Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales

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1 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 28 de junio de 2011 Índice 21.1.Introducción Producto interno Propiedades del producto interno Norma de un vector Distancia entre dos vectores Vectores ortogonales Conjunto ortogonal de vectores Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y bases Ortogonalidad y descomposición de un vector Conjunto ortonormal de vectores Matriz ortogonal Introducción En esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativas a los productos internos Producto interno Un producto interno en un espacio vectorial es una función : V V F, donde F es el conjunto de los escalares utilizados (F = R ó F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectores x, y y z de V y para todo escalar c de F 1. (x+y) z = x z+y z es decir, se distribuye a la izquierda. 2. (c x) y = c (xy) es decir, los factores escalares a la izquierda pueden salir. 3. x y = y x. 4. x x > 0 para todo x 0. En el axioma 3, la línea horizontal encima de una expresión indica que se debe tomar el conjugado complejo: El conjugado comple de un número se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Así 3+3i = 3 3i 5 = 5+0i = 5 0i = 5, es decir: el conjugado de un real es él mismo. 3i = 0 3i = 0+3i = 3i

2 Figura 1: El producto interno estándar de R n en la TI. Daremos sin comprobación algunos ejemplos de productos internos en los espacios vectoriales que nos ocupan. Ejemplo 21.1 Si V = R n y x = (x i ) y y = (y i ) el producto punto estándar es: x y = Si n = 3, x =< 1,2, 1 > y y =< 1, 1,3 >, entonces n x i y i i=1 x y = (1)(1)+(2)( 1)+( 1)(3) = 4 Observe que el producto interno estándar en R n concide con una operación entre matrices: x y = x T y Aquí los vectores x y y se consideran como una matrices n 1; así x T quedará una matriz 1 n y al hacer el producto matricial con y quedará una matriz 1 1 que será un escalar. Este ejemplo puede realizarse en la calculadora TI utilizando la función dotp ya programada como se ilustra en la figura 1. Ejemplo 21.2 Mientras que si V = C n con escalares C el producto punto estándar es x y = n x i y i Si n = 3, x =< 1,2+2i, i > y y =< 1, 1+i,3i >, entonces i=1 x y = (1)(1)+(2+2i)( 1+i)+( i)(3i) = (1)(1)+(2+2i)( 1 i)+( i)( 3i) = 1 2 2i 2i 2i 2 +3i 2 = 1 4i+i 2 = 1 4i+( 1) = 2 4i Es importante comentar que este producto interno estándar en C n esta implementado en la calculadora TI y coincide con el producto estándar en R n. Esto se ilustra en la figura 2. Note la diferencia entre el número imaginario i y el símbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtiene con la combinación 2ND i mientras que en la TI 89 con la combinación 2ND catalog. No notar la diferencia le puede traer verdaderos dolores de cabeza. 2

3 Figura 2: El producto interno estándar de C n en la TI. Ejemplo 21.3 Si V = C[a,b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno estándar es: f g = b Si [a,b] = [0,1], f(x) = x+1 y g(x) = x 2 1 entonces a f(t) g(t)dt f g = 1 0 (x+1) (x2 1)dx = 1 0 (x3 +x 2 x 1)dx = 11/12 Ejemplo 21.4 Si Si V = C[0,2π] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es: f g = 1 2π 2π 0 f(t) g(t)dt Ejemplo 21.5 Si M n m es el conjunto de las matrices reales con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A B = tr ( B A ) donde B representa la transpuesta de la matriz B y tr(x) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. Por ejemplo, si [ ] [ ] A = y B = Entonces y por tanto B T A = A B = tr [ ] = = = 19 Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la función traza puesto que en la configuración inicial no viene tal función. Una implementación posible para esta función viene ilustrada en la figura 3. Una vez programada la función traza, la figura 4 ilustra el cálculo del producto interno de dos matrices. 3

4 Figura 3: Programando la función traza en la TI. Figura 4: Producto interno estándar de M n m (R) en la TI. Ejemplo 21.6 Si M n m es el conjunto de las matrices complejas con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A B = tr(b A) donde B representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o también conocida como transpuesta hermitiana, a veces también se utiliza la notación B H para la matriz conjugada compleja de B. Aquí tr(x) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. Por ejemplo, si [ ] [ ] 1+i 2 3i i 1+2i 2 3 A = y B = 1 2 i 3i 0 2i 3+i y así y por tanto de donde A B = A = 1 i 1 2+3i 2+i i 3i 3+i 2 6 4i 4+7i 6 2i 1+8i 2 i 6+2i 3 12i B A = (3+i)+( 6 2i)+( 3 12i) = 6 13i Es importante comentar que la transpuesta conjugada de una matriz en Maple se obtiene como el comando htranspose, por el nombre alternativo de transpuesta hermitiana. Por otro lado, en la calculadora TI la transpuesta siempre representa la transpuesta hermitiana de una matriz. Esto se puede ejemplificar repitiendo los cálculos del ejemplo como se ilustra en la figura 5. 4

5 Figura 5: Producto interno estándar de M n m (C) en la TI Propiedades del producto interno Propiedades que satisfacen todos los productos internos: Sea V es espacio vectorial con producto interno, x, y y z vectores de V y c un escalar: 1. x (y+z) = x y+x x 2. x (c y) = c (x y) 3. x x = 0 si y sólo si x = x y = 0 si y sólo si y x = Si x V se cumple x y = x x, entonces y = z Norma de un vector Teniendo definido un producto interno, el siguiente paso es definir una norma o longitud de vectores. Definición 21.1 Sea V un espacio vectorial con producto interior, para todo vector x de definimos la norma o longitud de x como x = x x Propiedades que se deducen de la norma: 1. cx = c x 2. x = 0 si y sólo si x = 0. En cualquier caso, x Desigaldad de Cauchy-Schwarz: x y x y. 4. Desigualdad del triángulo: x+y x + y Distancia entre dos vectores Ahora, habiendo definido la magnitud de un vector es posible definir una distancia en un espacio vectorial. Definición 21.2 Sea V un espacio vectorial con producto interior, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distancia de x a y como d(x,y) = x y Propiedades que se deducen de la función distancia: 5

6 1. d(x,y) = d(y,x) es decir, la distancia medida desde x a y es la misma que la distancia medida desde y a x. 2. d(x,y) = 0 si y sólo si x = y es decir, si la distancia entre dos puntos es cero entonces los puntos son iguales. 3. Desigualdad del triángulo: d(x,y) d(x,z)+d(z,y) Vectores ortogonales Definición 21.3 Dos vectores x y y en R n se dicen ortogonales si x y = 0. Si esto pasa se expresará como x y. Ejemplo 21.7 Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > y y =< 2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x y = (1)( 2)+(0)(2)+(2)(1) = = 0 Por tanto, x y. Ejemplo 21.8 Determine el valor del parámetro a para que x =< 1,1,2 > y y =< 3,a,1 > sean ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x y = (1)( 3)+(1)(a)+(2)(1) = 3+a+2 = a 1 Por tanto, x y si y sólo si x y = 0 si y sólo si a = Conjunto ortogonal de vectores Definición 21.4 Un conjunto de vectores {v 1,v 2,...,v m } se dice conjunto ortogonal o simplemente ortogonal si se cumple v i v j = 0 para i j y i,j = 1,...,m (1) Ejemplo 21.9 Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v 1 = 0, v 2 = 2, v 3 = 5/ Solución Calculando todos los productos punto entre vectores diferentes tenemos así concluimos que es conjunto es ortogonal. v 1 v 2 = (1)( 2)+(0)(2)+(2)(1) = 0 v 1 v 3 = (1)( 2)+(0)( 5/2)+(2)(1) = 0 v 2 v 3 = ( 2)( 2)+(2)( 5/2)+(1)(1) = 0 6

7 21.8. Ortogonalidad e independencia lineal Cualquier conjunto ortogonal S = {v 1,...,v k } de vectores distintos de cero es linealmente independiente. Demostración: Si suponemos que c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c k v k = 0 Entonces, haciendo producto punto por v i obtenemos que: c 1 v 1 v i +c 2 v 2 v i + +c k v k v i = 0 v i Observe que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, excepto uno: el correponiente a v i v i. Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetores cero queda cero. Así lo anterior se resume a: c i v i v i = 0 como v i v i 0 al ser todos los vectores v i diferentes del vector cero, concluimos que c i = Ortogonalidad y bases Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v 1,...,v k } de vectores distintos de cero es base para Gen(S). Demostración: Por definición de Gen(S), S genera a Gen(S); y por el teorema anterior S es linealmente independiente. Por tanto, S es base para Gen(S) Ortogonalidad y descomposición de un vector Sea S = {v 1,...,v k } un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u está en Gen(S) y u = c 1 v 1 + +c k v k entonces c i = u v i v i v i para i = 1,...,k A las expresiones u v i /v i v i se les llama los coeficientes de Fourier de u respecto a S. Demostración: Si u = c 1 v 1 + +c k v k haciendo el producto punto con v i y considerando la ortogonalidad obtenemos: u v i = c i v i v i Al ser los vectores v i 0, se tiene que v i v i 0 y por tanto se tiene: c i = u v i v i v i 7

8 Nota: Lo importante del teorema anterior es indica que para bases ortonormales no es necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes de Fourier. Ejemplo Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1,2,3), determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones lineales correspondientes. Solución: Calculemos u v 1 = (1)(1)+(2)(0)+(3)(2) = 7 u v 2 = (1)( 2)+(2)(2)+(3)(1) = 5 u v 3 = (1)( 2)+(2)( 5/2)+(3)(1) = 4 v 1 v 1 = (1)(1)+(0)(0)+(2)(2) = 5 v 2 v 2 = ( 2)( 2)+(2)(2)+(1)(1) = 9 v 3 v 3 = ( 2)( 2)+( 5/2)( 5/2)+(1)(1) = 45/4 y al aplicar las fórmulas obtenermos: c 1 = 7/5,c 2 = 5/9,c 3 = 16/45 Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v 1,v 2,v 3 u] y la reducimos: / / / /45 de donde observamos que los valores de las constantes c i coinciden con los valores dados por los coeficientes de Fourier Conjunto ortonormal de vectores Definición 21.5 Un conjunto de vectores {v 1,v 2,...,v m } se dice conjunto ortonormal o simplemente ortonormal si se cumple v i v j = 0 para i j y v i v i = 1 para i,j = 1,...,m (2) Note que en caso de una base ortonormal S para un espacio las fórmulas de Fourier para un u simplifican a c i = u v i, por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una base ortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal: {v 1,...,v m }ortogonal { } 1 v 1 v 1 1,..., v m v m ortonormal (3) Ejemplo Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura: 1 2 v 1 = 0, v 2 = 2, v 3 = /2 1 8

9 Solución: Tenemos ya realizados los siguientes cálculos v 1 v 1 = 5 v 1 = 5 v 2 v 2 = 9 v 1 = 3 v 3 v 3 = 45/4 v 1 = 45/2 Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda 1 1 0, Matriz ortogonal 2 2 1, /2 1 Definición 21.6 Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. A n n: A es ortogonal ssi A T A = I. Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en R n, x y = x y: x 1 y 1 y 1 x 2 y 2 y 2. x n. y n = x 1 y 1 + +x n y n = [ x 1 x 2 x n ] Con lo anterior se deduce que cuando se hace A T v se calcula un vector donde cada componente es el producto punto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula A T A la matriz resultante tiene en la posición (i,j) justo a i a j es decir, el producto punto de la columna i de A con la columna j de A. De esta forma: A T A = I si y sólo si se tiene que las columnas de A son ortogonales y que tienen norma 1. Con la observación anterior presente podemos hacer el ejemplo 1 más fácilmente. Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal v 1 = 0, v 2 = 2, v 3 = 5/ Solución Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: A = [v 1 v 2 v 3 ] = / y n Y calculamos A T A: A T A = /4 9

10 que sean cero los elementos que están fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal. Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores v 1 =, v 2 =, v 3 = sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores: Y calculamos A T A: A T A = 4 6 z x 6 4 A = [v 1 v 2 v 3 ] = 4 x y z y 3 52+z 2 4x+36+4z 8+6y +3z 4x+36+4z x x+6y y +3z 2x+6y y 2 Por tanto, para que el conjunto se ortogonal debe cumplirse que: 4x+36+4z = 0 8+6y +3z = 0 2x+6y +12 = 0 de donde, los únicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = 31/5, y = 1/15 y z = 14/5 Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2,2, 4 > respecto a la base ortonormal 1/3 2/3 2/3 B = u 1 = 2/3, u 2 = 2/3, u 3 = 1/3 2/3 1/3 2/3 Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello, formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores de B: 1/3 2/3 2/3 A = [u 1 u 2 u 3 ] = 2/3 2/3 1/3 2/3 1/3 2/3 y calculamos A T A: A T A = Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal. Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos al producto: 1/3 2/3 2/3 2 2/3 A T v = 2/3 2/3 1/3 2 = 4/3 2/3 1/3 2/3 4 14/3 10

11 Por tanto, c 1 = v u 1 = 2/3, c 2 = v u 2 = 4/3, y c 3 = v u 3 = 14/3 y el vector de coordenadas de v respecto a la base B es < 2/3, 4/3,14/3 >. Sea A una matriz n n, y u y v dos vectores en R n. Entonces (Au) v = u ( A T v ) Demostración (Au) v = (Au) T v = ( u T A T) v = u T ( A T v ) = u ( A T v ) Sea A una matriz n n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto: (Au) (Au) = u v u,v (3) A preserva norma: Av = v v Demostración (1) implica (2) Si A es ortogonal, A T A = I. Así (2) implica (3) Se tiene (Au) (Av) = (Au) T Av = u T A T Av = u T (A T A)v = u T I v = u T v = u v tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3). (3) implica (1) Av 2 = (Av) (Av) = v v = v 2 11