demostrr que este cmpo es irrotcionl pero no solenoidl. 0

21 b) clculr l integrl curvilíne F. dr lo lrgo de l curv =, = +, z = +. ) Rot F 0,F es irrotcion l,div F 6 z OLUION b) Función potencil : U z cte,i 5 0. Ddo el cmpo vectoril F= 4 i - j +z k, clculr F. ds. es l superficie limitd por: + = 4, z = 0 z = OLUION: 84. e l región sólid limitd por los plnos coordendos el plno + + z = 6. Ddo el cmpo vectoril F= i + j +z k, clculr F. ds OLUION 6. lculr d d lo lrgo del círculo b = 0 OLUION: 0. lculr l integrl curvilíne d 4 d desde el punto (0, 0) l (, ) OLUION: lculr z dz lo lrgo de un espirl de hélice de ecuciones = R cos t, = R sen t, z = Kt OLUION: π R k 5. Ddo el cmpo vectoril F= i- j+ z k, clculr F. ds. es l superficie z z 0 OLUION: 0 6. Ddo el cmpo F= z i+ j + z k clculr Rot F. ds. es l superficie: z 4

22 OLUION: I = 0 7. Ddo el cmpo F=(+ ) i + (- z) j+(+ z) k determinr pr que el cmpo F se solenoidl. OLUION: - 8. Ddo el cmpo F=( +-4) i + j+ ( z+z ) k, clculr rot F.n ds. es l semiesfer + + z =6 por encim de z = 0. OLUION: 6 π

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