Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero,...

Transcripción

1 TEMA SUCESIONES. CONCEPTO DE SUCESIÓN DEFINICIÓN DE SUCESIÓN S llama sucsió a u cojuto d úmros dados ordadamt d modo qu s puda umrar: primro, sgudo, trcro,... Los lmtos d la sucsió s llama térmios y s sul dsigar mdiat ua ltra co los subídics corrspodits a los lugars qu ocupa la sucsió: a, a, a,... TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN S llama térmio gral d ua sucsió, y s simboliza co a, al térmio qu rprsta uo cualquira d lla. - Hay sucsios cuyo térmio gral pud xprsars mdiat ua fórmula: a f(). Dádol a u cirto valor atural, s obti l térmio corrspodit. - E otras sucsios, para hallar u térmio s csario oprar co dos o más d los atriors y s llama sucsios rcurrts. Para hallar u térmio cocrto hay qu obtr, prviamt, todos los atriors.. ALGUNAS SUCESIONES IMPORTANTES PROGRESIONES ARITMÉTICAS Dfiició: Ua progrsió aritmética s ua sucsió la qu s pasa d cada térmio al siguit sumado ua catidad fija, llamada difrcia d la progrsió. Térmio gral, a, d ua progrsió aritmética cuyo primr térmio s a y cuya difrcia s d s obti así: a a (-)d Suma d los -primros térmios d ua progrsió aritmética s: S a a... a ( a a ) PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Dfiició: Ua progrsió gométrica s ua sucsió la qu s pasa d cada térmio al siguit multiplicado por ua catidad fija, llamada razó d la progrsió. Térmio gral, a, d ua progrsió gométrica cuyo primr térmio s a y cuya razó s r s obti así: a a.r -

2 Suma d los -primros térmios d ua progrsió gométrica co r s: a.r a a.r a S a a... a r r Suma d ifiitos térmios d ua progrsió gométrica la qu r < s: S a r SUCESIONES DE POTENCIAS Nos cotramos co frcucia sucsios dl tipo m, m, m,..., m (Cuadrados, cubos, raícs). So spcialmt importats: - La suma d los primros cuadrados:....( ).( ) 6 - La suma d los primros cubos:....( ) SUCESIÓN DE FIBONACCI La sucsió d Fiboacci s ua sucsió rcurrt dod cada térmio s obti sumado los dos atriors: a a a a - a - CÁLCULO DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN Progrsió aritmética : s ua sucsió umérica la qu cada térmio s igual al atrior más la difrcia. Dsigado por d a dicha difrcia: a a ( - ).d Progrsió gométrica : s ua sucsió umérica la qu cada térmio s igual al atrior por la razó, qu dsigamos por r: a a.r - Sucsios spcials: - Númros pars:,, 6, 8, 0,... a - Númros impars :,,, 7, 9,... a - - Los cuadrados :,, 9, 6,,... a - Los cubos:, 8, 7, 8,,... a - Potcias:,, 8, 6,... a - Sucsios qu cambia d sigo: -,, -,, -,... a (-), -,, -,,... a (-) (-) - Platado u sistma : Ir calculado la difrcia tr los térmios coscutivos d la sucsió hasta qu sta difrcia sa costat. El úmro d vcs qu tga qu ralizar lo atrior m da l grado d la sucsió. Platado lugo u sistma d cuacios obtdré l térmio gral. Nota : E l caso d tr qu calcular l térmio gral d ua fracció: Numrador por u lado y domiador por otro.

3 . LÍMITE DE UNA SUCESIÓN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ALGUNAS SUCESIONES Para rprstar ua sucsió vamos calculado sus térmios y los rprstamos uos js coordados como putos aislados. El límit d ua sucsió s al valor al qu s va aproximado los térmios d la sucsió, cuado toma valors cada vz mayors. APROXIMACIÓN A LA IDEA DE LÍMITE DE UNA SUCESIÓN - Si s acrca a u úmro, l, dcimos qu: a l ó bi a l Y s l a tid a l o bi El límit d a s l - Si crc d modo qu sus valors acaba suprado a cualquir úmro, dcimos qu: a ó bi a Y s l a tid a o bi El límit d a s - Si dcrc, tomado valors mors qu cualquir úmro gativo por grad qu sa su valor absoluto, dirmos qu: a - ó bi a - Y s l a tid a - o bi El límit d a s - - Exist otras sucsios qu o s comporta d igua d las trs formas atriors y por tato o ti límit y s llama oscilats. CLASIFICACIÓN DE LAS SUCESIONES SEGÚN SU LÍMITE - Si ti it fiito: Covrgts - Si ti límit ifiito ( ó -): Divrgts - Si o ti límit: Oscilats. ALGUNOS LÍMITES IMPORTANTES SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA S a.r a r EL NÚMERO a > 0 a < 0 r - - < r < r a S S o ti límit S r S - El úmro qu hmos utilizado como bas d los logaritmos priaos, s obti como límit d ua sucsió:,78... EL NÚMERO ÁUREO Φ - Si a s la sucsió d Fiboacci: a a a a - a -, a Lim b Φ,68... a

4 . CALCULO DE LÍMITES OPERACIONES CON LÍMITES (a b ) a b (Excpto - ) (a - b ) a - b (Excpto - ) (a. b ) a. b (Excpto 0. ) (a / b ) a / b (Excpto / y 0 / 0) a b a b (Excpto 0 0, 0, ) Nota : a 0 si a si a si a > < a - 0 si a si a si a > < Estos xcpcios rcib l ombr d idtrmiacios y cada ua s rsulv d u modo dtrmiado RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES Tipo - MÉTODO: S ia la idtrmiació qudádoos co l térmio d mayor grado. Ejmplos: a) (- ) (- ) - b) ( ) RESUMEN : El límit s más ifiito si l coficit dl térmio d mayor grado s positivo y s mos ifiito si l coficit dl térmio d mayor grado s gativo. Tipo / MÉTODO: S ia la idtrmiació dividido umrador y domiador por la potcia d mayor grado d Ejmplos: a) / / / / 0 b) / / / 0 0 / c) / / /

5 RESUMEN : a) Si l grado dl umrador s mayor qu l dl domiador l límit s ± (Dpdido dl sigo dl coficit d mayor grado dl umrador y dl domiador) b) Si l grado dl umrador s mor qu l dl domiador l límit s 0 c) Si l grado dl umrador y domiador s l mísmo l límit s igual al cocit tr los coficits d los térmios d mayor grado dl umrador y domiador. Si hay radicals (Idrmiació - ) MÉTODO : S ia la idtrmiació multiplicado y dividido por l cojugado, para quitaros la raíz. Ejmplos: ( )(. ) a) ( ) ( ) 0 b) Tipo. ( ) ( ) MÉTODO : S rsulv utilizado l úmro, 788, 788 a a Ejmplos: a) b).(). 6

6 EJERCICIO : Calcular a, a, a 0, a, a las siguits sucsios dfiidas por : a) a - b) b c) c - d) d (-). ) EJERCICIO : La sucsió dfiida por a - 6. Ti algú térmio qu valga?, 0?, -?, 8?, -6? EJERCICIO : Escribir los cuatro primros térmios d la sucsió: a) a. b) b (-).() c) c EJERCICIO : Escrib l térmio octavo d las siguits sucsios rcurrts: a) a, a, a a - a - b) a.a -.a -, a 0, a Calcular l térmio gral d ua sucsió EJERCICIO : Calcular l térmio gral d las siguits sucsios : a),,, 8, 6,, 6,... ñ), -,, -7, 9, -,, -,... b), 6, 9,,,... o), 8, 7, 6,,... c), 7/,, /, /, /,... p),, 6, 0,,, 8, 6,... d) 0,, 0,, 0,,... q) /, -/9, 8/7, -6/8, /,... ) 0,, 6,, 0, 0,, 6,... r),,,,, 8,,,,... f),, /, /, /8, /6,... s), -,, -,,... g), 7,, -,... t), 9, 8, 6, 6, 7,... h), -, 6, -8, 0,... u),, -,, -,,... i), 7,, 7,, 7,... v) /, /, /, /,... j) /, /, 7/9, 9/6,... w),,, 6, 8,... k),,0,7,6,... x) /, -/, 9/8, -/6, 7/,... l) 0,0,,,,... y) /, /7, -8/9,, -/,... m) /, /, 9/, 6/, /6,... z) ¼,,9/,,/8,,... ) 9/8, 6/, -/, 6/, -9/8, 6/6,... Rprstar gráficamt los térmios d ua sucsió y hallar su límit EJERCICIO 6 : Rprsta gráficamt los sit primros térmios d stas sucsios y calcula su límit, si xist: a) a b) a c) a - 0 d) a -, a -.a ) a (-) f) a (-).a, a g) a.(-6) h) /, /, /, /,... i) b

7 Calcular límits d sucsios EJERCICIO 7 : Calcular los siguits límits a) Cocit d poliomios ( )( ) ) ( ) ( ) ) ) b) Cocit d poliomios co raícs ) 7) 0) 9 ) 6 8) ) ) 9) 6 ) c) Rsta d poliomios 6 ) 6) ) 7) ) 8) 7 d) Rsta d poliomios co raícs 9) 0) a ) 8 ) ) ) 7) 8) sido a ua costat ) 6) 9) ( ) ) Númro 0) ) 6) ) ) 7) ) ) 7 8)

8 f) Parcidos al úmro pro imdiatos 9) ) 7 g) Mzcla a) ( ). d) g) j) m) o) r) u) 7 8 0) ) 9 ( ) ) ) 6 b) [(-). ()] c) ( ). ) f) h) ( 7 9 ) i) ( ) k) ) p) s) v) l) ñ) q) t) 0 y) [.( ) ] w) 7 9 x) z) ) ) ) ) 7) 0) ) ) 8) ) ( )( ) ( ) ( ) ) ( ) 6) 9) 6 ) 8 )

9 6) 9) ) 9 ) 8) ) ) 7) 0) ) 6) 9) ) ) 0 8 ( ) 8) [ ] 7) 0) ) ( ) 6) 8) ) ) 9) ) ) 8) ) ) 6 7 7) 7 0) ) 6 7 6) 6) 9 9) ( ) 6) 7) 0) ) 0 6 6) 9) ) ) 6 8) ) 7 ) 7) [ ] ( ) 60) )

10 6) ( ) 7 67) 6 7 Problmas d sucsios 6) 66) ( ) 8 68) 8 69) EJERCICIO 8 : Hallar l primr térmio d ua progrsió aritmética y la difrcia sabido qu a 0 y a 0 EJERCICIO 9 : Sabido qu l primr térmio d ua progrsió aritmética s, qu la difrcia s 8 y l térmio -ésimo s 9, hallar l lugar qu ocupa dicho térmio la sucsió. EJERCICIO 0 : El producto d trs térmios coscutivos d ua progrsió aritmética s. y la suma dl primro y l último s. Cuáls so dichos úmros? EJERCICIO : La suma d los uv primros térmios d ua progrsió aritmética s 0 y la difrcia d los xtrmos s 0. Halla dichos térmios. EJERCICIO : Calcular las dimsios d u ortodro sabido qu stá progrsió aritmética, qu suma m y qu l volum dl ortodro s 8 m. EJERCICIO : Sabido qu l sxto térmio d ua progrsió gométrica s y qu la razó s /, halla l primr térmio. EJERCICIO : Dscompó l úmro 6 trs sumados qu form progrsió gométrica y tal qu l producto dl primro por l trcro sa. EJERCICIO : El primr térmio d ua progrsió gométrica s 7 y l trcro s 6. Calcular l producto d los diz primros térmios. EJERCICIO 6 : Trs úmros stá progrsió gométrica. El sgudo s uidads mayor qu l primro y l trcro 60 uidads mayor qu l sgudo. Halla dichos úmros. EJERCICIO 7 : Forma ua progrsió aritmética d sit térmios la qu y 8 sa los xtrmos

11 SUCESIONES Y TÉRMINOS EJERCICIO : Si l térmio gral d ua sucsió s a 0 a) Halla l térmio sgudo y l décimo. b) Hay algú térmio qu valga? Si hay dcir qu lugar ocupa la sucsió. c) Hay algú térmio qu valga 7? Si hay dcir qu lugar ocupa la sucsió. Solució: a) a 0 7 ; a b) a ( ) 0 0 ó Como ti qu sr u úmro atural positivo El quito térmio d la sucsió. b) a ± Como ti qu sr u úmro atural positivo No xist igú térmio qu valga 7. EJERCICIO : Si l primr térmio d ua sucsió s a y s cumpl qu a a, calcular l sgudo térmio y l décimo. Solució: a a a a 7 a a 7 9 a a 9 a 6 a a 7 a 6 a 8 a 7 7 a 9 a a 0 a 9 TÉRMINO GENERAL EJERCICIO : Halla l térmio gral d las siguits sucsios: a),,, 8,,... b),,, 8, 6,...,,,,, K 6 c) d),,,, K 8 6 Solució: a) Es ua progrsió aritmética co a y d. Por tato: a ( ) a b) Es ua progrsió gométrica co a y r. Por tato: a ( ) a ( ) c) Es ua progrsió aritmética co a y d. Por tato : a ( ) a d) Es ua progrsió gométrica co a y r. Por tato : a a EJERCICIO : Ecutra l térmio gral d las siguits sucsios: 8 6 a) 0,, 8,,, K b),,,,,k c), 9, 8, 6, 6, K

12 6 d) -,,-,,K ),,,-,, K f) ; 0, ; ;, ; ; K Solució: a) No s aritmética i gométrica: Rstado a cada uo l atrior ( pasos hasta qu s rpit) Grado S a b c a b c 0 a b a b c { a Rs ta do a cada cuació la atrior a b Rs ta do a cada cuació la atrior 9a b c 8 a ;. b b 0 ; 0 c 0 c - S b) Numrador: Gométrica d r a a.r -. - Domiador: Aritmética d d b a (-)d ( ) c) No s aritmética i gométrica: Rstado a cada uo l atrior ( pasos hasta qu s rpit) b Grado S a b c d a b c d 7a b c 7 8a b c d 9 a b 9a b c 9 7a 9b c d 8 Rs ta do a cada cuació la atrior Rs ta do a cada cuació la atrior 8a b 8 7a 7b c 7 6a 6b c d 6 { 6a 6 Rs ta do a cada cuació la atrior a ;. b b 0; 7..0 c 7 c 0; 0 0 d d S d) Altracia d sigos (-) Numrador: Aritmética d a ( ). S ( ) Domiador: Aritmética d b ( ). 6 ),,,,,... Altracia d sigos (-) S ( ) Numrador: Aritmética d a ( ). Domiador: Costat b f) Es ua progrsió aritmética co a y d,. Por tato: a ( ),,,,,,, EJERCICIO : Halla l critrio d formació d las siguits sucsios rcurrts: a),,, 8, 76, 7 68,... b),,,, 8,,,... c),,,,,,,,... d),,,, 8,, 6, 8 9,... ),, 7,, 9,, 0, 8,... a

13 Solució: a) A partir dl trcro, cada térmio s obti multiplicado los dos atriors: a, a, a a a para > b) A partir dl trcro, cada térmio s obti sumado los dos atriors: a, a, a a a para > c) A partir dl trcro, cada térmio s obti rstado los dos atriors: a, a, a a a para > d) A partir dl trcro, cada térmio s obti multiplicado los dos atriors: a, a, a a a para > ) A partir dl trcro, cada térmio s obti sumado los dos atriors: a, a, a a a para > LÍMITES DE SUCESIONES EJERCICIO 6 : Para cada ua d stas sucsios, avrigua si ti límit. Clasificar las sucsios fució d su límit: a) a b) ( ) d) a ) b b c) b f) b ( ) Solució: a) (Id) Covrgt b) ( ) Divrgt c) Divrgt d) - - Divrgt ) 0 Covrgt f) (-) ± No ti límit Oscilat g) - Divrgt EJERCICIO 7 : Calcula l límit d las siguits sucsios: a) b) g) b c) ) f) g) i) j) k) h) Solució: a) - (Id) Multiplicamos y dividimos por l cojugado (Id) d)

14 b) ) (Id Pud más l domiador 0 c) ) (Id Pud igual d) - (Id) Multiplicamos y dividimos por l cojugado (Id) ) - (Id) Pud más l sgudo - f) (Id) Dl tipo úmro. g) (Id) Dl tipo úmro ) ( h) 0 i) (Id) Dl tipo úmro 6. j) k) (-) ± No xist l límit

15 PROBLEMAS DE SUCESIONES EJERCICIO 8 : Calcula la suma dsd l térmio a hasta l a 0 (ambos icluidos) la progrsió aritmética cuyo térmio gral s a. Solució: Calculamos a y a 0 : a 0 7 ; a ( 7 77) 6 0 El úmro d térmios la suma s 6. Por tato: S EJERCICIO 9 : E ua progrsió aritmética, sabmos qu a y d. Calcula la suma d los 0 primros térmios. Solució: Calculamos a 0 : a a 9d 9 8 ( a a ) 0 0 (a 0 ( ) 0 La suma srá: S 80 0 EJERCICIO 0 : E ua progrsió gométrica, sabmos qu a y r. Calcula la suma d sus primros térmios. Solució: Calculamos a : a a r 9 a ) 6 a a r La suma srá: S 0 r EJERCICIO : Calcula la suma: a a K a, sabido qu a s ua progrsió aritmética cuyo térmio grals a Solució: Calculamos a 7 y a 0 : a 7 7 ; a (a7 a0 ) ( 9) El úmro d térmios la suma s. Por tato: S 6 EJERCICIO : Halla la suma d todos los térmios d la progrsió:,,,,, K Solució: Es ua progrsió gométrica la qu a y r <. a 6 Por tato, la suma srá :S r EJERCICIO : El primr térmio d ua progrsió aritmérica s y la difrcia s. Calcula la suma: a 6 a 7 a 8... a Solució: Calculamos a 6 y a : a6 a d 0 a a d ( a6 a ) 0 ( 08) 0 El úmro d sumados s 0. Por tato: S 00 EJERCICIO : E ua progrsió gométrica, sabmos qu a y r. Calcula la suma d sus 0 primros térmios. 0 9 Solució: Calculamos a 0 : a a r a a0 r 78 La suma pdida srá: S 0 7 r