Tema 1: Introducción y fundamentos matemáticos. Parte 3/4 Vectores en física I: Definiciones y propiedades

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 1: Introducción y fundamentos matemáticos. Parte 3/4 Vectores en física I: Definiciones y propiedades"

Carolina Maidana Naranjo
hace 7 años
Vistas:

1 Tem 1: Introducción y fundmentos mtemáticos Antonio González Fernández Deprtmento de Físic Aplicd III Universidd de Sevill Prte 3/4 es en físic I: Definiciones y propieddes

2 Ls mgnitudes se clsificn en diversos tipos: esclres, vectoriles,... Ls diferentes mgnitudes se pueden clsificr según l informción que ls define Mgnitudes esclres: un número (con o sin signo) un unidd ms energí crg tempertur presión tiempo Mgnitudes vectoriles: un número (sin signo): módulo un unidd un dirección un sentido velocidd fuerz cmpo eléctrico cmpo grvittorio celerción 2

tipo Esclr Esclr Esclr Esclr NUNCA Esclr Pr distinguirlos, los

3 El principio de homogeneidd tmbién se plic l crácter de l mgnitud En tod iguldd o sum ls mgnitudes deben ser del mismo tipo Esclr Esclr Esclr Esclr NUNCA Esclr Pr distinguirlos, los vectores se indicn con flechit o en negrit m q t p v F E v F E Esclr F = m 3

Operciones con mgnitudes esclres: se sumn y se multiplicn Sum de mgnitudes esclres Q = q 1 + q 2 M = m 1 + m 2 + + m n = Debe respetr l homogeneidd dimensionl n i=1 m i

4 Operciones con mgnitudes esclres: se sumn y se multiplicn Sum de mgnitudes esclres Q = q 1 + q 2 M = m 1 + m m n = Debe respetr l homogeneidd dimensionl n i=1 m i Sumtorio Producto de mgnitudes esclres Dimensiones del producto = producto de dimensiones U = mgh U = M L L2 L = M T2 T 2 Pueden sumrse y multiplicrse E = 1 2 mv2 + mgh 4

Ls mgnitudes vectoriles tienen módulo, dirección y sentido m F m F El efecto de un fuerz no depende solo de su mgnitud Elementos: F F Módulo: vlor de l mgnitud

5 Ls mgnitudes vectoriles tienen módulo, dirección y sentido m F m F El efecto de un fuerz no depende solo de su mgnitud Elementos: F F Módulo: vlor de l mgnitud (siempre positivo) Dirección: l de l rect soporte de l mgnitud Unidd: ls mgnitudes vectoriles tienen dimensiones Sentido: uno de los dos posibles pr l mism rect 5

6 es libres y ligdos: el punto de plicción es importnte Ls mgnitudes vectoriles están socids un punto del espcio: punto de plicción Se tom como origen del vector Se llmn vectores ligdos E B Los vectores ligdos no pueden moverse del sitio A E A pero... B C E C Existen mgnitudes cuyos efectos no dependen del punto de plicción Un vector que puede cmbirse de punto de plicción se denomin vector libre P.ej. g 6

7 Sum de mgnitudes vectoriles El efecto de dos fuerzs plicds en el mismo punto es igul l sum vectoril de ells (llmd resultnte) F 2 F = F 1 + F 2 F 1 Dos vectores ligdos pueden sumrse solo si tienen el mismo punto de plicción b Regl del prlelogrmo b Regl del triángulo b Los vectores libres se pueden sumr siempre 7

8 L sum de vectores tiene ls misms propieddes que l sum hbitul Asocitiv + b + c = + b + c c = + b + c Conmuttiv + b = b + Elemento neutro: el vector nulo + 0 = b b Elemento simétrico: el vector opuesto + = 0 b Llev flech 8

9 Los vectores se pueden multiplicr por mgnitudes esclres 2ª ley de Newton F = m Esclr Fuerz eléctric F = qe Módulo: F = q E Mism dirección: F E 3 Sentido: Mismo si q > 0 2 Opuesto si q < 0 Un combinción linel ún sum de vectores y productos por esclres b c c = 3 + 2b 9

10 El producto esclr de dos vectores produce un mgnitud esclr Definición de producto esclr: Llev un puntito Es un esclr con signo El signo depende de α F Δr = F Δr cos α Esclr F α Δr > 0 F F α α Δr < 0 Δr El producto esclr se nul si F = 0 Δr = 0 cos α = 0 Uno de los dos vectores es nulo o Son ortogonles F Δr 10

11 Propieddes y plicciones del producto esclr El producto esclr es conmuttivo El producto esclr NO es socitivo b = b Esclr b c b c b c b c WTF? producto de 3 vectores c Permite hllr el módulo de un vector F F = F 2 F = F F Unitrio en l dirección de un vector T = v v T T = v v v 2 = 1 11

12 Proyección ortogonl de un vector sobre otro El producto esclr d l proyección ortogonl de un vector sobre otro P.ej.: Solo l fuerz en l dirección de Δ r reliz trbjo α F F t u W = F t Δ r Δ r Es l longitud de l sombr obtenid perpendiculrmente Puede ser negtiv F t = F cos α = α F F t < 0 u Δ r Ejemplo: celerción tngencil = F Δ r Δ r = F u Unitrio t = T = v v 12

13 Los vectores pueden seprrse en componentes respecto otro Todo vector puede seprrse en sum de dos vectores = t + n v v n α T v t Un prte tngencil t Un prte norml, n t = t T = T T = v v v 2 n = t Unitrio OJO t t Relciones entre módulos t = cos α n = sen α 2 = 2 t + 2 n 13

14 El producto vectoril de dos vectores, A B d como resultdo un vector Llev un sp b = c Ej. Fuerz mgnétic F m = q v B Módulo: b b b = b sen α b sen α = bh = S b α b Dirección: Sentido: Perpendiculr y b Regl de l mno derech b 14

15 Propieddes y no propieddes del producto vectoril El producto vectoril NO es conmuttivo: Es nticonmuttivo: El producto vectoril NO es socitivo b b b = b b c b c El producto vectoril se nul si = 0 b = 0 sen α = 0 Uno de los dos vectores es nulo o Son prlelos b 15

16 Más llá del producto vectoril: el doble producto vectoril y el mixto Doble producto vectoril b c b c = c b b c b c b c = c b b c No se nuln Producto mixto: b c Es un esclr Volumen del prlelepípedo b c = b c b c V = b c 16

17 Descomposición de un vector en un prte prlel y un ortogonl otro Multiplicndo por el mismo vector v v = v v v v = v 2 Despejndo = v v v 2 + v v v 2 v v Tngencil t = v v v 2 = T T T = v v t = v v = T Norml n = v v v 2 = T T n = v v = T 17

18 Pueden despejrse los vectores en los productos esclres y vectoriles? Si conocemos k = A X, Podemos despejr X? X = k A NO No puede dividirse un esclr por un vector Si conocemos C = A X, Podemos despejr X? X = C A NO No puede dividirse un vector por otro vector Y si conocemos k = A X y C = A X? SÍ X = A X A A 2 + A X A A 2 = k A A 2 + C A A 2 C debe ser ortogonl A 18

19 Resumen de operciones y el tipo de resultdos Operción Ejemplo Crácter Sum de esclres M = m 1 + m 2 Esclr Esclr Esclr Producto de esclres U = mgh Esclr Esclr Esclr Sum de vectores F = F 1 + F 2 Producto por un esclr F = m Esclr Producto esclr P = F v Esclr Producto vectoril L = r p 19

20 Expresiones potencilmente incorrects con vectores y esclres 1 4 F = m v v r p L = R r p p 2 F v = p 5 6 F m p t = r vt t 2 t 3 L R = Ft v 1 r = r r 2 7 L = r p 8 W t = F v R t 9 r = v t vt 10 Δt = Δ r v 11 R = v 3 v 12 r v = v v v 13 v v = v v t = v v = d d r 1 2 v 2 20

21 Sevill, octubre de

Documentos relacionados

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL.

TEMA 1. CÁLCULO VECTORIAL. TEMA 1. CÁLCUL VECTRIAL. MAGNITUDES FÍSICAS ESCALARES Son quells que quedn determinds por su vlor numérico y l unidd de medid. Ejemplos: ms, energí, tiempo, tempertur, etc. MAGNITUDES FÍSICAS VECTRIALES