SUCESIONES. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

Transcripción

1 AuldeMte.com SUCESIONES. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA Breve reseñ históric: Los pitgóricos llmb trigulres los úmeros 3, 6, 0,,... e cosoci co l costrucció que prece e l figur. Se trt de u primer ejemplo de progresió ritmétic. Por otr prte, Euclides, e el libro IX de su obr Los Elemetos hbl de mgitudes "sucesivmete proporcioles" y os dice que ddo u cojuto de úmeros, b, c, d... so sucesivmete proporcioles si : b b c c d... L portció de Euclides ls progresioes geométrics cosiste e u defiició idirect de ells y l obteció de u expresió pr hllr l sum de sus térmios.

2 AuldeMte.com Defiició de sucesió: Sucesió: se llm sucesió de úmeros reles u cojuto de térmios ordedos, de tl mer que cumple u regl determid. Se ombr co u letr y u subídice Térmio Geerl: se llm térmio geerl l regl que sigue l sucesió. Ídice: se llm ídice de u térmio l posició que ocup e l sucesió. Represetció e el plo: Pr represetr u sucesió e el plo vmos poer los ídices e el eje X y los térmios e el eje Y, es decir, los putos serí (, ) Progresió ritmétic: U progresió ritmétic es u cso prticulr de ls sucesioes e l que l difereci etre dos térmios cosecutivos es costte. d + d( ) Si coocemos dos térmios culesquier de u progresió ritmétic podemos ecotrr todos los demás de l siguiete mer: + ( k k ) d Iterpolr medios difereciles: iterclr u úmero m de térmios etre dos coocidos, de modo que todos ellos forme u progresió ritmétic se llm iterpolr; y los m térmios iterpoldos se les llm medios difereciles. d m + Se puede clculr l sum de los primeros térmios de u progresió ritmétic co l siguiete formul: S ( + ) 2

3 AuldeMte.com Progresió geométric: U progresió geométric es otro cso prticulr de ls sucesioes e l que el cociete o l rzó etre dos térmios cosecutivos es costte. r r Si coocemos dos térmios culesquier de u progresió geométric podemos ecotrr todos los demás de l siguiete mer: k r k Iterpolr medios proporcioles: Iterclr u úmero m de térmios etre dos coocidos, de modo que todos ellos forme u progresió geométric se llm iterpolr; y los m térmios iterpoldos se les llm medios proporcioles. r m+ Sum de los primeros térmios de u sucesió geométric: S r r Producto de los primeros térmios de u sucesió geométric: P ( ) E ls progresioes geométrics co - < r <, podemos clculr l sum de ifiitos térmios y que éstos lleg hcerse t pequeños que so prácticmete cero. S r

4 AuldeMte.com Sucesió de Fibocci Leordo de Pis coocido por Fibocci, hijo de Bocci, podo de su pdre, er itlio y vivió etre los s. XII y XIII,, 2, 3,, 8,... Imgi u prej especil de liebres que puede reproducirse cudo tiee 2 meses pero o tes. Imgi que cd mes, desde que so mduros ( los 2 meses), tiee u prej de hijos siempre mcho y hembr. Si prtiérmos de u sól prej de liebres jóvees, cuáts prejs tedremos l comiezo de cd uo de los meses siguietes? Propieddes: Si dividimos cd úmero de l sucesió etre el terior cd vez se prece más l + úmero de oro φ 2 L sucesió de Fibocci es muy frecuete e l Nturlez: por ejemplo, tiee tedeci precer cudo cotmos ls espirles que form ls escms de l piñ cudo l mirs por bjo, ls pips de girsol tmbié gir e espirles cuyo úmero es uo de los de Fibocci. L sucesió de Fibocci tmbié prece e el rte: costruyedo rectágulos como e l esce (ver pliccioes iterctivs), se costruye u espirl que es muy precid l espirl áure o logrítmic. Los rectágulos que se v costruyedo se prece cd vez más l u rectágulo áureo. E "el hombre idel", Leordo d Vici estbleció lo que cosideró ls proporcioes hums más perfects. L relció etre lgus de ls medids priciples del cuerpo humo es l áure.

5 AuldeMte.com Apliccioes: Clculr l frcció geertriz de úmeros decimles periódicos: Periódicos puros. 0, 0,... 0, + 0,0 + 0, Sum de u progresió geométric co y r 0 0 S Periódicos mixtos ,234 0, , , , Sum de u progresió geométric co y r S ,

6 AuldeMte.com Iterés simple y compuesto: Dispoemos de u cpitl C y lo depositmos e u bco que le d u tto por cierto ul de itereses y podemos optr por l cpitlizció o o de los itereses. Iterés simple: Al cbo de u ño el cpitl será C + CI Al cbo de dos ños será C + CI +CI C + 2CI... Al cbo de ños será C + CI Por tto se trt de u sucesió ritmétic de primer térmio C y rzó CI C + CI + ( ) CI C + CI Iterés compuesto: Al cbo de u ño el cpitl será C + CI C( + I) Al cbo de dos ños será C( + I) C( + I) + C( + I)I C( + I) 2... Al cbo de ños será C( + I) Por tto se trt de u sucesió geométric de primer térmio C( + I) y rzó ( + I) C( + I )( + I ) C( + I)

7 AuldeMte.com Límite de sucesioes U sucesió tiee límite, si sus térmios v tomdo vlores cd vez más próximos u ciert ctidd que llmmos límite de l sucesió. lim ε > 0 < ε 0 / 0 Sucesioes o covergetes ( pr culquier vlor de oscil etre - y ) 3 crece idefiidmete