3 Sucesiones. y progresiones. 1. Sucesiones. Sigue las series siguientes: a) b) Solución: a) b)

Transcripción

1 Sucesioes y progresioes. Sucesioes Sigue ls series siguietes: ) b) 6 9 P I E N S A Y C A L C U L A ) b) Hll los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ), 8,, 8 b) 8,, 0, c),,, d) /, /, /6, /8 A P L I C A L A T E O R Í A Clcul los cutro primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ) = + b) = ( + ) c) = d) = ( ) ), 8,, 8,, 8,, 8,, 8 b) 8,, 0,, 8,, 6, 0,, 8 c),,,,,,,,, d) /, /, /6, /8, /0, /, /, /6, /8, /0 ) 5, 8,, b), 9, 6, 5 c) 6,,, 8 d),, 8,6 Hll los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ),,,,, 7 b),,,, 5, 8 c),,,, 6, 5 d),,, 8 ),,,,, 7,, 0,, b),,,, 5, 8,,,, 55 c),,,, 6, 5, 8, 7, 0, 9 d),,, 8, 6,, 6, 8, 56, 5 Hll los cutro primeros térmios positivos de ls sucesioes siguietes y trt de hllr metlmete l fórmul del térmio geerl. ) Números pres. b) Números impres. c) Múltiplos de 5 d) Cubos perfectos. ),, 6, 8 = b),, 5, 7 = c) 5, 0, 5, 0 = 5 d), 8, 7, 6 = 8 SOLUCIONARIO

2 . Progresioes ritmétics Clcul metlmete l sum de los 00 primeros úmeros turles. Observ que l sum de los térmios equidisttes de los extremos so igules = 0, + 99 = 0, + 98 = = P I E N S A Y C A L C U L A 5 Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes progresioes ritmétics: ) 5, 9,, 7 b) 6,, 0, c) /, /, 0, / d)/,, /, ) = 5, d = = 5 + ( ) = + b) = 6, d = = 6 ( ) = + 9 c) = /, d = / = ( ) = d) = /, d = / = + ( ) = 6 Escribe el térmio geerl y los tres primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo primer térmio es = 6 y d =,5 = + ( )d = 6 +,5( ) =,5 +,5 6; 8,5; E u progresió ritmétic coocemos los térmios 5 = 9 y 8 = 8. Clcul l difereci y el primer térmio. + d = 9 + 7d = 8 Restdo l ª ecució lª: d = 9 d = + = 9 = 7 Clcul l sum de los 5 primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo térmio geerl es: = S = = + 6 = 8 5 = = 56 S = = 800 A P L I C A L A T E O R Í A Clcul l sum de los primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo térmio geerl es: = / + 7 E l progresió 5, 9,, 7, qué térmio vle 9? = 5, d = = + + = 9 = + S = = / + = 7/ = 8 + = 0 S = 7/ + 0 = UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES 9

3 . Progresioes geométrics Clcul metlmete los dos térmios siguietes de cd u de ests sucesioes: ), 6,, b) 0, 0, 5, 5/ c),,, d) 5, 5, 5, 5 ) 8, 96 b) 5/, 5/8 c), d) 5, 5 P I E N S A Y C A L C U L A Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes progresioes geométrics: ) 5, 5, 5, 5 b) 6,, /, / ) = 5, r = = 5 b) = 6, r = / = 6 ( ) Dd u progresió geométric cuyo primer térmio es = y l rzó r = 5, clcul: ) 6 b) 0 c) ) 6 = 5 5 b) 0 = 5 9 c) = 5 E l progresió geométric,, 8, 6,, qué térmio vle 0? =, r = y = = 0 = 0 = 0 Ecuetr l rzó de l progresió geométric que tiee = 5 y 6 = 5 ) =, r = 7, 0 = S 0 = = b) =, r =, 0 = ( ) 9 ( ) 9 ( ) S 0 = = 0 ( ) 6 7 Clcul l sum de los ifiitos térmios de ls siguietes progresioes geométrics: ) /5, /5, /5, /65 b),, /, 8/9, 6/7 /5 ) = /5, r = /5 /5 < S = = / /5 b) =, r = / / < S = = 9 / L sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric es 6 y su primer térmio es. Hll l rzó. = 6 r = / r A P L I C A L A T E O R Í A r = 5 r 5 = 5 Dividiedo l ª ecució etre lª: r = 9 r = ± 5 Clcul l sum de los 0 primeros térmios de ls siguietes progresioes geométrics: ),, 98, 686 b), 6,, 8 Si e u cudrdo de áre 8 m se ue los putos medios, se obtiee otro cudrdo, y sí sucesivmete. Clcul l sucesió de ls áres de dichos cudrdos. Qué tipo de progresió es? 8,,, Es u progresió geométric decreciete de rzó: r = / 0 SOLUCIONARIO

4 . Apliccioes: iterés simple y compuesto Si se deposit e u libret de horro 000 y se pg u 5% de iterés ul, cuáto diero produce l cbo de u ño? 50 P I E N S A Y C A L C U L A A P L I C A L A T E O R Í A 9 E u depósito de u etidd ficier ofrece u 6% de iterés simple ul. Si se deposit durte ños y Hcied retiee el 8%, clcul el cpitl cumuldo l filizr el período. Se deposit l 5% de iterés compuesto durte ños. Hcied retiee el 8% de los itereses cudo se recuper el cpitl. Clcul el cpitl fil si los itereses se bo ulmete. Tto por uo fil: 0,06 0,8 = 0,09 I = c r t I = ,09 = 78 C = = Clcul los ños que h estdo depositdo u cpitl de l,5% de iterés si se h geerdo 700 de itereses, si el descueto de Hcied. I I = c r t t = c r 700 t = = ños ,05 Clcul el rédito l que se h depositdo iterés simple durte 5 ños si, u vez reteido el 8% de Hcied, los itereses geerdos so de 95 C = c( + r) t C = 6 500,05 = 7 900, 79 Los itereses so: 7 900, = 00,79 Hcied retiee: 00,79 0,8 = 5, El cpitl fil eto será: 7 900,79 5, = 7 68,65 Se deposit l % de iterés compuesto co boo de itereses dirios durte ños. Clcul el cpitl fil si Hcied retiee el 8% l filizr el plzo. C = c ( + r ) t C = ,0 ( + ) 60 = 8 56,5 60 Los itereses so: 8 56, = 956,5 Hcied retiee: 956,5 0,8 = 5,7 El cpitl fil eto será: 8 56,5 5,7 = 7 9,5 I I = c r t r = c t 95 r = = 0, El rédito bruto: r = 0,08 : 0,8 = 0,0 R = % Qué cpitl iicil es ecesrio pr que, iterés compuesto durte ños l 5% ul y co períodos de cpitlizció ules, se cumule u cpitl fil de 5 558,8? C = c( + r) t c = C c = 5 558,8 ( + r) t,05 c = 800 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES

5 Ejercicios y problems. Sucesioes 5 Escribe los seis primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ), 9, 7, 5 b),, 8, 6 c) Los múltiplos de 5 d) Los iversos de los cudrdos de los úmeros turles. ), 9, 7, 5,, b),, 8, 6,, 6 c) 0, 5, 0, 5, 0, 5 d), /, /9, /6, /5, /6 ) = 7, d = = 7 + ( ) = + b) =, d = 5 = 5( ) = c) = 7, d = = 7 + ( ) = d) + =, d = / = + ( ) = 9 Escribe el térmio geerl y los tres primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo primer térmio es = y cuy difereci es d = 5/ = ( ) =, /, 9/ 6 Hll los diez primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ) x, x, x, 8x b),,,, 9 c),, 6, 9, 5 d) El triple de los úmeros turles. 0 E u progresió ritmétic, = y l difereci es d = /7. Clcul el primer térmio. =, d = /7 + ( ) = = /7 7 ) x, x, x, 8x, 6x, x, 6x, 8x, 56x, 5x b),,,, 9,, 6,, 5, c),, 6, 9, 5,, 9, 6, 0, 65 d) 0,, 6, 9,, 5, 8,,, 7 7 Clcul los cico primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ) = + b) = + c) = d) = ( ) ), 6, 0,, 8 b), 5, 0, 7, 6 c) /, /, /8, /6, / d), 0,, 6,. Progresioes ritmétics 8 Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes progresioes ritmétics: ) 7,, 5 b),, 7 c) 7,, d)/, /, E u progresió ritmétic el primer térmio vle y el sexto térmio vle 8. Clcul l difereci. =, 6 = 8 6 = + d(6 ) 8 = + 5d d = E ls siguietes progresioes ritmétics, clcul el térmio que ocup el último vlor: ), 6, 8, 0 b) 7/, 5/, /, / ) =, d =, = 0 = + d( ) 0 = + ( ) = b) = 7/, d =, = / = + d( ) / = 7/ ( ) = 5 SOLUCIONARIO

6 E u progresió ritmétic coocemos los térmios 5 = 7 y 7 = 5/. Clcul l difereci y el primer térmio. = + ( )d 7 = + (5 )d + d = 7 5 5/ = + (7 )d + 6d = Restdo l ª ecució lª: d = d = + = 7 = Clcul l sum de los 5 primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo térmio geerl es = + = + = 5 5 = 5 + = 57 S = 5 = 50 5 Clcul l sum de los primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo térmio geerl es = / + / = / + / = 5/ = / + / = 6/ S 5/ + 6/ = = ) = 6, r =, = 6 b) =, r =, = = c) =,r =, = ( ) d) =, r = /, = ( ) Dd u progresió geométric cuyo primer térmio es = 8 y cuy rzó es r = /, clcul: ) 6 b) 0 c) 0 d) ) 6 = 8 ( ) 5 b) 0 = 8 ( ) 9 c) 0 = 8 ( ) 9 d) = 8 ( ) E u progresió geométric, 7 = 6/8 y l rzó r = /. Clcul el primer térmio. 7 = r 7 6 = 6 ( ) 6 = ( ) 6 8 = = 9 E l progresió geométric 5, 0, 0, qué térmio vle 60?. Progresioes geométrics 6 Ecuetr el térmio geerl de ls siguietes progresioes geométrics: ) 6,, b) /,, c), 6, d) /, /, / = r = 5,r = 60 = 5 ( ) 8 = ( ) ( ) 7 = ( ) = 7 = 8 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES

7 Ejercicios y problems 0 E u progresió geométric el primer térmio es / y el séptimo térmio es. Clcul l rzó. = r = / r 7 r 6 = 79 r 6 = 6 r = ± Ecuetr l rzó de l progresió geométric que tiee = 7/6 y 8 = /8 = r = 7 r r 7 = ( ) 7 r = Clcul l sum de los primeros térmios de ls siguietes progresioes: ), 8, 6 b) /0, /5, /5 ) =, r = = ( ) ( ) ( ) S = = 5 60 b) =, r = 0 = 0 /0 /0 89 S = = 5 Clcul l sum de los ifiitos térmios de ls siguietes progresioes: ) 9,, b) 9/, /, ) = 9, r = 9 7 S = = (/) 9 b) =, r = 9/ 7 S = = (/) Cuátos térmios hy que tomr de l progresió 5, 0, 0 pr que l sum se 555? r S = r = 5, r = = = 555 5( ) = 555 = 5 = 9 = 9 L sum de los ifiitos térmios de u progresió es y su rzó r = /. Hll el primer térmio. S = r = / = 6 SOLUCIONARIO

8 . Apliccioes: iterés simple y compuesto 6 E u depósito ofrece u,5% de iterés simple por ños. Si se deposit 000 y Hcied retiee el 8% de los itereses, clcul el cpitl cumuldo l filizr el período. El tto por uo fil: 0,05 0,8 = 0,087 I = c r t I = 000 0,087 = 77,60 C = ,60 = 77,60 7 Clcul los ños que h estdo depositdo u cpitl de l 6% de iterés si, relizd l reteció de Hcied del 8%, se h geerdo 5 08,0 de itereses. Iterés bruto: 5 08,0 : 0,8 = 6 0 I I = c r t t = c r 6 0 t = = ños ,06 8 Clcul el rédito o tto por cieto l que se h depositdo iterés simple durte ños si, u vez reteido el 8% de Hcied, los itereses geerdos so de 60 Iterés bruto: 60 : 0,8 = 000 I I = c r t r = c t 000 r = = 0,05 R = 5% U etidd ficier ofrece u,5% ul por u depósito reovble todos los meses. Si los itereses o se cumul e el depósito y éste se reuev 5 meses, qué iterés se obtedrá por u vez descotdo el 8% de reteció de Hcied? Tto por uo fil: 0,05 0,8 = 0,087 t I = c r I = ,087 5/ = 5,5 Qué cpitl se cumul si se coloc 000 l 5% de iterés compuesto durte ños si los itereses se bo trimestrlmete y Hcied retiee el 8% l filizr el período? C = c ( + r ) t C = 000 0,05 ( + ) = 5 98,9 Los itereses so: 5 98,9 000 = 98,9 Hcied retiee: 98,9 0,8 = 897,0 El cpitl fil eto será: 5 98,9 897,0 = 5 086,8 Qué cpitl iicil es ecesrio teer depositdo pr que, iterés compuesto durte 5 ños l 6% ul y co períodos de cpitlizció mesules, se cumule u cpitl fil de 6 977? C = c ( + r ) t c 0,06 ( + ) 5 = 6 977, c = c = :, c = UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES 5

9 Ejercicios y problems Pr mplir 5 Estudi si ls siguietes sucesioes so progresioes ritmétics o geométrics y ecuetr el térmio geerl: ) /5, /0, 6/5 b) /, 5/, /6 c) 5/6, /, /0 d) /, /, / ) = /5, d = 9/0 Progresió ritmétic de térmio geerl: = + ( ) = b) = /, d = / Progresió ritmétic de térmio geerl: 5 9 = ( ) = c) = 5/6, r = /5 Progresió geométric de térmio geerl: = 5/9 (/5) d) = /, r = / Progresió geométric de térmio geerl: = / ( /) 5 Escribe el térmio geerl y los tres primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo primer térmio es = / y cuy difereci es d = 0, Clcul el primer térmio y l difereci e ls progresioes ritmétics e ls que: ) = 70 y 6 = 5 b) 5 = 6 y 9 = 7 ) + d = d = 5 Restdo l ª ecució lª: d = 5 d = = 70 = 70 0 = 0 b) + d = 6 + 8d = 7 Restdo l ª ecució lª: d = d = / + = 6 = 5 Clcul l sum de los primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo térmio geerl es = 5/ + / = = 0 + / = 6/ S = + 6/ = 0 = + ( )d = / + 0,5( ) = + ( ) + = 57 Dd u progresió geométric cuyo primer térmio es = /8 y cuy rzó es r = /, clcul: ) 5 b) 5 c) 0 /, 5/, 7/ 5 Clcul el térmio que ocup el lugr 00 e l progresió: 5, /, / = 5, d = / 00 = 5 + (00 )/ = = 6 00 = 6 d) ) 5 = ( ) = ( ) 8 b) 5 = ( ) = ( ) 8 c) 0 = ( ) 9 = ( ) 8 8 d) = ( ) = ( ) 8 6 SOLUCIONARIO

10 58 Clcul l sum de los 5 primeros térmios de ls siguietes progresioes: ),, / b) 9/, /, ) =, r = / 5 = (/) (/) / 8 S 5 = = / 7 b) = 9/, r = / 5 = 9/ (/) = /9 /9 / 9/ S 5 = = / El primer térmio de u progresió geométric es 5, y el curto térmio es 7/5. Clcul l sum de sus ifiitos térmios. 5 r = 7/5 r = 8/5 = (/5) r = /5 S = 5 = 75 /5 Clcul los ños que h estdo depositdo u cpitl de l,5% de iterés simple si se h geerdo 5 58,5 u vez reteido el 8% de Hcied. 59 Clcul l sum de los ifiitos térmios de ls siguietes progresioes: ) 5, 5/, 5/6 b),,/ ) = 5, r = / 5 0 S = = / b) =, r = / S = = / 60 E u progresió geométric = 5 y 6 = 5. Clcul el primer térmio y l rzó. r = 5 r 5 = 5 Dividiedo l ª ecució etre lª: r = 5 r = ± 5 Si r = 5 = Si r = 5 = Iterés bruto: 5 58,5 : 0,8 = 6,50 I I = c r t t = c r 6,50 t = = 5 ños , Clcul el rédito l que se h depositdo iterés simple durte ños si, u vez reteido el 8% de Hcied, los itereses geerdos so de 660,50 Iterés bruto: 660,50 : 0,8 = 05 I I = c r t r = c t 05 r = = 0,05 R =,5% U etidd ficier ofrece u,5% ul por u depósito reovble todos los meses. Si los itereses o se cumul e el depósito y éste se reuev meses, qué iterés se obtiee por 000 co l reteció del 8% de Hcied? Tto por uo fil: 0,05 0,8 = 0,085 t I = c r I = 000 0,085 / = 09,0 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES 7

11 Ejercicios y problems 65 Qué cpitl bruto se cumul si se coloc l,5% de iterés compuesto durte ños si los itereses se bo segú ls modliddes siguietes: ) Aulmete. b) Mesulmete. ) C = c( + r) t C = 0 500,05 = 8 97 b) C = c r ( + ) t C = ,05 ( + ) = 8 70,98 Co clculdor 66 Clcul los 5 siguietes térmios de ls progresioes: ),7;,5;,6 b) 000, 00, 0 ) =,7; d = 0,8,7;,5;,6;,8;,99;,7;,5;,5 b) = 000; r =, 000; 00; 0; 78; 07,6; 88,; 985,98; 58,808 Problems 67 Cotiú ls siguietes series de úmeros figurdos, hst obteer tres térmios más: 69 Clcul l sum de los primeros 00 úmeros impres. ) b) 6 9 ) 6 0 5,, 5, 7 =, d = 00 = + (00 ) = 99 S = 00 = b) Clcul l sum de los 5 primeros múltiplos positivos de 6 6,, 8 = 6, d = 6 5 = 6 + 6(5 ) = 90 S = 5 = U móvil vz 5 metros e u segudo y sigue vzdo de form que cd segudo vz metros más que e el segudo terior. Cuáto recorrerá e u miuto? 5, 7, 9 = 5, d = 60 = 5 + (60 ) = m S = 60 = 80 m 8 SOLUCIONARIO

12 7 U depediete recibe el primer dí de trbjo u grtificció de 0. E los dís sucesivos, est grtificció v umetdo e,5, de mer que, e su últim jord, cobr,5. Cuátos dís trbjó y cuáto cobró e totl por ls grtificcioes? = 0, d =,5 0 +,5( ) =,5,5 + 8,5 =,5 = 90 dís 0 +,5 S 90 = 90 = 6 907,5 7 El precio de l primer etreg de u colecció de mierles es de. E ls siguietes etregs el precio sube 0,0 más que e l terior. Si l colecció cost de 00 ejemplres, cuáto se pgrá por el totl de l colecció? =, d = 0,0 00 = ,0 =,97 +,97 S 00 = 00 = 8,5 7 Jorge cobr8 semles de pg y decide horrr,8 el primer mes y umetr cd mes 0,75 más que el terior. Cuáto horrrá e u ño? Clcul los ldos de u triágulo rectágulo sbiedo que está e progresió ritmétic y que el meor de ellos mide 6 cm 6 + d 6 + d Se quiere sldr semlmete u deud. L primer sem se pg 5 y e cd u de ls sems siguietes se v pgdo más que e l terior. Si se pg e 0 sems, cuáto sciede el importe de l deud? = 5, d = 0 = = 5 + S 0 = 0 = 890 = 6 = 6 + d = 6 + d (6 + d) = (6 + d) + 6 d + d 6 = 0 d + d = 0 d = d = 6 (Solució o válid) Los ldos so: 6 cm, 8 cm, 0 cm 6 Los águlos de u hexágoo está e progresió ritmétic, y el meor de ellos mide 0. Clcul los demás. =,8, d = 0,75 =,8 + 0,75 = 0,05,8 + 0,05 S = = 7, 7 Se h hecho u pozo de 0 m de profudidd. Por el primer metro se h pgdo 7,5 y por cd metro sucesivo se h pgdo, más que por el terior. Cuál es el coste del pozo? = 7,5, d =, 0 = 7,5 + 9, = 97, 7,5 + 97, S 0 = 0 = 09 = 0 6 = 0 + 5d d S 6 = d 6 = d = 70 d = Los águlos so: 0, 7, 0, 6, 68, 00 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES 9

13 Ejercicios y problems 78 E u cudrdo se ue los putos medios de sus ldos y se obtiee otro cudrdo iscrito. E este último cudrdo se repite l operció, obteiédose otro cudrdo iscrito. Si el ldo del primer cudrdo mide cm, clcul l sum de ls áres de todos los cudrdos. 8 Se form u sucesió de círculos cocétricos e los que cd rdio es l mitd del rdio del círculo terior. Si el primer círculo tiee u diámetro de cm, hll l sum de ls áres de todos lo círculos. = π cm = π cm = π/ cm Se obtiee u progresió geométric de rzó: r = / π S = = 6π/ cm = 6,76 cm / L sucesió de áres es:,,, / =, r = / S = = 8 cm / 79 U perso g e su estblecimieto u 7% más de lo que gó el ño terior. Si el primer ño gó 8 000, cuáto hbrá obteido e medi doce de ños? = r =,07 6 = 8 000,07 5 = 9 7,5 97,5, S 6 = = 00 9,6,07 80 Se dej cer u pelot desde u ltur de 5 cm. Después de cd bote e el suelo, sube / cm de l ltur de l que ce. Qué logitud recorrerá l pelot tes de llegr l reposo? Recorre de bjd: = 5 cm, r = / 5 S = = 08 m / Recorre de subid: = 9 cm, r = / 9 S = = 56 m / Recorre e totl: = 6 cm =,6 m Qué cpitl iicil es ecesrio teer depositdo pr que, iterés compuesto durte ños l 5% ul y co períodos de cpitlizció trimestrles, se cumule u cpitl fil bruto de 9 69,0? r C r C = c ( + ) t c = ( + ) t 9 69, 9 69, c = = 0,05,05 ( + ) c = Clcul los ños que h estdo depositdo u cpitl de l 6,5% de iterés simple si, u vez hech l reteció del 8% de Hcied, se h geerdo 7 95,50 Iterés bruto: 7 95,50 : 0,8 = I I = c r t t = c r t = = ños ,065 U etidd ficier pg el 7,5% del diero depositdo si éste se mtiee ños. Clcul, e los siguietes csos, cuáto se grá l filizr los tres ños por u imposició de si Hcied retiee el 8%: ) Los itereses se igres e u cuet distit. b) Los itereses se igres e l mism cuet. 0 SOLUCIONARIO

14 ) El iterés es simple. El tto por uo fil: 0,075 0,8 = 0,065 I = c r t I = ,065 = 85 b) El iterés es compuesto. C = c( + r) t C = 0 000,075 = Los itereses so: = Co l reteció de Hcied: 0,8 = 986,86 85 Clcul el rédito l que se h depositdo 000 iterés simple durte 8 meses si los itereses geerdos, co l reteció de Hcied descotd, h sido de 66,0 88 Cotiú ls siguietes series de úmeros figurdos hst obteer tres térmios más: ) b) ) b) Iterés bruto: 66,0 : 0,8 = 80 t I I = c r r = c t 80 r = = 0,05 R =,5% Pr profudizr Comprueb que ls siguietes expresioes está e progresió ritmétic y clcul el séptimo térmio: x x +, x + y x + x + d = = x + (x x + ) = x d = = x + x + (x + ) = x Está e progresió ritmétic de difereci: d = x 7 = + 6d = x x + + x = x + 0x + E u progresió ritmétic, el primer térmio y el décimocurto sum. Cuáto sum el quito y el décimo térmio? Los térmios equidisttes de u progresió ritmétic sum lo mismo. Luego sumrá E u progresió ritmétic el primer tér-mio es y el udécimo es 5. Rzo lo que vle el sexto térmio. + = ; : = 6 El sexto térmio es el térmio cetrl del primero y el udécimo. Luego: = = 7 L sum de los ifiitos térmios de u progresió geométric decreciete es 6 y l sum de sus dos primeros térmios es 6/. Clcul el primer térmio. 6 = = 6( r) r + r = 6/ ( + r) = 6/ Sustituyedo e l ª ecució: 6( r)( + r) = 6/ 6( r ) = 6/ r = /9 r = ± / Si r = / = Si r = / = 8 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES

15 Ejercicios y problems 9 De u vso lleo de leche se vcí l mitd y se relle de gu. Se retir l mitd del uevo coteido y se vuelve reller co gu. Si este proceso se repite seis veces, qué prte de gu cotiee el vso? 9 Clcul el cpitl iicil que se debe depositr l 6% de iterés compuesto co períodos de cpitlizció mesul, pr que, l cbo de 0 ños, se coviert e 0 brutos. L ctidd de leche y de gu que hy e el vso es: 9 Leche / / /8 Agu 0 / / 7/8 L ctidd de leche sigue u progresió geométric de rzó / 6 = (/) 5 = / L ctidd de gu es: / U depósito ofrece u % de iterés simple ul, reovble mesulmete y si cumulr los itereses e el depósito. Cuáto tiempo se debe depositr 000 pr geerr uos itereses etos, es decir, descotdo el 8% de Hcied, de 98? Iterés bruto: 98 : 0,8 = 00 t I I = c r t = c r 00 t = = 0 meses 000 0,0 C = c ( + r ) t 0,06 c( + ) 0 = 0,005 0 c = 0 c = 0 :,005 0 c = Clcul el tiempo que hy que teer u cpitl depositdo e u bco l 5% co iterés simple, pr que el cpitl se duplique. I = c c r t = c r t = t = r t = = 0 ños 0,05 Aplic tus competecis 95 Clcul l cuot mesul que hy que pgr por u hipotec de l,50% y cotrtd ños. 97 Clcul l hipotec que se puede mortizr l 5,5% durte 0 ños pgdo de mesulidd 68,5 Cuot mesul: 8,5 0 = 85, Hipotec: 68,5 : 0,7 = Clcul l cuot mesul que hy que pgr por u hipotec de l,5% y cotrtd 5 ños. Cuot mesul: 7,5 5 = Clcul l hipotec que se puede mortizr l 5% durte 8 ños pgdo de mesulidd 0,9 Hipotec: 0,9 : 7,0 = SOLUCIONARIO

16 Comprueb lo que sbes Defie progresió ritmétic y po u ejemplo. U progresió ritmétic es u sucesió e l que cd térmio se hll sumdo l térmio terior u úmero costte que se llm difereci y que se represet co l letr d L difereci d de u progresió ritmétic se clcul restdo dos térmios cosecutivos. Ejemplo L sucesió, 7,, 5 es u progresió ritmétic. 5 Clcul l sum de los 0 primeros térmios de l siguiete progresió:, 6, 8 Es u progresió geométric: =, r = 0 = 9 9 S 0 = = Clcul l sum de los ifiitos térmios de l siguiete progresió: /0, /00 Ecuetr el térmio geerl de ls progresioes siguietes: ) 7,, 5 b),, 8 = /0, r = /0 /0 S = = /9 /0 ) = 7, d = = 7 + ( ) = + b) =, r = = ( ) Clcul los ños que h estdo depositdo u cpitl de l 6% de iterés simple si, relizd l reteció de Hcied del 8%, se h geerdo 5 08,0 de itereses. Iterés bruto: 5 08,0 : 0,8 = 6 0 I I = c r t t = c r 6 0 t = = ños ,06 Clcul l sum de los 5 primeros térmios de l progresió cuyo térmio geerl es = Es u progresió ritmétic: =, d = 5 = 5 = S 5 = 5 = Se deposit l 5% de iterés compuesto durte ños. Hcied retiee el 8% de los itereses cudo se recuper el cpitl. Clcul el cpitl fil si los itereses se bo ulmete. C = c( + r) t C = 6 500,05 = 7 900,79 Los itereses so: 7 900, = 00,79 Hcied retiee: 00,79 0,8 = 5, El cpitl fil eto será: 7 900,79 5, = 7 68,65 Los ldos de u triágulo rectágulo está e progresió ritmétic. Clcul su logitud sbiedo que el meor mide cm + d + d ( + d) = ( + d) + d + d = 0 d + 8d 8 = 0 d = (d = o es válid) Los ldos so:, 6 y 0 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES

17 Widows Derive Pso pso 99 Clcul los diez primeros térmios de l siguiete sucesió: = + Resuelto e el libro del lumdo. 00 Dd l siguiete sucesió, clcul l sum de los 5 primeros térmios: = 7 5 Resuelto e el libro del lumdo. 0 0 E u progresió geométric, = 5 y 6 = 5. Hll el primer térmio y l rzó de l progresió. Resuelto e el libro del lumdo. Se deposit 000 l 5% de iterés compuesto durte ños. Qué cpitl tedremos l filizr ese tiempo? Resuelto e el libro del lumdo. Plte los siguietes problems y resuélvelos co yud de DERIVE o Wiris: 0 E l progresió = +, qué térmio vle 5? 0 Iteret. Abre l web: y elige Mtemátics, curso y tem. Resuelto e el libro del lumdo. Prctic 05 Hll los térmios geerles de ls siguietes sucesioes y clcul los diez primeros térmios de cd u de ells: ), 0, 8 b),, 6 c) 5, 5, 5 d) 6,, / ) = + 8( ) = 8 +, 0, 8, 6,, 5, 60, 68, 76, 8 b) = 0( ) = 0 +,, 6, 6, 6, 6, 6, 56, 66, 76 c) = 5 5, 5, 5, 5, 05, 5, 65, 0 95, 805, 98 5 d) = 6 (/) 6,, /, /, /8, /6, /, /6,/8, /56 06 Clcul los ocho primeros térmios de ls siguietes sucesioes: ) = + b) = 5 + c) = ( /) d) = ( ) ) 6, 8, 66, 58, 06, 098, 6 86, b) 0,,, 0, 5, 80,, 5 c) 8/, 6/9, /7, 6/8, 8/, 56/79, 5/ 87, 0/6 56 d),, 8, 6,, 6, 8, 56 SOLUCIONARIO

18 Liux/Widows 07 Clcul l sum de los 5 primeros térmios de l progresió ritmétic cuyo térmio geerl es = /5 + / S = 9 50/ 08 Clcul l sum de los 7 primeros térmios de l progresió geométric cuyo térmio geerl es = S 7 = Clcul l sum de los ifiitos térmios de l siguiete progresió:,, / = (/) S = 9/ Plte los siguietes problems y resuélvelos co yud de DERIVE o Wiris: 0 E l progresió 9, 5,, qué lugr ocup el térmio que vle 7? = + + = 7 = 5 E u progresió ritmétic coocemos los térmios 6 = /6 y 9 = 5/6. Clcul l difereci y el primer térmio. + 5d = /6 } + 8d = 5/6 = / d = / 5 E l progresió geométric 8,, /, qué térmio vle / 08? = 8, r = 8(/) = / 08 = 8 Ecuetr l rzó de l progresió geométric que tiee = /9 y 6 = 5/8 r = (5/8)/(/9) r = ± / Se deposit 000 durte ños u 5% de iterés. Si Hcied retiee u 8% de los itereses, qué iterés se obtiee l cbr dicho período? El tto por uo ser: 0,05 0,8 = 0,0 I = c r t = 000 0,0 = 6 Se deposit 000 u iterés compuesto del 7% durte ños co períodos de cpitlizció mesules. Si Hcied retiee el 8% cudo se recuper el cpitl, clcul el cpitl fil. El cpitl fil será: r C = c( + ) t C = 698,78 Los itereses so: 698,78 000= 698,78 Hcied retiee: 698,78 0,8 = 5,78 El cpitl fil eto ser: 698,78 5,78 = 57 UNIDAD. SUCESIONES Y PROGRESIONES 5